线性代数教学案同济版

线性代数

课程教案

学院、部______________________

系、所_________________________

授课教师_______________________

课程名称线性代数

课程学时45学时

实验学时_______________________

教材名称_______________________

年月日

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___________线性代数__________课程教案

授课类型理论课授课时间3节

授课题目（教学章节或主题）：第一章行列式

§1二阶与三阶行列式

§2全排列及其逆序数

§3n阶行列式的定义

§4对换

本授课单元教学目标或要求：

1.会用对角线法则计算2阶和3阶行列式。

2.知道”阶行列式的定义。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）:

基本内容：行列式的定义

1.计算排列的逆序数的方法

设。〃是L2,，〃这几个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。

先看有多少个比0大的数排在0前面，记为:；

再看有多少个比必大的数排在2前面，记为右；

最后看有多少个比P“大的数排在P0前面，记为《；

则此排列的逆序数为r=4+^++%。

2.〃阶行列式

〃]]U12

a42a2n/、、t

D=21=L（T）%p%4%

（P1P2PG

anlan2ann

其中P1P2P〃为自然数L2,小的一个排列，，为这个排列的逆序数，求和符号£是对所有排列

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(PlP2求和。

n阶行列式。中所含〃2个数叫做。的元素，位于第/•行第j列的元素与，叫做D的(，,j)元。

3.对角线法则：只对2阶和3阶行列式适用

重点和难点：理解行列式的定义

行列式的定义中应注意两点：

(1)和式中的任一项是取自。中不同行、不同列的〃个元素的乘积。由排列知识可知，。中这样的

乘积共有加项。

⑵和式中的任一项都带有符号(-1)'"为排列(。於22)的逆序数，即当PR刃是偶排列时,

对应的项取正号；当PiPz%是奇排列时，对应的项取负号。

综上所述，”阶行列式。恰是。中所有不同行、不同列的〃个元素的乘积的代数和，其中一半

-+H--T-口_s|z-f±f-Zz,口

中正巧，一牛市负节。

例：写出4阶行列式中含有ana23的项。

角牛.3a32a44禾口“11。03a34a420

例.试判断％4"23%1"42。56。65和—。32"43"14"51”25。66是否都是6阶仃列式中的项。

解：q4a23a31。42。56。65下标的逆序数为7-(431265)=0+1+2+2+0+1=6,^^a14a23a31a42a56a65

是6阶行列式中的项。

-％2。43%4a51a25。66下标的逆序数为4341526)+7-(234156)=5+3=8,所以--心知a51a25〃不

是6阶行列式中的项。

000

0020

例：计算行列式。

0300

4000

解:D=(-l)0+1+2+3l-2-3-4=24

本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合

首先通过二(三)元线性方程组的解的表达式引出二(三)阶行列式的定义。然后介绍有关全

排列及其逆序数的知识，引出〃阶行列式的定义。

通过讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系，引导学生了解行列式的三种等价定义。

本授课单元思考题、讨论题、作业：

§1P.261(1)(3)

§22(5)(6)

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本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）

线性代数附册学习轴导与习题选讲（同济第四版）

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___________线性代数__________课程教案

授课类型理论课授课时间2节

授课题目（教学章节或主题）：第一章行列式

§5行列式的性质

§6行列式按行（列）展开

§7克拉默法则

本授课单元教学目标或要求：

1.知道〃阶行列式的性质。

2.知道代数余子式的定义和性质。

3.会利用行列式的性质及按行（列）展开计算简单的〃阶行列式。

4.知道克拉默法则。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容：

1.行列式的性质

（1）行列式。与它的转置行列式相等。

（2）互换行列式的两行（列），行列式变号。

（3）行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数左，等于用数人乘此行列式；或者行列式的

某一行（列）的各元素有公因子女，则上可提到行列式记号之外。

（4）行列式中如果有两行（列）元素完全相同或成比例，则此行列式为零。

（5）若行列式的某一列（行）中各元素均为两项之和，则此行列式等于两个行列式之和。

（6）把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）的对应元素上去，行列

式的值不变。

2.行列式的按行（列）展开

⑴把”阶行列式中（z,J）元因所在的第i行和第/列划去后所成的n-1阶行列式称为（i,j）元阳的

余子式，记作场；记A..=（-1产%,则称A..为（z,j）元4.的代数余子式。

（2）”阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积的和。即可以按第

，行展开：

+

D=a（.141+a;24-2+。加4“«=1，2,,”）；

或可以按第/列展开：

。=勺4+旬4++。04（）=1,2,,«）.

（3）行列式中任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即

A"+a,-2A'2++&向a=。，7/）,

或auA）i+atA>2++。加4=°，7/九

3.克拉默法则

含有“个未知元七,％，%的几个线性方程的方程组

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%1%+%2%++ainX,.=Z?I

4%+%2%2++annX„=bn

当4，由，，2全为零时，称为齐次线性方程组；否则，称为非齐次线性方程组。

D

(1)如果方程组的系数行列式。工0,那么它有唯一解：七==。=1,2,,n),其中

D

R(i=l,2,,n)是把。中第i列元素用方程组的右端的自由项替代后所得到的n阶行列

式。

(2)如果线性方程组无解或有两个不同的解，那么它的系数行列式。=0。

(3)如果齐次线性方程组的系数行列式O#0,那么它只有零解；如果齐次线性方程组有非零

解，那么它的系数行列式必定等于零。

用克拉默法则解线性方程组的两个条件：(1)方程个数等于未知元个数；(2)系数行列式不等于

克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系.它主要

适用于理论推导.

4.一些常用的行列式

(1)上、下三角形行列式等于主对角线上的元素的乘积。即

2

]a??a)

特别地，对角行列式等于对角线元素的乘积，即。=

类似地，D==(-1)aina2,n-l

⑵设乌=

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a\\a\k

0

akk

D=a-

=。1。2

cn%bu

Cb

%nkb”inn

⑶范德蒙(Vandermonde)行列式

1

玉

=na-%)

n>i>j>l

n-\

玉

计算行列式常用方法：(1)利用定义；(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列

式的值。

重点和难点：行列式的计算，要注重学会利用行列式性质及按行(列)展开等基本方法来简化行列

式的计算。

例：课本P.12例7一例9

例：课本P.21例13

例：课本P.25例16

本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合

以从行列式的定义为切入口，引导学生探讨行列式的各种性质。通过大量的例题引导学生掌握

如何利用行列式性质及按行(列)展开等基本方法来简化行列式的计算。

本授课单元思考题、讨论题、作业：

思考题

问：当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则解方程组？为什么？此时方程组的解为

何？

答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能否用克拉默法则解方程组，因为此时方程组的解为无

解或有无穷多解。

本授课单元思考题、讨论题、作业：

§5P.264(1)(2)(3),5⑴⑵，7(1)(2)(5)

§6P.265(4),7(3)(6)

§7P.288(1),9

本授课单元参考资料(含参考书、文献等，必要时可列出)

线性代数附册学习辅导与习题选讲(同济第四版)

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___________线性代数___________课程教案

授课类型理论课授课时间2节

授课题目（教学章节或主题）：

第二章矩阵及其运算

§1矩阵

§2矩阵运算

§3逆矩阵

§4矩阵分块法

本授课单元教学目标或要求：

掌握矩阵的定义,矩阵的加减法'数乘'转置'矩阵求逆'矩阵的行列式'分块矩阵等运算,了解矩

阵

多项式运算

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

本章拟分3次课完成，第一讲：§1矩阵,§2矩阵的运算;第二讲：§3逆矩阵;第三讲：§4矩阵分块法

第一讲：§1矩阵,§2矩阵的运算；

基本内容:§1矩阵：

一矩阵的定义，

定义1由MxN个数%（1=1,2,…，町）=1,2,…组成的加行〃列的数表

ailai2…ain

。21&22…

。mlam2,‘.

称为m行〃列矩阵，简称MxN矩阵,为表示它是一个整体，总是加一个括弧,并用大写黑体字母表

示它，记作

。12…ain

a乜…a2rl

_°加。m2_

这M义N个数称为菊阵A的元素，简称为元，数%位于矩阵A的第i行j列，称为矩阵A的（l,J）元，以数

«,7•为（LJ）元的矩阵可简记为（%）或（因）,M义N矩阵A也记着Amxn.

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵

行数和列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵，n阶矩阵A也记作A„.

只有一行的矩阵

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4=(。1a2•••a”)

称为行矩阵，又称为行向量，行矩阵也记作

A=(%,a2,■­■,«„)

只有一列的矩阵

b2

A=：

称为列矩阵，又称为列向量.

两个矩阵的行数相等，列数也相等，称它们是同型矩阵，如果A=(因),B=(%)是同型矩阵,，并且它们的

对应元素相等，即

%=b式i=1,2,…,m,j=1,2,…n),

那么就称矩阵A与矩阵B相等，级作

A=B

元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O,不同型的零矩阵是不同的.

§2矩阵的运算

-矩阵的加法

定义2设有两个相x〃矩阵A=(附)和B=(%)，那么矩阵A与B的和记着A+B,规定为

ab

u+nan+bnaln+bln

。21+匕21。22+^22…a?”+。2n

a+a+a+

_,nlm2…,nn^mn_

两个矩阵是同型矩阵时才能进行加法运算.

矩阵加法满足下列运算规律(设A,B,C都是mx"矩阵)：

(z)A+B=B+A;

(zz)(A+B)+C=A+(B+C)

A=(%)的负矩阵记为

-A=(一因)

A+(-A)=O

规定矩阵的减法为

A-B=A+(-B)

二矩阵的数乘

定义3数4与矩阵A的乘积记作九4或AX,规定为

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Atl]]/^ZZ12…

^<^22***幺，^2〃

AA二

Tl/Z17I/Z。•••/(zz

Lmlm2'〜侬？」

矩阵数乘满足下列运算规律(设人3为机'〃矩阵,/1,〃为数)：

(1)(沏)A=2(/4);

(2)(/I+//)A=AA+/jA

(3)^A+B}=AA+AB

重点,难点:矩阵乘矩阵:让学生充分理解矩阵乘矩阵的定义，特别强调前面矩阵的列等于后面矩阵

的行的原因.说明矩阵乘法常态下不满足消去率,通过练习提高学生的计算准确率.

三矩阵乘矩阵

定义4设A=(囹)是一个根xs矩阵,B=(%)是一个sx"矩阵那么矩阵A与矩阵B的乘积是一

个相x〃矩阵C=(q)其中

Cij=%如+q2%+.•.+aisbsj=

k=\

«=1,2,…，根"=1,2,…,72)

把此乘积记为

C=AB

且有

J

(如，为2，…，a)：=沏%+ab+---+abab

isi22jissjikkjij

,女=1

%)

例4求矩阵

10、

(\03-113

A=与3=

(2102011

34,

的乘积

,410、

(\03-1A-113_(9-2-1、

解C=AB=102J211一19911

0?

、134,

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例5求矩阵

，-24、(24、

A=与8=

,1-2J「3-6J

的乘积AB与BA

(-24、(24、J-16—32、

解AB=

-2八-3-6J18

(24](-24、「00、

BA=—6)[1WAB

1-3-2J二。0>

对于两个“阶方阵AB若AB=BA,称方阵A与B可交换

从上面等式可以得出结论:若AHO而A(X-Y)=0也不能得出X=Y的结论

矩阵的乘法虽不满足交换律，满足结合律和分配律

(1)(AB)C=A(BC)

(2)2(AB)=(AA)B=A(2B)2为数

(3)A(B+C)=AB+AC

(B+C)A=BA+CA

对于单位矩阵E,有

EA=AAE=A

即：

EA=AE=A

特殊矩阵：

1单位矩阵；

」0•••0、

01•••0

E=

、00•••1?

2数量矩阵

900、

02­••0

AE

()0•••

3对角矩阵

400、

0。22…0

、00•••%

4；三角矩阵

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/

61“12.11。1J«110•••0、

0〃22,,,a2n21〃22.••0

或。

••0

00•,,ann,Qi册2.,,ann)

可以得到：

(洱)4=犯=4(珥)

表明纯量矩阵跟任何矩阵可交换

定义矩阵的帚为

A1=A,A2==A"

其中左为正整数

例6证明

cos0—sm0)(cos〃0-smn(p

、sin>cos*J(sin〃夕cosn(p?

证用数学归纳法,〃=1时显然成立，设〃二人时成立，即

(•\k

cos。一sin。zoskcp-sinkp

、sin°cos。，ksin左夕cosk(p?

当〃=左+1时，有

(­\k+\/•\

cos。一sin/'coskcp-sink。、cos。一sin。

sin/cos/.sink/cosk/7、sin°cos。.

(cos左9cos夕一sin左夕sin。-sinkcpcoscp-cos^sincp^

、sin左9cos9+cos左夕sin。cos左9cos°-sin左夕sin。)

_'cos也+l)(p-sin(k+1)夕、

、sin(k+1)。COS&+1)。)

等式得证.

四矩阵的转置

定义5把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作A?

auan.,•%"a\\“21•,dml.

21“22•a2an〃22.••am2o

A=。n.则AT=

a,nlam2.a,nn__aina2n.••amn」

A的转置也是一种运算，满足

⑴(万尸=4

(2)(A+B)r=Ar+BT

(3)(2A)r=2Ar

(4)(AB)T=BTAT

证明⑷设A=(%)…B=电)记A3=C=C)…,"M=D=3))j，有

s

cfi=E3

k=l

而"的第i行为(瓦也.，…,雄),K的第j列为(孙，…,外尸,因此

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d)=工0加於=>,a*bki

dg=(："。=1,2,…,”"=1,2,…，㈤

BTAT=(AB)r

例7已知

求(AB)，

解因为

所以

'017、

(AB)r=1413

「310,

若A是〃阶方阵，如果满足A，=A,即

%=a"(Lj=1,2,…，n)

那么A称为对称矩阵.

例设列矩阵X=(芭,招了满足X「X=1,E是”阶单位阵,H=E-2XXT，证明H是对称

矩阵，且印广=6

HT^{E-2XXTY

=ET-2XXT

=E—2XX〔=H

所以H是对称矩阵.

HHT^H2=(E-2XXT)2

^E-4XXT+4(XXTXXXT)

=E-4XXr+4X(X?X)XT)

^E-4XXT+4XXT^E

五方阵的行列式

定义6由〃阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素位置不变)，称为方阵A的行列式，记作网

或

detA

Ml满足下列运算规律(A,B为”阶方阵,2为数)

H)K|=|A|

(2)阳=/阿

0)3耳=网",且M耳=|必

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例9行列式N的各个元素的代数余子式&所构成的如下的矩阵

A%…A?

A?42…A；2

IA“A?”,,,A"J

称为A的伴随矩阵试证

AA*=A*A=|坐

证明设A=(%)，记A4*=(%)，则

by=ajiAjl+ai2Aj2'+上。而4加=网与

故44*=(同为)=同(热)=网后

类似有

A*A=(£4备)(|4琢)=|A|(^,)=|A|E

%=1

本授课单元教学手段与方法：

讲授为主，练习为辅，主要让学生充分理解矩阵运算的定义，原则，从而掌握矩阵运算，并通过练习

提高学生运算的准确率.

本授课单元思考题、讨论题、作业：

P53:3.4(l),(2)；(3),(4)

本授课单元参考资料(含参考书、文献等，必要时可列出)

线性代数附册学习辅导与习题选讲(同济第四版)

注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3.“重点”、“难点”、“教学手段与方法

部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。

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___________线性代数___________课程教案

授课类型理论课授课时间2节

第二讲：§3逆矩阵

基本内容：§3逆矩阵

定义7对于〃阶矩阵A,如果有一个〃阶矩阵B,使

AB=BA=E

则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，简称逆阵.记为A-1

如果A可逆，则A的逆阵是唯一的.因为:设B,C都是A的逆阵，则有

B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C

定理1若矩阵A可逆，则网W0

证A可逆，即有使A*=瓦故网=|国=1所以网70.

定理2若网20,则矩阵A可逆，且

4T-J_4*

■|A|A

其中A*为A的伴随矩阵.

证由例9可知

AA*=ATA=\^E

所以有

A^-A*=，A*A=E

⑶国

按照逆矩阵的定义知A可逆，且有

4T-J_4*

■|A|A

当网=0时称A为奇异矩阵,否则称A为非奇异矩阵，可逆矩阵就是非奇异矩阵.

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推论若AB=E(或痴=E)厕B=A-1

证阿•冏=|同=1,故网片0,因而A-存在，有

B=EB=(AlA)B=A-1(AB)==斯

逆阵满足下列运算：

(1)若A可逆，则A-1也可逆，且(A」］)T=A.

⑵若A可逆〃数则九4可逆，且(4A)T=2一

A

⑶若A,B为同阶矩阵且可逆，则AB也可逆，且

(A5)-'=B^A-1

证(AB)(BTAT)=4(班T)A-1=AEA-=AA-1=E，由推论有：

(4)若A可逆"，则K也可逆，且(K)T=(AT)T

证AT(AT)7=(ATA)T=E7=E，由推论有：(浦尸=(1广

当网中0时，定义

(Ar)-'=(A-1)rA°=E,AY=(AT)、左为正整数

这样当阈20,4〃为整数，有

4,(A")〃=

重点,难点:逆矩阵的求法.定理2说明通过求伴随矩阵的方式，让学生掌握矩阵求逆，并告知学生下一

章里还有更简单的求逆方法.

(ab}

例10求二阶矩阵，的逆阵.

、cdj

解|H=ad—Z?c,A=,当网w0时，有

_j1(d—b'

A=------

ad-be^-ca?

例11求方阵

,123、

A=221

、343,

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的逆阵.

解网=2,知A可逆,A的余子式

=2,=3,%=2

M2X=—6,M22=—6,%=-2

Af=—4,Af22=一5,心=-2

得

X-M21峪i)(26-4、

A*=—MnM22-M32=-3-65

<加13-〃23A/23,、22—2,

所以

(13-2、

1

A-=^A*=---3-

W22

1-u

\1

例12设

’121n/、n31

(21)

A=22,B=,C=20

()

v537

、34二V317

求矩阵X使其满足

AXB=C

解若人\氏|存在，有

A-1AXBR'=A-'CB'

即

13-2V13)/、

35(3-l^l

X=AxCB1=----3-20

22[-52

11—J"少7

(11"、(-21)

f-1}

=0-2=10-4

、02卜52J)I。4J

(12](\0>

例13设P=,A=,AP=P,A,求A”

U"1。2)

1(L4-2、

解|尸|=2,尸一|=；；

2(一11,

A=PAP1,A2=pA2pT,・.、A"=PA"pT

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n0、2no)〃n0>

而/A=，…,A=

(02)Lo2?2J(02“j

所以

(12Y10>Ip—21-if12〃+i4—2、

n

A=PNP-'=4Jo2n)2[-l17丸

J

1(4-2"+i2"—1

+2

2^4-2"2"+1-1J

定义设0(%)=4+〃1%+〃2元2H-----

为x的机次多项式,A为n阶矩阵记

m

0(A)—CLQE+UyA+a2A2+,,,+cimA

0(A)称为矩阵A的机次多项式.，可证矩阵A的两个多项式。(A)和/(A)是可交换的，即有

-A)=F(A1(A)

A的多项式可以象数x的多项式一样相乘或分解因式.例如

(E+A)(2E-A)=2E+A-A2

(E-A)3=E-3A+3A2-A3

容易证明

⑴如果A=PAP-,则Ak=,从而

0(A)=。。石+%A+%A~+…+a,”4"

=Pa0EP-'+P/AP-i+Pa2A2-1+…+Pa“N"P-

=P°(A)PT

⑵如果A=dia/,4,…，儿)为对角阵测#=d，ag(若，若，…，爱)，从而

0(A)=GQE+<7]A+a2K+,•,+aMN”

、

、'4、

1m

i丸242

=ao+%+…+a,“

0

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7(4)、

=。(①

本授课单元教学手段与方法：

讲授为主，练习为辅，通过逆矩阵的定义及定理2的证明让学生充分掌握矩阵的求逆运算，并告

知学生在下一章里还可用更简练的方法计算逆矩阵

本授课单元思考题、讨论题、作业：

P54:11(1),(3)；12(1),(2)；P55：19,22

本授课单元参考资料(含参考书、文献等，必要时可列出)

线性代数附册学习轴导与习题选讲(同济第四版)

___________线性代数___________课程教案

授课类型理论课授课时间2节

第三讲：§4矩阵分块法

基本内容:§4矩阵分块法

对于行数和列数较高的矩阵A,运算时常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算将矩阵A

用若干条纵线和横线分成许多小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块.以子块为元素的形式上的矩阵称

为分块矩阵.

例将3x4矩阵

/

a\\〃12〃13

A=a?2〃23〃24

。32。33“347

可以分块为

"11"11。14'"/11

〃12为3〃12〃13an%3

⑴

〃21。22〃23〃24(2)a22。23〃24(3)。21a22a23。24

。32。33“34J。32。33“34J。32“33。34)

分法⑴可记为

A=Ai2

、4142‘

1112

县苴中由A4l_-，342_-

分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则类似，满足：

(1)设矩阵A与矩阵B的行数相同，列数相同，采用相同的分块法，有

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A=::,B=::

其中,A)与勺的行数相同，列数相同，那么

Ai+%A,+%、

A+B=:

<Ai+Bs\4+及)

pn-AJ

⑵设A=：：,4为数，那么

,•1

//LA1]…AAlr

AA=：：

、A4i•••AAsr>

⑶设A为加x/矩阵,B为/x"矩阵,分块成

%i1•,4,(%…BJ

A=::,B=::

、41…ArJ[综,•'B")

其中4,片2，…4的列数分别等于％,生八…约的行数，那么

(cn-G八

AB=

CJ

其中3=比入用。=1,…,s"=l,…')

k=\

重点,难点：分块矩阵的乘法运算，对于四阶且子块含有零矩阵,单位阵，对角阵的高阶,一般做四块分且

尽量分出单位阵,零矩阵..

例14设

坨E、

品1居2,

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<-12V10^1(10)(—24、

+=

而A+坊1二］J［一12-1-1

V1JII

1］<33、

。广〔31,

10、

01

所以AB=_4

233

、T131J

A…"竹：…砌

⑷设A=:：，则AT=::

H…

(5)设A为〃阶矩阵，若A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块,其余子块都为零矩阵，且在对角线

上的子块都是方阵，即

(A,O•••O}

(°O•••AJ

其中4。=1,2,…s)都是方阵，称A为分块对角矩阵.

分块对角矩阵的行列式有下列性质:

H=|A|A|-|A|

若同屋o(i=L2,…s)，则网二0,并有

’AJO•••。、

A-O对…O

、。O•••£

'500、

例15设A=031,求AT

、02

’50

1)/1f

解A=031,A=(5)，A_,，可

4J、一23,

、02

J

00

5

01-1

0-23

7

对矩阵进行按行分快或按列分块:

mxn矩阵A有机行，称为矩阵A的m个行向量，若第i行记作

邸=(沏，42,…，口加)

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则矩阵A记为

A,或

机X〃矩阵A有几列，称为矩阵A的"个列向量，若第j列记作

alj