湘教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程３-１-1椭圆的标准方程练习含答案

第3章圆锥曲线与方程3.1椭圆3.1.1椭圆的标准方程基础过关练题组一椭圆的定义及其应用1.已知平面内两定点A,B及动点P,命题甲:“|PA|+|PB|是定值”,命题乙:“点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆”,那么甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2022河南焦作期末)已知F1,F2为椭圆x29+y216=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若|F2A|+|FA.2B.4C.6D.103.(2022甘肃永登一中期末)设P是椭圆C:x2m+y27=1上一点,F1(-3,0),F2(3,0)分别是C的左、右焦点,|PF1|=3,A.5B.103-3C.4D.258-34.(2022广东执信中学期中)已知F1,F2是椭圆C:x216+y212=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MFA.28B.16C.12D.95.(2022重庆八中期中)已知P是圆C:(x+2)2+y2=64上的动点,A(2,0).若线段PA的中垂线交CP于点N,则点N的轨迹方程为.

题组二椭圆的标准方程6.(2021北京交大附中期末)已知椭圆的标准方程为x2k-3+y25-k=1,A.4<k<5B.3<k<5C.k>3D.3<k<47.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P35,-4和Q-A.y225+xB.x225+yC.x225+y2=1或y2D.以上都不对8.(2022甘肃兰州一中期末)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F1的直线l垂直于x轴且交椭圆于A,B两点,|AB|=3,椭圆与y轴正半轴交于点D,|DFA.x24+y2=1B.x2+C.x24+y23=1D.9.(2020天津一中期末)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以线段F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点为10.(2022陕西黄陵中学期末)过点(3,-5)且与椭圆y225+x29题组三椭圆的标准方程的应用11.(2021江西上饶月考)已知椭圆x210-m+y2m-2=1的焦点在yA.4B.5C.7D.812.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆x225+y29=1上A.43B.C.45D.13.(2022河南郑州期末)设F1,F2分别是椭圆C:x225+y29=1的左、右焦点,O为坐标原点,点P在椭圆C上,且满足|OP|=4,则△PF1A.3B.33C.6D.914.(2022广西玉林期中)已知点P(n,1),椭圆x29+y24=1,点P在椭圆外,则实数15.已知椭圆x29+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF16.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M1,32,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,|F1(1)求椭圆C的标准方程;(2)若点P在第一象限,且PF1·PF2≤1417.设O为坐标原点,动点M在椭圆E:x24+y22=1上,过点M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足(1)求点P的轨迹方程;(2)设A(1,0),在x轴上是否存在一定点B,使|BP|=2|AP|恒成立?若存在,求出点B的坐标;若不存在,请说明理由.能力提升练题组一椭圆的定义及其应用1.(2022安徽蚌埠期末)已知F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点,P是椭圆C上的任意一点且不在x轴上,M是线段PF的中点,O为坐标原点.连接OM并延长,交圆x2+y2=a2于点A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由点P的位置决定2.(2022江西赣州期末)已知定圆C1:(x+3)2+y2=1,C2:(x-3)2+y2=49,定点M(2,1),动圆C满足与C1外切且与C2内切,则|CM|+|CC1|的最大值为()A.8+2B.8-2C.16+2D.16-23.(多选)(2020山东潍坊期末)已知P是椭圆E:x28+y24=1上一点,F1,F2分别是椭圆E的左、右焦点,且△F1PF2A.点P的纵坐标为3B.∠F1PF2>πC.△F1PF2的周长为42+4D.△F1PF2的内切圆半径为3224.(2022湖南岳阳一中月考)已知椭圆C:x29+y24=1,M,N是坐标平面内的两点,且点M与C的焦点不重合,若点M关于C的左、右焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在椭圆C上,题组二椭圆的标准方程及其应用5.(2022山西长治二中期末)椭圆x2100+y264=1的焦点为F1,F2,椭圆上的点P满足∠F1PF2=60°,则点PA.6433B.91336.(2022四川威远中学月考)椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线交椭圆于A,B两点,交y轴于点C,若F1,C是线段AB的三等分点,△F2AB的周长为4A.x25+y24=1B.C.x25+y22=1D.7.(2022上海延安中学期末)椭圆x26+y22=1的焦点为F1,F2,P为椭圆上的动点,当∠F1PF2为钝角时,点8.(2022广东广州期末)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点是F1,F在椭圆C上,且|PF1|+|PF2|=4.(1)求椭圆C的方程;(2)设点P关于x轴的对称点为Q,M是椭圆C上不同于P,Q的一点,直线MP和MQ与x轴分别相交于点E,F,O为原点.证明:|OE|·|OF|为定值.

答案与分层梯度式解析基础过关练1.B当|PA|+|PB|=|AB|时,动点P的轨迹为线段AB,当|PA|+|PB|>|AB|时,动点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,充分性不成立;由椭圆的定义可知必要性成立.故甲是乙的必要不充分条件,故选B.2.C由题意知a=4,由椭圆的定义知|F1A|+|F2A|+|F1B|+|F2B|=4a=16,∵|F2A|+|F2B|=10,∴|AB|=|F1A|+|F1B|=6.故选C.3.A依题意得椭圆C的焦点在x轴上,且c=3,b2=7,所以m=7+32=16,又因为|PF1|=3,|PF1|+|PF2|=2m=8,所以|PF2|=5,故选A.4.B易知a2=16,所以a=4,因为点M在C上,所以|MF1|+|MF2|=2a=8,所以|MF1|·|MF2|≤|MF1|+|MF2|22=822=16,当且仅当|MF1|=|MF2|=45.答案x216+解析圆C的圆心为C(-2,0),半径r=8,由线段PA的中垂线交CP于点N,可得|NA|=|NP|,所以|NA|+|NC|=|NP|+|NC|=|CP|=8>|CA|=4,故点N的轨迹是以A,C为焦点的椭圆,且2a=8,2c=4,因此b2=a2-c2=12,所以点N的轨迹方程为x216+6.A∵方程x2k-3+y25-k=1表示焦点在x7.A设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则925m∴椭圆的标准方程为y225+x2=1.8.C把x=-c代入椭圆方程,得y=±b2a,所以|AB|=2b2a=3,即b2a=32.易知D(0,b),F1(-c,0),所以|DF1|=b2+c2=2,即a=2,故9.答案x29+解析根据题意知|PO|=95+16故F1(-5,0),F2(5,0).∴|PF1|+|PF2|=-5-=4+2=6=2a,∴a=3,∴b2=a2-c2=4,∴椭圆的方程为x29+10.答案y220+解析由题意知所求椭圆的焦点在y轴上,设其标准方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0),则c2=a2-b2=16①,把(3,-5)代入椭圆方程,得5a2+3b2=1②,由①②得11.D依题意得a2=m-2>0,b2=10-m>0,解得2<m<10.由椭圆的焦距为4,得c=2.所以c2=a2-b2=(m-2)-(10-m)=2m-12=4,解得m=8.故选D.12.D由已知得a=5,b=3,椭圆的焦点坐标为(-4,0)和(4,0),恰好是A,C两点,则|AC|=2c=8,|BC|+|BA|=2a=10,由正弦定理可得sinA+sinCsin(A+C)13.D由题意得c=a2-b2=4,则|F1F2|=2c=8,设点P(x0,y0),则x0225+∴|OP|=x02+y02=25-169y02=4,∴y02=8116,∴|y0|=94,因此14.答案-∞,-33解析因为点P(n,1)在椭圆x29+y24=1外,所以n29+14>1,解得n<-332或n>15.答案120°解析由椭圆的标准方程知a2=9,b2=2,∴a=3,c2=a2-b2=9-2=7,即c=7,∴|F1F2|=27.∵|PF1|=4,∴|PF2|=2a-|PF1|=2.∴cos∠F1PF2=|PF1又∵0°≤∠F1PF2<180°,∴∠F1PF2=120°.16.解析(1)由题意得2c=2∴椭圆C的标准方程为x24+y(2)设P(x0,y0)(x0>0,y0>0),∵c=3,∴F1(-3,0),F2(3,0),∴PF1=(-3-x0,-y0),PF2=(3-x∴PF1·PF2=(-3-x0,-y0)·(3-x0,-y0)=∵点P在椭圆C上,∴x024+y02=1,∴PF1·PF2=x02+y02-3=解得-3≤x0≤3,又∵x0>0,∴0<x0≤3,∴点P的横坐标的取值范围是(0,3].17.解析(1)设P(x,y),M(x1,y1),则N(x1,0),NP=(x-x1,y),NM=(0,y1).∵点M在椭圆E上,∴x124由NP=2NM,得x=代入(*)式,得x2+y2=4,即点P的轨迹方程为x2+y2=4.(2)假设存在点B(m,0)满足条件,∵|BP|=2|AP|,∴(x-m即点P的轨迹方程为3x2+3y2+(2m-8)x=m2-4,由(1)知点P的轨迹方程为x2+y2=4,故2m-∴存在点B(4,0)满足条件.能力提升练1.B不妨设F是椭圆C的右焦点,左焦点为F1,则|PF1|+|PF|=2a.如图,在△PFF1中,O,M分别是FF1,PF的中点,∴|PF1|=2|OM|,|PF|=2|PM|,∴|PF1|+|PF|=2|OM|+2|PM|=2a,即|OM|+|PM|=a,∴|MN|=|ON|-|OM|=a-(a-|PM|)=|PM|,∴|MN|=|PM|=|MF|,∴N在以线段PF为直径的圆上,∴∠PNF=90°,故△PFN的形状是直角三角形.故选B.2.A由题意知圆C1的圆心为C1(-3,0),半径为1,圆C2的圆心为C2(3,0),半径为7.设动圆C的半径为r,由动圆C满足与C1外切且与C2内切,知|CC1|=r+1,|CC2|=7-r,所以|CC1|+|CC2|=8>|C1C2|=6,所以动点C的轨迹是以C1和C2为焦点、8为长轴长的椭圆[除去点(-4,0)],如图,易得其方程为x216+y27=1(x≠-4),由椭圆的定义可得|CC1|=2a-|CC2|=8-|CC2|,所以|CM|+|CC1|=8+|CM|-|CC2|,又因为|CM|-|CC2|≤|MC2|=2(当点C在MC2的延长线上时取等号),所以|CM|+|CC1|≤8+3.CD由已知得a=22,b=2,c=2,F1(-2,0),F2(2,0).不妨设P(m,n),m>0,n>0,则S△F1PF2=∴m28+3224=1,∴m=14∴|PF1|2=142+22+94=394+214,|PF2|2∴|PF1|2+|PF2|∴cos∠F1PF2=|P∴∠F1PF2<π2,故A,B错误△F1PF2的周长为2a+2c=42+4,故C正确;设△F1PF2的内切圆半径为r,则12r·(42∴r=322-32,故D正确4.答案12解析设MN的中点为D,椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,如图,连接DF1,DF2,∵F1,D分别是MA,MN的中点,∴|DF1|=12|AN|,同理|DF2|=12|BN|,∴|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|),∵点D在椭圆上,∴|DF1|+|DF2|=2a=6,∴5.C易得c=a2-b2=6.设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则r1+r2=20.在△PF1F2中,由余弦定理得(2c)2=r12+r22-2r1r2cos60°,即144=r12+r22-r1r2=(r1+r2)2-3r1r2=400-3r1r2,则r1r2=2563,所以S△PF1F2=12r1r2sin60°=12×2563×6.A由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,△F2AB的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=45,所以a=5,所以椭圆E:x25+y2b2=1.不妨令点A在第一象限,C是F1A的中点,则Ac,b25,所以C0,b225,又因为F1是BC的中点,所以B-2c,-b225,把点B的坐标代入椭圆E的方程,得4c25+b420b27.答案(-3,3)解析由已知得c=2,不妨令F1(-2,0),F2(2,0),设P(x0,y0),则x026+y022=1,即y02=2-13x02,F1P=(x0+2,y0),F2P=(x0-2,y0