空间点、直线、平面之间的位置关系-2022-2023学年高一数学知识考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）【解析版】

专题06空间点、直线、平面之间的位置关系

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知识点一平面的基本性质

（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面

内）.

（2）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（即可以确定一个平面）.

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.

知识点二空间两直线的位置关系

直线与直线的位置关系的分类：共面直线平行、相交；异面直线：不同在任何一个平面内

平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

知识异面直线所成的角

1.异面直线所成的角

①定义：设a,6是两条异面直线，经过空间任一点。作直线a，//a,b'//b,把/与〃所成的锐角

或直角叫作异面直线a,6所成的角（或夹角）.异面直线a,6所成的角为直角，称a,6互相垂直，记作a

7T

②范围：（0,^].

2.异面直线的判定方法:

判定定理：平面外一点4与平面内一点6的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线;

反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.

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姿校*考点速竞，'

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考点精析/

考点01平面的基本性质

【典例1】【多选题】（2022春.安徽芜湖•高一校考期中）如图，平面an平面A=/,A,Be/CeeCe/,直

线ABc/=D,过A,B,C三点确定的平面为y,则平面y,0的交线必过（）

C.点CD.点。

【答案】CD

【分析】根据平面的基本性质判断.

【详解】因为Aea,Ae/,Bea,Bw/,Ce£,Ce7,£）e£,£）e7，

所以点A在a与7的交线上，点8在a与7的交线上，点C在尸与7的交线上，点。在□与7的交线上,

故选：CD

【典例2】（2023•全国•高一专题练习）下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点,

这四个点年画的图是.

【答案】①②③

【分析】由正方体、正四面体的结构特征,结合点线、线线位置关系判断四点是否共面.

【详解】图①：PS//A!C,QR//A'C,故尸S//Q&,即四点共面，满足;

图②：RSHD'C,若E为中点，则PE//DC,故RS//PE,即民S,尸,E共面,

而坐〃AC,PSIIAC,故QE//PS,即共面，

且S,P,E三点不共线，故R,Q,S,P,E共面，满足；

图③：由题设PQ//3C,RS//BC,板PQHRS,则R,Q,S,尸共面，满足;

图④：若E为中点，%PR//BQ,SEUBQ,故PRUSE,即P,R,S,E共面,

而PRu面R的,BQU面R?ES,则3。〃面尸烟，

又QeBQ,且氏S,尸三点不共线，故面尸理S即为面尸四，故。£面尸RS,即R,Q,S,P不共面，不满足;

【典例3】(2023•高一课时练习)在正方体ABCD-A旦G2中.

(1)44与CG是否在同一平面内？请说明理由;

(2)点从C、。是否在同一平面内？请说明理由；

(3)画出平面ACGA与平面BCQ的交线；画出平面ACDt与平面BDC、的交线.

【答案】(1)是，理由见解析

(2)是，理由见解析

(3)答案见解析

【分析】(1)由两平行直线可确定一平面，可得答案；

(2)由不共线三点可确定一平面，可得答案；

(3)如图，找到两平面的公共点，公共点连线为平面交线.

【详解】(1)是，平行直线确定一平面；

(2)是，不在同一直线上三点确定一平面

(3)如图，设=又平面ACGA，

。］©平面3。1。，Oe平面ACGA，06平面86。，则QOu平面BCQ,

GOu平面ACQA,,故平面ACQA与平面BC,D的交线为C,O；

如图，设CACCQ=q,ACHBD=O2.

因O|e平面ACDj,OiG平面BDC[,02e平面ACDt,02e平面BDC1,

则002u平面ACDt,0,02u平面BDQ.故平面ACD,与平面BDC,的交线为。。2.

【总结提升】

L证明点共线问题的常用方法

公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线

上

同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.

2.证明线共点问题的方法

证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经过该点.而证明直线过该点的

方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共点.

3.证明点、直线共面问题的常用方法

纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内

辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面a,再证明其余元素确定平面B,最后证明平面a,0重合.

考点02空间两直线位置关系的判定

【典例4】（2021•全国•高一课时练习）若a,6为两条异面直线，«，夕为两个平面，aua,bu0,a13=l,

则下列结论中正确的是（）

A./至少与0,。中一条相交

B./至多与。，。中一条相交

C./至少与a,6中一条平行

D./必与a,6中一条相交，与另一条平行

【答案】A

【分析】

此种类型的题可以通过举反例判断正误.

【详解】

因为a,b为两条异面直线且aua,bu/3,a（3=1,所以。与/共面，》与/共面.

若/与a、6都不相交，则o〃/,b//l,a//b,与a、6异面矛盾，故A对；

当。、6为如图所示的位置时，可知/与。、6都相交，故B、C、D错.

故选：A.

【典例5】（2023•高一单元测试）若。和6是异面直线，6和c是异面直线，则。和c的位置关系是（）

A.平行B.异面

C.相交D.平行、相交或异面

【答案】D

【分析】借助长方体中的棱长所在直线直接来判断关系.

【详解】如图，在长方体ABCD-AB'C'。'中，AD所在直线为a,AB所在直线为b,

已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，

则c可以是长方体ABCD-AEC'D中的B'C',CC,DD.

故。和c可以平行、相交或异面.

故选：D

【典例6】(2023•全国•高一专题练习)如图，在长方体A2C。一4氏。0/中,

(1)直线42与直线。/C的位置关系是

(2)直线A/B与直线B/C的位置关系是；

(3)直线乙。与直线D/C的位置关系是

(4)直线A5与直线8/C的位置关系是.

【答案】平行；异面；相交；异面

【分析】利用平行四边形的性质即可证明A/B〃QC；根据异面直线的定义，即可证明直线48与直线BC、

直线AB与直线B/C互为异面直线；由直线与直线QC相交于点Q,可知直线。刃与直线QC相交.

【详解】(1)在长方体ABC。一中，A1D1//BC,AiDi=BC,

所以四边形A/3CD为平行四边形，

所以直线AJB与直线DiC的位置关系是平行；

(2)直线48与直线BC不同在任何一个平面内.

所以直线AJB与直线BiC的位置关系是异面；

(3)直线功。与直线O/C相交于点

所以直线DiD与直线DiC的位置关系是相交；

(4)直线4B与直线B/C不同在任何一个平面内.

所以直线AB与直线BiC的位置关系是异面.

故答案为：平行；异面；相交；异面.

【规律方法】

判断空间两直线位置关系的思路方法

(1)判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断.

(2)异面直线的判定方法

①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理,

导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.

②定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.

考点03等角定理及其应用

【典例7】(2023春•全国•高一专题练习)如图在四面体ABCD中，M,N,P,Q,E分别是AB,BC,

CD,AD,AC的中点，则下列说法中不正确的是（）

B.NQME=NCBD

C.ABCDsAMEQD.四边形MNPQ为梯形

【答案】D

【分析】利用中位线定理和等角定理即可解决.

【详解】由图可知，在一ABC中，分别是的中点,

所以肱V〃AC,S.MN=^AC,

同理在△ADC中，QP//AC,且。尸=；AC,

所以MN〃QP,MN=QP,所以四边形MNPQ为平行四边形,

所以M,N,P,Q四点共面，所以A正确；

在，ABC中，由中位线定理得板//BC,

同理在中，由中位线定理得

所以由等角定理知，/QME=NDBC,所以B正确;

在△ADC中，由中位线定理得QE//OC

所以/2C,MQ!IBD.QEIIDC,

所以由等角定理可知，

NQME=ZDBC,ZQEM=ZDCB,NMQE=NBDC,

所以所以c正确；

由上述分析得四边形"NPQ为平行四边形，所以D错误；

故选:D.

【典例8】（2022.全国•高一专题练习）如图，长方体48。-4氏。0/中.

(1)直线42与直线D/C的位置关系是.

(2)NA/8A与ND/C。的大小关系是.

【答案】A1B//D1CZAiBA=ZDiCD

【分析】(1)由A/D/〃BC且4£>/=BC即可得48〃D/C；

(2)由〃功C及AB〃Z)C,即可得=

【详解】(1)在长方体A8CD-4氏中，A/D/〃BC且A/D/=2C,

二四边形A/2CD为平行四边形，.”由〃。/。.

(2)由(1)RAB//DC,根据等角定理可得N4BA=NO/CD

故答案为：A1B//D1C；ZAiBA=ZDiCD.

【典例9】(2023春•全国•高一专题练习)如图，已知棱长为。的正方体ABCD-ABG，中，AN=CM=j.

(1)四边形MM4.G是何图形？如何证明？

(2)ZDNM与/R4G有何关系?

【答案】(1)四边形MN41G是等腰梯形，证明见解析

(2)相等

【分析】(1)连接〃N、AC,4G、AN、CtM,证明出MN//4G且MNwAN=3M,可得出结

论；

(2)利用等角定理可得出结论.

【详解】（1）解：四边形仆£是等腰梯形，证明如下:

在正方体ABCD-AgGR中，M//CQ且441=CC,,

所以，四边形MGC为平行四边形，所以，AC//4C且AC=AG，

所以，MN/AQ且MN#AG，

又因为4N=+=卑.，同理可得GM=卑。，则AN=GM,

所以，四边形岭G为等腰梯形.

（2）解：因为ND//AR,NM//AG，且NOVM与N2AG的方向相同，

因此，NDNM=NDAG.

【特别提醒】

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

考点04异面直线的夹角

【典例10】（2023•高一单元测试）在如图所示的正方体ABC。-44GA中，异面直线入出与8。所成角的

大小为（）

DC

44

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】根据异面直线所成角的定义及正方体的特征求解

【详解】连接AQ,DB,如图,

所以/网。就是4B与瓦C所成的角,

在，&4]£＞中，==

ZBA^D=60°.

故选：C

【典例11】（2023•全国•高一专题练习）如图，已知正三棱柱ABC-的棱长都相等，。为棱A2的中点,

则CO与AQ所成角的正弦值为（）

c-TD-T

【答案】B

【分析】取4片的中点E,连接AE、C[E、DE,设正三棱柱ABC-A耳£的棱长为2,证明出CD//C；E,

所以，。与AG所成的角即为C|E与AG所成的角，/AQE或其补角即为所求，推导出NAEC=90,即

可计算出NAGE的正弦值，即为所求.

【详解】取A耳的中点E,连接AE、GE、DE,设正三棱柱ABC-AB。1的棱长为2,如下图所示:

因为招〃3片且A4,=Bg,所以，四边形A4tB田为平行四边形，

所以，与且AB=4用，

又因为。、E分别为A3、4月的中点，则4。〃4山且4。=4月,

所以，四边形AA即为平行四边形，则且AA=Z)E,

又因为4V/CC[且A4]=CG，所以，DE//CC、且DE=CC、,

所以，四边形C£ED为平行四边形，所以，CD//QE,

所以8与AG所成的角即为C\E与所成的角，NAGE或其补角即为所求.

在△A£E中，=JAC'+CC；=20,AE=AA;+A.E2=75,QE=^.

因为AC：=AE2+GE2,所以为直角三角形，且NAEG=90,

AE_亚_回

所以sin/AC；E

AC「2瓶一4

故选：B.

【典例12]（2023•高一课时练习）体积为2君的正三棱柱ABC-AAG中，与与C所成角大小等于45°,

则B£与AG所成角余弦值为.

【答案】-

4

【分析】根据异面直线所成角的定义，作图，得到BC与AG所成角为。=万-/肱⑦，根据勾股定理和余

弦定理，计算可得答案.

如图，分别取AC,CC,,B,C,,AG的中点加，N,D,E,连接脑V,DN,DE,DM,ME,

因为体积为2退的正三棱柱ABC-AAG中，A4与与C所成角大小等于45°,

所以，在三角形84c中，BB[=BC,且根据正三棱柱的性质，可得该三棱柱各条棱相等，

可设该三棱柱棱长为。，则有:".sin60”=2石，解得。=2,

又因为在三棱柱中，AAJ•面44C],进而得到AC；=4。=2&,所以，MN=DN=s/2,

在正三棱柱ABC-ABC中，因为为A©和AC的中点，且ME〃侧棱，

所以，必有ME_L面AB|G，OEu面A4G，则ME_L£）E,

所以，MDE为直角三角形，由DE=1,ME=2,得MDM,

在中，根据余弦定理，可得，cos4MND+DN?—MD。=,+蓝5

2MN-DN2xj2xj24

又因为异面直线所成的角的范围是,

设与。与AC1所成角为e=»-NM2VD,而cos/MND=―：,

所以，cos6=cos（^--AMND）=—,

4

所以，BC与AG所成角的余弦值为L.

4

故答案为：一

4

【典例13］（2023•高一课时练习）空间四边形ABCD中，AB=CD且AB与。所成的角为30。，E、F分

别是BC、AD的中点，求所与所成的角的大小.

【答案】15。或75。

【分析】取AC的中点G,连接EG,FG,利用平行线得到ZGEF即为E尸与AB所成的角（或补角），NEGF

为A3与C。所成的角（或补角），然后通过角之间的关系求解即可.

【详解】解：取AC的中点G,连接EG,FG,如图所示，

因为E是BC的中点，G是AC的中点，尸是A£）的中点,

所以EG〃钻且=FGHCD^.FG=-DC,

22

因为AB=CD,所以EG=FG,

则NGEF即为EF与AB所成的角（或补角），

NEG9为A3与8所成的角（或补角），

因为AB与8所成的角为30。，所以NEGF=30。或150。，

因为FG=EG,所以uEFG为等腰三角形，

当NEG/=30°时，ZGEF=15°,

当ZEGF=150°时,Z.GEF=15°,

故政与A3所成角的大小为15。或75°.

【规律方法】

L求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移;

利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.

平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来

解决，具体步骤如下：

①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

③计算：求该角的值，常利用解三角形；

④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直

线所成的角.

2.提醒：求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.

'工总真题探秘/

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1.（2020•山东•统考高考真题）已知正方体ABCD-A4GA（如图所示），则下列结论正确的是（）

A.BDJ/A.AB.BDJ/&DC.BDt1\CD.BDt±

【答案】D

【分析】根据异面直线的定义，垂直关系的转化，判断选项.

【详解】A.AV/BA，8与与BR相交，所以与AA异面，故A错误；

B.8O］与平面AORA相交，且A。，所以8R与AQ异面，故B错误；

C.四边形48cA是矩形，不是菱形，所以对角线8。与AC不垂直，故C错误；

D.连结8Q,用BBt1AG,nBBX=B,,所以4G，平面BBQ,所以AG，2R,故D正

确.

故选：D

2.（2021•全国•高考真题（理））在正方体A8CD-ABC，中，P为8Q的中点，则直线PB与AQ所成的角

为（）

兀c兀〃兀C兀

A.一B.—C.—D.—

2346

【答案】D

【分析】

平移直线AR至5G，将直线依与所成的角转化为m与3G所成的角，解三角形即可.

如图，连接因为A，〃BG，

所以NP8G或其补角为直线PB与AR所成的角,

因为8月，平面4瓦。.，所以B与，PG，又PQLBiR,BBqBA=Bi，

所以PC1平面尸84,所以尸CJPB,

设正方体棱长为2,则BQ=242,PC,=g，与=&,

sinZPBC1=^=1,所以NPBG=g.

3.（2005・湖北•高考真题）已知6,c是直线，夕是平面，给出下列命题：

①若a1,6，i>-Lc,则a//c；

②若a//b,bLc,贝!JaJ_c；

③若。〃/7,bu/3,则a//。；

④若。与b异面，且。〃6，则b与A相交；

⑤若。与》异面，则至多有一条直线与。涉都垂直.

其中真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】由线线、线面平行与垂直的相关定理依次判断各个选项即可.

【详解】对于①，若。，I，b±c,则。可能平行、相交或异面，①错误；

对于②，若两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也与该直线垂直，②正确;

对于③，若。//6，bu/3,则a,。可能平行或异面，③错误；

对于④，若“与6异面，且。〃尸，则匕与A可能相交或平行，④错误；

对于⑤，若。与6异面，有无数条直线与a,b都垂直，⑤错误.

故选：A.

1.（2021春•陕西榆林.高一陕西省神木中学校考阶段练习）如图，在正方体中，瓦F分别

是线段BC,CD的中点，则直线与直线所的位置关系是（）

A.相交B.垂直C.平行D.异面

【答案】D

【分析】由题意，作图，根据正方体的性质，以及异面直线的定义，可得答案.

【详解】由题意，作图如下：

显然直线跖I平面A£>RA=P,且尸任AR,则E尸与A2异面.

故选：D.

2.（2023・高一课前预习）给出下列命题：

①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；

②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等；

③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补.

其中正确的命题有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】B

【分析】对于①，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，据此判断；对

于②，根据等角定理判断；对于③，空间两条直线的垂直包括异面垂直，此时两个角有可能不相等且不互

补，据此判断.

【详解】对于①，这两个角也可能互补，故①错误；根据等角定理，②显然正确;

对于③，如图所示，

BC±PB,AC±PA,/AC2的两条边分别垂直于/AP3的两条边，但这两个角不一定相等，也不一定互补,

故③错误.所以正确的命题有1个.

故选：B

3.（2023•高一课时练习）把互相平行的两条直线称为“一对”，则正方体的十二条棱中，互相平行直线有（）

A.6对B.12对C.18对D.36对

【答案】C

【分析】列举出满足条件的平行直线对，可得出结论.

【详解】在正方体ABC”-ABGA中,

AAJIBBJICC\HDD\,则AA1与2用、AA1与cq、441与。2、8旦与CQ、8片与。R、CQ与OR平行，共

6对，

同理，在A5、CD、GQ、中，平行的棱有6对，

在A。、BC、BG、40中，平行的棱有6对，

因此，在正方体的十二条棱中，互相平行直线有18对，

故选：C.

4.（全国高考真题）正六棱柱用CREE的底面边长为1,侧棱长为应，则这个棱柱侧面对角

线EQ与BG所成的角是（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

【答案】B

【分析】连接尸耳,刘九则FE,//BC],NFEP即为E.D与8G所成的角，在△尸EQ中求解即可.

【详解】连接咫，尸，则FEi//BCX,故ZFE.D为E{D与BQ所成的角.

在△班D中，EF=ED=1,ZFED=120°,

FD2=EF2+ED2-2EF-ED-cos120°=3,:.FD=5

在△£尸耳和4EE[D中，得与尸=4。=+1=A/3，

.•.△五与。是等边三角形，ZFE1D=60°.

故选：B.

二、多选题

5.（2023・全国•高一专题练习）下列四个命题中正确的是（）

A.若两条直线互相平行，则这两条直线确定一个平面

B.若两条直线相交，则这两条直线确定一个平面

C.若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线

D.若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线

【答案】ABC

【分析】由公理2及推论判断A、B、C选项，由直线的位置关系判断D选项.

【详解】公理2的推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面，选项A正确;

公理2的推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面，选项B正确；

空间四点不共面，则其中任何三点不共线，否则由公理2的推论1：直线与直线外一点确定一个平面，这空

间四点共面，所以选项C正确；

若两条直线没有公共点，可以互相平行，不一定是异面直线，选项D错误.

故选：ABC

6.（2023・全国•高一专题练习）已知正方体ABCD-ABCA中，M为。2的中点，则下列直线中与直线

A.AAB.BBXC.CC,D.DD,

【答案】AC

【分析】观察图形可得到8月BM=B,D£>,BM=M,与CG与直线是异面直线.

【详解】显然BB]BM=B,DDXBM=M,BD错误;

AA与CG与直线既不平行，也不相交，是异面直线，AC正确.

故选：AC

三、填空题

7.（2023・高一课前预习）若点Aed走tz,Ce（z,则平面ABC与平面a的位置关系是

【答案】相交

【分析】根据题意，由空间中点线面的位置关系判断即可得到结果.

【详解】•.•点即平面ABC与平面。有公共点，且不重合，

平面ABC与平面a的位置关系是相交.

故答案为:相交

8.（2023•全国•高一专题练习）给出以下四个命题：

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A,B,C,D共面，点A,B,C,E共面，则点A,B,C,D,E共面；

③若直线a,b共面，直线a,c共面，则直线6,c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面.

其中正确的有.（填序号）

【答案】①

【分析】根据点共线、共面以及线共面等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】对于①，反证法：如果四个点中，有3个点共线，第4个点不在这条直线上,

根据基本事实2的推论可知，这四个点共面，这与已知矛盾，故①正确；

对于②，如下图，共面，A氏CE共面，但AB,C,O,E不共面，故②错误;

对于③，如下图，共面，a,。共面，但瓦c异面，故③错误;

对于④，如下图，bed四条线段首尾相接，但a,bed不共面，故④错误.

故答案为：①.

9.（2023・高一课时练习）直三棱柱ABC-A4G中，ZABC=90°,AB=BC=BBl=1,则与所成角

大小为.

【答案】60°

【分析】作出A4与BG所成角，并判断出角的大小.

【详解】设BGnB°=。，设E是AC的中点，连接3EDE,

则DE//ABt,所以A4与BCi所成角是ZBDE或其补角.

根据直棱柱的性质以及ZABC=90°可知做=3G=AC=0,

所以DE=BD=BE=M

2

所以三角形fiDE是等边三角形，所以4Z）E=60。，

所以与B3所成角大小为60。.

故答案为：60°

10.（2021春•四川成都•高一四川省成都市盐道街中学校考阶段练习）边长为1的正方体AG中，E为CG的

中点.

（1）求异面直线BE和所成角的正切值.

（2）求三棱锥C-BD