2023届江津中学数学高三第一学期期末质量检测模拟试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在等差数列｛4｝中，若4=4,%=8,则%=（）

A.8B.12C.14D.10

22

2.已知双曲线C：j—%=4>0）的一条渐近线经过圆£:必+/+2工—4y=0的圆心，则双曲线C的离

心率为（）

A.手B.75C.0D.2

3.设。、bcR+，数列｛4｝满足4=2,an+i=a-a；+b,〃eN*，贝!）（）

A.对于任意。，都存在实数〃，使得恒成立

B.对于任意沙，都存在实数使得恒成立

C.对于任意be（2-4a,+8）,都存在实数〃，使得。“<〃恒成立

D.对于任意be（0,2-4a）,都存在实数使得为<“恒成立

4.某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1）,则这个几何体的体积是（）

C.16D.32

5.已知关于x的方程Gsinx+sin=根在区间［0,2乃）上有两个根占，％，且|七一百2%，则实数加的取

值范围是（）

A.0,|jB.[1,2)C.[0,1)D.[0,1]

6.AABC中，点。在边AB上，CD平分ZACB,若丽=£,CA=b，|a|=2,|S|=1,则①=()

2-11-23-44-3

A.—tzH—brB・—ciH—rbC.-ciH—rbD・—ciH—br

33335555

7.已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2,则球的体积与圆柱的体积的比为()

JF7T

8.已知函数/（x）=sin（2x—-）的图象向左平移叭甲>0）个单位后得到函数g（x）=sin（2x+-）的图象，则（P的最小

44

值为（）

9.已知S“是等差数列｛4｝的前〃项和，若邑018<52020<邑019,设bn=anan+lan+,,则数列1|的前九项和Tn取最

大值时〃的值为（）

11.在AABC中，。为AC的中点，E为AB上靠近点5的三等分点,且瓦），CE相交于点P,则丽=（)

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

3224

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

2333

<11V0

12.—必-一方的展开式中有理项有（）

（2飙）

A.3项B.4项C.5项D.7项

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量£=(1,2),B=(—3,2),若向量场与y—B共线，则左=.

14.已知向量a=(cos5°,sin5°),b=(cos65°,sin65°),贝!|2a+Z?=.

15.三对父子去参加亲子活动，坐在如图所示的6个位置上，有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法有种(比

如：3与。、5与C是相邻的，A与。、C与。是不相邻的).

22

16.已知£(-3,0),巴(3,0)为双曲线C：1-斗=1(。>0/>0)的左、右焦点，双曲线C的渐近线上存在点P满足

\PFl\=2\PF2\,则〃的最大值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知圆。：犬+/=4,定点A(l,0),P为平面内一动点，以线段AP为直径的圆内切于圆0,设动点P的

轨迹为曲线C

(1)求曲线C的方程

(2)过点。(2,0)的直线/与C交于E,歹两点，已知点。(2,0),直线x=%分别与直线b交于S,T两点，

线段ST的中点〃是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由.

18.(12分)山东省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的

3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的

3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、

数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名

来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案,将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为二、

-+、-、-+、-、-+、-、-共8个等级。参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为,6%、％%、

24%、沔％、-汽、3。/等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将二至二等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，

分别转换到91-100、81-90、71-80,61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八个分数区间，得到考生的等级成绩.

举例说明.

某同学化学学科原始分为65分，该学科二+等级的原始分分布区间为58〜69,则该同学化学学科的原始成绩属二+等

级.而二+等级的转换分区间为61〜70,那么该同学化学学科的转换分为：

设该同学化学科的转换等级分为二，“求得二466K

65-58~U-il

四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.

(1)某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩

基本服从正态分布二〜二

(i)若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为二中其所在原始分分布区间为82〜93,求小明转换后的

物理成绩；

(ii)求物理原始分在区间「二工的人数；

(2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记二表示这4人中等级成绩在区间丁二的人数，求二的分布

列和数学期望.

(附：若随机变量二、二(二二：了则二仁一二〈二〈二+二)=0.68〉二(二一2二〈二〈二+2二)=0.95夕

二(二一3二〈二〈二+3二)=0.99-)

19.(12分)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为

<(。为参数)，直线/经过点叫-L-3.3)且倾斜角为。.

(1)求曲线C的极坐标方程和直线/的参数方程；

(2)已知直线/与曲线C交于A8,满足A为MB的中点，求tantz.

20.(12分)已知函数分(x)=|x—3|+|xT|.

(1)若不等式/(X)<X+777有解，求实数机的取值范围；

(2)函数/'(尤)的最小值为“，若正实数b,c满足a+〃+c=〃，证明：4-ab+be+ac>Sabc.

21.(12分)在直角坐标系x0y中，直线/的参数方程为7'。为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半

b=t

,16

轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为夕2=；.

l+3sin*

(1)求。和/的直角坐标方程；

(2)已知P为曲线C上的一个动点，求线段。尸的中点M到直线/的最大距离.

22.(10分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有

1-6点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4,则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖，已知抽奖

箱中装有2个红球与根(m22,meN*)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，

若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同).

(1)若加=4,求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；

(2)若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X,

若商场希望X的数学期望不超过150元，求加的最小值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

将出，％分别用4和d的形式表示，然后求解出生和d的值即可表示的.

【详解】

设等差数列｛4｝的首项为%,公差为d,

«,+d=4,

则由%=4,为=8,得一解得q=2,d=2,

"4+3d=8,

所以%=%+6d=14.故选C.

【点睛】

本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建可和d的方程组求通项公式.

2、B

【解析】

求出圆心，代入渐近线方程，找到。、人的关系，即可求解.

【详解】

解：石(-1,2),

221

0:三—1?=1(4>04>0)一条渐近线丁=—,%

A

2=—2a=b

c1=<i2+b2,c2=a2+(2a『,e=y[s

故选：B

【点睛】

利用a、b的关系求双曲线的离心率，是基础题.

3、D

【解析】

取a=6=1,可排除AB；由蛛网图可得数列｛4｝的单调情况，进而得到要使4<〃，只需2<比丘还，由此

2a

可得到答案.

【详解】

取。=人=1,an+l=a^l,数列｛〃/恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB选项；

由蛛网图可知，改2+b=%存在两个不动点，且％=匕正还1+J1-4ab

12a2a

因为当0<q<±时，数列｛4｝单调递增，则为<石；

当Xi<q<X2时，数列｛。“｝单调递减，则石<。“<。1；

所以要使4<M,只需要0<4<々，故2<1+,1一处,化简得b<2—4。且匕>0.

2a

故选：D.

【点睛】

本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题.

4、A

【解析】

ii32

几何体为一个三棱锥，高为4,底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4,所以体积是-x4x—x4?=?，选A.

323

5、C

【解析】

7T

先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数y=2sin(x+-),将方程的解的问题转化为函数图象的交点问

6

题，画出函数图象，再结合人-w|之不，解得"7的取值范围.

【详解】

由题化简得Gsinx+cosx=/，根=2sin(x+J),

6

7T

作出y=2sin(x+=)的图象，

又由归一百之力易知

故选：C.

【点睛】

本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题.

6、B

【解析】

由CD平分NACB,根据三角形内角平分线定理可得当=笑，再根据平面向量的加减法运算即得答案.

【详解】

•.•CD平分ZACB,根据三角形内角平分线定理可得当=字，

DACA

又CB=a，CA=b,忖=2,W=l,

:.—=2,:.BD=2DA.

DA

---►—-—►2•—►f2/-*1-*2~*

:.CD=CB+BD=CB+-BA=a+-\b-a\=-a+-b.

33、,33

故选：B.

【点睛】

本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题.

7、D

【解析】

分别求出球和圆柱的体积，然后可得比值.

【详解】

设圆柱的底面圆半径为小则厂=与下=石，所以圆柱的体积匕=加x2=6%.又球的体积

4“3CC23--2-万--

14=-7ix23=—71,所以球的体积与圆柱的体积的比%;：3=16,故选D.

33K6〃9

【点睛】

本题主要考查几何体的体积求解，侧重考查数学运算的核心素养.

8、A

【解析】

首先求得平移后的函数g(X)=Sin]2x+2夕_(],再根据sin"x+2夕—?]=sin[x+?]求9的最小值.

【详解】

根据题意，/(x)的图象向左平移。个单位后，所得图象对应的函数

g(x)=sin2(1+0)—?71=sin(2x+2。一()=sin(2x+?),

4

]rI'JL')LJI

所以2夕——=2k7r+-,keZ,所以夕=左乃+—,左eZ.又。>0,所以。的最小值为一.

4444

故选：A

【点睛】

本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型.

9、B

【解析】

根据题意计算“2019>0902020<°，“2019+生020〉0,计算/<0,厂L>0,-r-+~r~>Q'得到答案・

%018%019^20184019

【详解】

S"是等差数列｛%｝的前〃项和，若52018<S2020<邑019，

11

20199〃2020^2019+^2020

故。>0<0，>°，bn=a〃%+i%+2，故Tb~—aaa-，

nnn+in+2

当〃W2017时，；〉°，白=-------------<°，白=------------>°，

"""2018^2018^2019^2020”2019^2019^2020^2021

]+]1।142019+“2020〉Q

“20184019a2018a2019。2020^20190202002021G2018^2019^202002021

当“22020时，g<0,故前2019项和最大.

故选：B.

【点睛】

本题考查了数列和的最值问题，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.

10、A

【解析】

根据/(x)>0排除C,D,利用极限思想进行排除即可.

【详解】

解：函数的定义域为{x|x/0},/(%)>0恒成立，排除C,D,

x^ex

当了>0时，f(x)=-rr=xe',当x.0,/(x)->0,排除3,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数值的符号以及极限思想是解决本题的关键，属于基础题.

11、B

【解析】

________3x____►__►

设=x衣+>次，则/=xZ5+2y砺，AP=—AE+yAC,

3x

由B,P,。三点共线，C,P,E三点共线，可知x+2y=l,耳+y=l,解得即可得出结果.

【详解】

设而=xX5+y尼，则赤=》通+2>拓，AP=^-AE+yAC,

因为B,P,。三点共线，C,P,E三点共线，

3r11

所以x+2y=l,—+y=l,所以x=—,y=—.

22-4

故选:B.

【点睛】

本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题.

12、B

【解析】

由二项展开式定理求出通项，求出x的指数为整数时r的个数，即可求解.

【详解】

(+1=(—1)2-"，0<r<10,

当r=0,3,6,9时，(+1为有理项，共4项.

故选:B.

【点睛】

本题考查二项展开式项的特征，熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-2

【解析】

计算得到左£+B=(左一3,2左+2),2£—B=(5,2),根据向量平行计算得到答案.

【详解】

由题意可得ka+b=(k-3,2k+2),2a-b=(5,2),

因为日+B与21B共线，所以有2(左—3)—5(2左+2)=。，即8左=—16,解得左=—2.

故答案为：—2.

【点睛】

本题考查了根据向量平行求参数，意在考查学生的计算能力.

14、币

【解析】

求出问,然后由模的平方转化为向量的平方，利用数量积的运算计算.

【详解】

由题意得口2=(；0525。+511125。=1，|4=142=(：05265。+5111265。=1，恸=1・

-*■-►]/-►,->\2­►—►—►—>2|

:.a,b=cos5°cos650+sin5°sin65°=cos60°=—,:.\2a+b]=4a+4a•/?+/?=4+4x—+1=7,

2I,2

|2^+S|=A/7.

故答案为：、厅.

【点睛】

本题考查求向量的模，掌握数量积的定义与运算律是解题基础.本题关键是用数量积的定义把模的运算转化为数量积

的运算.

15、192

【解析】

根据题意，分2步进行分析：①，在三对父子中任选1对，安排在相邻的位置上，②，将剩下的4人安排在剩下的4

个位置，要求父子不能坐在相邻的位置，由分步计数原理计算可得答案.

【详解】

根据题意，分2步进行分析：

①，在三对父子中任选1对，有3种选法，由图可得相邻的位置有4种情况，将选出的1对父子安排在相邻的位置，

有3x4=12种安排方法；

②，将剩下的4人安排在剩下的4个位置，要求父子不能坐在相邻的位置，有2义2义2义2=16种安排方法，

则有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法16x12=192种；

故答案为：192

【点睛】

本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.

12

16、—

5

【解析】

设P(x,y),由I尸瑞b2|尸鸟|可得(x+3产+叶=4©-3)2+丫2],整理得(x-5)」+/=16,即点尸在以(5,0)为圆心,

4为半径的圆上.又点心到双曲线。的渐近线的距离为匕，所以当双曲线C的渐近线与圆(X-5)2+V=16相切时，b

A412

取得最大值，此时解得》=三.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17、(1)亍+4=1；(2)存在，y/3x+2y-2j3=0.

【解析】

(1)设以AP为直径的圆心为切点为N,取A关于V轴的对称点4,连接A'P,计算得到|AP|+|AP|=4,故

轨迹为椭圆，计算得到答案.

(2)设直线的方程为x="+(2-而)，设后(石,％),尸(%,为)，加(%,％),联立方程得到

y

X=_X0(/_2),yT=-(x0-2),计算一%=-6,得到答案.

再一2x2-2x0-2

【详解】

(1)设以AP为直径的圆心为3,切点为N,贝！J|O同=2—忸从|。国+忸山=2,

取A关于y轴的对称点A,连接4P,故|4丹+|相|=2(|。@+忸邢=4>2,

所以点P的轨迹是以AA为焦点，长轴为4的椭圆，其中a=2,c=l,

22

曲线方程为工+上=1.

43

(2)设直线的方程为x=)+(2-g)，设EC%,%),尸(%,%)，加(%,%),

直线。石的方程为—同理疗=上；(%—2),

玉一2万一2%2-2

%x-

所以2%=%+力=(x0-2)+(o2),

%一]

x0—2

____।_=2yly2-®%+%)

即^2^二X%

5—2罚一2%—2—g(X+%)+3]

x=小+(2-月)，...@2+4)y2+(⑵_6®)y+9t--12岱=0,

联立

3%2+4/-12=0

9产—12•6后—⑵

所以

2,<9/—12后

代入得含=912GJ•:康2—⑵="二氐。+2%-2石=0,

’3-+47.3/+4+

所以点M都在定直线氐+2y-2行=0上.

【点睛】

本题考查了轨迹方程，定直线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

18、(1)(i)83.;(ii)272.(2)见解析.

【解析】

(1)根据原始分数分布区间及转换分区间，结合所给示例，即可求得小明转换后的物理成绩；根据正态分布满足

二：例一不)，结合正态分布的对称性即可求得［二0：内的概率，根据总人数即可求得在该区间的人数。

(2)根据各等级人数所占比例可知在区间诲.：so］内的概率为，由二项分布即可求得二的分布列及各情况下的概率，结

合数学期望的公式即可求解。

【详解】

(1)(i)设小明转换后的物理等级分为二,

二'

求得二七82.64-

小明转换后的物理成绩为83分；

(ii)因为物理考试原始分基本服从正态分布二〔60,二；),

所以二「二<：Z<84)=~{60<Z<S4)-1(50<二<72)

=:口（36<U<84）-^3（48<□<72）

=；（0.954-0.682）

=0.156-

所以物理原始分在区间:一的人数为TO。。x0」36=，一（人）；

（2）由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间口•上8。］内的概率为J

随机抽取4人，则.

二、二（司

口（口=0）=©=葛’二（二=/）=二行噬’

口（口=2）=0：.针.G）；=萼0（0=3）=口：.（/.©=券'

匚（匚=4）=（，=5

二的分布列为

二01234

812162169616

二

625625625625625

数学期望，..

二（匚）=4X鸿

【点睛】

本题考查了统计的综合应用，正态分布下求某区间概率的方法，分布列及数学期望的求法，文字多，数据多，需要细

心的分析和理解，属于中档题。

x=-l+fcosa

19、（1）夕=4cos，，\厂；（2）V3.

y=-3V3+tsina

【解析】

（1）由曲线C的参数方程消去参数可得曲线C的普通方程，由此可求曲线C的极坐标方程；直接利用直线的倾斜角

以及经过的点求出直线的参数方程即可;

(2)将直线的参数方程，代入曲线C的普通方程V+y2=4x,整理得『―64Gsino+coso)+32=0,利用韦

达定理，根据A为MB的中点，解出戊即可.

【详解】

%=2+2cos。

(1)由c.八(。为参数)消去参数，

y—2sin6/

W(x-2)2+y2=4,即/+

••・已知曲线C的普通方程为/+V=4x,

x=pcosO,p2=：%2+y2,

p1=4pcos^,即Q=4COS。，

•••曲线C的极坐标方程为夕=4cos夕,

・•・直线/经过点河㈠,-36)，且倾斜角为a,

x=-l+Zcosa

二直线/的参数方程：a为参数，.

y=一3。r3+%sina

(2)设A,3对应的参数分别为tB.

将直线/的参数方程代入C并整理,

得产一6f(Gsina+costz)+32=0,

/.tA+tB=6^A/3sina+cos,七4=32.

又A为MB的中点,

,•=2'A'

看),

tA=2(yj3sina+cosa)=4sin[a+?,a=8sin[a+

t-t=32sin2a+—=32,即sin2(df+—)=1,

AB6)66

'''0<a<7r,

71,7117C

••—«6ZH-----<------9

666

71

••aH—=P即0=与

6

7C

••tan—=A/3.

3

【点睛】

本题考查了圆的参数方程与极坐标方程之间的互化以及直线参数方程的应用，考查了计算能力，属于中档题.

20、(1)[-l,+oo)(2)见解析

【解析】

⑴分离机得到g(x)=/(尤)—x=|尤—3|+|x—l|—x,求g(x)的最小值即可求得加的取值范围；⑵先求出〃，得到

a+b+c=2,利用乘"1"变化即可证明不等式.

【详解】

-3x+4,x<1

解：⑴设且(%)=/(%)_%=卜_3|+|%―1卜％=<_%+2,1<%<3,

x-4,x>3

・・・g(x)在(-8,3］上单调递减，在(3,+8)上单调递增.

故g(x)min=g(3)=一1.

・・・g(x)K根有解，

即加的取值范围为[T,+8).

(2)/(x)=|x-3|+|x-l|>|(x-3)-(x-l)|=2,当且仅当IV%43时等号成立.

:・n=2,即〃+/?+c=2.

/7、/114\、a4〃.b4bce

*.*(a+Z?+C)1----1-1H1------F1H1------F4zH-i---1

\abc)bcacab

ab4ac4bc

=6+—+—+—+—+—+—>16.

bacacb

当且仅当。=L，b=~,c=l时等号成立.

22

114

/.—H----F—>8,即4"/2+〃。+〃。力8〃〃。成立.

abc

【点睛】

此题考查不等式的证明，注意定值乘】”变化的灵活应用，属于较易题目.

220田

21、(1)—+^-=1.x-y/3y-9=Q.(2)最大距离为“+"/.

1642

【解析】

(1)直接利用极坐标方程和参数方程的公式计算得到答案.

X=4COS6Z,,、

(2)曲线C的参数方程为0.,设P(4cos%2sin。)，计算点到直线的距离公式得到答案.

y=2sma

【详解】

1A

(1)由夕2二-------一‘得夕2+3//sin?。=16,

l+3sin2^

则曲线C的直角坐标方程为£+4^=16,即±+匕=1.

164

直线I的直角坐标方程为x--9=0.

x=4cosi,

(2)可知曲线C的参数方程为0.(。为参数),