高中数学三维设计浙江专版必修1讲义1．1 集 合

第❶部分把书读厚

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基础知识系统整合

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让你在学通学精教材的同时

紧紧把握高考的脉动

I1集合

1.1.1集合的含义与表示

第一课时集合的含义

课前自主学习，基稳才能楼高

预习课本P2〜3,思考并完成以下问题

(1)集合和元素的含义是什么？它们各自用什么字母表示？

(2)元素和集合之间有哪两种关系？常见的数集有哪些？分别用什么符号表示?

1.元素与集合的概念

(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素.元素常用小写的拉丁字母。，6,c,…表示.

(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为基).集合通常用大写的拉丁字母A,B,C,…表示.

⑶集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的.

(4)元素的特性：确定性、无序性、互异性.

［点睛］集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，

因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么.集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一

些物.

2.元素与集合的关系

关系语言描述记法读法

属于a是集合A中的元素a^Aa属于集合A

不属于。不是集合A中的元素«?4a不属于集合A

［点睛I对元素和集合之间关系的两点说明

(1)符号“W”“？”刻画的是元素与集合之间的关系.对于一个元素a与一个集合4而言，只有ua

GA”与“a?A”这两种结果.

（2）G和?具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如RGO是错误的.

3.常用的数集及其记法

常用的数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

记法NN*或N+Z攵R

1.判断（正确的打“J”，错误的打“X”）

（1）你班所有的姓氏能组成集合.（）

（2）新课标数学人教A版必修1课本上的所有难题.（）

（3）一个集合中可以找到两个相同的元素.（）

答案：⑴J（2）X（3）X

2.下列元素与集合的关系判断正确的是（）

A.OGNB.TTCQ

C.eqGQD.-1?Z

答案：A

3.已知集合A中含有3个元素一2,4,x2-x,且6GA,则x的值是（）

A.2B.-2

C.3D.3或一2

答案：D

4.方程x2-l=O与方程x+l=O所有解组成的集合中共有个元素.

答案：2

字课堂讲练设计，举一能通类题

FTqM集合的基本概

［例1］考察下列每组对象，能构成一个集合的是（）

①某校高一年级成绩优秀的学生;

②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；

③不小于3的自然数；

©2016年第31届奥运会金牌获得者.

A.③④B.②③④

C.②③D.②④

［解析］①中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能构成一个集合；②③④中的对象都满足确定性,

所以能构成集合.

［答案］B

判断一组对象能否组成集合的标准

判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组

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成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.

［活学活用］

1.给出下列说法：

①中国的所有直辖市可以构成一个集合；

②高一⑴班较胖的同学可以构成一个集合；

③正偶数的全体可以构成一个集合；

④大于2011且小于2016的所有整数不能构成集合.

其中正确的有.，(填序号)

解析：②中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以②错误；④中的所有整数能

构成集合，所以④错误.

答案：①

题型二元素与集合的关系

［例2］⑴下列关系中，正确的有()

*GR；②啦?Q；(3)|-3|GN;④|一小|GQ.

A.1个B.2个

C.3个D.4个

(2)集合A中的元素x满足±GN,xGN,则集合A中的元素为.

［解析］(1)；是实数，也是无理数，|一3|=3是非负整数，|一小|=布是无理数.因此，①②③正确,

④错误.

(2)由题意可得：3—x可以为1,2,3,6,且x为自然数，因此x的值为2,1,0.因此A中元素有2,1,0.

［答案］(1)C(2)0,1,2

判断元素与集合关系的2种方法

(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.

(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，

此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.

［活学活用I

2.已知集合A中有四个元素0,1,2,3,集合B中有三个元素0,1,2,且元素a^A,或B,则a的值为()

A.0B.1

C.2D.3

解析：选DVaGA,a?5,...由元素与集合之间的关系知，a=3.

3.用适当的符号填空：

已知A={x\x=3k+2,ACZ},B={x\x=6m~l,mGZ},则有：174：-5A；

17B.

解析：令弘+2=17得，A=5£Z.

所以17W4.

7

令弘+2=—5得，A=一§?Z.

所以一5?A.

令6,〃一1=17得，机=3WZ,

所以17GB.

答案：G?G

题型三

［例3］已知集合A含有两个元素a和层,若1G4,则实数a的值为.

［解析I若1GA,则a=l或〃=1,即。=±1.

当a=l时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，

当。=一1时，集合A含有两个元素1,-1,符合元素的互异性..•/=一1.

［答案］-1

［一题多变］

LI变条件I本例若将条件“1GA”改为“2GA”，其他条件不变，求实数a的值.

解：B）2GA,则a=2或序=2即°=2,或a=巾,或a=-g.

2.［变条件］本例若去掉条件“164”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？

解：因A中有两个元素a和出，则由。中出解得

aWO且

3.［变条件］已知集合4含有两个元素1和出，若“aGA”，求实数a的值.

解：由aGA可知，

当a=l时，此时“2=1,与集合元素的互异性矛盾，

所以aWL

当。=居时，a=0或1（舍去）.

综上可知，a=0.

根据集合中元素的特性求解字母取值（范围）的3个步骤

/求解7~母据集合中元素的确定性，解出字母的所有取值

/检验？据集合中元素的互异性，对解出的值进行枪验

/作答，■「写出所有符合题意的字母的取值

课后层级训练，步步提升能力

层级一学业水平达标

1.下列说法正确的是（）

A.某班中年龄较小的同学能够形成一个集合

B.由1,2,3和y［9,1,W组成的集合不相等

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C.不超过20的非负数组成一个集合

D.方程（x—l）（x+1户=0的所有解构成的集合中有3个元素

解析：选CA项中元素不确定.B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个

集合相等.D项中方程的解分别是X|=l,X2=X3=-1.由互异性知，构成的集合含2个元素.

2.已知集合A由的数构成，则有（）

A.3GAB.ISA

C.OGAD.~17A

解析：选C很明显3,1不满足不等式，而0,-1满足不等式.

3.下面几个命题中正确命题的个数是（）

①集合N”中最小的数是1；

②若一a?N*,则a£N*；

③若aGN*,则a+分最小值是2；

@x2+4=4x的解集是{2,2}.

A.0B.1C.2D.3

解析：选CN*是正整数集，最小的正整数是1,故①正确；当a=0时，-a?N*,且a?N*,故②错；

若“GN*,则a的最小值是1,又5GN*,b的最小值也是1,当a和b都取最小值时，a+万取最小值2,

故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的.故①③正确.

4.已知集合A含有三个元素2,4,6,且当“GA,有6—贝！］a为（）

A.2B.2或4

C.4D.0

解析：选B若a=2W4,则6—a=4W4;或a=4GA,则6-a=2GA;若a=6G4,则6—a=O?A.

故选B.

5.由实数一。，a,M|,而所组成的集合最多含有的元素个数是（）

A.1B.2C.3D.4

解析：选B当〃=0时，这四个数都是0,所组成的集合只有一个元素0.当时，声=|a|=

{a9〃>0,

।所以一定与〃或一Q中的一个一致.故组成的集合中有两个元素，故选B.

1-a,a<0,

6.下列说法中：

①集合N与集合N+是同一个集合；

②集合N中的元素都是集合Z中的元素；

③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；

④集合Q中的元素都是集合R中的元素.

其中正确的有（填序号）.

解析：因为集合N+表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数

集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确.

答案：®®

7.已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a£A,b《B,则a+bA,

ab(填d或?).

解析：是偶数，b是奇数，

.•.a+6是奇数，必是偶数，

故a+b?A,ab&A.

答案：？G

8.已知集合尸中元素x满足：xGN,且2<x<a,又集合尸中恰有三个元素，则整数。=.

解析：•.•xGN,2<x<a,且集合尸中恰有三个元素，

二结合数轴知a=6.

答案：6

9.设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若“GA且求a的值.

解：VaSAJL3aSA,

〃v6,

解得a<2.又Q£N,

3a<6,

/•a=0或1.

10.已知集合A中含有两个元素x,山集合3中含有两个元素0,x2,若4=3,求实数X,y的值.

解：因为集合A,B相等，则x=0或y=0.

(1)当x=0时，x2=0,则5={0,0},不满足集合中元素的互异性，故舍去.

2

(2)当y=0时，x=xf解得x=0或x=l.由⑴知x=0应舍去.

综上知：x=l,y=0.

层级二应试能力达标

1.下列各组中集合P与0,表示同一个集合的是()

A.尸是由元素1,5，7T构成的集合，。是由元素It,1,|一方|构成的集合

B.尸是由兀构成的集合，。是由3.14159构成的集合

C.尸是由2,3构成的集合，。是由有序数对(2,3)构成的集合

D.P是满足不等式一IWXWI的自然数构成的集合，。是方程*2=1的解集

解析：选A由于A中P,。元素完全相同，所以尸与。表示同一个集合，而B、C、D中元素不相

同，所以P与。不能表示同一个集合.故选A.

2.若以集合A的四个元素a,b,c,d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是()

A.梯形B.平行四边形

C.菱形D.矩形

解析：选A由于a,b,c,d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等.

3.若集合A中有三个元素1,a+b,a；集合3中有三个元素0,人若集合A与集合5相等，则b

—a=()

A.1B.-1

C.2D.-2

解析：选C由题意可知a+〃=0且a#0,：.a=-b,

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A-=—l./.a=—1,b=l故万一a=2・

a9

4.已知a,B是非零实数，代数式号+f+鬻的值组成的集合是M,则下列判断正确的是()

A.()GMB.-1GA/

C.3?MD.1GM

解析：选B当a,Z)全为正数时，代数式的值是3;当“，〃全是负数时，代数式的值是一1;当a,

。是一正一负时，代数式的值是一1.综上可知B正确.

5.不等式x-aeO的解集为4,若3?4,则实数a的取值范围是.

解析：因为3?A,所以3是不等式x-a<0的解，所以3-a<0,解得a>3.

答案：a>3

6.若集合A中含有三个元素a—3,2a—1,a2-4,且一3GA,则实数。的值为.

解析：(1)若a—3=—3,则a=0,此时4={-3,—1,一4},满足题意.

(2)若2a—1=—3,则a=—1,此时A={—4,—3,—3),不满足元素的互异性.

(3)若砂一4=-3,则。=±1.当a=l时，A={-2,1,一3},满足题意；当。=一1时，由(2)知不合题

意.

综上可知：a=0或a=l.

答案：0或1

7.集合A中共有3个元素一4,2a-1,a2,集合B中也共有3个元素9,a—5,1—a,现知9CA且集

合8中再没有其他元素属于4能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说

明理由.

解：V9eA,.•.2。-1=9或层=9,

若2°—1=9,则a=5,此时A中的元素为-4,9,25;8中的元素为9,0,—4,显然一4GA且一4G优

与已知矛盾，故舍去.

若层=9,则。=±3,当a=3时，4中的元素为一4,5,9;8中的元素为9,-2,-2,B中有两个一2,

与集合中元素的互异性矛盾，故舍去.

当”=—3时，4中的元素为一4,-7,9;8中的元素为9,一8,4,符合题意.

综上所述，满足条件的a存在，且a=-3.

事选做题

8.设A为实数集，且满足条件：若aGA,则士GA(a#l).

求证：(1)若2GA,则A中必还有另外两个元素；

(2)集合4不可能是单元素集.

证明：⑴若“CA,则［J.GA.

又・・・2£4,AT—

L乙

v-ieA,

V7GA,.*.-^7=2GA.

1—

12

.•.a中必还有另外两个元素，且为一1,\

(2)若A为单元素集，则a=］1

即层一。+1=0,方程无解.

.•.aW士，集合A不可能是单元素集.

第二课时集合的表示

1.列举法

把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.

［点睛I列举法表示集合时的4个关注点

(1)元素与元素之间必须用“，"隔开.

(2)集合中的元素必须是明确的.

(3)集合中的元素不能重复.

(4)集合中的元素可以是任何事物.

2.描述法

⑴定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.

(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,

在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

［点睛］描述法表示集合时的3个关注点

(1)写清楚集合中元素的符号.如数或点等.

(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等.

(3)不能出现未被说明的字母.

1.判断(正确的打“，错误的打"X”)

(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}.()

⑵集合{(1,2)}中的元素是1和2.()

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(3)集合A={x|*—1=0}与集合5={1}表示同一个集合.()

答案：(1)X(2)X(3)J

2.方程组的解集是()

{x—y=-3

A.(-1,2)B.(1,-2)

C.{(-1,2)}D.{(1,-2))

答案：C

3.不等式工一3<2且xGN*的解集用列举法可表示为()

A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4)

C.{0,l,2,3,4,5}D.{1,23,4,5)

答案：B

4.不等式4x—5<7的解集为

答案：{x|4x—5<7}

字课堂讲练设计，举一能通类题

题型一用列举法表示集合

［例1］用列举法表示下列集合.

(1)不大于10的非负偶数组成的集合；

(2)方程V=x的所有实数解组成的集合；

(3)直线y=2x+i与j轴的交点所组成的集合.

［解］(1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集

是{0,2,4,6,8,10}.

(2)方程x3=x的解是x=0或x=l或x=—1,所以方程的解组成的集合为{0,1,—1).

⑶将x=0代入y=2x+l,得y=l,即交点是(0,1),

故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}.

用列举法表示集合的3个步骤

(1)求出集合的元素.

(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次.

(3)用花括号括起来.

［活学活用］

1.若集合4={(1,2),(3,4)},则集合A中元素的个数是()

A.1B.2

C.3D.4

解析：选B集合A={(1,2),(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4).

2.用列举法表示下列给定的集合：

(1)大于1且小于6的整数组成的集合A.

(2)方程x2-9=0的实数根组成的集合B.

(3)一次函数y=x+3与j=-2x4-6的图象的交点组成的集合D.

解：(1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5,所以A={2,3,4,5}.

(2)方程*2-9=0的实数根为一3,3,所以3={-3,3}.

y=x+3,x=l,

⑶由,得

y=-2x+6尸4,

所以一次函数y=x+3与j=-2x+6的交点为(1,4),所以。={(1,4)}.

归士担用描述法表示集合

［例2］用描述法表示下列集合:

(1)被3除余1的正整数的集合；

(2)坐标平面内第一象限的点的集合；

⑶大于4的所有偶数.

［解］⑴根据被除数=商、除数+余数，可知此集合表示为{x|x=3"+l,〃GN}.

(2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x,j)|x>0,j>0}.

(3)偶数可表示为2n,nSZ,又因为大于4,故稔3,从而用描述法表示此集合为{x|x=2〃，"GZ且n>3}.

mm

描述法表示集合的2个步骤

代表元素I：他的元素：

B-------------

|明确元素I1需逐合而元翥正真看庙外兵一亿有五螟

的特征；线的后面：

［活学活用］

3.用符号“G”或“？”填空：

(l)A={x|x2-x=0},贝!|1A,-1A；

(2)(1,2){(x,j)ly=x+l).

解析：⑴易知4={0,1},故1G4,-1?A;

(2)将x=l,y=2代入y=x+l,等式成立.

答案：⑴G?(2)€

4.用适当的方法表示下列集合：

(1)已知集合P={x|x=2〃,0W"W2且"WN}；

⑵抛物线y=x2-2x与x轴的公共点的集合；

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(3)直线j=x上去掉原点的点的集合.

解：(1)列举法:P={0,2,4}.

(y=x2—2x

⑵描述法：5?x,y?'.

Ilv=o

或列举法：{(0,0),(2,0)}.

(3)描述法：{(x,y)\y=x,x#0}.

题型三"

［例3］⑴若集合4={工611|"2+2丫+1=0,aGR}中只有一个元素，贝||a=()

A.1B.2

C.0D.0或1

(2)设;c(xx2—ax—1=0),则集合{xx2—yx—a=0}中所有元素之积为

［解析I(1)当a=0时，原方程变为2x+l=0,

此时x=一符合题意；

当。制时，方程ax2+2x+l=0为一元二次方程，

/=4—4〃=0,即〃=1,原方程的解为x=—1,符合题意.

故当a=0或a=l时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素.

5

-

2

©X

L2

所

以r

z

解

得Q

:z=

当片号时，方程F—枭+9。的判别式/=(一茎>一4号=警。,

乙//X,1**yL

9

-

X+

所以集合X1922

［答案I(1)D(2)1

解答此类问题的策略

(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键.

⑵若已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键.

［活学活用1

5.已知集合A={x|x2—取+方=0},若A={2,3},求a,〃的值.

2+3=%

解：由4={2,3}知，方程*2—仆+/>=0的两根为2,3,由根与系数的关系得，因此a=5,

2X3=6,

b=6.

6.设集合3=xGN

试判断元素1,2与集合B的关系；

用列举法表示集合B.

解：(1)当x=l时，2'=2GN.

当x=2时，Wq=1?N.所以163,2?民

ZIz/

(2)VTT-GN,XGN,；.2+x只能取2,3,6.

/IX

.•.X只能取0,1,4.二8={0,1,4}.

一题多变

题型四集合含义的再认识思维发微

［例4］用描述法表示抛物线y=/+l上的点构成的集合.

［解］抛物线y=x2+l上的点构成的集合可表示为：{(x,j)［y=x2+l).

［一题多变］

1.［变条件，变设问］本题中点的集合若改为“{My=x2+1}”，则集合中的元素是什么？

解：集合{1卜=/+1}的代表元素是X,且xGR,

所以{*如=*2+1}中的元素是全体实数.

2.［变条件，变设问］本题中点的集合若改为“{Mx=x2+1}”，则集合中的元素是什么？

解：集合0^=/+1}的代表元素是y,满足条件＞=*2+1的y的取值范围是y'l,所以作b=/+1}

={My》i},所以集合中的元素是大于等于1的全体实数.

识别集合含义的2个步骤

(1)一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x,y)ly=p(x)}表示点集.

⑵二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性).

字课堂讲练设计，举一能通类题

层级一学业水平达标

1.已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是()

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

解析：选D集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的,

故选D.

2.下列集合中，不同于另外三个集合的是()

A.{x|x=l}B.{x|x2=l}

C.{1}D.{j|(y-l)2=0}

解析：选B{*g=1}={一1,1},另外三个集合都是{1},选B.

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3.已知那么()

A.2GM,~2^MB.2GM,~2?M

C.2?M,~2?MD.2?M,~2^M

解析：选A若x=2,贝"x—1=1<啦，所以2GAf;若x=—2,则x—1=—3<g，所以一2GM.故

选A.

4.下列集合的表示方法正确的是()

A.第二、四象限内的点集可表示为{(x,y)|x)WO,xGR,yGR}

B.不等式X一1<4的解集为{x<5}

C.{全体整数}

D.实数集可表示为R

解析：选D选项A中应是孙<0;选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，

缺少了竖线和竖线前面的代表元素x;选项C的，}”与“全体”意思重复.

5.方程组x：,：]的解集是(

x2~y2=9

A.(—5,4)B.(5,-4)

C.{(-5,4)}D.{(5,-4)}

fx+j=l,[x=5

解析：选D解方程组，，得«=14故解集为{(5,-4)},选D.

[x2—j2=9

6.设集合A={1,-2,a2~1},B={\,a2~3a,0},若4,8相等，则实数Q=.

a2-1=0,

解析：由集合相等的概念得，解得“=1.

a2—3a=-2,

答案：1

7.设一5G{丫旧一ax—5=0},则集合{x|x2+ax+3=0}=.

解析：由题意知，一5是方程x2—ar—5=0的一个根，

所以(一5/+5。-5=0,得”=一4,

则方程x2+ax+3=0,即x2-4x+3=0,

解得x=1或x=3,

所以{X|X2-4X+3=0}={1,3}.

答案：{1R}

8,若4={-2,2,3,4},B={x|x=F,tGA},用列举法表示集合5为

解析：由题意可知集合3是由4中元素的平方构成的，故8={4,9,16}.

答案：{4,9,16}

9.用适当的方法表示下列集合：

⑴一年中有31天的月份的全体；

⑵由直线y=-x+4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合.

解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}.

(2)用描述法表示该集合为M={(x,y)ly=-x+4,xGN,yGN},或用列举法表示该集合为{(0,4),(1,3),

(2,2),(3,1),(4,0)).

10.含有三个实数的集合4=卜，“},若0GA且1GA,求。2。16+左。16的值.

解：由0GA,“0不能做分母”可知aWO,故。2。0,所以$=0,即，=0.

又1£A,可知层=1或〃=i.

当。=1时，得层=1,由集合元素的互异性，知。=1不合题意.

当〃=1时，得。=—1或〃=1(由集合元素的互异性，舍去).

故4=—1,6=0,所以层016+^2016的值为1.

层级二应试能力达标

1.下列命题中正确的是()

A.集合{*g=1,xGR}中有两个元素

B.集合{0}中没有元素

C.eqG{x|x<2"\/3}

D.{1,2}与{2,1}是不同的集合

解析：选A{x|x2=l,XGR}={1,-1};集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是()；{x]x<2小}

={x\x<\[12],回所以恒?{x|xv2小};根据集合中元素的无序性可知{1,2}与{2,1}是同一个集合.

2.已知集合A={x|x=2,〃-1,mGZ},B={x\x=2n,〃6Z},且网、X2^A,X3GB,则下列判断不

正确的是()

A.xrxzGAB.X2-X3GB

C.xj+xz^BD.XI+M+XJGA

解析：选D集合A表示奇数集，8表示偶数集，

.•.Xi,X2是奇数，X3是偶数，

，X1+X2+X3应为偶数，即D是错误的.

3.集合4={了卜=炉+1}，集合8={(x,j)ly=x2+l}(A,〃中xGR,jGR).选项中元素与集合的关

系都正确的是()

A.2GA,且2WB

B.(1,2)GA,且(12)G8

C.2GA,且(3,10)63

D.(3,10)GA,且2G3

解析：选C集合4中元素y是实数，不是点，故选项B,D不对.集合B的元素(x,y)是点而不是

实数，2CB不正确，所以A错.

4.定义产。={而laGP,b^Q],若尸={0,1,2},。={1,2,3},则P*。中元素的个数是()

A.6个B.7个

14/37

C.8个D.9个

解析：选A若a=0,则裙=0;若。=1,则ab=l,2,3;若a=2,则。6=2,4,6.故尸*。={0,1,2,3,4,6},

共6个元素.

5.已知A={(x,J)|X+J=6,xGN,j€N},用列举法表示A为.

解析：•.•x+y=6,xGN,yGN,

x=4,x—5x=6,

《9«

y=2,ly=l,Ly=0.

."={(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)).

答案：{(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}

6.已知集合4={(》，j)|y=2x+l},B={(x,y)|y=x+3},若(xo,yo)GA,(x(>,yo)^B,则(xo,yo)的

值为.

fj=2x+l,fxo=2,

解析：由题意知，（Xo,jo）SA,（Xo,yo）^B,所以（Xo,%）是方程组J的解，解得

□=x+3M=5.

答案：（2,5）

7.已知集合A={x|ax2—3x—4=0,xeR},若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围.

解：当a=0时，A={—?；

当aWO时，关于x的方程ax2-3x-4=0应有两个相等的实数根或无实数根，

9

所以/=9+16aW0,即a这一行.

9

故所求的a的取值范围是77或a=0.

lo

I］点迭版题

8.已知集合4={0+3,（a+l）2,a2+2a+2］,若1GA,求实数a的值.

解：①若a+3=l,则a=-2,

此时A={1,1,2},不符合集合中元素的互异性，舍去.

②若（a+l）2=l,则a=0或a=-2.

当a=0时，4={3,1,2）,满足题意；

当。=一2时，由①知不符合条件，故舍去.

③若a2+2a+2=l,则a=-1,

此时4={2,0,1},满足题意.

综上所述，实数a的值为-1或0.

1.1.2集合间的基本关系

预习课

课前自主学习，基稳才能楼高

本P6〜7,

思考并完成以下问题

［预习导入］

⑴集合与集合之间有什么关系？怎样表示集合间这些关系？

⑵集合的子集指什么？真子集又是什么？如何用符号表示？

⑶空集是什么样的集合？空集和其他集合间具有什么关系？

1.子集的概念

一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意二仝元素都是集合3中的

定义

元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合3的子集

记法

记作出边(或成A),读作“A含于8”(2%“8包含A”)

与读法

或缪

图示

(1)任何一个集合是它本身的子集，即

结论

⑵对于集合A,B,C,若A?B,且3?C,贝!

［点睛］“A是5的子集”的含义是：集合4中的任何一个元素都是集合5的元素，即任意xGA都能

推出xEB.

2.集合相等的概念

如果集合A是集合3的壬集(A?5),且集合3是集合A的壬集(B?A),此时，集合4与集合5中的元

素是一样的，因此，集合A与集合3相等，记作A=B.

［点睛］⑴若A?8,又8?A,则A=8;反之，如果A=8,则4?8,且8?A.

(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.

3.真子集的概念

定义如果集合A?5,但存在元素0,且&,我们称集合A是集合5的真子集

记法记作AB(或BA)

图示

(1)43且5C,则A_C；

结论

(2)4?8且AW8,则

［点睛I在真子集的定义中，AB首先要满足4?8,其次至少有一个但x?4.

4.空集的概念

定义我们把不含任何元素的集合,叫做空集

记法?

规定空集是任何集合的壬集，即??A

16/37

⑴空集只有一个子集，即它的本身，？??

特性

(2)4#?,贝!!?_A

1.判断(正确的打“，错误的打“X”)

⑴空集中只有元素0,而无其余元素.()

(2)任何一个集合都有子集.()

⑶若A=B,则A?5.()

(4)空集是任何集合的真子集.()

答案：⑴X(2"(3)V(4)X

2.设集合M={1,2,3},N={1},则下列关系正确的是()

A.NGMB.N7M

C.N?MD.N?M

答案：D

3,下列四个集合中，是空集的为()

A.{0}B.{x|x>8,且x<5}

C.(XGN|X2-1=0}D.{X|X>4}

答案：B

4.设aCR,若集合{2,9}={1—0,9},则a=.

答案：一1

L工F-'in%•>1

字

集合