高中数学-基础知识(部分)

专题1二项分布、正态分布

【知识清单】

知识点1.条件概率

条件概率及其性质

（1）对于任何两个事件A和8,在已知事件A发生的条件下，事件8发生的概率叫做条件概率，用符号p（B/A）来表示，

其公式为P（8/A）=学胃•

在古典概型中，若用/（A）表示事件A中基本事件的个数，则p（8/A）="符.

（2）条件概率具有的性质：

①OW〃（3/A）W1；

②如果8和C是两互斥事件,则p（5UC/A）=p（5/A）+p（C/A）.

知识点2.相互独立事件同时发生的概率

（1）对于事件A、B,若A的发生与8的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件.

⑵若A与8相互独立，则p（B/A）=p（B）,

p（AB）=p（B/A）P（A）=P（A）P（B）.

⑶若A与8相互独立，则A与石，N与3,X与否也都相互独立.

（4）若p（AB）=P（A>P（B）,则A与8相互独立.

知识点3.独立重复试验的概率

1.〃次独立重复试验

⑴定义

一般地，在相同条件下重复地做〃次试验，各次试验的结果相互独立，称为〃次独立重复试验.

（2）公式

一般地，在"次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么在〃次独立重复试

验中，事件A恰好发生％次的概率为P“（Z）=C和"（l—p）"r,伏=0,1,2,…，ri）.

知识点4.二项分布

1.若将事件A发生的次数设为X,发生的概率为P,不发生的概率q=l-p,那么在〃次独立重复试验中，事件A恰好发生

k次的概率是尸（X=A）=C£/q"r（Z=0,12…，ri）

于是得到X的分布列

X01・・・k•••n

PcSAnC对矿r・・・C3，•・・C；p"d

由于表中第二行恰好是二项式展开式

（q+p）"=C»W+CM展叶…+C£p/"+…+C；p"q。各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从参数为〃，p的二项

分布，记作X〜B（〃，p）.

2.二项分布的期望、方差：

若X〜W〃,p),则E(x)=叩.

若X〜3(〃,〃)，则。(乂)=叩(1一〃).

知识点5.正态分布

1.正态曲线及其性质

(1)正态曲线:

函数如.g)=武丁一与普,XG(—8,

+8),其中实数〃，6A0)为参数，我们称伙“(X)的图象为正态分布密度曲线,

简称正态曲线.

(2)正态曲线的性质：

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交;

②曲线是单峰的，它关于直线对称;

③曲线在x="处达到峰值春；

④曲线与X轴之间的面积为1；

⑤当C一定时，曲线的位置由〃确定，曲线随着〃的变化而沿X轴平移，如图甲所示；

⑥当〃一定时，曲线的形状由<7确定，<7越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；“越小.曲线越“瘦高”.总体分布越

集中，如图乙所示：

一般地，如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足P(a<XW6)=/W"(x)dx,则称随机变量X服从正态分布(normal

distribution).正态分布完全由参数〃和。确定，因此正态分布常记作M//,4).如果随机变量X服从正态分布，则记为X〜

NQi,a2).

3.正态总体三个特殊区间内取值的概率值

①叫-<7<XW〃+<7)=0.6826；

@P(/i-2a<XW〃+2”)=0.9544；

3a)=0.9974.

4.3。原则

通常服从正态分布标)的随机变量X只取"+3(T)之间的值.

专题2离散型随机变量的均值与方差

【知识清单】

知识点1.离散型随机变量的均值与方差

1.均值

若离散型随机变量才的分布列为

……x

X*X2„

•・・・・・

PPlPlPiPn

称石（X）=玉0+WP2+…+%，,+•••+XR为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水

平..

若丫="+。，其中a力为.常数，则y也是随机变量，且£（aX+》）=a£（X）+Z?.

若X服从两点分布，则E（X）=〃；

2.方差

若离散型随机变量才的分布列为

•・・・・・

XX2为X“

…

pPiPl…PiPn

则（玉―E（X）y描述了3（，=1,2「、〃）相对于均值七（乂）的偏离程度，而O（X）=t（x,「E（X））2p,.为这些偏离程度

/=1

的加权平均，刻画了随机变量X与其均值七（X）的平均偏离程度.称。（X）为随机变量X的方差，其算术平方根

JD（X）为随机变量X的标准差.

若y=«X+力，其中a力为常数，则y也是随机变量，且。（必+。）=/。（乂）.

若X服从两点分布，则。（x）=p（l-p）.

3.六条性质

⑴£（C）=C（C为常数）

（2）E（aX+b）=aE（X）+b（a/为常数）

（3）E（Xl+X2）=E（Xi）+E（X2）

（4）如果X1,X?相互独立，则E（X1・X2）=E（X）E（X2）

（5）D（X）=E（X2）-（E（X））2

（6）D（aX+Z?）=a2D（X）

专题3离散型随机变量的分布列

【知识清单】

知识点1.离散型随机变量及其分布列

1.离散型随机变量的分布列

(1)随机变量

如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母％Kf,〃等表示.

(2)离散型随机变.量

对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.

随机变量的线性关系：若J是随一机变量，q=a^b,其中。功是常数，则〃也是随机变量.

2.分布列的两个性质

①NO,z=1,2,•••,»；②P]+〃2+…+P“=L

3.分布列性质的两个作用

(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值.

(2)随机变量g所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率.

知识点2.常见离散型随机变量的分布列

(1)两点分布：

若随机变量X服从两点分布，即其分布列为

X01

P1-〃P

其中则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布.其中〃=尸(乂=1)称为成功概率.

(2)超几何分布：

在含有M件次品的N件产品中，任取w件，其中恰有X件次品，则事件｛X=A｝发生的概率为P(X=Z)=

=,其中加=min&N,M&N,n,M,NeN*,称分布列为超几何分布列.

X01・・・m

「()0

P・・・

品

⑶设离散型随机变量X可能取得值为x2,巧，…x“，X取每一个值W(，=1,2「、〃)的概率为

p(X=xJ=p,.,则称表

X*4•・・X,・・・x„

pPlPl・・・Pi・・・Pn

为随机变量才的概率分布列，简称十的分布列.有时为了表达简单，也用等式尸(X=xJ=〃,，i=表示X的分布

列.

专题4二项式定理

【知识清单】

知识点1.二项式定理

1.二项式定理

nrnrn

(a+by=cy+C\a-'b+--•+Cna-'b+•••+C,；,b(n^N*\这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式

叫做(。+3”的二项展开式，其中的系数C：(尸=0,1,2,3,一、〃)叫做二项式系数.式中的叫做二项展开式的通

rnrr

项，用空+1表示，即展开式的第r+1项；Tr+i=Cna-h.

2.二.项展开式形式上的特点

(1)项数为“+L

(2)各项的次数都等于二项式的幕指数〃，即a与。的指数的和为”.

(3)字母a按降塞排列，从第一项开始，次数由“逐项减1直到零；字母人按升塞排列，从第一项起，次数由零逐项增1直

到〃.

(4)二项式的系数从c：,c；,一直到qi,c;;.

知识点2.二项式系数的性质

1.二项式系数的性质

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即c;=a，c：=c『，…,c：=禺-'".

〃+1n4-1

(2)增减性与最大值：二项式系数C；,当r«一厂时，二项式系,数是递增的；由对称性知：当厂＞；—时，二项式系数是

递减的.

当〃是偶数时，中间的一项取得最大值.

当〃是奇数时，中间两项cQ和c,3相等，且同时取得最大值.

(3)各二项式系数的和

(a+b)”的展开式的各个二项式系数的和等于2",即C：+C：+…+C：+…+C；：=2",二项展开式中，偶数项的二项式系

数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C：+。；+C：+…=Q+C：+C：+…=2"-',

2.注意：(1).分清是第八+1项，而不是第r项.

(2).在通项公式力+|=。：。"方中，含有C：、a、b、”、r这六个参数，只有。、。、〃、「是独立的，在未知

〃、厂的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转化为方程(组)求出“、然后代入通项公式求解.

(3)..求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出「，再求所

需的某项；有时则需先求〃，计算时要注意“和厂的取值范围以及它们之间的大小关系.

(4)在=G；a"-%'中，C；就是该项的二项式系数，它与。，)的值无关；而项的系数是指化简后字母外的.数.

知识点3.二项式定理的应用

二项式的应用

(1)求某些多项式系数的和；

(2)证明一些简单的组合恒等式；

(3)证明整除性，①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；

(4)近似计算.当国充分小时，我们常用下列公式估计近似值：

①(1+x)“«1+nx；②(1+x)”«l+--x2；

(5)证明不等.式.

专题5排列与组合

【知识清单】

知识点1.排列

1.排列的相关概念及排列数公式

(D排列的定义：从〃个不同元素中取出〃？(加《〃)个元素，按照一定的顺序排成一列,叫做从〃个不同元素中取出由个

元素的一个排列.

(2)排列数的定义：从〃个不同元素中取出加(，篦(〃)个元素的所有不同排列的个数叫做从〃个不同元素中取出用个元素

的排列数，用其'表示.

(3)排列数公式：4：'=〃(〃-1)(〃-2)一-(〃一加+1)这里〃,根€"£并且

(4)全排列："个不同元素全部取出的一个排列，叫做〃个元素的一个全排列，4'=〃("-1)(〃—2)-“2」=〃！(叫做〃的

阶乘).排列数公式写成阶乘的形式为4"=；~,这里规定0!=1.

知识点2.组合

组合的相关概念及组合数公式

(1)组合的定义：从〃个不同元素中取出〃?(机《〃)个元素合成一组，叫做从〃个不同元素中取出加个元素的一个组合.

(2)组合数的定义：从〃个不同元素中取出(机(〃)个元素的所有不同组合的个数，叫做从〃个不同元素中取出加个元

素的组合数，用C：”表示.

A"—1)(〃—2),—加+1)加

(3)组合数的计算公式：C,=之=」——-——工•,3(n--------------------「，由于0!=1,所以C“0°=l.

A”rn\m'.yn-my.

(4)组合数的性质:①c4=c,T；②c3"=c7+c;i；③a="C/.

专题6两个计数原理

【知识清单】

知识点1.分类加法计数原理

i.分类加法计数原理(加法原理)的概念

一般形式：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有町种不同的方法，在第2类方案中有利2种不同的方

法，……，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有N=〃?|+Z«2+……+加”种不同的方法.

知识点2.分步乘法计数原理

1.分步乘法计数原理(乘法原理)的概念

一般形式：完成一件事需要n个步骤，做第1步有町种不同的方法，做第2步有机2种不同的方法......做第n步有风,

种不同的方法，那么完成这件事共有N=/n,xm2x'''xmn种不同的方法.

2.两个原理的区别：

(1)“每类”间与"每步''间的关系不同：分类加法计数原理中的每一类方案中的任何一种方法、不同类之间的任何一种方法

都是相互独立，互不依赖的，且是一次性的；而分步乘法计数原理中的每一步是相互依赖，且是连续性的.

(2)“每类”与“每步”完成的效果不同：分类加法计数原理中所描述的每一种方法完成后，整个事件就完成了，而分步乘法

计数原理中每一步中的每一种方法得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事.

3.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行，同时要优先考虑题中的限制条件.

专题6直线与圆锥曲线

【知识清单】

知识点1.直线和圆锥曲线的位置关系

判断直线/与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线/的方程4v+B)，+C=0(A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x,

y)=0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量4或变量y)的一元方程.

Ax+By+C=0,

即｛消去y,得ax2+fex+c=0.

F[x,y)=0,

(1)当aWO时，设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为/,则/>00直线与圆锥曲线C相交；

/=0㈡直线与圆锥曲线C相切；

/<00直线与圆锥曲线C相离.

(2)当。=0,6#0时・，即得到一个一次方程，则直线/与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线

/与双曲线的渐近线的位置关系是平行：若C为抛物线，则直线/与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.

知识点2.“弦”的问题

1.弦长公式

设斜率为A(AWO)的直线/与圆锥曲线C相交于46两点，履汨，/),6(也，㈤，则

2

AB\=巧1+炉\xi—x2\=#1+J•7~为+*2——4XIX2—1+1•yi—J2I

=71+],«~y\+y-i_2-

2.处理中点弦问题常用的求解方法

(D.点差法：

即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有小+及，必+及，匕二三个未知量，这样就直接联

X\~X2

系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.

(2).根与系数的关系:

即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.

注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差

法在确定范围方面略显不足.

专题7抛物线

【知识清单】

知识点1.抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线/（/不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定

直线/叫做抛物线的准线.

知识点2.抛物线的标准方程及几何性质

1

图形112

4ix

-X

标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x^—2py(p>0)

顶点0(0,0)

范围x10,y&RxWO,ywRy>0,xeRyWO,XGR

对称轴X轴y轴

<-r°

焦点F加))尸（。，-£|

离心率e=l

r-Pp

准线方程x----x=y=y=

22-22

IMFI=y+j\MF\=^-y

焦半径\MF\=X()+^\MF\=^-XQ0Q

知识点3.直线和抛物线的位置关系

（1）将直线的方程y=h+帆与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其

判别式为A.

ky-2-2py+2pm=0

若左=0,直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；

若左看0

①A＞0O直线和抛物线相交，有两个交点；

②A=OU＞直线和抛物线相切，有一个公共点；

③AV0O直线和抛物线相离，无公共点.

（2）直线与抛物线的相交弦

22

设直线y=交抛物线「—与=1（。＞0,匕＞0）于点（孙必），两点，则

ah

\PANafi+j-

同理可得I1=Jl+p-1y,-%।饮力°)

这里I芭-WI，IX-%I，的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：

I%一毛1=+xz)2-^x,

|J1-y21=-4yM

专题8双曲线

【知识清单】

知识点1.双曲线的定义及标准方程

1.双曲线的定义

满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线

(1)在平面内；

(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；

(3)这一定值一定要小于两定点的距离.

2.双曲线的标准方程

2222

XV\

标准方程F一至=1(5>0,6>0)]*=l(a〉O,b〉0)

ab

图形

知识点2.双曲线的几何性质

双曲线的几何性质

尤2

标准方程7—中=13>0,b>0)京一"=l(a>0,b>0)

图形

范围冗2。或a,x£R,户一。或y*

对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点

顶点Ai(一。,0),4(。,0)Ai(0,—a),A2。a)

ba

性渐近线y=±~x=±x

7ayb

质

离心率e=§,e@(L+°°),其中c=q02+〃2

线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|Ai4|=2a；线段81B2叫作双曲线的虚

实虚轴

轴，它的长|向星|=2。；“叫作双曲线的实半轴长，万叫作双曲线的虚半轴

长.

a、b、c

c2=a?+b2(c>a>0,c>b>0)

的关系

专题9椭圆

【知识清单】

知识点1.椭圆的定义及其应用

1.椭圆的概念

(1)文字形式：在平面内到两定点£、用的距离的和等于常数(大于出内|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆.这两定点叫做椭圆的

焦点，两焦点间的距离叫做焦距.

(2)代数式形式：集合P={M||MFJ+|MEI=2a}IKF2l=2c.

①若a>c，则集合户为椭圆；

②若。=c,则集合户为线段；

③若a<c,则集合P为空集.

2222

2.椭圆的标准方程：焦点在x轴时，T+2r=l(a>b>0)；焦点在y轴时，^-+^-=l(a>b>0)

a~b~a'b~

知识点2.椭圆的标准方程

1.椭圆的标准方程：

(1)焦点在x轴,二+尸=l(a>b>0)；

22

厂+厂

(2)焦点在y轴,KM=l(a>b>0).

2.满足条件：2a>2c,a2=b2+c2,aX),b>0,cX)

知识点3.椭圆的几何性质

椭圆的标准方程及其几何性质

范围|x|<iz,|y|</?|x|<Z?,|y<«

对称性曲线关于轴、原点对称曲线关于尤,y轴、原点对称

顶点长轴顶点(±。,0)，短轴顶点(0,坊)长轴顶点(0,±。)，轴顶点(土瓦0)

焦点(土c，。)(0,±c)

焦距闺司=2以/=白2-82)

离心率e=-€(0,1),其中，=\/。2一》2

a

2b2

通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为~

a

知识点4.直线与椭圆的位置关系

1.直线与椭圆位置关系的判断

(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去"整理得到关于x的方程+麽+0=0.记该一元二次方程根的判别式为

△,①若△>(),则直线与椭圆相交；②若△=(),则直线与椭圆相切；③若AV0,则直线与椭圆相离.

(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系.

2.直线与椭圆的相交长问题：

(1)弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点加(知y),N(X2,%)，则弦长公式为|W|=&1+公)[(%+々)2-何々]或

+*)[(%+%)2-4)跖].

(2)弦中点问题，适用“点差法”.

专题10直线与圆的位置关系

【知识清单】

知识点1.圆的方程

1.圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.

2.圆的标准方程

⑴若圆的圆心为C(“,办半径为r,则该圆的标准方程为：(》一。)2+4—份2=/.

(2)方程(x—a)2+。一份2=产表示圆心为c(a,b),半径为r的圆.

3.圆的一般方程

(1)任意一个圆的方程都可化为：x2+y2+Dx+Ey+F=O.这个方程就叫做圆的一般方程.

(2)对方程：x2+y?+Dx+Ey+F=0.

①若。2+炉一4/>0,则方程表示以(一5,一,)为圆心，为半径的圆;

②若02+后2-4/=0,则方程只表示一个点(一名,~1):

③若。2+£2—4尸<(),则方程不表示任何图形.

4.点%)与0c的位置关系

(l)HC|<r=点A在圆内。(%—4)2+(%—6)2<一.

(2)|AC|=r»点A在圆上=(%—a)2+(%一人尸=r1■

222

(3)|AC|>r=点A在圆外o(x0-a)+(y0~b)>r.

知识点2.圆的方程综合应用

1.圆的标准方程为：(x-a)2+(y-b)2=r2

2.圆的一般方程.：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).

3.点《(%,%)到直线l:Ax+By+C=Q的距离：d=%+取+。|.

\IA2+B2

知识点3.直线与圆相切

1.直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点；

2.几何法：圆心到直线的距离等于半径，即4=厂；

3.代数法：A=0,方程组有一组不同的解.

知识点4.直线与圆相交及弦长

1.直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；

2.几何法：圆心到直线的距离小于半径，即d<r；

3.代数法：A>0,方程组有两组不同的解.

知识点5.圆与圆的位置关系

设两圆的圆心分别为G、C2,圆心距为d=|GQ|,半径分别为R、r(7?>r).

(1)两圆相离：无公共点；d>R+r,方程组无解.

(2)两圆外切：有一个公共点；d=R+r,方程组有一组不同的解.

(3)两圆相交：有两个公共点；R-r<d<R+r,方程组有两组不同的解.

(4)两圆内切：有一公共点；d=R-r,方程组有一组不同的解.

(5)两圆内含：无公共点；0Wd<R-r,方程组无解.特别地，d=0时，为两个同心圆.

专题11直线与直线方程

【知识清单】

知识点1.直线的倾斜角与斜率

1.直线的倾斜角

①定义.当直线/与X轴相交时，我们取X轴作为基准，X轴的正方向与直线/向上的方向之间所成的角a叫做直线/的倾

斜角.当直线/与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

②范围：倾斜角a的范围为

2.直线的斜率

①定义.一条直线的倾斜角aQH90）的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母后表示，即左=1&12,倾斜角是

90°的直线没有斜率.当直线/与x轴平行或重合时，。=0",k=tan0"=0.

②过两点的直线的斜率公式.经过两点6（须，凹），£（々，%）（玉彳乙）的直线的斜率公式为人=上二乂.

X2~X\

3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率,倾斜角为90°的直线斜率不存在.

4.直线的倾斜角Q、斜率2之间的大小变化关系：

71

（1）当a£[0,—）时，Z>0,a越大，斜率越大；

2

（2）当ae（乙，乃）时，女<0,a越大，斜率越大.

2

知识点2.直线的方程

1.直线的点斜式方程：直