永州市2022年高考第二次适应性考试

永州市2022年高考第二次适应性考试

数学

1.A

【解析】

【分析】

利用复数的除法化简复数与

即可得解.

1-1

【详解】

因为曰NT"因此’复数罟的虚部为L

故选：A.

2.C

【解析】

【分析】

根据集合运算先求补集，再求并集.

【详解】

由题意［8={-2,-1},所以4D（；J8={-2,T,1}.

故选：C.

3.B

【解析】

【分析】

由已知得出（儿£-5）%=0,利用平面向量数量积的运算可求得实数2的值.

【详解】

因为（义4-刃）_10,贝！］,4-刃）.0=24--0.5=3几+3=0,解得2=-1.

故选：B.

4.C

【解析】

【分析】

利用正弦定理结合余弦定理求出cosB的值，结合角B的取值范围可求得结果.

【详解】

5784：7Q

因为由正弦定理可得一=]=—,

sin力sinBsinCabc

设a=5f(f>0),则b=7f,c=8r,由余弦定理可得cosB="一十厂一'=.

lac2

-.-0°<5<180S因此,8=60°.

故选：C.

5.A

【解析】

【分析】

根据题干中的图象，逐个分析选项，先由图象是奇函数排除选项B；再由x=/r,了值大于0,排除选D：在根据函

数图象过原点排除选项C.因此得到最有可能正确的答案.

【详解】

由函数图象知函数关于原点对称，为奇函数，可以排除选项B；

其余选项都为奇函数.对于选项D,当》=乃时，>=-乃，选项D错误；

选项C中的图象XH0,故选项C错误.；

当xe(0,1)时，y<0,当工=万时，？=".故选项A最有可能正确.

故选：A.

6.D

【解析】

【分析】

由已知可得4结合4=4可解得二的取值范围，即可得解.

【详解】

为了使得1个感染者传染人数不超过1,只需.(N-夕)W1,即凡

v1V3

因为凡=4,故可得

N4N4

故选：D.

7.B

【解析】

【分析】

过点尸作尸。，初N,垂足为点。，设线段尸。交抛物线C于点丹，求出点，的坐标，设点则N(-2，A，

由已知可得出丽.瓦7=0,求出V的值，可得出点M的坐标，利用抛物线的定义可求得四日的值.

【详解】

过点F作垂足为点。，设线段尸。交抛物线C于点，，易知点尸0,0),

将x=l代入/=4x,可得y=±2,不妨取点，(1,2),

2

设点/,则N(-2,y),则丽=(-3,y),HM=1,^-2,

(4

由已知可得丽•麻=-3(?-2

1+y(p-2)=—2y+3=0,即/_8、+12=0,

因为点M与点”不重合，则yr2,从而y=6,则点"(9,6),

因此，|MF|=9+l=I0.

故选：B.

8.D

【解析】

【分析】

设切线与曲线V=lnx相切于点&lnf),利用导数写出曲线y=lnx在点处的切线方程，将切线方程与函数

y="2的解析式联立，由△=()可得出直线y与曲线8«)=--『[1)，有两个交点，利用导数分析函数g⑺的单

调性与极值，数形结合可得出关于实数。的不等式，由此可解得实数〃的取值范围.

【详解】

设切线与曲线N=lnx相切于点对函数y=lnx求导得j/=L,

X

所以，曲线y=lnx在点&lnt)处的切线方程为y-ln/=：(xT),即y=；x+lnf-l,

y=ax'

联立\可得ax2—x+1—In/=0,

y=-x-\-\ntt

由题意可得且△=[-4a(l-ln/)=0,可得，

t4a

令g(/)=『--Inf,其中/>0,则g'a)=2，-(2flnf+f)=f(l-21nf).

当0<f<J时,g'(f)>0,此时函数g(。单调递增,

当"加时，g'(，)<0,此时函数g。)单调递减，所以，gOLx=^(^)=f.

且当0</<e时，g(t)>0,当，>e时，g(t)<0,如下图所示：

由题意可知，直线y与曲线N=g(f)有两个交点，则0<；<:，解得

4a4a22e

故选：D.

9.BD

【解析】

【分析】

分析可知〃=2,<7=3,可判断A的正误；利用正态分布可判断B的正误；利用正态密度曲线的特征可判断C选

项；利用3b原则可判断D选项.

【详解】

由已知可得〃=2,。=3,则X的方差为9,A错；

尸(X<2)=尸(XV〃)=0.5,B对；

因为正态密度曲线中间高，两边低，且〃=2,故尸(3VX<4)>P(4VX<5),C错；

尸(X4-l)=尸(X4〃-b)=——♦J——^=0.1587，D对.

故选：BD.

10.AB

【解析】

【分析】

利用对数运算判断选项A正确；利用函数的单调性和奇偶性得到函数的值域为［7,2］.所以选项B正确；利用函数

的单调性和周期性判断选项C错误；/(X)在16,6］上有6个零点，所以该选项错误.

【详解】

lofc3

解:/(log23)=2-2=3-2=l,所以选项A正确；

当xe［0,2］时，/(x)=2'-2是增函数，所以当xe［0,2］时，函数的值域为［-1,2］,由于函数是偶函数，所以函数的

值域为［-1,2］.所以选项B正确；

当xe［0,2］时，/(x)=2'-2是增函数，又函数的周期是4,所以〃x)在［4,6］上为增函数，所以选项C错误：

令/(x)=2'-2=0,，x=l,所以/⑴="-1)=0,由于函数的周期为4,所以/(5)=/(-5)=0,/⑶引-3)=0,

所以/(x)在［-6,6］上有6个零点，所以该选项错误.

故选：AB

11.AC

【解析】

【分析】

分析可得出“2=2》，求出蒙日圆的方程，可判断B选项的正误；利用直线与圆的位置关系可判断A选项；利用椭

圆的定义和点到直线的距离公式可判断C选项的正误；分析可知矩形MNGH的四个顶点都在蒙日圆上，利用基本

不等式可判断D选项的正误.

【详解】

当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为x=±。、y^+b,

所以，点(士a,±b)在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为r+/=不+/,

=2b2.

因为，4书=^^=旧吟可得。2

对于A选项,蒙日圆圆心到直线/的距离为"=

所以，直线/与蒙日圆相切，A对；

对于B选项，C的蒙日圆的方程为/+/=/+〃=］/,B错；

对于C选项，由椭圆的定义可得M用+M用=2a=20b,则周=2扬-卜修,

所以，d-\AF^=d+\AF\-14ib,

因为c当a=b,直线/的方程为x+&y-36=0,

4b_泉心

点;•)到直线/的距离为d'=

(-6,0耳=亍b,

（4V3-6x/2）Z）

所以，d-\AF2\^d+\AFy\-2/2b>d-1^2b=-2___________L_,

3

当且仅当4耳时，等号成立，C对；

对于D选项，若矩形脑VG"的四条边均与C相切，则矩形MNG”的四个顶点都在蒙日圆上，

所以，=（26『=1才,，

所以，矩形MNG”的面积为5=附训.即区网空业竺L”，D错.

故选：AC.

12.ACD

【解析】

【分析】

根据圆锥的侧面积可得出”=3,利用圆锥的侧面展开图与余弦定理可判断A选项；计算出过顶点S和两母线的截

面三角形的最大面积，可判断B选项的正误；根据几何关系列等式求出圆锥SO的外接球的半径，结合球体的表面

积公式可判断C选项的正误；计算出圆锥S。的内切球半径以及棱长为毡的正四面体的外接球半径，可判断D选

3

项的正误.

【详解】

圆锥5。的侧面积为万〃=3万，则〃=3.

对于A选项，当/=3时，r=l,将圆锥S。的侧面沿着母线S4展开如下图所示：

则圆锥SO的底面周长为2万，/-ASC=,

在△皮（7中，”=3,5C=1,

2

由余弦定理可得NC=J1?+SC-2SA-SCcos^-=y/l3,A对；

3

对于B选项，当厂时，1=2,设圆锥轴截面等腰三角形的顶角为。，

?2+?2-32

则cosa=--<0,则a为钝角，

2x2x2

1）

在圆。上任取两点"、N,则0<NMSN4a,SAiWOT=-x2"sinZA/S^<2,

当且仅当SA/LSN时;等号成立，故顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为2,B错;

对于C选项，当/=3时，,•=1,圆锥SO的高为/,=h7=2&，

设圆锥SO的外接球的半径为&,贝犷+卜代卜炉，即9-4后R=0,可得夫=会，

故圆锥SO的外接球的表面积为4万代=47rx萼=萼1，C对；

32o

对于D选项，当/=3时，r=l,圆锥SO的高为/；=J/2一/=2五,

设圆锥SO的内切球半径为/,圆锥SO的轴截面面积为gx2rx/z=2e,

圆锥SO的轴截面周长为2/+2r=8,

由等面积法可得;，・'（2/+2r）=2&,可得/=手=当，

将棱长为2叵的正四面体可放在一个正方体内，使得该正四面体的四个顶点恰为正方体的四个顶点，如下图所示,

3

则该正方体的棱长为变x毡=近，所以正四面体的外接球的半径为且x^=变=/,

233232

因此，当/=3时，棱长为友的正四面体在圆锥SO内可以任意转动，D对.

3

故选：ACD.

13.60.

【解析】

【分析】

求得二项展开式的通项，结合通项确定『的值，代入即可求解.

【详解】

由题意二项式（4+2）展开式的通项为小=c；（正严.（2y=21C；X为，

令r=2,可得展开式的常数项为4=22・c；=60.

故答案为：60.

14.--##-0.5

2

【解析】

【分析】

根据三角函数的定义和二倍角公式，可直接求得结果

【详解】

已知角a的终边经过点卜;，乎J,则根据三角函数的定义可得：cosa=-1

根据余弦的二倍角公式可得：COS2a=2cos2a-l=-i

故答案为：-g(或者-0.5)

n

6(“+1)2

【解析】

【分析】

分析可得。用二丁二，推导出数列—为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得进而可求得，，即

2-%[1-*

可得解.

【详解】

因为a”+4=1，则4=1-a,,，则«„=°向-[1-(1-g)2]=(2-。“)，

因为q=；,%+”=1，可得则则%=：,.

8231

所以，]%=§，则。3=彳，以此类推可知4,>0,所以，a，川=江丁，

2

______!_=_!_______1^-^.1-1]_

]一。,川1___1—I-。”I-。"1-4且-r=2,

1。1-a\

2-4,

所以，数列[—一]是等差数列，且首项为2,公差为1,•,・1!一=2+〃-1=〃+1,

U-a"

n1工〃

所以，。”=—7,故，=「%=一'，因此，他=-一-7.

77+1〃+1(〃+1)

n

故答案为：/.\2.

(〃+1)

16.--##-0.5e2

2

【解析】

【分析】

将不等式变形为eLinelx—Inx"，构造函数/(力=》一1内，可得出//>/(x»),只需考虑"0的情形，利

用导数分析函数/(X)的单调性，可得出%xlnx,利用导数求出函数g(x)=xlnx在上的最小值，即可求

得实数。的最小值.

【详解】

,1111)1

因为alnx一一+ex-xa>O=lnxa-xa+ex-lnex>0,可得F.ln/>xa-\nxaf

构造函数/")=x-lnx,则,(回=1-1=?,且

当0<x<l时,r(x)<0,此时函数单调递减，

当x>l时，/，(x)>o,此时函数/(X)单调递增，

因为求。的最小值，只需考虑。<0的情形，

因为xe—,则x">l,或>1，所以，>xa)可得：2alnx,则，4xlnx,

令g(x)=xlnx,其中xe-r,^-,则g'(x)=1+Inx<0,

_ee-_

所以，函数g(x)在j，J"上单调递减，故g(x)mm=

122/7+P?

所以，-<-4,即"j40,解得一j〈Q<0.

ae2ae22

2

因此，实数”的最小值为-3e.

2

2

故答案为：e

2

17.(1)/(%)=25111^+^

⑵[T，2]

【解析】

【分析】

(1)由图象可得A、T,则可得以再将点(专,21弋入解析式中可求出力的值，从而可求得函数/(X)的解析式;

(2)先利用三角函数图象变换规律求出g(x),再由x的范围得cos2x的范围，可得答案.

(1)

由最大值可确定力=2,因为]==所以。=§=2,

212122T

此时/(x)=2sin(2x+g),代入最高点后,2),可得：sin《+ej=1,

从而£+0=5+2版(《€Z),结合时＜g,于是当左=0时，9=f,

6223

所以/(x)=2sin(2x+?).

⑵

由题意，g(x)=/(x+S]=2sin

jr2.71I

当0,y时，2XW(),—,则有COS2X£--,1,

所以g(x)在区间0,y上的值域为[-1,2].

-,=1

18.⑴4〃=J2W(〃cN+)

4,〃>1

(2)、=2~^(«6N+)

【解析】

【分析】

(1)根据｛1｝为等比数列和递推关系，可求得驶=4,然后再求得即可；

(2)｛%｝为等比数列，先根据条件求得数列｛”“｝的通项，再求得。的表达式，运用等差数列求和公式即可

(1)

若｛1｝为等比数列，根据题意有：T.=a巴…a”

可得：&1—,4向

则有：委='=4,即有。用=4

12

%=2,则7；=4=；

—〃=1

故有：«„=12'(«eNt)

4,”>1

(2)

若｛。“｝为等比数列，设公比为4

由马=2可得：%=a；q=2

由1=8可得：4=与％3=8

解得：4=1,4=2

故有：a,,=2"T

eN

解得：(,=2k(«+)

19.(1)证明见解析

⑵等

【解析】

【分析】

(1)由8C〃平面尸40,得到BC//4),根据6为4□的中点，证得8C=GZ),从而得到C0//8G,结合线面平

行的判定定理，即可求解；

(1)连接GC交8。于O,连接尸。，证得POLGC,求得8。=20，过点。作8C的平行线交G8于"，以0H为

x轴，08为V轴，。尸为z轴建立空间直角坐标系，求得平面PCD的法向量蔡=(6,1,-6)和向量强=(2,-行,7),

结合向量的夹角公式，即可求解.

(1)

证明：因为8C〃平面尸ND,平面尸/DPI平面48cz)=/D,8Cu平面Z8CZ),

所以BC//AD,

又因为点G为ZO的中点，所以=

因为/C=28C,所以8c=1/。，所以8C=G。，

2

又由8C//G。，所以四边形8CDG为平行四边形，所以CD//BG,

因为8Gu平面P8G,所以C。//平面P8G.

(2)

解：连接GC交8D于。，连接P。，

因为四边形88G为平行四边形，所以。为80的中点，

又因为PB=PD,所以尸O_LB。，

因为平面平面/18CD,POu平面PB。，所以R9J_平面/BCD,

又因为GCu平面N8C。，所以PO_LGC,

在△5。中，由余弦定理可得8。=8C2+C02_28CC£>cos6O°=12,

所以BD=2氏,所以08=380=0,

因为BC?+B>=CD：所以△BCD为直角三角形，BPZDBC=90.

过点。作BC的平行线交GB于H,

以0H为x轴，08为夕轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

可得尸(0,0,1),4(2,-百,0),C(2,石,0),r>(0,-73,0),

所以方=(2,-V3,-l),PC=(2,百,-1),而=(0,-73,-1),

m-PC=2x+>j3y-z=0

设平面PCO的法向量为五=(xj,z),贝小

m-PD=—x/iy—z=0

取y=l,可得x=V？,z=-百，所以加=(百,1,->/5),

设PA与平面PC。所成的角为0,则sin0=44=-广Y_=三

网.同于I•a14

所以尸力与平面尸。所成的角的正弦值为强.

14

20.(1)«=20,有95%的把握；

⑵①余②E(X)=*

【解析】

【分析】

(1)完善2x2列联表，根据犬2的计算可得出关于〃的等式，即可解得正整数〃的值，结合临界值表可得出结论；

(2)①分析可知这9人中男生的人数为4,女生的人数为5,利用组合计数原理结合古典概型和对立事件的概率公

式可求得所求事件的概率；

②分析可知X〜8(10,非),利用二项分布的期望公式可求得E(X)的值.

(1)

解：2x2列联表如下表所示：

男生女生合计

了解6n5n1\n

不了解4n5n9n

合计10〃10〃20n

力20〃X(6〃X5〃-4〃X5〃)220/7“彳八XT,司殂”

K=-------------------L=---«4.040»nGN,可得〃=20,

10/7X10HX1\nx9n99

•.•尸(片23.841)=0.05,

因此，有95%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；

(2)

解：①采用分层抽样的方法从抽取的不理解冬季奥运会项目的学生中随机抽取9人,

这9人中男生的人数为4,女生的人数为5,

C3420

再从这9人中抽取3人进行面对面交流,“至少抽到一名女生”的概率为1-胃T-弓；

Coo421

②由题意可知X〜小0,半，故E(X)=10x*1

21.(1)证明见解析

⑵存在常数f=3使勺

【解析】

【分析】

(1)由双曲线方程可确定顶点坐标，从而表示出心”，kPB,利用点在双曲线上进行化简即可证明：

(2)假设存在，则可设出直线/方程，和双曲线方程联立，得到根与系数的关系式并进行变形，表示出今

,并将

k2

变形后的关系式代入化简，进而可解得f的值，则可说明存在常数f使匕

(1)

证明：由双曲线=1,点/,B为双曲线的左、右顶点，

2

可知：4(-1,0),5(1,0),

设P®,%),则2%2_%2=2

yy

所以kp,「kpB=00

%+ix0-l

(2)

假设存在常数“吏勺=-；/,

由题意设直线/的方程为x=W+f,

x=my+1

联立上I，整理得：(2/_1)/+4〃少+2(产-1)=0,

2

m.l-47WZ2(-7)

设M(X1,乂),N(x”外)’则必+力=焉=.%=

231

"+1

yt+y2-Imt

所以,贝!12?_=-2mt,

必「一1

,,乂_-2mt

故一=-s~-yt-1,

y2t-i

而「等T&

Ky(x-1)%(加为+f-l)my,y+(t-1)^

加rrr以l-----t---2---=------------=----2---------

色力(士+1)%("?M+f+1)my,y2+(t+\)y2

=町+(1).微孙+”]).(言必D

my[+(z+1)myt+(Z+1)

-«一])(，*M+/+1)r-1

«+1)(用%+Z+1)z+1

令一■=4'解得—'

故存在常数f=3,使勺=-；&.

22.⑴/(x)在xe(-8,0)上单调递增.

(2)«e{l}

【解析】

【分析】

(1)先求定义域，利用二次求导，研究一阶导的单调性，得到/(x)在(-双0)上单调性；(2)注意到/(0)=0,得

到/'(0)=1-〃=0,。=1,再证明。=1满足题意，接着证明在。<0,a=0,0<〃<1即”>1的情景下均不满足题意,

证毕.

(1)

a=-l时，/1(力=6*--+$济》-1定义域为口，r(x)=e*-2x+cosx,/"(x)=e*-2-sinx,当xe(-<»,0)时，

exe(0,l),sinxe[-l,l],所以/"(x)=e*-2-sinx<0恒成立，即/，(x)=e*-2x+cosx在xe(ro,0)上单调递减，

又，故/'(x)>/'(O)=2,所以〃x)=e'-x2+sinx-l在x«-8,0)上单调递增.

(2)

定义域为R,f'(x)=ex+2ax-acosx,注意到/(0)=0,要想了卜)20,则要求“0)=1-4=0,即a=l,接下来

证明a=l满足题意，当a=l时，/(x)=ev+x*12-sinx-1,/"(x)=e*+2x-cosx,/"(x)=e*+2+sinx,当xeR时,

/"(x)=e、+2+sinx>0恒成立，故/'(x)=e*+2x-cosx在xwR上单调递增，又/'(0)=0,故当xe(-s,0)时，

r(x)<0,f(x)单调递减,当xe(0,+8)时，/'(x)>0,/(x)单调递增，而"0)=0,故〃x)"(0)=0,满足

题意；

当”0时，因为/(-兀)=。兀2+ef-l<0,不合题意，舍去

当a=0时，〃x)=e'-l>0不恒成立，

当0<°<1时，/'(x)=e*+2ax-acosx,/"(x)=e"+2a+asinx>0恒成立，所以./(x)=e*+2ax-acosx为增函数,

又八0)=l-a>0,/(T=_2+e--acos(-£|<-2+e-+a<0,故存在与《-川，使得小)=0,当

x«x0,0)时,f(x)单调递增,/(x)</(0)=0,不合题意,舍去；

当时、//(x)=ev+2ax-acosx,/"(x)=e，+2a+asinx>0恒成立，所以/''(x)=e"+2ar-acosx为增函数，

又/'(0)=1-"0,=兀a+->°，所以存在占e(o，S，使得/'(再)=0,当xe(O,xJ时，f\x)<0,,/'(x)

单调递减，/(x)</(0)=0,不合题意，舍去；

综上：。©{1}

【点睛】

对于导函数研究函数参数的取值范围问题上，可以由多种选择，比如参变分离，必要性探究+充分性证明，构造新

函数等方法，要结合题目特征选择合适的方法.

雅礼中学2022年高三下学期月考(七)

数学

i.c

【解析】

【分析】

首先解一元二次不等式与指数不等式得到集合A、B,再根据交集的定义计算可得：

【详解】

解：由：2-5x+4V0可得14x44,2”4可得x42,所以集合4=卜卜?-5x+44。}=[1,4],

8={x|2*44,xeZ}=卜卜42,xeZ},所以4cB={x|lMx42,xeZ}={1,2}.

故选：C.

2.C

【解析】

先求出z2-l，再根据复数模的求法即可求得结果

【详解】

由复数z=l+i,得z=-1=(l+i)2-1=2i-l,

所以卜2_1卜也币彳=逐.

故选：C.

3.D

【解析】

【分析】

先判断函数奇偶性，可排除C选项，再由特殊值验证，即可得出结果.

【详解】

由y=-cosxln|x|可得其定义域为卜卜20},

又-cos(-x)In卜耳=-cosxhi国，所以函数y=-cosxIn|x|是偶函数；

因为偶函数关于>轴对称，所以可排除C选项；

又/(")=-cos;rln；T=ln；T>0,所以AB选项错误，D正确；

故选：D.

【点睛】

本题主要考查函数图像的识别，属于基础题型.

4.A

【解析】

【详解】

分析：条件已提供了首项，故用“a”d”法，再转化为关于n的二次函数解得.

解答：解：设该数列的公差为d,贝ija4+a6=2ai+8d=2x(-11)+8d=-6,解得d=2,

所以Sn=-1ln+

*5x2=n2-12n=(n-6)2-36,所以当n=6时，Sn取最小值.

故选A

点评：本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力.

5.A

【解析】

【分析】

先找到平面/。形与平面/8CO的交线，再利用异面直线的定义找到交线与直线C/。/所成角，求解即可.

【详解】

延长。£与直线co相交于凡连接幺尸,

则平面AD.E与平面ABCD的交线为AF,

又•：C、D\〃CD

NAFD为平面ADtE与平面ABCD的交线与直线C,£>,所成角，

是棱CG的中点，且//CC、,

AH1

:.CD=CF,：.tan£AFD=—=-.

DF2

故选：A.

6.D

【解析】

由等高堆积条形图逐项判断即可.

【详解】

解：由条形图知女生数量多于男生数量，故A正确；

有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故B正确；

男生偏爱两理一文，故C正确：

女生中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故D错误.

故选：D.

7.D

【解析】

【分析】

根据题意得到卜尸|-|8p卜忸进而得到|/P|-忸4=1,结合双曲线的定义，即可求解.

【详解】

由题意，从界线上的点P出发，经A到C与经B到C,所走的路程是一样的，

即网+图=\BP\+\BC\,所以\AP\-\BP\=\BC\-\AC\,

又由忸C|=4,|/C|=3,所以MH-忸尸|=4-3=1,

又由»卸=5,根据双曲线的定义可知曲线E为双曲线的一部分.

故选：D.

8.C

【解析】

【分析】

函数y=/(x)-〃(x-2021)的零点个数为5等价于y=〃x)与y=©x-2021)的图像交点的个数为5,然后作出函数

图象，数形结合即可得出结果.

【详解】

偶函数〃x),.•./(-*)=/(x),/(X-函是奇函数,得/(x—1)=—/(—x-1),即

f(x)=-f\-x-2),-f(-x-2)=f(-x),得7=4,/(x)-*(x-2021)=0,即y=/(x)与y=A(x-2021)的图像交点

的个数，因为7=4,即为y=/(x)与y=%(x-l)的图像交点的个数，因为

7

/(x)=JT7的图像为半圆，故由图像可知斜率k应该在&与k2之间或为心,

£k<包或k』,

【点睛】

函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令_/(x)=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.(2)零点存在

性定理：利用定理不仅要函数在区间⑷0上是连续不断的曲线，且火〃)火与<0,还必须结合函数的图象与性质(如

单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数

的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

9.BC

【解析】

【分析】

,,15+/>0

由山名|=8,得到2s=16,可判定A错误；由s_>0且s=8,可判定B正确；由耳到渐近线的距离等于虚半轴

长为近二7,可判定c正确；当t=4时，求得双曲线的实轴和虚轴承，可判定D错误.

【详解】

丫2v2

由题意，双曲线C:上——J=l,可得/=s+f〃=sT,

s+ts-t

因为阳周二8,可得c2=s+f+sT=2s=16,解得s=8,所以A错误；

1rS+F>0

因为双曲线焦点在X轴上，由c且s=8,得f的取值范围是(-8,8),所以B正确；

[s-/>0

因为耳到渐近线的距离等于虚半轴长为我二7,其在fe(-8,8)上单调递减，所以c正确;

当，=4时，双曲线C的实轴长为40，虚轴长为4,其中实轴长是虚轴长的有倍,

所以D错误.

故选：BC.

10.AC

【解析】

【分析】

根据近三年高考数学卷中容易题、中档题、难题分值的数据的变化可判断ABD选项的正误；计算出2020年的容易

题与中档题的分值之和可判断C选项的正误.

【详解】

对于A选项,由图可知，近三年容易题分值逐年增加，A选项正确;

对于B选项,由图可知，近三年中档题分值所占比例最高的年份是2018年，B选项错误;

对于C选项，由图可知，2020年的容易题与中档题的分值之和为96+42=138,所占比例为—>90%,C选项正

确;

对于D选项,由图可知，近三年难题分值先增后减，D选项错误.

故选：AC.

II.BCD

【解析】

【分析】

对于A,假设/，得到平面/8CD,再由长方体性质判断；对于B,连接EF,AC,4G，根据£

E分别为力8,BC的中点，证明M//4G即可；对于C,根据。C_L平面8片GC,得到NOC，为直线CQ与平面

所成角求解判断；对于D,连接DE,C、E,利用等体积法，由喔”.=%一。即求解判断.

【详解】

对于A,假设4E_LZ)F,由题意知8C_L平面4£u平面//力力,

：.\EVBC,又BCCIDF=F,:.4遂上平面4BCD,由长方体性质知司£与平面Z8C。不垂直，故假设不成立,

故A错误;

对于B,连接EF,AC,4G，由于E,F分别为8C的中点，，EF〃/C,又由长方体/8C。-44G。,

知4c〃/C,.1E尸〃4G，所以点4、E、F、G四点共面，故B正确;

对于C,由题意可知。CJ•平面:./。。。为直线G。与平面所成角，在直角△OCG中，CC\=6,

DC2

CD=2,贝lJtan/。GC=不F=正=在，故C正确；

1113

对于D,连接DEfC^E,vAB=AD=2,贝!jS2M=^OABCD~^^ADE~^^BEF~^&CDF=2X2——x2xl——xlxl——xlx2=—,

利用等体积法知：VECDF=VCCC.=-x-X6=—>故D正确.

故选：BCD.

12.ABD

【解析】

【分析】

构造函数/(x)=4,利用导数可确定/(x)的单调性，根据单调性可依次判断出ABC的正误；构造函数

g(x)」n(£l),利用导数可确定g(x)单调性，根据单调性可确定D正确.

\nx

【详解】

对于A,设/卜)=(，则/(力=匕詈，

・••当x24时,/'(X)<0恒成立，.•./(X)在［4,y)上单调递减，

■：t>2,.-.Z+2>4,”(f+2)>/(f+3),即！n(f+2)>ln(/+3),

t+2t+3

...(+2)ln«+3)v(+3)ln(+2),A正确;

对于B,由A知,/'(力<0在［3,+8)上恒成立，.,./(%)在［3,+0))上单调递减,

■：t>2,.U+l>3,++即—(7+1)>网上,

，+1/+2

/.(/+2)ln(/+l)>(/+l)ln(/+2),即ln(r+1)K>ln«+2r,

(r+l)r+2>(z+2)/+l,B正确；

a■+工c*1/.1、11rn,iln(z+l)z+1ln(/+l)Inz

对于C,log,(/+1)<!+-,则一^————,即—i——L一.

'tIn/tt+\<t

由A知，当xw[2,e)时,f'(x)>0；当x«e,+8)时,/,(x)<0；

.•./(x)在[2,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，

+若24f<e,此时/(，)与/(，+1)大小关系不确定，即电"D与则大小关系不确定，C错误;

Z+1t

Inxln(x+l)

对于D,设g(D="忙"，则D-d「_xlnx-(x+l)ln(x+l)；

/Inxg(x)―---(一、八、2-

[\nx)1)(Inx)

令〃(x)=xlnx,则/f(x)=lnx-l,

.•.当xN3时，//(x)>0,即〃(x)在［3,+oo)上单调递增,

「•当x23时，xlnx<(x+l)ln(x+l),此时g'(x)<0,，g(x)在艮+oo)上单调递减,

ln(r+2)In(/+3)

心2,..」+'，•.・g(/+l)>g(f+2)，即

，log(,+i)(t+2)>log(“2)(t+3),D正确.

故选：ABD.

13.--

5

【解析】

【分析】

利用诱导公式、二倍角正弦公式，将目标式子化成关于tana的表达式，再进行求值；

【详解】

工4，万一、.〜---2sinocosa-2tana4

原式=cos|—+2«=-sin2a=-2sinacosa=——：------：—=——；=—.

(2)sirfa+cosatana+1

4

故答案为一1.

【点睛】

本题考查诱导公式、二倍角正弦公式、同角三角函数的基本关系，考查基本运算求解能力，求解时要灵活地运用1

的代换，能使问题的求解更简洁.

14.-15

【解析】

【分析】

利用二项展开式的通项公式可求X2的系数.

【详解】

(x-捻)的展开式的通项公式为=(-3)'5-%

令5-3r=2,贝。=1,故/的系数为_3xC；=_15,

故答案为：-15.

-I

【解析】

【分析】

直接利用条件概率公式计算得到答案.

【详解】

记第一次摸出新球为事件A,第二次取到新球为事件B,

5

9

故答案为：

【点睛】

本题考查了条件概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.

■,3780

16.——

209万

【解析】

计算出当水深为4c7W时，水的体积，然后除以流速可得出时刻，的值，设水的深度为生机，求出〃关于，的函数表达

式，利用导数可求得当水深为4c加时，水升高的瞬时变化率.

【详解】

3