苏教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3-1-2椭圆的几何性质练习含答案

3.1.2椭圆的几何性质基础过关练题组一由椭圆的标准方程探究其几何性质1.椭圆x2m2+1+y2m2=1(m>0)的焦点为F1,F2A.1B.2C.2.(2024重庆西南大学附属中学期中)椭圆x225+A.等长的长轴B.相等的焦距C.相等的离心率D.等长的短轴3.设AB是椭圆的长轴,点C在椭圆上,∠CBA=45°,AB=4,BC=2,则椭圆的焦距为()A.44.(多选题)(2024浙江金华曙光学校期中)设椭圆C:x22+y2=1的左、右焦点分别为F1,FA.PF1+PF2=22B.离心率e=3C.短轴长为2,长轴长为22D.∠F1PF2不可能是钝角题组二由椭圆的几何性质求标准方程5.(2023江苏扬州大学附属中学阶段检测)与椭圆x29+A.x2C.x26.(2024重庆外国语学校期中)已知P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,若A.x22+yC.x27.(2024广西玉林四校联考)已知F,A分别为椭圆的一个焦点和短轴的一个端点,椭圆的长轴长是10,且cos∠OFA=45A.x225+C.x225+8.(2024江苏宿迁泗阳期中)阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C:x2a2A.x2C.x2题组三求椭圆离心率的值(或范围)9.(2023四川绵阳实验高级中学质检)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在点P,使得PFA.0,10.(2024江苏连云港高级中学期中)已知F1、F2是椭圆的两个焦点,满足MFA.0,C.111.(2023江苏镇江句容碧桂园学校期中)已知椭圆C:y2A.112.(2024江苏苏州三校阶段检测)在△ABC中,AC⊥BC,sinA=35,以A,C为焦点且经过点B的椭圆的离心率记为e1,以B,C为焦点且经过点A的椭圆的离心率记为e2,则e1e题组四椭圆几何性质的应用13.(2023北京清华大学附属中学朝阳学校期中)如图,椭圆C:x236+y29=1与x轴交于点A,B,把线段AB分成6等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P1,P2,P3,P4,P5,F是椭圆C的右焦点,则P1F+P2F+PA.20B.153C.36D.3014.(多选题)(2024广东广州期中)如图所示,用一个与圆柱底面所成的角θ=π3A.椭圆的长轴长等于4B.椭圆的离心率为3C.椭圆的标准方程可以是x2D.椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4-2315.(2023江苏南京师范大学附属中学期中)若F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点P,Q为椭圆C上关于坐标原点对称的两点,且PQ=F1F2,则四边形PF16.(2024浙江嘉兴八校联盟期中)给定椭圆C:x2a2+y2b(1)求椭圆C和其准圆的方程;(2)若点A,B是C的准圆与x轴的两个交点,P是C上的一个动点,求AP·能力提升练题组椭圆的几何性质及其应用1.(2022山东青岛期中)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是32,左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,且∠F1PF2A.x28+C.x22.(2023江苏南京期中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,连接AF2并延长,交椭圆C于点B,若BFA.13.(2024浙江杭州师范大学附属中学期中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为2A.1B.24.(2024江苏泰州中学质检)已知F1,F2是椭圆E:x2a2A.(2−1,1)B.(0,C.(0,3-22)D.(3−25.(多选题)(2023湖南衡阳四中期中)已知椭圆C:x2a2A.2a2+b2=a2b2B.椭圆C过四个定点C.存在实数a,使得AB=3D.AB<76.(多选题)(2024江苏盐城联盟校期中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2A.若AB的中点为M,则kOM·k=bB.△ABF2的周长为4aC.若AB的最小值为3c,则椭圆的离心率e=1D.若AF1·A7.(2024黑龙江哈尔滨第三中学期中)已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为63,点A1,A2为其长轴的两个端点,点P为椭圆C上异于A18.(2024四川成都期中)已知椭圆C:x2a2+y2b9.(2023江苏常州第二中学期中)已知椭圆C:x2a2(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知点M满足2OM=10.(2023江苏盐城中学期中)已知椭圆C:x2a2(1)求椭圆C的方程;(2)设A(-2,0),过点R(1,0)作与x轴不重合的直线l交椭圆C于M,N两点,连接AM,AN,分别交直线x=3于P,Q两点,若直线PR、QR的斜率分别为k1、k2,则k1·k2是不是定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.答案与分层梯度式解析3.1.2椭圆的几何性质基础过关练1.C由题意得a=m2+1,b=m,c=1,∠F1AO=π6(O为坐标原点),则tanπ6=c2.B椭圆x29-k+y225-k3.A不妨设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),A,B分别为长轴的左、右端点,则2a=4,a=2.过C作CD⊥AB,垂足为D.由BC=2,∠CBA=45°,可得CD=BD=1,则C(1,1)或C(1,-1),又C在椭圆上,所以14+1b4.ACD由椭圆方程知a=2,b=1.对于A,PF1+PF2=2a=22,故A正确;对于B,c=a2-b对于C,短轴长为2b=2,长轴长为2a=22,故C正确;对于D,PF1+PF2=22≥2PF1·PF2,故PF当且仅当PF1=PF2=2时等号成立,故cos∠F1PF2=PF12+PF225.A因为椭圆x29+所以所求椭圆的焦点坐标为(±5,0),即c=5,因为所求椭圆的短半轴长为25,所以b=25,所以a2=b2+c2=20+5=25,故所求椭圆的方程为x225+y6.C设椭圆的半焦距为c,则c>0,由题意可得2a+2c=6,7.C当焦点在x轴上时,cos∠OFA=OFAF因为2a=10,所以a=5,c=4,则b2=a2-c2=9,所以椭圆方程为x2同理,当焦点在y轴上时,椭圆方程为y2故选C.8.A由已知得83ππ=ab,则ab=8由长轴的一个端点与短轴的两个端点构成等边三角形,得a2+b联立①②得b2=8,a2=24,故椭圆的方程为x224+y9.D由椭圆的定义得PF1+PF2=2a,因为PF1=3PF2,所以PF1=32而PF1-PF2≤F1F2=2c,当且仅当点P在椭圆右顶点时等号成立,即32a−12a≤2c,即a≤2c,则e=ca≥110.B根据椭圆的对称性,不妨设焦点在x轴上的椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),F由MF1·MF2=0得(-c-x0,-y0)·(c-x0,-y∵点M(x0,y0)在椭圆内部,∴x02a2+y02b2要想该不等式恒成立,只需2a2-a4c2<0,即2a2c2<a4,即2c2<a2,∴又0<e<1,∴0<e<22,故选B11.B设M(x1,y1),N(x2,y2),因为M,N在椭圆C上,所以y12a2+x12b2=1,y22a2+x22b2因为MN的中点坐标为(1,-1),直线MN的斜率为2,所以x1+x2=2,y1+y2=-2,y1-y2x1-x2=2,则①式为-4b2+2a2=0,即-4(a2所以e=22.故选B12.答案3解析由题意可设BC=3,AC=4,则AB=5,以线段AC的中点为原点,以AC所在直线为x轴,过线段AC的中点且垂直于AC的直线为y轴建系,则以A,C为焦点且经过点B的椭圆方程为x2a12+y2b12=1(a由椭圆定义可得2a1=AB+BC=5+3=8,2c1=AC=4,则a1=4,c1=2,故e1=c1同理可知2a2=AB+AC=5+4=9,2c2=BC=3,则a2=92,c2=32,故e13.D由题意知P1与P5,P2与P4分别关于y轴对称.设椭圆的左焦点为F1,连接P1F1,由已知得a=6,则P1F+P5F=P1F+P1F1=2a,同时P2F+P4F=2a,P3F=a,∴P1F+P2F+P3F+P4F+P5F=5a=30.故选D.14.BCD设椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c,椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆的直径,由cosπ3显然b=2,则c=a2-b2=23当以椭圆长轴所在直线为x轴,短轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系时,椭圆的标准方程为x216+y椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a-c=4-23,D正确.故选BCD.15.答案8解析由已知及对称性得四边形PF1QF2为矩形,即PF1⊥PF2,所以S四边形PF1QF由椭圆定义与勾股定理知P可得PF1·PF2=8.所以四边形PF1QF2的面积为8.16.解析(1)由题意知c=2,且a=b2故椭圆C的方程为x23+y2=1,其准圆方程为x2+y(2)设P(m,n)(-3≤m≤3),则m23+n不妨设A(2,0),B(-2,0),所以AP=(m−2,n),所以AP·又-3≤m≤3,所以2m23所以AP·能力提升练1.D由题意知ca=32,即3a2=4c2,根据椭圆的定义,可得PF1+PF2=2a,又因为∠F1PF2=π2,且△F1PF2的面积等于3,所以PF12+PF22=4c2,且PF1·PF2=6,则PF12+PF22=(PF1+PF2)2-2PF1·PF2=4a2-12=4c2,即4a2-12=3a2.C由椭圆定义可得BF1+BF2=2a,又BF1∶BF2=7∶3,所以BF2=3a因为A为椭圆的上顶点,所以AF1=AF2=a,所以AB=AF2+BF2=85在△ABF1中,由余弦定理得cos∠F1AB=AF在△AF1F2中,由余弦定理得F1F22=AF12+AF22-2AF1·即4c2=a2+a2-a2=a2,所以ca故椭圆C的离心率为12.故选C3.B由题意得2a=26,b=2,则a=6,c=a2∵32∵PA+PB=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),显然x1≠x2,则x1+x2=3,y1+y2=1,由x1则(x2+x1)(x2-x1)+3(y2+y1)(y2-y1)=0,即3(x2-x1)+3(y2-y1)=0,故y2∴直线AB的方程为y-12∵M为直线AB上任意一点,∴OM的最小值为点O到直线AB的距离,∴(OM)min=|0+0-2|12+14.D延长AF1交椭圆于A1,根据椭圆的对称性,得F2B=设直线AA1的方程为x=my-c,A(x1,y1),A1(x2,y2),联立x=my-c,x2a2+y2b则y1+y2=2b由F1A=2A1F1,得y1=-2y则y1=-2y由y1y2=-b4可得-22整理得m2=(3-22则(3+22)c2−(3−22)a2>0,即c2a2又0<e<1,∴椭圆的离心率的取值范围是(3-22,1).故选D.5.ABC设A(x1,y1),B(x2,y2).由x2a2+y2b2=1,y=x-1,消去y,得(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0,故Δ=4a4-4(a2+b2)·(a2-a2b2由根与系数的关系得x1+x2=2a2a2+b2,x1x2=a2-a2b2a2+b2,易得E(1,0),所以F(-1,0),又∠AFB=90°,所以FA·FB=0,即(x1+1)(x2+1)+y1y2=(x1+1)(x由弦长公式得AB=2·|x1-x2|=2·(x1+x2)2-4x1x2=2211+b2a22+1,由2a2+b2=a6.BD对于A,设A(x1,y1),B(x2,y2),则k=y1-y2x由A,B在C上,得x12a2+y12对于B,直线l恒过点(-c,0),即左焦点F1,所以△ABF2的周长为AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=AF1+AF2+BF1+BF2=2a+2a=4a,故B正确;对于C,直线l所过的定点F1(-c,0)在椭圆内部,故l与椭圆相交,联立y=k(x+c),x2a2+y2b2=1,消去y可得(a2k2+b2则x1+x2=-2a则AB=1+=21+=2=2=2=2b令t=k2≥0,可知f(t)=2b对于D,AF1=(−c−x1,−y1),AF2=(c-x1,-y1),则由x12a2+y12b2=1,可得y12所以0≤a2(4c2-b2)c2≤a2,即0≤4c2-b2≤c2,则0≤4c所以0≤5c2-a2≤c2,即4c2≤a2≤5c2,即4e2≤1≤5e2,解得55≤e≤12,故D正确.故选7.答案-3或-1解析若a>b>0,则不妨取A1(0,-a),A2(0,a),设P(x0,y0)(x0≠0),由P在椭圆C上,得y02a所以kP∵ca=6故kP若b>a>0,则