湘教版高中数学选择性必修第一册第2章平面解析几何初步2-7用坐标方法解决几何问题课件

1.用坐标法解决平面几何问题的三个步骤第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,

将平面几何问题转化为代数问题.第二步:实施代数运算,求解代数问题.第三步:把代数解转化为几何结论.2.建立平面直角坐标系应坚持的原则(1)若有两条相互垂直的直线,一般以它们分别为x轴和y轴.(2)充分利用图形的对称性.2.7用坐标方法解决几何问题利用坐标法解决几何问题的基本过程(3)让尽可能多的点落在坐标轴上,或关于坐标轴对称.(4)关键点的坐标易于求得.求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法:根据已知条件,直译为关于动点间的几何关系,再利用解析几何有关公

式(两点间的距离公式、点到直线的距离公式等)进行整理、化简,即把这种关系

“翻译”成含x,y的等式.(2)定义法:若动点轨迹满足已知曲线的定义,可先设方程,再确定其中的基本量,求

出动点的轨迹方程.(3)相关点法:有些问题中,动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动求解与圆有关的轨迹问题 点(称之为相关点)而运动的,如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,

这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动

点的轨迹方程.

典例已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),求:(1)直角顶点C的轨迹方程;(2)直角边BC中点M的轨迹方程.解析

(1)解法一:设C(x,y),由题意可知AC⊥BC,且A,B,C三点不共线,所以AC,BC

所在直线的斜率存在,且y≠0,又kAC=

,kBC=

,所以

·

=-1(y≠0),化简得x2+y2-2x-3=0(x≠3,且x≠-1).因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3,且x≠-1).解法二:设C(x,y),由勾股定理得|AC|2+|BC|2=|AB|2,即(x+1)2+y2+(x-3)2+y2=16,化简得x2

+y2-2x-3=0,又A,B,C三点不共线,所以y≠0,即x≠3且x≠-1.因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3,且x≠-1).解法三:设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0).由直角三角形的性质知,|CD|=

|AB|=2.由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共

线,所以应除去与x轴的交点).设C(x,y),则直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(x≠3,且x≠-1).(2)设点M(x,y),点C(x0,y0),因为B(3,0),M是线段BC的中点,所以由中点坐标公式得x=

,y=

,于是有x0=2x-3,y0=2y.由(1)知点C在圆(x-1)2+y2=4(x≠3,且x≠-1)上,将C(x0,y0)代入该方程得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1(x≠3,且x≠1).因此,动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(x≠3,且x≠1).

通过直线与圆的方程和位置关系在实际问题中的应用培养数学运算和数学建模的核心素养通过建立平面直角坐标系写出直线和圆的方程,将实际问题转化为坐标运

算,体现了数学建模的核心素养.通过代数式的变形研究不等式或最值问题,体现

了数学运算的核心素养.素养解读

例题如图1,某十字路口的花圃中央有一个底面半径为2m的圆柱形花柱,四周斑马线的内侧连线构成边长为20m的正方形.因工程需要,测量员将使用仪器沿

斑马线的内侧进行测量,其中仪器P的移动速度为1.5m/s,仪器Q的移动速度为1m

/s.若仪器P与仪器Q的对视光线被花柱阻挡,则称仪器Q在仪器P的“盲区”中.

(1)如图2,斑马线的内侧连线构成正方形ABCD,仪器P在点A处,仪器Q在BC上且距

离点C4m处,试判断仪器Q是否在仪器P的“盲区”中,并说明理由;(2)如图3,斑马线的内侧连线构成正方形ABCD,仪器P从点A出发向点D移动,同时典例呈现仪器Q从点C出发向点B移动,在这个移动过程中,仪器Q在仪器P的“盲区”中的

时长为多少?

信息提取

仪器Q在仪器P的“盲区”中要满足P,Q的连线与圆有公共点,即相交或相切.解题思路

(1)仪器Q在仪器P的“盲区”中,理由如下:建立平面直角坐标系,求得点P,Q的坐标,进而求出直线PQ的方程.建立如图1所示的平面直角坐标系,则Q(10,6),P(-10,-10),所以kPQ=

,所以直线PQ的方程为4x-5y-10=0.通过判断直线PQ与圆的位置关系即可得出结论.圆心O到直线PQ的距离d=

=

<2,所以圆O与直线PQ相交,故仪器Q在仪器P的“盲区”中.

(2)建立如图2所示的平面直角坐标系,则A(-10,-10),B(10,-10),C(10,10),D(-10,10).依题意知起始时刻仪器Q在仪器P的“盲区”中.假设仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为ts,用t表示P,Q的坐标,并求出PQ的方程.假设仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为t(t≥0)s,则P

,Q(10,10-t),所以kPQ=

=

=

,利用圆心O到直线PQ的距离d≤2可得关于t的不等式,求出t的取值范围即可得解.故直线PQ的方程是y-(10-t)=

(x-10),即(t-8)x+8y-2t=0,从而圆心O到直线PQ的距离d=

=

≤2,整理得t2≤t2-16t+128,解得t≤8,又因为t≥0,所以0≤t≤8.故仪器Q在仪器