苏教版高中数学选择性必修第一册第1章直线与方程1-1直线的斜率与倾斜角课件

第1章直线与方程1.1

直线的斜率与倾斜角知识点1

直线的斜率对于直线l上的任意两点P(x1,y1),Q(x2,y2),如果x1≠x2(如图1),那么直线l的斜率k=

(x1≠x2).如果x1=x2(如图2),那么直线l的斜率不存在.直线的斜率与直线方向的关系:(1)当直线的斜率为正时,直线从左下方向右上方倾斜;(2)当直线的斜率为负时,直线从左上方向右下方倾斜;(3)当直线的斜率为零时,直线与x轴平行或重合.图1图2在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到

与直线重合时,所转过的最小正角α称为这条直线的倾斜角.规定:与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0.因此,直线的倾斜角α的取值范围是{α|0≤α<π}.知识点2

直线的倾斜角知识点3

直线的斜率与倾斜角的对应关系图示

倾斜角αα=0°0°<α<90°α=90°90°<α<180°

斜率k=0k>0k不存在k<0当直线与x轴不垂直时,该直线的斜率k与倾斜角α之间的关系为k=tanα

.知识辨析1.任何一条直线都有倾斜角吗?2.任何一条直线都存在斜率吗?3.直线的斜率一定随着倾斜角的增大而增大吗?4.不同的直线,它的倾斜角一定不相同吗?一语破的1.是.当直线与x轴相交时,存在一个最小正角是直线的倾斜角,当直线与x轴平行或重合时,直

线的倾斜角是0.2.不是.当直线的倾斜角为

时,直线的斜率不存在.3.不一定.当直线的倾斜角α≠

时,斜率k=tanα,由正切函数的图象可知,当α∈

∪

时,k=tanα不单调.4.不一定.当两条直线不平行时,它们的倾斜角不相同;当两条直线平行时,倾斜角一定相同.定点1倾斜角和斜率的关系及其应用当直线l的倾斜角α∈

时,k≥0,且α越大,斜率k越大;当直线l的倾斜角α∈

时,k<0,且α越大,斜率k越大;当直线l的倾斜角α=

时,它的斜率不存在.k=tanα

的图象如图所示.由斜率k的范围截取函数图象,可得到倾斜角α的范围;反过来,由倾斜角α的范围截取函数图

象,可得到斜率k的范围.关键能力定点破典例已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.(1)求直线l的倾斜角的取值范围;(2)求直线l的斜率k的取值范围.

思路点拨

(1)由题意画出图形,分别求出P与线段AB端点连线的倾斜角,从而得出答案.(2)由

斜率是倾斜角的正切值即可得到k的取值范围.解析

(1)如图,当直线l过点B时,设l的倾斜角为α(0≤α<π),则tanα=

=1,即α=

;当直线l过点A时,设l的倾斜角为β(0≤β<π),则tanβ=

=-1,即β=

,∴要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是

.(2)由(1)可知直线l的倾斜角的取值范围是

,∴直线l的斜率的取值范围是k≤-1或k≥1.易错警示

本题易错误地认为斜率k的取值范围是-1≤k≤1,结合图形考虑,l的倾斜角应介于

直线PB与直线PA的倾斜角之间(包括直线PB与PA的倾斜角),即

,利用k=tanα

的图象(如图所示)得到k的取值范围是k≤-1或k≥1.

1.求解三点共线问题若点A,B,C都在某条斜率存在的直线上,则kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC);反之,若kAB=kAC(或kAB

=kBC或kAC=kBC),则直线AB与AC(或AB与BC或AC与BC)的斜率相同,又过同一点A(或B或C),所

以点A,B,C在同一条直线上.2.求形如

的代数式的范围(最值)问题形如

的范围(最值)问题,可以利用

的几何意义:过定点(a,b)与动点(x,y)的直线的斜率,并借助图形解决.定点2直线斜率的应用典例(1)已知三点A(a,2),B(5,1),C(-4,2a)在同一直线上,则a=

(

)A.2或

B.2

C.

D.-2(2)已知正△ABC的顶点A(1,1),B(1,3),点C在第一象限,若点P(x,y)是△ABC内部及其边界上一

点,则

的最大值为

(

)A.

B.

C.

D.

AB解析

(1)易知该直线的斜率存在.由题意可得kBC=kAB,即

=

,解得a=2或a=

.故选A.(2)在平面直角坐标系中画