高中数 2.2.2.2函数奇偶性的应用同步训练 苏教版必修1

【创新设计】-版高中数学2.2.2.2函数奇偶性的应用同步训练苏教版必修1eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时15分钟)1．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝eq\f(1,2)，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(2)＝________.解析令x＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(2)＝－f(1)＋f(2)，所以f(2)＝2f(1)＝1.答案12．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为________．解析f(0)＝0，f(6)＝－f(4)＝f(2)＝－f(0)＝0.答案03．已知函数f(x)是R上的奇函数，则函数F(x)＝f[f(x)]是________函数(填奇偶性)．解析因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，因为F(－x)＝f[f(－x)]＝f[－f(x)]＝－f[f(x)]，所以F(x)是奇函数．答案奇4．已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x2＋x＋1，则当x＝0时，f(x)＝________；当x＞0时，f(x)＝________.解析因为f(x)是定义域为R上的奇函数，所以f(0)＝0.当x＞0，－x＜0，所以f(－x)＝(－x)2＋(－x)＋1＝x2－x＋1，又f(－x)＝－f(x)＝x2－x＋1，所以f(x)＝－x2＋x－1.答案0f(x)＝－x2＋x－15．给出下列四个说法：①反比例函数y＝eq\f(,x)在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数；②二次函数y＝x2＋2x＋1在区间(0，＋∞)上是增函数；③偶函数与x轴的交点个数一定是偶数；④y＝x3，x∈[－2,2)是奇函数．其中错误的说法有________(填序号)．解析逐一判断．①单调减区间不可以取并集，故错误；②作出图象可知正确；③如果偶函数图象经过原点，则与x轴上的交点个数是奇数，故错误；④因为定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，故错误．答案①③④6．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝eq\r(3,x)·(1＋x)，(1)求f(27)与f(－27)的值；(2)求f(x)的解析式．解(1)由题意知f(－27)＝－f(27)＝－eq\r(3,27)·(1＋27)＝－84，∴f(27)＝84，f(－27)＝－84.(2)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.设x<0，则－x>0，则f(－x)＝eq\r(3,－x)·[1＋(－x)]＝－eq\r(3,x)·(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝eq\r(3,x)(1－x)，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)1＋xx>0,0x＝0,\r(3,x)1－xx<0)).eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时30分钟)7．函数f(x)＝x3＋x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为________．解析f(x)－1＝x3＋x为奇函数，又f(a)＝2.∴f(a)－1＝1，故f(－a)－1＝－1，即f(－a)＝0.答案08．函数y＝f(x)是偶函数，则在点(－a，f(a))、(－a，－f(－a))、(－a，－f(a))、(a，－f(－a))中，一定在函数y＝f(x)图象上的点是________．解析当x＝－a时，y＝f(－a)＝f(a)，即点(－a，f(a))一定在函数y＝f(x)图象上．答案(－a，f(a))9．给出下列结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③偶函数的图象若不经过原点，则它与x轴的交点的个数一定是偶数；④定义在R上的增函数一定是奇函数．其中正确的是________(填序号)．解析逐一判断．①错误，如函数y＝eq\f(1,x2)是偶函数，但与y轴不相交；②错误，如y＝eq\f(1,x)是奇函数，但不过原点；③因为偶函数图象关于y轴对称，故正确；④错误，如y＝x＋1是在R上的增函数但不是奇函数．答案③10．如果函数y＝f(x＋1)是偶函数，那么函数y＝f(x)的图象关于________对称．解析∵函数y＝f(x＋1)是偶函数，∴函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝0对称，又将函数y＝f(x＋1)的图象向右平移1个单位，得到函数y＝f(x)的图象，∴函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．答案x＝111．定义在R上的函数f(x)满足f(xy)＝xf(y)＋yf(x)，判断f(x)的奇偶性，并说明理由．解f(x)是奇函数．理由如下：令x＝y＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.令x＝y＝－1，得f(1)＝－2f(－1)，所以f(－1)＝0，所以f(－x)＝f(－1·x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．12．(1)已知f(x)＝eq\f(px2＋2,3x＋q)是奇函数，且f(2)＝eq\f(5,3).(1)求实数p，q的值；(2)判断函数f(x)在(－∞，－1)上的单调性，并且加以证明．解(1)∵f(x)＝eq\f(px2＋2,3x＋q)是奇函数，∴定义域关于原点对称，∴q＝0，∴f(x)＝eq\f(px2＋2,3x)，又∵f(2)＝eq\f(5,3)，∴eq\f(4p＋2,6)＝eq\f(5,3)，解得p＝2.(2)f(x)＝eq\f(2x2＋2,3x)，任取x1＜x2＜－1，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(2x\o\al(2,1)＋2,3x1)－eq\f(2x\o\al(2,2)＋2,3x2)＝eq\f(2x2－x11－x1x2,3x1x2)，∵x1＜x2＜－1，∴x2－x1＞0,1－x1x2＜0，x1x2＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴函数f(x)在(－∞，－1)上是单调增函数．13．(创新拓展)y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x－x2；(1)求x＜0时，f(x)的解析式；(2)问是否存在这样的正数a，b，当x∈[a，b]时，g(x)＝f(x)，且g(x)的值域为[eq\f(1,b)，eq\f(1,a)]？若存在，求出所有的a，b值；若不存在，请说明理由．解(1)设x＜0，则－x＞0于是f(－x)＝－2x－x2，又f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝2x＋x2，即x＜0时，f(x)＝2x＋x2(x＜0)；(2)分下述三种情况：①0＜a＜b≤1，那么eq\f(1,a)＞1，而当x≥0，f(x)的最大值为1，故此时不可能使g(x)＝f(x)；②若0＜a＜1＜b，此时若g(x)＝f(x)，则g(x)的最大值为g(1)＝f(1)＝1，得a＝1，这与0＜a＜1＜b矛盾；③若1≤a＜b，因为x≥1时，f(x)是减函数，则f(x)＝2x－x2，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)＝gb＝－b2－2b,\f(1,a)＝ga＝－a