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文档简介
【创新设计】-版高中数学2.2.2.2函数奇偶性的应用同步训练苏教版必修1eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时15分钟)1.设函数f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)=eq\f(1,2),f(x+2)=f(x)+f(2),则f(2)=________.解析令x=-1,得f(1)=f(-1)+f(2)=-f(1)+f(2),所以f(2)=2f(1)=1.答案12.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为________.解析f(0)=0,f(6)=-f(4)=f(2)=-f(0)=0.答案03.已知函数f(x)是R上的奇函数,则函数F(x)=f[f(x)]是________函数(填奇偶性).解析因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),因为F(-x)=f[f(-x)]=f[-f(x)]=-f[f(x)],所以F(x)是奇函数.答案奇4.已知f(x)是定义域为R的奇函数,当x<0时,f(x)=x2+x+1,则当x=0时,f(x)=________;当x>0时,f(x)=________.解析因为f(x)是定义域为R上的奇函数,所以f(0)=0.当x>0,-x<0,所以f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1,又f(-x)=-f(x)=x2-x+1,所以f(x)=-x2+x-1.答案0f(x)=-x2+x-15.给出下列四个说法:①反比例函数y=eq\f(,x)在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数;②二次函数y=x2+2x+1在区间(0,+∞)上是增函数;③偶函数与x轴的交点个数一定是偶数;④y=x3,x∈[-2,2)是奇函数.其中错误的说法有________(填序号).解析逐一判断.①单调减区间不可以取并集,故错误;②作出图象可知正确;③如果偶函数图象经过原点,则与x轴上的交点个数是奇数,故错误;④因为定义域不关于原点对称,所以是非奇非偶函数,故错误.答案①③④6.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x∈(0,+∞)时,f(x)=eq\r(3,x)·(1+x),(1)求f(27)与f(-27)的值;(2)求f(x)的解析式.解(1)由题意知f(-27)=-f(27)=-eq\r(3,27)·(1+27)=-84,∴f(27)=84,f(-27)=-84.(2)∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0.设x<0,则-x>0,则f(-x)=eq\r(3,-x)·[1+(-x)]=-eq\r(3,x)·(1-x).又f(-x)=-f(x),∴f(x)=eq\r(3,x)(1-x),∴f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)1+xx>0,0x=0,\r(3,x)1-xx<0)).eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时30分钟)7.函数f(x)=x3+x+1(x∈R),若f(a)=2,则f(-a)的值为________.解析f(x)-1=x3+x为奇函数,又f(a)=2.∴f(a)-1=1,故f(-a)-1=-1,即f(-a)=0.答案08.函数y=f(x)是偶函数,则在点(-a,f(a))、(-a,-f(-a))、(-a,-f(a))、(a,-f(-a))中,一定在函数y=f(x)图象上的点是________.解析当x=-a时,y=f(-a)=f(a),即点(-a,f(a))一定在函数y=f(x)图象上.答案(-a,f(a))9.给出下列结论:①偶函数的图象一定与y轴相交;②奇函数的图象一定过原点;③偶函数的图象若不经过原点,则它与x轴的交点的个数一定是偶数;④定义在R上的增函数一定是奇函数.其中正确的是________(填序号).解析逐一判断.①错误,如函数y=eq\f(1,x2)是偶函数,但与y轴不相交;②错误,如y=eq\f(1,x)是奇函数,但不过原点;③因为偶函数图象关于y轴对称,故正确;④错误,如y=x+1是在R上的增函数但不是奇函数.答案③10.如果函数y=f(x+1)是偶函数,那么函数y=f(x)的图象关于________对称.解析∵函数y=f(x+1)是偶函数,∴函数y=f(x+1)的图象关于直线x=0对称,又将函数y=f(x+1)的图象向右平移1个单位,得到函数y=f(x)的图象,∴函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.答案x=111.定义在R上的函数f(x)满足f(xy)=xf(y)+yf(x),判断f(x)的奇偶性,并说明理由.解f(x)是奇函数.理由如下:令x=y=1,得f(1)=2f(1),所以f(1)=0.令x=y=-1,得f(1)=-2f(-1),所以f(-1)=0,所以f(-x)=f(-1·x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x),所以f(x)是奇函数.12.(1)已知f(x)=eq\f(px2+2,3x+q)是奇函数,且f(2)=eq\f(5,3).(1)求实数p,q的值;(2)判断函数f(x)在(-∞,-1)上的单调性,并且加以证明.解(1)∵f(x)=eq\f(px2+2,3x+q)是奇函数,∴定义域关于原点对称,∴q=0,∴f(x)=eq\f(px2+2,3x),又∵f(2)=eq\f(5,3),∴eq\f(4p+2,6)=eq\f(5,3),解得p=2.(2)f(x)=eq\f(2x2+2,3x),任取x1<x2<-1,则f(x1)-f(x2)=eq\f(2x\o\al(2,1)+2,3x1)-eq\f(2x\o\al(2,2)+2,3x2)=eq\f(2x2-x11-x1x2,3x1x2),∵x1<x2<-1,∴x2-x1>0,1-x1x2<0,x1x2>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴函数f(x)在(-∞,-1)上是单调增函数.13.(创新拓展)y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=2x-x2;(1)求x<0时,f(x)的解析式;(2)问是否存在这样的正数a,b,当x∈[a,b]时,g(x)=f(x),且g(x)的值域为[eq\f(1,b),eq\f(1,a)]?若存在,求出所有的a,b值;若不存在,请说明理由.解(1)设x<0,则-x>0于是f(-x)=-2x-x2,又f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=2x+x2,即x<0时,f(x)=2x+x2(x<0);(2)分下述三种情况:①0<a<b≤1,那么eq\f(1,a)>1,而当x≥0,f(x)的最大值为1,故此时不可能使g(x)=f(x);②若0<a<1<b,此时若g(x)=f(x),则g(x)的最大值为g(1)=f(1)=1,得a=1,这与0<a<1<b矛盾;③若1≤a<b,因为x≥1时,f(x)是减函数,则f(x)=2x-x2,于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)=gb=-b2-2b,\f(1,a)=ga=-a
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