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文档简介
专题1二项分布、正态分布
【知识清单】
知识点1.条件概率
条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件A和8,在已知事件A发生的条件下,事件8发生的概率叫做条件概率,用符号p(B/A)来表示,
其公式为P(8/A)=学胃•
在古典概型中,若用/(A)表示事件A中基本事件的个数,则p(8/A)="符.
(2)条件概率具有的性质:
①OW〃(3/A)W1;
②如果8和C是两互斥事件,则p(5UC/A)=p(5/A)+p(C/A).
知识点2.相互独立事件同时发生的概率
(1)对于事件A、B,若A的发生与8的发生互不影响,则称A、B是相互独立事件.
⑵若A与8相互独立,则p(B/A)=p(B),
p(AB)=p(B/A)P(A)=P(A)P(B).
⑶若A与8相互独立,则A与石,N与3,X与否也都相互独立.
(4)若p(AB)=P(A>P(B),则A与8相互独立.
知识点3.独立重复试验的概率
1.〃次独立重复试验
⑴定义
一般地,在相同条件下重复地做〃次试验,各次试验的结果相互独立,称为〃次独立重复试验.
(2)公式
一般地,在"次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么在〃次独立重复试
验中,事件A恰好发生%次的概率为P“(Z)=C和"(l—p)"r,伏=0,1,2,…,ri).
知识点4.二项分布
1.若将事件A发生的次数设为X,发生的概率为P,不发生的概率q=l-p,那么在〃次独立重复试验中,事件A恰好发生
k次的概率是尸(X=A)=C£/q"r(Z=0,12…,ri)
于是得到X的分布列
X01・・・k•••n
PcSAnC对矿r・・・C3,•・・C;p"d
由于表中第二行恰好是二项式展开式
(q+p)"=C»W+CM展叶…+C£p/"+…+C;p"q。各对应项的值,称这样的离散型随机变量X服从参数为〃,p的二项
分布,记作X〜B(〃,p).
2.二项分布的期望、方差:
若X〜W〃,p),则E(x)=叩.
若X〜3(〃,〃),则。(乂)=叩(1一〃).
知识点5.正态分布
1.正态曲线及其性质
(1)正态曲线:
函数如.g)=武丁一与普,XG(—8,
+8),其中实数〃,6A0)为参数,我们称伙“(X)的图象为正态分布密度曲线,
简称正态曲线.
(2)正态曲线的性质:
①曲线位于x轴上方,与x轴不相交;
②曲线是单峰的,它关于直线对称;
③曲线在x="处达到峰值春;
④曲线与X轴之间的面积为1;
⑤当C一定时,曲线的位置由〃确定,曲线随着〃的变化而沿X轴平移,如图甲所示;
⑥当〃一定时,曲线的形状由<7确定,<7越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散;“越小.曲线越“瘦高”.总体分布越
集中,如图乙所示:
一般地,如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足P(a<XW6)=/W"(x)dx,则称随机变量X服从正态分布(normal
distribution).正态分布完全由参数〃和。确定,因此正态分布常记作M//,4).如果随机变量X服从正态分布,则记为X〜
NQi,a2).
3.正态总体三个特殊区间内取值的概率值
①叫-<7<XW〃+<7)=0.6826;
@P(/i-2a<XW〃+2”)=0.9544;
3a)=0.9974.
4.3。原则
通常服从正态分布标)的随机变量X只取"+3(T)之间的值.
专题2离散型随机变量的均值与方差
【知识清单】
知识点1.离散型随机变量的均值与方差
1.均值
若离散型随机变量才的分布列为
……x
X*X2„
•・・・・・
PPlPlPiPn
称石(X)=玉0+WP2+…+%,,+•••+XR为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水
平..
若丫="+。,其中a力为.常数,则y也是随机变量,且£(aX+》)=a£(X)+Z?.
若X服从两点分布,则E(X)=〃;
2.方差
若离散型随机变量才的分布列为
•・・・・・
XX2为X“
…
pPiPl…PiPn
则(玉―E(X)y描述了3(,=1,2「、〃)相对于均值七(乂)的偏离程度,而O(X)=t(x,「E(X))2p,.为这些偏离程度
/=1
的加权平均,刻画了随机变量X与其均值七(X)的平均偏离程度.称。(X)为随机变量X的方差,其算术平方根
JD(X)为随机变量X的标准差.
若y=«X+力,其中a力为常数,则y也是随机变量,且。(必+。)=/。(乂).
若X服从两点分布,则。(x)=p(l-p).
3.六条性质
⑴£(C)=C(C为常数)
(2)E(aX+b)=aE(X)+b(a/为常数)
(3)E(Xl+X2)=E(Xi)+E(X2)
(4)如果X1,X?相互独立,则E(X1・X2)=E(X)E(X2)
(5)D(X)=E(X2)-(E(X))2
(6)D(aX+Z?)=a2D(X)
专题3离散型随机变量的分布列
【知识清单】
知识点1.离散型随机变量及其分布列
1.离散型随机变量的分布列
(1)随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量,随机变量常用字母%Kf,〃等表示.
(2)离散型随机变.量
对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.
随机变量的线性关系:若J是随一机变量,q=a^b,其中。功是常数,则〃也是随机变量.
2.分布列的两个性质
①NO,z=1,2,•••,»;②P]+〃2+…+P“=L
3.分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值.
(2)随机变量g所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利用这一点可以求相关事件的概率.
知识点2.常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布:
若随机变量X服从两点分布,即其分布列为
X01
P1-〃P
其中则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布.其中〃=尸(乂=1)称为成功概率.
(2)超几何分布:
在含有M件次品的N件产品中,任取w件,其中恰有X件次品,则事件{X=A}发生的概率为P(X=Z)=
=,其中加=min&N,M&N,n,M,NeN*,称分布列为超几何分布列.
X01・・・m
「()0
P・・・
品
⑶设离散型随机变量X可能取得值为x2,巧,…x“,X取每一个值W(,=1,2「、〃)的概率为
p(X=xJ=p,.,则称表
X*4•・・X,・・・x„
pPlPl・・・Pi・・・Pn
为随机变量才的概率分布列,简称十的分布列.有时为了表达简单,也用等式尸(X=xJ=〃,,i=表示X的分布
列.
专题4二项式定理
【知识清单】
知识点1.二项式定理
1.二项式定理
nrnrn
(a+by=cy+C\a-'b+--•+Cna-'b+•••+C,;,b(n^N*\这个公式所表示的定理叫做二项式定理,右边的多项式
叫做(。+3”的二项展开式,其中的系数C:(尸=0,1,2,3,一、〃)叫做二项式系数.式中的叫做二项展开式的通
rnrr
项,用空+1表示,即展开式的第r+1项;Tr+i=Cna-h.
2.二.项展开式形式上的特点
(1)项数为“+L
(2)各项的次数都等于二项式的幕指数〃,即a与。的指数的和为”.
(3)字母a按降塞排列,从第一项开始,次数由“逐项减1直到零;字母人按升塞排列,从第一项起,次数由零逐项增1直
到〃.
(4)二项式的系数从c:,c;,一直到qi,c;;.
知识点2.二项式系数的性质
1.二项式系数的性质
(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即c;=a,c:=c『,…,c:=禺-'".
〃+1n4-1
(2)增减性与最大值:二项式系数C;,当r«一厂时,二项式系,数是递增的;由对称性知:当厂>;—时,二项式系数是
递减的.
当〃是偶数时,中间的一项取得最大值.
当〃是奇数时,中间两项cQ和c,3相等,且同时取得最大值.
(3)各二项式系数的和
(a+b)”的展开式的各个二项式系数的和等于2",即C:+C:+…+C:+…+C;:=2",二项展开式中,偶数项的二项式系
数的和等于奇数项的二项式系数的和,即C:+。;+C:+…=Q+C:+C:+…=2"-',
2.注意:(1).分清是第八+1项,而不是第r项.
(2).在通项公式力+|=。:。"方中,含有C:、a、b、”、r这六个参数,只有。、。、〃、「是独立的,在未知
〃、厂的情况下,用通项公式解题,一般都需要首先将通式转化为方程(组)求出“、然后代入通项公式求解.
(3)..求二项展开式中的一些特殊项,如系数最大项,常数项等,通常都是先利用通项公式由题意列方程,求出「,再求所
需的某项;有时则需先求〃,计算时要注意“和厂的取值范围以及它们之间的大小关系.
(4)在=G;a"-%'中,C;就是该项的二项式系数,它与。,)的值无关;而项的系数是指化简后字母外的.数.
知识点3.二项式定理的应用
二项式的应用
(1)求某些多项式系数的和;
(2)证明一些简单的组合恒等式;
(3)证明整除性,①求数的末位;②数的整除性及求系数;③简单多项式的整除问题;
(4)近似计算.当国充分小时,我们常用下列公式估计近似值:
①(1+x)“«1+nx;②(1+x)”«l+--x2;
(5)证明不等.式.
专题5排列与组合
【知识清单】
知识点1.排列
1.排列的相关概念及排列数公式
(D排列的定义:从〃个不同元素中取出〃?(加《〃)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从〃个不同元素中取出由个
元素的一个排列.
(2)排列数的定义:从〃个不同元素中取出加(,篦(〃)个元素的所有不同排列的个数叫做从〃个不同元素中取出用个元素
的排列数,用其'表示.
(3)排列数公式:4:'=〃(〃-1)(〃-2)一-(〃一加+1)这里〃,根€"£并且
(4)全排列:"个不同元素全部取出的一个排列,叫做〃个元素的一个全排列,4'=〃("-1)(〃—2)-“2」=〃!(叫做〃的
阶乘).排列数公式写成阶乘的形式为4"=;~,这里规定0!=1.
知识点2.组合
组合的相关概念及组合数公式
(1)组合的定义:从〃个不同元素中取出〃?(机《〃)个元素合成一组,叫做从〃个不同元素中取出加个元素的一个组合.
(2)组合数的定义:从〃个不同元素中取出(机(〃)个元素的所有不同组合的个数,叫做从〃个不同元素中取出加个元
素的组合数,用C:”表示.
A"—1)(〃—2),—加+1)加
(3)组合数的计算公式:C,=之=」——-——工•,3(n--------------------「,由于0!=1,所以C“0°=l.
A”rn\m'.yn-my.
(4)组合数的性质:①c4=c,T;②c3"=c7+c;i;③a="C/.
专题6两个计数原理
【知识清单】
知识点1.分类加法计数原理
i.分类加法计数原理(加法原理)的概念
一般形式:完成一件事有n类不同方案,在第1类方案中有町种不同的方法,在第2类方案中有利2种不同的方
法,……,在第n类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有N=〃?|+Z«2+……+加”种不同的方法.
知识点2.分步乘法计数原理
1.分步乘法计数原理(乘法原理)的概念
一般形式:完成一件事需要n个步骤,做第1步有町种不同的方法,做第2步有机2种不同的方法......做第n步有风,
种不同的方法,那么完成这件事共有N=/n,xm2x'''xmn种不同的方法.
2.两个原理的区别:
(1)“每类”间与"每步''间的关系不同:分类加法计数原理中的每一类方案中的任何一种方法、不同类之间的任何一种方法
都是相互独立,互不依赖的,且是一次性的;而分步乘法计数原理中的每一步是相互依赖,且是连续性的.
(2)“每类”与“每步”完成的效果不同:分类加法计数原理中所描述的每一种方法完成后,整个事件就完成了,而分步乘法
计数原理中每一步中的每一种方法得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事.
3.切实理解“完成一件事”的含义,以确定需要分类还是需要分步进行,同时要优先考虑题中的限制条件.
专题6直线与圆锥曲线
【知识清单】
知识点1.直线和圆锥曲线的位置关系
判断直线/与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线/的方程4v+B),+C=0(A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x,
y)=0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量4或变量y)的一元方程.
Ax+By+C=0,
即{消去y,得ax2+fex+c=0.
F[x,y)=0,
(1)当aWO时,设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为/,则/>00直线与圆锥曲线C相交;
/=0㈡直线与圆锥曲线C相切;
/<00直线与圆锥曲线C相离.
(2)当。=0,6#0时・,即得到一个一次方程,则直线/与圆锥曲线C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则直线
/与双曲线的渐近线的位置关系是平行:若C为抛物线,则直线/与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.
知识点2.“弦”的问题
1.弦长公式
设斜率为A(AWO)的直线/与圆锥曲线C相交于46两点,履汨,/),6(也,㈤,则
2
AB\=巧1+炉\xi—x2\=#1+J•7~为+*2——4XIX2—1+1•yi—J2I
=71+],«~y\+y-i_2-
2.处理中点弦问题常用的求解方法
(D.点差法:
即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有小+及,必+及,匕二三个未知量,这样就直接联
X\~X2
系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率.
(2).根与系数的关系:
即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.
注意:中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端:根与系数的关系在解题过程中易产生漏解,需关注直线的斜率问题;点差
法在确定范围方面略显不足.
专题7抛物线
【知识清单】
知识点1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线/(/不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定
直线/叫做抛物线的准线.
知识点2.抛物线的标准方程及几何性质
1
图形112
4ix
-X
标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x^—2py(p>0)
顶点0(0,0)
范围x10,y&RxWO,ywRy>0,xeRyWO,XGR
对称轴X轴y轴
<-r°
焦点F加))尸(。,-£|
离心率e=l
r-Pp
准线方程x----x=y=y=
22-22
IMFI=y+j\MF\=^-y
焦半径\MF\=X()+^\MF\=^-XQ0Q
知识点3.直线和抛物线的位置关系
(1)将直线的方程y=h+帆与抛物线的方程y2=2px(p>0)联立成方程组,消元转化为关于x或y的一元二次方程,其
判别式为A.
ky-2-2py+2pm=0
若左=0,直线与抛物线的对称轴平行或重合,直线与抛物线相交于一点;
若左看0
①A>0O直线和抛物线相交,有两个交点;
②A=OU>直线和抛物线相切,有一个公共点;
③AV0O直线和抛物线相离,无公共点.
(2)直线与抛物线的相交弦
22
设直线y=交抛物线「—与=1(。>0,匕>0)于点(孙必),两点,则
ah
\PANafi+j-
同理可得I1=Jl+p-1y,-%।饮力°)
这里I芭-WI,IX-%I,的求法通常使用韦达定理,需作以下变形:
I%一毛1=+xz)2-^x,
|J1-y21=-4yM
专题8双曲线
【知识清单】
知识点1.双曲线的定义及标准方程
1.双曲线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线
(1)在平面内;
(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值;
(3)这一定值一定要小于两定点的距离.
2.双曲线的标准方程
2222
XV\
标准方程F一至=1(5>0,6>0)]*=l(a〉O,b〉0)
ab
图形
知识点2.双曲线的几何性质
双曲线的几何性质
尤2
标准方程7—中=13>0,b>0)京一"=l(a>0,b>0)
图形
范围冗2。或a,x£R,户一。或y*
对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点
顶点Ai(一。,0),4(。,0)Ai(0,—a),A2。a)
ba
性渐近线y=±~x=±x
7ayb
质
离心率e=§,e@(L+°°),其中c=q02+〃2
线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|Ai4|=2a;线段81B2叫作双曲线的虚
实虚轴
轴,它的长|向星|=2。;“叫作双曲线的实半轴长,万叫作双曲线的虚半轴
长.
a、b、c
c2=a?+b2(c>a>0,c>b>0)
的关系
专题9椭圆
【知识清单】
知识点1.椭圆的定义及其应用
1.椭圆的概念
(1)文字形式:在平面内到两定点£、用的距离的和等于常数(大于出内|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆.这两定点叫做椭圆的
焦点,两焦点间的距离叫做焦距.
(2)代数式形式:集合P={M||MFJ+|MEI=2a}IKF2l=2c.
①若a>c,则集合户为椭圆;
②若。=c,则集合户为线段;
③若a<c,则集合P为空集.
2222
2.椭圆的标准方程:焦点在x轴时,T+2r=l(a>b>0);焦点在y轴时,^-+^-=l(a>b>0)
a~b~a'b~
知识点2.椭圆的标准方程
1.椭圆的标准方程:
(1)焦点在x轴,二+尸=l(a>b>0);
22
厂+厂
(2)焦点在y轴,KM=l(a>b>0).
2.满足条件:2a>2c,a2=b2+c2,aX),b>0,cX)
知识点3.椭圆的几何性质
椭圆的标准方程及其几何性质
范围|x|<iz,|y|</?|x|<Z?,|y<«
对称性曲线关于轴、原点对称曲线关于尤,y轴、原点对称
顶点长轴顶点(±。,0),短轴顶点(0,坊)长轴顶点(0,±。),轴顶点(土瓦0)
焦点(土c,。)(0,±c)
焦距闺司=2以/=白2-82)
离心率e=-€(0,1),其中,=\/。2一》2
a
2b2
通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径,其长为~
a
知识点4.直线与椭圆的位置关系
1.直线与椭圆位置关系的判断
(1)代数法:把椭圆方程与直线方程联立消去"整理得到关于x的方程+麽+0=0.记该一元二次方程根的判别式为
△,①若△>(),则直线与椭圆相交;②若△=(),则直线与椭圆相切;③若AV0,则直线与椭圆相离.
(2)几何法:在同一直角坐标系中画出椭圆和直线,利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系.
2.直线与椭圆的相交长问题:
(1)弦长公式:设直线与椭圆有两个公共点加(知y),N(X2,%),则弦长公式为|W|=&1+公)[(%+々)2-何々]或
+*)[(%+%)2-4)跖].
(2)弦中点问题,适用“点差法”.
专题10直线与圆的位置关系
【知识清单】
知识点1.圆的方程
1.圆的定义:在平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.
2.圆的标准方程
⑴若圆的圆心为C(“,办半径为r,则该圆的标准方程为:(》一。)2+4—份2=/.
(2)方程(x—a)2+。一份2=产表示圆心为c(a,b),半径为r的圆.
3.圆的一般方程
(1)任意一个圆的方程都可化为:x2+y2+Dx+Ey+F=O.这个方程就叫做圆的一般方程.
(2)对方程:x2+y?+Dx+Ey+F=0.
①若。2+炉一4/>0,则方程表示以(一5,一,)为圆心,为半径的圆;
②若02+后2-4/=0,则方程只表示一个点(一名,~1):
③若。2+£2—4尸<(),则方程不表示任何图形.
4.点%)与0c的位置关系
(l)HC|<r=点A在圆内。(%—4)2+(%—6)2<一.
(2)|AC|=r»点A在圆上=(%—a)2+(%一人尸=r1■
222
(3)|AC|>r=点A在圆外o(x0-a)+(y0~b)>r.
知识点2.圆的方程综合应用
1.圆的标准方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2
2.圆的一般方程.:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
3.点《(%,%)到直线l:Ax+By+C=Q的距离:d=%+取+。|.
\IA2+B2
知识点3.直线与圆相切
1.直线与圆相切:直线与圆有且只有一个公共点;
2.几何法:圆心到直线的距离等于半径,即4=厂;
3.代数法:A=0,方程组有一组不同的解.
知识点4.直线与圆相交及弦长
1.直线与圆相交:直线与圆有两个公共点;
2.几何法:圆心到直线的距离小于半径,即d<r;
3.代数法:A>0,方程组有两组不同的解.
知识点5.圆与圆的位置关系
设两圆的圆心分别为G、C2,圆心距为d=|GQ|,半径分别为R、r(7?>r).
(1)两圆相离:无公共点;d>R+r,方程组无解.
(2)两圆外切:有一个公共点;d=R+r,方程组有一组不同的解.
(3)两圆相交:有两个公共点;R-r<d<R+r,方程组有两组不同的解.
(4)两圆内切:有一公共点;d=R-r,方程组有一组不同的解.
(5)两圆内含:无公共点;0Wd<R-r,方程组无解.特别地,d=0时,为两个同心圆.
专题11直线与直线方程
【知识清单】
知识点1.直线的倾斜角与斜率
1.直线的倾斜角
①定义.当直线/与X轴相交时,我们取X轴作为基准,X轴的正方向与直线/向上的方向之间所成的角a叫做直线/的倾
斜角.当直线/与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.
②范围:倾斜角a的范围为
2.直线的斜率
①定义.一条直线的倾斜角aQH90)的正切叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母后表示,即左=1&12,倾斜角是
90°的直线没有斜率.当直线/与x轴平行或重合时,。=0",k=tan0"=0.
②过两点的直线的斜率公式.经过两点6(须,凹),£(々,%)(玉彳乙)的直线的斜率公式为人=上二乂.
X2~X\
3.每一条直线都有唯一的倾斜角,但并不是每一条直线都存在斜率,倾斜角为90°的直线斜率不存在.
4.直线的倾斜角Q、斜率2之间的大小变化关系:
71
(1)当a£[0,—)时,Z>0,a越大,斜率越大;
2
(2)当ae(乙,乃)时,女<0,a越大,斜率越大.
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知识点2.直线的方程
1.直线的点斜式方程:直
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