2012年第23“希望杯”全国数学邀请赛初一培训题

2012年第23届“希望杯”全国数学邀请赛初一培训题一.选择题1．（3分）计算：A． B． C． D．42．（3分）某堰塞湖的水位是730.13米，若以“千米”为计量单位，则该水位的科学记数法表示是A． B． C． D．3．（3分）如图，半径为的小圆在半径为的大圆内．已知阴影部分面积是小圆面积的3倍．则A． B． C． D．4．（3分）若有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的是A． B． C． D．5．（3分）已知分数的分母是2012，分子是整数，为使的数值最小，的分子应当是A．1206 B．1207 C．1205 D．12086．（3分）若一个绝对值不等于0或1的有理数的相反数的负倒数是，则这个有理数是A． B． C． D．7．（3分）计算：A．2011 B．2012 C．0 D．18．（3分），，，，，，，，，（英汉小词典：大小关系）A． B． C． D．9．（3分）定义符号“☆”的意义是：☆，如果☆☆，那么的值等于A．1 B．2 C．3 D．410．（3分）如图所示，其中A． B． C． D．11．（3分）（2015秋•慈溪市期末）已知，均为非零有理数，与互为相反数，那么A． B． C． D．12．（3分）下面四句关于约数和倍数的话中正确的是A．正整数和的最小公倍数一定小于 B．正整数和的最大公约数一定不大于 C．正整数和的最小公倍数一定不小于 D．正整数和的最大公约数一定大于13．（3分）如图，是边长为21的正三角形．已知四边形的周长是周长的两倍．则五边形的周长是A．137 B．147 C．157 D．16714．（3分）若有理数和都不等于0，且，则，A．异号 B．同号 C．不能同为正数 D．不能同为负数15．（3分），（英汉小词典：无穷多个根）A． B． C． D．16．（3分）某个星期中，从周一到周五这五天的日历号数之和为70，则这一周的星期六的日历号数是A．15 B．16 C．17 D．1817．（3分）图中的直线，在上取点，画出射线与射线垂直，且使得，在以点为旋转中心，射线逆时针旋转的位置上再画射线，这时图中的角共有个．A．4 B．5 C．6 D．718．（3分）对于数，符号表示不大于的最大整数．若有正整数解，则正数的取值范围是A．或 B．或 C．或 D．或19．（3分）某市2011年9月份的平均房价是每平方米6800元，比2008年同期的房价平均每平方米上涨了3000元，假设这三年该市房价的平均增长率都是，则关于的方程是A． B． C． D．20．（3分）若三角形的一个内角等于另两个内角和的2倍．则此三角形的最大角是度．A．90 B．115 C．120 D．13521．（3分）2012的所有正约数的和是A．3528 B．2607 C．2521 D．201222．（3分）等腰的一个外角度数是，则这个三角形的三个内角中最大角与最小角的度数差是A． B．或 C． D．或23．（3分）已知是一个不为0的常数，且当时，；那么当时，A．1 B．2 C．3 D．424．（3分）满足的整数对的组数是A．0 B．1 C．2 D．325．（3分）若一个凸多边形的边数恰好是从某个顶点引出的对角线的条数的倍，则这个多边形的内角和是A． B． C． D．26．（3分）（2006•慈溪市校级自主招生）设、、、、的值均为0、1、2中之一，且，，则的值为A．14 B．16 C．18 D．2027．（3分）如图，中，，的平分线交于，交于，记，的一个邻补角为，．则，，的关系是A． B． C． D．28．（3分）方程的整数解共有个．A．1 B．2 C．3 D．429．（3分）（2016春•雁塔区校级月考）已知数串：依照这前15个数的分子、分母的构成规律排列下去，第100个数是A． B． C． D．30．（3分）（2017•青羊区自主招生）甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行训练．每局两人单打比赛，另一人当裁判．每一局输者当下一局的裁判，而原来的裁判与赢者比赛．一天训练结束时，统计甲共打12局，乙共打21局，而丙共当裁判8局．那么整个比赛中第10局的输者A．必是甲 B．必是乙 C．必是丙 D．不能确定二.填空题31．（3分）计算：．32．（3分）若一个角的余角比这个角的补角的小，则这个角的余角是，这个角的补角是．33．（3分）计算．34．（3分）某人若在同一斜坡上往返上坡速度为，下坡速度为，则往返一次的平均速度．35．（3分）（2013秋•富阳市校级月考）若，则．36．（3分）（2014春•沛县期末）如图1，矩形纸带中，，沿虚线将纸带折起来压平成图2，则．37．（3分）一辆汽车从地驶往地，前路段为普通公路，速度是；其余路段为高速公路，速度为．汽车从地到地一共行驶了5小时，则，两地的距离是．38．（3分）已知一个直角三角形两条直角边之差是1，斜边长为5，则这个直角三角形的面积等于．39．（3分）已知，且与互为相反数，则．40．（3分）如图，共6个同样的小正方体码放在5乘5的方格纸上，则正视图．41．（3分）某经济技术开发区到2001年累计投资总额已达到36.23亿美元．从2001年到2007年，累计投资总额依次为36.23；42.99；63.31；88.13；109.13；140.48；168.62（亿美元）．则2007年比上一年的投资增长了（取二位小数）．42．（3分）在一条公路上汽车、、分别以每小时，，的速度行驶．早上8时，汽车、从甲站开往乙站，同时，汽车从乙站开往甲站，途中车与车相遇两个半小时后再与车相遇，则甲、乙两站的距离是．43．（3分）若30030的质因数的（算术）平均数为，则与最接近的整数是．44．（3分）若等式中的，，为的数字，则，．45．（3分）若，则．46．（3分），，，．47．（3分）若，，则，．48．（3分），，．49．（3分）（2013秋•高港区校级月考）有一个正方体，在它的各个面上分别标上字母、、、、、，甲、乙、丙三位同学从不同方向去观察其正方体，观察结果如图所示．问：的对面是．50．（3分）小聪学玩魔方，向小笨拜师学艺．小笨首先出了一道题考小聪．将下列四个图形中的每个小正方形都标上了颜色．若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么下列4个展开图中有个是正确的．51．（3分）小明以60元块的价格卖了两块猪肉，其中一块儿赚了，另一块儿亏了，则小明最后（填“盈利”或“亏损”了元钱．52．（3分）有一个两位数，将它乘以9，得到一个三位数；将这个三位数再乘以9，结果仍然是一个三位数．则原来的两位数是．53．（3分）根据半岛电视台报道，阿富汗战争共导致阿富汗全国的人口受伤，的人口死亡．据统计，阿富汗战后的总人口是2212万人．那么在这场战争中，共导致阿富汗百分之的人口伤亡．阿富汗在战前的人口总数是万人．（保留4为有效数字）54．（3分）若，，则．55．（3分）如图，三角形各边的四等分点，，分别与点，，相连，得到一个小三角形，那么三角形的面积与三角形的面积的比是．56．（3分）如图，有一棱长为3的正方体，将其每个面画上黑线分成9个边长相等的小正方形．现在沿画曲线的小正方形的四边向下打孔，使正方体被打出一个方孔．然后将这个被打方孔的正方体浸没在一盆绿水中，于是它被染绿了．接着沿所有的黑线将正方体切开．则仅有一面是绿色的小正方体有个，恰有两面是绿色的小正方体有个．57．（3分）已知，，，则．58．（3分）若关于的方程与的根互为相反数，则．59．（3分）若，则．60．（3分）甲和乙依次轮流从一个包裹中拿糖果．甲取1枚，乙取2枚，然后甲取3枚，乙取4枚，依此类推．如果谁遇到包裹中的糖果少于他这次应取的枚数时，谁就将包裹中剩的所有糖果都取光．如果甲共取了101枚糖果，那么包裹中最初有糖果枚．61．（3分）若，，则．62．（3分）为了由数321321321321得到被9整除的最大的数，必须擦去的数码是，得到的被9整除的最大的数是．63．（3分）两个凸多边形，边数之比是，内角和的度数之比是，则这两个多边形的边数是．64．（3分）若，则，．65．（3分）若，，，都是质数，且，，则．66．（3分）（2014春•乐清市校级期中）对任意实数，表示不超过的最大整数，如果，，，那么的值等于．67．（3分）（2017秋•涪城区校级期末）方程的解是．68．（3分）已知、、、四个数都不等于0，也互不相等，如果，那么．69．（3分）当时，规定，那么．70．（3分）表中已经填2、0、1、2四个数，每行中右边数减去左边数都相等，每列中下边数减去上边数也都相等，那么这表中16个数的总和是．71．（3分）当时，，且，那么．72．（3分）已知，均为正整数，且满足，则当时，取得最小值．73．（3分）由最小的十个质数作分子和分母，组成五个分数：，它们由小到大的顺序是．74．（3分）如图，三角形中，，，．以为中心，将三角形顺时针旋转，使得点落在边延长线上的点，此时点落在点的位置，连接，，相交于点，交于，交于，则．三、解答题：75．证明：三个相邻奇数的乘积一定能被3整除．76．已知是矩形的边上任意一点，试过作两条直线，将矩形分成三个面积相等的图形．77．将数字1，2，5，4，6填入图中的小圆圈中．从1开始顺时针依次数两个数字可产生5个两位数12，25，54，46和61．从1开始逆时针依次数两个数字可产生另5个两位数16，64，45，52和21．（1）验证：．（2）对任意5个不等的非零数字，，，，，可以生成10个两位数，，，，和，，，，，请证明：．（3）写出10个彼此不等的两位数，使得其中5个两位数的平方和等于其余5个两位数的平方和．

2012年第23届“希望杯”全国数学邀请赛初一培训题参考答案与试题解析一.选择题1．（3分）计算：A． B． C． D．4【考点】有理数的乘方【分析】根据有理数的乘方、有理数的混合运算法则进行计算．【解答】解：原式，故选：．【点评】本题主要考查有理数乘方、有理数的混合运算知识点，是道基础题比较简单．2．（3分）某堰塞湖的水位是730.13米，若以“千米”为计量单位，则该水位的科学记数法表示是A． B． C． D．【考点】科学记数法—表示较小的数【专题】应用题【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：730.13米千米千米，故选：．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（3分）如图，半径为的小圆在半径为的大圆内．已知阴影部分面积是小圆面积的3倍．则A． B． C． D．【考点】认识平面图形【专题】几何图形问题【分析】由阴影部分面积是小圆面积的3倍可得大圆面积是小圆面积的4倍，根据这个关系式判断出所求式子的值即可．【解答】解：阴影部分面积是小圆面积的3倍．大圆面积是小圆面积的4倍，，，，，，．故选：．【点评】考查平面图形的相关知识；判断出大圆面积是小圆面积的几倍是解决本题的关键．4．（3分）若有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的是A． B． C． D．【考点】数轴；有理数大小比较【分析】数轴上右边表示的数总大于左边表示的数．原点左边的数为负数，原点右边的数为正数．从图中可以看出，，．【解答】解：根据数轴上，两点的位置可知，，，，，，．故选：．【点评】本题主要考查了利用数轴来比较有理数大小的题目．此类题目比较简单，可根据数轴上各点的坐标特点利用取特殊值的方法进行比较，以简化计算．5．（3分）已知分数的分母是2012，分子是整数，为使的数值最小，的分子应当是A．1206 B．1207 C．1205 D．1208【考点】有理数无理数的概念与运算【分析】设，而，假设，求出的值，找出与最接近的整数即可．【解答】解：依题意，设，则当时，，解得，而分数的分子为整数，故．故选：．【点评】本题考查了有理数无理数的概念与运算．关键是通过计算，找出一个与非常接近的分数．6．（3分）若一个绝对值不等于0或1的有理数的相反数的负倒数是，则这个有理数是A． B． C． D．【考点】相反数；绝对值；倒数【专题】计算题【分析】根据相反数与负倒数的定义分别得到的相反数的负倒数是；的相反数的负倒数是；的相反数的负倒数是；的相反数的负倒数是，即可得到答案．【解答】解：、的相反数的负倒数是，所以选项正确；、的相反数的负倒数是，所以选项不正确；、的相反数的负倒数是，所以选项不正确；、的相反数的负倒数是，所以选项不正确．故选：．【点评】本题考查了倒数的定义：与互为倒数．也考查了相反数的定义以及绝对值的意义．7．（3分）计算：A．2011 B．2012 C．0 D．1【考点】有理数的加减混合运算【专题】规律型【分析】根据原式可推出，，，，由，可推出原式中共有503个数进行相加，故结果为．【解答】解：，，，，，原式．故选：．【点评】本题主要考查有理数的加减混合运算，关键在于推出原式中共有503个4相加．8．（3分），，，，，，，，，（英汉小词典：大小关系）A． B． C． D．【考点】有理数大小比较；有理数的混合运算【分析】根据，，可令，，再把、的值分别代入、、、中计算，然后再比较、、、的大小．【解答】解：由于，，那么可令，，于是；；；，，故选：．【点评】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是根据、的取值，可以给、符合条件的具体数值，再分别计算、、、的值，进而比较大小．9．（3分）定义符号“☆”的意义是：☆，如果☆☆，那么的值等于A．1 B．2 C．3 D．4【考点】解一元一次方程【专题】新定义【分析】根据新定义运算列出关于的一元一次方程，通过解该一元一次方程即可求得的值．【解答】解：根据题意，得，即，化未知数系数为1，得；故选：．【点评】本题考查了解一元一次方程．解答此题的关键是根据新定义运算法则列出关于的一元一次方程．10．（3分）如图所示，其中A． B． C． D．【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质【专题】计算题【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和把这六个角转化为一个三角形的内角，再根据三角形的内角和等于解答．【解答】解：如图所示，，，，，，三角形的内角和等于，，．故选：．【点评】本题主要考查了三角形的外角性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行转化是解题的关键．11．（3分）（2015秋•慈溪市期末）已知，均为非零有理数，与互为相反数，那么A． B． C． D．【考点】相反数；有理数的乘法【分析】根据相反数之和为0，可知，然后把等式进行变式，可得答案．【解答】解：与互为相反数，，，，均为非零有理数，，故选：．【点评】此题主要考查了有理数的乘法，加法法则，关键是正确把式子进行变式．12．（3分）下面四句关于约数和倍数的话中正确的是A．正整数和的最小公倍数一定小于 B．正整数和的最大公约数一定不大于 C．正整数和的最小公倍数一定不小于 D．正整数和的最大公约数一定大于【考点】约数与倍数【分析】运用特殊值法进行排除，例如6是2和3的最小公倍数，等于6，所以正整数和的最小公倍数小于等于，同理可得出符合要求的答案．【解答】解：、6是2和3的最小公倍数，等于6，故选项错误；、正整数和的最大公约数一定不大于，故选项正确；、6和9的最小公倍数是18，小于54，故选项错误；、3是6和9的公约数，小于6，故选项错误．故选：．【点评】此题主要考查了最大公约数与最小公倍数，利用特殊值法进行排除，是解决问题的最简捷办法．13．（3分）如图，是边长为21的正三角形．已知四边形的周长是周长的两倍．则五边形的周长是A．137 B．147 C．157 D．167【考点】等边三角形的性质【分析】由是边长为21的正三角形，根据正三角形的性质，即可求得周长，又由四边形的周长是周长的两倍，求得四边形的周长，继而可得的长，则可求得五边形的周长．【解答】解：是边长为21的正三角形，周长为：，四边形的周长是周长的两倍，，，五边形的周长是：．故选：．【点评】此题考查了等边三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想与整体思想的应用．14．（3分）若有理数和都不等于0，且，则，A．异号 B．同号 C．不能同为正数 D．不能同为负数【考点】有理数无理数的概念与运算【专题】计算题【分析】分别将选项的说法代入，看是否满足等式，继而可判断出答案．【解答】解：、如果、都为负数，则，故不能得出、异号，故本选项错误；、若、同号，如果、都为正，则，如果、都为负，则，故不能得出、同号，故本选项错误；、如果、同为正数，则，不符合题意，即、不能同为正数，故本选项正确；、如果、都为负数，则，故、可以同为负数，故本选项错误；故选：．【点评】此题考查了有理数无理数的概念与运算，解答本题的关键是将选项的说法代入到等式中去，看是否满足条件，有一定难度．15．（3分），（英汉小词典：无穷多个根）A． B． C． D．【考点】一元一次方程的解【专题】常规题型【分析】分与两种情况讨论求解即可进行选择．【解答】解：，①当时，，此时，取任意实数，②当时，，，即为，解得，此时方程有唯一解，综上所述，方程有唯一解或有无数解．故选：．【点评】本题考查了一元一次方程的解，读懂题意是解题的关键，注意要分情况讨论求解．16．（3分）某个星期中，从周一到周五这五天的日历号数之和为70，则这一周的星期六的日历号数是A．15 B．16 C．17 D．18【考点】一元一次方程的应用【专题】应用题【分析】设周一日历号为，则周二为，周三为，周四为，周五为，根据这五天的日历号数之和为70，可得出方程，解出可得出的值，也即可得出这一周的星期六的日历号数．【解答】解：设周一日历号为，则周二为，周三为，周四为，周五为，由题意得，，解得：，即周一为12号，故可得出周六的日历号数是17号．故选：．【点评】此题考查了一元一次方程的应用，属于基础题，解答本题的关键是表示出周一至周五的日历号数，得出方程，难度一般．17．（3分）图中的直线，在上取点，画出射线与射线垂直，且使得，在以点为旋转中心，射线逆时针旋转的位置上再画射线，这时图中的角共有个．A．4 B．5 C．6 D．7【考点】平行线的性质【分析】首先根据题意画出图形，由旋转的性质，可得等于，然后根据平行线的性质与对顶角相等，即可求得，，又由邻补角的定义，即可求得答案．【解答】解：如图：根据题意得：，，，，，，，．图中的角共有7个．故选：．【点评】此题考查了平行线的性质、旋转的性质、垂直的定义、对顶角相等等知识．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用，小心别漏解．18．（3分）对于数，符号表示不大于的最大整数．若有正整数解，则正数的取值范围是A．或 B．或 C．或 D．或【考点】取整函数【专题】计算题【分析】根据所表示的含义，结合题意可得出，继而可解出的正整数解，分别代入所得不等式，可得出的范围．【解答】解：有正整数解，，即，，，是正整数，为正数，，即可取1、2；①当取1时，，，；②当取2时，，，；综上可得的范围是：或．故选：．【点评】此题考查了取整函数的知识，解答本题需要理解所表示的意义，另外也要求我们熟练不等式的求解方法，有一定难度．19．（3分）某市2011年9月份的平均房价是每平方米6800元，比2008年同期的房价平均每平方米上涨了3000元，假设这三年该市房价的平均增长率都是，则关于的方程是A． B． C． D．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【专题】增长率问题【分析】易得2008年9月份的平均房价，从2008年到2011年，发生了3次变化，关系式为：2008年9月份的平均房价增长率）年9月份的平均房价，把相关数值代入即可．【解答】解：某市2011年9月份的平均房价是每平方米6800元，比2008年同期的房价平均每平方米上涨了3000元，年9月份的平均房价为3000元，年9月份的平均房价为，年9月份的平均房价为，年9月份的平均房价为，可列方程为，故选：．【点评】考查列一元二次方程；得到2011年9月份的平均房价的关系式是解决本题的关键．20．（3分）若三角形的一个内角等于另两个内角和的2倍．则此三角形的最大角是度．A．90 B．115 C．120 D．135【考点】三角形内角和定理【专题】应用题【分析】可设另两个内角和为度，则三角形的最大角为度，根据三角形内角和定理可得，求出即可求出三角形的最大角．【解答】解：设另两个内角和为度，根据题意得：，，即三角形的最大角是120度，故选：．【点评】此题考查的知识点是三角形内角和定理，关键正确运用好定理．21．（3分）2012的所有正约数的和是A．3528 B．2607 C．2521 D．2012【考点】约数与倍数【专题】计算题【分析】将2012表示成几个数相乘的形式，然后得出2012的所有约数，继而求和即可得出答案．【解答】解：，因为503是质数，的约数有：1、2012、2、1006、4、503，的所有正约数的和是．故选：．【点评】此题考查了最大公约数和最小公倍数的知识，解答本题的关键是将2012表示成几个因数相乘的形式，得出2012的约数，难度一般．22．（3分）等腰的一个外角度数是，则这个三角形的三个内角中最大角与最小角的度数差是A． B．或 C． D．或【考点】等腰三角形的性质【专题】分类讨论【分析】由等腰的一个外角度数是，可以分别从①若的外角是等腰的顶角的邻角，②若的外角是等腰的底角的邻角，去分析，然后根据三角形内角和定理即可求得等腰的个内角度数，继而可求得答案．【解答】解：①若的外角是等腰的顶角的邻角，则等腰的顶角为：，则等腰的底角为：，则等腰的三个内角中最大角与最小角的度数差是：；②若的外角是等腰的底角的邻角，则等腰的底角为：，则等腰的顶角为：，则等腰的三个内角中最大角与最小角的度数差是：；综上可得：等腰的三个内角中最大角与最小角的度数差是：或．故选：．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与三角形的内角和定理．此题比较简单，解题的关键是注意分类讨论思想的应用．23．（3分）已知是一个不为0的常数，且当时，；那么当时，A．1 B．2 C．3 D．4【考点】解一元一次方程【专题】计算题【分析】把，代入代数式，求出代数式的值，得出，再把代入得出关于的方程，求出方程的解即可．【解答】解：是一个不为0的常数，当时，，代入得：，即，当时，，解得：．故选：．【点评】本题注意考查了学生的理解能力和计算能力，能根据题意得出关于的方程是解此题的关键，题目具有一定的代表性，难度适中．24．（3分）满足的整数对的组数是A．0 B．1 C．2 D．3【考点】数的整除性【分析】由平方差公式可知，与同为奇数或者偶数，将2011分为两个奇数的积，分别解方程组即可．【解答】解：，，分别可取下列数对，，，，，解得：不合题意舍去，，解得：不合题意舍去，，解得：不合题意舍去，，解得：不合题意舍去，由此可得方程有0组整数解．故选：．【点评】此题考查了平方差公式的实际运用，应明确两整数之和与两整数之积的奇偶性相同．25．（3分）若一个凸多边形的边数恰好是从某个顶点引出的对角线的条数的倍，则这个多边形的内角和是A． B． C． D．【考点】多边形的对角线；多边形内角与外角【专题】常规题型【分析】设这个多边形的表示为，根据从同一个顶点作出的对角线的条数公式，然后列出方程求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式进行计算即可得解．【解答】解：设这个多边形是边形，根据题意得，，解得，这个多边形的内角和．故选：．【点评】本题考查了多边形的内角和公式与对角线的条数公式，求出这个多边形的边数是解题的关键．26．（3分）（2006•慈溪市校级自主招生）设、、、、的值均为0、1、2中之一，且，，则的值为A．14 B．16 C．18 D．20【考点】整数问题的综合运用【分析】由，，根据其差为4，即可求得、、、、中一定是有2个2，继而可得、、、、的中有1个0，2个1，然后代入即可求得答案．【解答】解：，，，和1的平方都不变，这个变化是2造成的．，、、、、中一定是有2个2．有了2个2，那么剩下三个加起来应该是2，这样五个数加起来才是6．三个数加起来是2，并且不是0就是1，那么只有一种情况，1个0，2个1．综上，、、、、的中有1个0，2个1，2个2．．故选：．【点评】此题考查了整数的综合应用问题．此题难度较大，解题的关键是根据0和1的平方都不变，求得、、、、中一定是有2个2，注意分论讨论思想的应用．27．（3分）如图，中，，的平分线交于，交于，记，的一个邻补角为，．则，，的关系是A． B． C． D．【考点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质【专题】探究型【分析】先根据平角的定义用表示出的度数，再由平行线的性质得出的度数，由△内角和定理及角平分线的性质得出，最后根据三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：由平角的定义可知，，，是的平分线，，是的外角，，即．故选：．【点评】本题考查的是三角形外角的性质、平行线的性质及三角形内角和定理，解答此类题目时往往隐含三角形的内角和为这一知识点．28．（3分）方程的整数解共有个．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】含绝对值符号的一元一次方程【专题】计算题；分类讨论【分析】讨论：当，；当，成立；当，，恒成立；当，；当，，然后分别得到满足条件的的值．【解答】解：当，，解得舍去；当，成立，所以是原方程的整数解；当，，恒成立，所以原方程的整数解有0，1；当，，所以是原方程的整数解；当，，解得舍去．所以原方程的整数解为、0、1、2．故选：．【点评】本题考查了含绝对值符合的一元一次方程：通过分类讨论的方法去绝对值化为一元一次方程或等式，然后解一元一次或讨论等式成立的条件得到满足条件未知数的值．29．（3分）（2016春•雁塔区校级月考）已知数串：依照这前15个数的分子、分母的构成规律排列下去，第100个数是A． B． C． D．【考点】规律型：数字的变化类【专题】规律型【分析】根据分子、分母的变化规律，这列数可以分成1个、2个、3个、4个、5个个，再根据求和公式求出第100个数所在的第几组的第几个数即可确定，从而得解．【解答】解：根据分子分母的变化，可以分成（1），、，、2、，、2、3、，、2、3、4、，，、2、3、4、、组，各组分别有1、2、3、4、5、、个分数，，当时，，第100个数是第14组的第9个数，第14组的数分别是，，，，，，，，，，，，，，第100个数是．故选：．【点评】本题是对数字变化规律的考查，仔细观察数据变化规律并准确进行分组是解题的关键．30．（3分）（2017•青羊区自主招生）甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行训练．每局两人单打比赛，另一人当裁判．每一局输者当下一局的裁判，而原来的裁判与赢者比赛．一天训练结束时，统计甲共打12局，乙共打21局，而丙共当裁判8局．那么整个比赛中第10局的输者A．必是甲 B．必是乙 C．必是丙 D．不能确定【考点】推理与论证【分析】根据丙共当裁判8局，因此，甲乙打了8局；甲共打了12局，因此，丙甲共打了4局，利用乙共打了21局，因此，乙丙打了13局．因此，共打了25局，那么，甲当裁判13局，乙当裁判4局，丙当裁判8局，由于实行擂台赛形式，因此，每局都必须换裁判；即，某人不可能连续做裁判．因此，甲做裁判的局次只能是：1、3、5、、23、25；由于第11局只能是甲做裁判，显然，第10局的输方，只能是甲．【解答】解：根据题意，知丙共当裁判8局，所以甲乙之间共有8局比赛，又甲共打了12局，乙共打了21局，所以甲和丙打了4局，乙和丙打了13局，三个人之间总共打了局，考查甲，总共打了12局，当了13次裁判，所以他输了12次．所以当是偶数时，第局比赛的输方为甲，从而整个比赛的第10局的输方必是甲．故选：．【点评】此题主要考查了推理论证，要首先能够判断出比赛的总场数以及三人各自当裁判的次数，然后根据甲当的裁判次数和总的场数进行分析求解．二.填空题31．（3分）计算：．【考点】平方差公式【专题】计算题【分析】先根据平方差公式得到原式，再进行小括号得到原式，最后进行乘方运算即可．【解答】解：原式．故答案为．【点评】本题考查了平方差公式：．32．（3分）若一个角的余角比这个角的补角的小，则这个角的余角是30，这个角的补角是．【考点】余角和补角【专题】计算题【分析】设这个角为，根据互为余角的和等于，互为补角的和等于表示出这个角的余角与补角，然后根据题意列出方程，解方程得到这个角的度数，再根据余角与补角的定义解答．【解答】解：设这个角为，则这个角的余角为，补角为，根据题意得，，解得，这个角的余角为，补角为．故答案为：30，120．【点评】本题主要考查了余角与补角的定义，熟记“互为余角的和等于，互为补角的和等于”是解题的关键．33．（3分）计算4．【考点】有理数无理数的概念与运算【专题】应用题【分析】将变成，将变成，从而可将前半部分分解成因式相乘的形式，然后将写成的形式，将写成的形式，从而可将后半部分分解成因式相乘的形式，综合两部分，约分后可得出答案．【解答】解：原式．故答案为：4．【点评】此题考查了有理数无理数的运算，解答本题的关键是将分子分母进行拆分，达到分解成因式相乘的形式，难度较大．34．（3分）某人若在同一斜坡上往返上坡速度为，下坡速度为，则往返一次的平均速度．【考点】列代数式【专题】应用题【分析】等量关系为：平均速度总路程总时间往返路程（上坡时间下坡时间）．【解答】解：设上坡路程为1，上坡时间为：，下坡时间为：，所以平均速度．故答案为：．【点评】此题考查了列代数式的知识，属于基础题，出现必须的量时，可设其为1，找到平均速度的等量关系是解决本题的关键，难度一般．35．（3分）（2013秋•富阳市校级月考）若，则30．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；解二元一次方程组【专题】计算题【分析】若，则满足，，由此可列出方程组求解，进而求出的值．【解答】解：由，可得，解得，，所以．【点评】本题考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．36．（3分）（2014春•沛县期末）如图1，矩形纸带中，，沿虚线将纸带折起来压平成图2，则．【考点】翻折变换（折叠问题）【专题】数形结合【分析】由折叠的性质可得的度数为由平行线的性质可得的度数为，根据三角形的内角和公式可得所求角的度数．【解答】解：，，，由折叠的性质可得，．故答案为．【点评】考查折叠问题的相关知识；注意综合运用平行线的性质和折叠的性质进行解答．37．（3分）一辆汽车从地驶往地，前路段为普通公路，速度是；其余路段为高速公路，速度为．汽车从地到地一共行驶了5小时，则，两地的距离是400．【考点】一元一次方程的应用【分析】首先设，两地的距离是，则普通公路的路程为，高速公路的路程为，由题意可得等量关系：行驶普通公路的时间行驶高速公路的时间小时，根据等量关系列出方程，解方程可得答案．【解答】解：设，两地的距离是，由题意得：，解得：．故答案为：400．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是弄清题意，表示出普通公路的路程与高速公路的路程，再根据公式：路程速度时间，分别算出时间，根据时间和为5小时列出方程即可．38．（3分）已知一个直角三角形两条直角边之差是1，斜边长为5，则这个直角三角形的面积等于6．【考点】勾股定理【分析】设较短的一个直角边长为，则另一直角边的长为：，根据勾股定理可求得两直角边的长，再根据面积公式求得三角形的面积即可．【解答】解：设较短的一个直角边长为，则另一直角边的长为：．由勾股定理得：．解得：．则．这个直角三角形的面积为：．故答案为：6．【点评】此题主要考查学生对勾股定理的理解及三角形面积公式，关键是根据题意利用勾股定理求出两条直角边的长．39．（3分）已知，且与互为相反数，则．【考点】分式的化简求值【专题】计算题【分析】根据题意可得，左边通分后可得，由于，易知，而，易求，即知的值．【解答】解：根据题意可得，于是，，，，即则，故答案是．【点评】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是注意通分以及分母的有意义的情况．40．（3分）如图，共6个同样的小正方体码放在5乘5的方格纸上，则正视图．【考点】简单组合体的三视图【专题】应用题【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看，得到从左往右4列正方形的个数依次为2，2，1，1；所以正视图为：，故答案为：【点评】本题考查了三视图的知识，属于基础题，注意掌握正视图是从物体的正面看得到的视图，难度一般．41．（3分）某经济技术开发区到2001年累计投资总额已达到36.23亿美元．从2001年到2007年，累计投资总额依次为36.23；42.99；63.31；88.13；109.13；140.48；168.62（亿美元）．则2007年比上一年的投资增长了16.69（取二位小数）．【考点】有理数的混合运算；近似数和有效数字【分析】先根据所给的数据，得出2006年和2007年投资总额，两年进行相减，再除以2007年的总投资，即可得出答案．【解答】解：年投资总额是140.48，2007年投资总额是168.62，年比上一年的投资增长了，故答案为：16.69．【点评】此题考查了有理数的混合运算；解题的关键是找出2006年和2007年投资总额，再根据题意列出式子，进行计算即可．42．（3分）在一条公路上汽车、、分别以每小时，，的速度行驶．早上8时，汽车、从甲站开往乙站，同时，汽车从乙站开往甲站，途中车与车相遇两个半小时后再与车相遇，则甲、乙两站的距离是1500．【考点】一元一次方程的应用【分析】首先设甲、乙两站相距，由题意可得等量关系为：、两人相遇所用的时间、两人所用的时间，根据等量关系可得方程：，再解方程即可．【解答】解：设甲、乙两站相距，，解得．故答案为：1500．【点评】考查一元一次方程在行程问题中的应用，关键是首先弄清题意，找到时间之间的关系，根据时间差列出方程，此题用到的公式是：时间．43．（3分）若30030的质因数的（算术）平均数为，则与最接近的整数是7．【考点】质因数分解【专题】探究型【分析】先把30030分解质因数，再求出质因数的平均数的值，进而可得出结论．【解答】解：与最接近的整数是7．故答案为：7．【点评】本题考查的是质因数的分解，根据题意把30030分解为的形式是解答此题的关键．44．（3分）若等式中的，，为的数字，则2，．【考点】数的十进制【分析】由等式中，列出乘法竖式，根据积得到的值，再根据乘法竖式，得到，的值，从而求解．【解答】解：由等式中，列出乘法竖式：13356539可以判断把代入133456541239以此可以判断，符合进位结果所以可得：，，．故．故答案为：2，240．【点评】考查了整数的十进制表示法，本题难度较大，解题的关键是得到的取值范围，缩小计算量，从而求解．45．（3分）若，则0．【考点】完全平方公式【专题】计算题【分析】分别把、看作一个整体，求出这两个数的差的平方，然后求出乘积二倍项，再平方即可．【解答】解：，即，解得，所以．故答案为：0．【点评】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：．46．（3分），，，．【考点】绝对值【专题】计算题【分析】由于，根据绝对值的意义得到原式，然后去括号合并即可．【解答】解：，原式．故答案为．【点评】本题考查了绝对值：若，则；若，则；若，则．47．（3分）若，，则69，．【考点】完全平方公式【专题】计算题【分析】根据完全平方公式有，然后把，代入计算可得到的值；先根据立方和公式有，再根据完全平方公式变形为，然后把，代入计算可得到的值．【解答】解：，而，，；而，，．故答案为69；290．【点评】本题考查了完全平方公式：．也考查了立方和公式．48．（3分），，．【考点】有理数的混合运算【专题】新定义【分析】先根据新定义计算括号里的，求出答案，再根据新定义计算括号外的即可．【解答】解：根据新运算，可得．故答案是．【点评】本题考查了考查了新定义、有理数的混合运算，解题的关键是弄懂新定义的意思，能正确代入数值计算．49．（3分）（2013秋•高港区校级月考）有一个正方体，在它的各个面上分别标上字母、、、、、，甲、乙、丙三位同学从不同方向去观察其正方体，观察结果如图所示．问：的对面是．【考点】专题：正方体相对两个面上的文字【专题】几何图形问题【分析】从第2个图形和最后1个图形看，和相邻的有、、、，那么和相对的就是．【解答】解：根据三个图形的字母，可推断出来，对面是；对面是；对面是．则的对面是．故答案为：．【点评】本题主要考查学生的空间想象能力和推理能力，也可动手制作一个正方体，根据题意在各个面上标上字母，再确定对面上的字母，可以培养动手操作能力和空间想象能力．50．（3分）小聪学玩魔方，向小笨拜师学艺．小笨首先出了一道题考小聪．将下列四个图形中的每个小正方形都标上了颜色．若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么下列4个展开图中有3个是正确的．【考点】专题：正方体相对两个面上的文字【专题】常规题型【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点对各图形分析判断即可得解．【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，第一个图形符合，第二个图形符合，第三个图形中红与绿是相对面，故不符合，第四个图形符合，综上所述，四个展开图中第一、二、四共3个是正确的．故答案为：3．【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．51．（3分）小明以60元块的价格卖了两块猪肉，其中一块儿赚了，另一块儿亏了，则小明最后亏损（填“盈利”或“亏损”了元钱．【考点】一元一次方程的应用【分析】已知售价，需算出这两件衣服的进价，让总售价减去总进价就算出了总的盈亏．【解答】解：设盈利的那块猪肉的进价是元，根据进价与得润的和等于售价列得方程：，解得：，类似地，设另一件亏损猪肉的进价为元，它的商品利润是元，列方程，解得：．那么这两块猪肉的进价是元，而两块猪肉的售价为120元．即元，所以，这两块猪肉亏损5元．故答案为：亏损，5．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，需注意利润率是相对于进价说的，进价利润售价．52．（3分）有一个两位数，将它乘以9，得到一个三位数；将这个三位数再乘以9，结果仍然是一个三位数．则原来的两位数是12．【考点】数的整除性【专题】计算题【分析】三位数乘以9后仍然是三位数，可得这个三位数是100至111之间的数，再由这个三位数可以被9整除可得出这个三位数，也可得出原来的两位数．【解答】解：由题意，一个三位数乘以9，结果仍然是一个三位数，可得这个三位数为100至111之间的数，又这个三位数能被9整除，故这个三位数为：108，故可得出原来的两位数为：．故答案为：12．【点评】此题考查了数的整除性问题，解答本题的关键是抓住题意描述得出三位数的范围，继而利用数的整除的知识得出这个三位数，难度一般．53．（3分）根据半岛电视台报道，阿富汗战争共导致阿富汗全国的人口受伤，的人口死亡．据统计，阿富汗战后的总人口是2212万人．那么在这场战争中，共导致阿富汗百分之35.02的人口伤亡．阿富汗在战前的人口总数是万人．（保留4为有效数字）【考点】有理数的混合运算；近似数和有效数字【分析】设阿富汗在战前的人口总数是万人，则受伤的有万人，死亡的有万人，由题意建立方程，就可以求出战前的总人数，受伤的百分数加上死亡的百分数就是伤亡的百分数．【解答】解：在这场战争中导致伤亡的百分数是：设阿富汗在战前的人口总数是万人，则受伤的有万人，死亡的有万人，由题意，得，解得．故答案为：35.02，2840【点评】本题考查了有理数的混合运算和近似数和有效数字及列一元一次方程解应用题．54．（3分）若，，则4．【考点】完全平方公式【专题】计算题【分析】先由和，根据完全平方公式求出，再与结合求出，从而求出．【解答】解：，，，，，，即，，．故答案为：4．【点评】本题考查了完全平方公式的运用，一般情况下与、有着内在的联系，此题关键是先求出，然后求出．55．（3分）如图，三角形各边的四等分点，，分别与点，，相连，得到一个小三角形，那么三角形的面积与三角形的面积的比是．【考点】三角形的面积【分析】过作交于，由平行线分线段成比例可得线段之间的比例关系，进而转化为三角形的面积关系，即可求解结论．【解答】解：记的面积是，、、是边的四等分点，、、的面积都等于．过作交于，，，，，那么的面积等于，同理，、的面积也都等于．的面积为，的面积与的面积的比是．故答案是：．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质以及三角形的性质和面积问题，能够熟练运用平行线的性质求解一些计算问题，难度较大．56．（3分）如图，有一棱长为3的正方体，将其每个面画上黑线分成9个边长相等的小正方形．现在沿画曲线的小正方形的四边向下打孔，使正方体被打出一个方孔．然后将这个被打方孔的正方体浸没在一盆绿水中，于是它被染绿了．接着沿所有的黑线将正方体切开．则仅有一面是绿色的小正方体有0个，恰有两面是绿色的小正方体有个．【考点】立体图形【分析】结合所给图形的特点，分别找到大正方体棱上小正方形体被染成绿色的面数，不在棱上的小正方体被染成绿色的面数，然后即可填空．【解答】解：大正方体上的小正方体可划分为4种，第一种会被染上3面绿色；第二种会被染成2面绿色（分别是外面和里面）；第三种会被染成2面绿色；第四种会被染上3面绿色．综上可得仅有一面是绿色的小正方体有0个；恰有两面是绿色的小正方体有第二种、第三种，共有8个．故答案为：0、8．【点评】此题考查了立体图形的知识，解答本题的关键是仔细观察立体图形的特点，要求我们培养一定的空间想象能力，难度一般．57．（3分）已知，，，则0．【考点】整式的混合运算【分析】将问题的结论变形为，然后将、、的值代入化简即可．【解答】解：原式，，，，，原式．故答案为：0【点评】本题考查了整式的混合运算，涉及了因式分解的平方差公式在整式运算中的运用．58．（3分）若关于的方程与的根互为相反数，则．【考点】一元一次方程的解【专题】计算题【分析】先求出两个方程的解，然后根据互为相反数的和等于0列式，然后解关于的一元一次方程即可．【解答】解：由得，，由得，，它们的解互为相反数，，去分母得，，移项、合并得，，系数化为1得，．故答案为：．【点评】本题考查了一元一次方程的解，方程的解就是使方程左右两边相等的未知数的值，表示出两个方程的解，然后根据相反数的和等于0列式是解题的关键．59．（3分）若，则．【考点】分式的化简求值【分析】根据已知可得，再把的值整体代入所求式子中，合并、约分即可．【解答】解：，，，故答案是．【点评】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是注意整体代入．60．（3分）甲和乙依次轮流从一个包裹中拿糖果．甲取1枚，乙取2枚，然后甲取3枚，乙取4枚，依此类推．如果谁遇到包裹中的糖果少于他这次应取的枚数时，谁就将包裹中剩的所有糖果都取光．如果甲共取了101枚糖果，那么包裹中最初有糖果211枚．【考点】规律型：数字的变化类【分析】根据题意可得甲每次取的是奇数个，即个，通过甲一共取了101枚糖果说明其取了11次，而乙取了10次．从而求得糖果总数．【解答】解：甲取1枚，乙取2枚，然后甲取3枚，乙取4枚，依此类推，甲共取了个，甲一共取了101枚糖果，其取了11次，乙共取了10次，糖果总数为枚．故答案为：211．【点评】本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是仔细的审题发现共取了多少次．61．（3分）若，，则0．【考点】立方公式【专题】计算题【分析】由题意得，，，，再根据可得出，从而可判断出、、有一个等于零，假设，则，，从而可得出答案．【解答】解：，，，，，即可得：，整理得：，又，，，从而可判断出、、有一个等于零，假设，则，，故可得．故答案为0．【点评】本题考查立方公式及整式的求值，难度比较大，同学们要细心的观察求解，注意题中条件的运用是解决问题的关键．62．（3分）为了由数321321321321得到被9整除的最大的数，必须擦去的数码是3，得到的被9整除的最大的数是．【考点】数的整除性【专题】计算题【分析】若一个整数的各个位数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除，为了使得到的数最大，从而可求出必须擦掉的数码．【解答】解：，所以必须减去6才能被9整除，为了使最后得到的数最大，则必须使去掉的数字最少，且所去的数字在靠后的位置．综上可得必须擦去数码3，去掉最后面的两个3，则得到的数为3213212121．故答案为：3，3213212121．【点评】此题考查了数的整除性问题，解答本题的关键是掌握若一个整数的各个位数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除，有一定难度．63．（3分）两个凸多边形，边数之比是，内角和的度数之比是，则这两个多边形的边数是4，12．【考点】多边形内角与外角【专题】计算题【分析】设出两多边形的边数，然后根据多边形的内角和公式列出方程，再求解即可．【解答】解：两个凸多边形边数之比是，设两多边形的边数是，，，即，解得，．故答案为：4，12．【点评】本题考查了多边形的内角和公式，根据比例巧妙设出未知数是解题的关键．64．（3分）若，则，．【考点】函数值【专题】计算题【分析】令，代入进行计算即可得解；令，代入进行计算求出函数值，然后与时的函数值相加求出的值，再令求出的值，然后代入求解即可．【解答】解：当时，，即①，当时，，即②，①②得，，解得，又当时，，解得，所以．故答案为：，．【点评】本题考查了函数值的求解，注意给自变量取特殊值是解题的关键，本题灵活性较强．65．（3分）若，，，都是质数，且，，则7．【考点】质数与合数【分析】由于，偶数质数只有2，、、不能同为奇数，所以必有2在其中，且另外两个都不能是2．一个一个排除，得到，依此即可求解．【解答】解：，偶数质数只有2，、、不能同为奇数，所以必有2在其中，且另外两个都不能是2．，明显不是2；如果是2，则是4的倍数，是2的倍数，，，，无解；，，，在5与7中选择，只能是5；故，，．则．故答案为：7．【点评】考查了质数与合数，本题的难点是得到，依此即可求出，，的值，从而求解．66．（3分）（2014春•乐清市校级期中）对任意实数，表示不超过的最大整数，如果，，，那么的值等于2或3或4．【考点】取整函数【专题】计算题【分析】根据，，，可得出、、的范围，然后可得出的范围，继而根据取整函数的定义可得出答案．【解答】解：，，，，，，，故可得出，3，4．故答案为：2或3或4．【点评】此题考查了取整函数的知识，解答本题关键是根据取整函数的定义得出、、的范围，及的范围，难度一般．67．（3分）（2017秋•涪城区校级期末）方程的解是．【考点】解一元一次方程【专题】计算题【分析】先去小括号，再去中括号，然后去大括号，移项合并即可．【解答】解：去小括号得：，去中括号得：然后去大括号整理得：，去分母得：，移项合并得：．故答案为：．【点评】本题主要考查解一元一次方程，有一定难度，关键是去括号时要细心，另外要注意掌握解方程的一般步骤．68．（3分）已知、、、四个数都不等于0，也互不相等，如果，那么1．【考点】对称式和轮换对称式【分析】先根据分别表示出，，，的值，再把这四个式子进行相乘，即可求出的值．【解答】解：，，同理可得：，，，．故答案为：1．【点评】此题考查了对称式和轮换对称式；解题的关键是通过变形得出．69．（3分）当时，规定，那么．【考点】代数式求值【专题】新定义【分析】根据定义，首先计算，再计算．【解答】解：由题意得：，，故答案为：．【点评】此题考查的知识点是代数式求值，此类题要严格按照定义进行代入计算，这里注意层层递进，先算括号内的．70．（3分）表中已经填2、0、1、2四个数，每行中右边数减去左边数都相等，每列中下边数减去上边数也都相等，那么这表中16个数的总和是2．【考点】有理数的加减混合运算【专题】图表型【分析】设第二行的已知的两个数中间的数为，然后根据右边的数减去左边的数都相等，求出的值，从而得出这一行中相邻的数的差值与上、下两个数的差值，同理求出其它各空格处的各数，再相加即可得解．【解答】解：设第二行的已知的两个数中间的数为，则，解得，所以这一行中的另一个数为，这一列的其它两个数都是1，同理可求其它各数如图，所以第一行的四个数的和为：，第二行的四个数的和为：，第三行的四个数的和为：，第四行的四个数的和为：，表中16个数的总和是．故答案为：2．【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，观察表格数据，求出第二行三个数，从而得到第二行第三列的数是解题的关键．71．（3分）当时，，且，那么20．【考点】解三元一次方程组【分析】先把代入式子得，设，，，代入化简后的式子就可以求出的值，从而求出、、的值，就可以求出结论．【解答】解：时，，．，设，，，则，，，，，．故答案为：20【点评】本题考查了参数法在三元一次方程中的运用，三元一次方程组的解法．72．（3分）已知，均为正整数，且满足，则当72时，取得最小值．【考点】解二元一次方程【专题】探究型【分析】先移项，用表示出，再根据最小可得出关于的不等式，求出的取值范围，再由，均为正整数即可得出符合条件的、的值．【解答】解：移项得，，、为正整数，，，若取得最小值，则与75无限接近且为正整数，当时，．【点评】本题考查的是解二元一次方程，解答此类题目时要注意此类方程属不定方程，由无数组解，要根据题意找出符合条件的未知数的对应值．73．（3分）由最小的十个质数作分子和分母，组成五个分数：，它们由小到大的顺序是．．【考点】有理数无理数的概念与运算【专题】计算题【分析】先比较这五个分数的倒数的大小：把各分数化为整数与真分数的和，并且把真分数的分子都化为6，得到，，，，，易得，即可得到原来五个分数的大小．【解答】解：，，，，，，．故答案为．【点评】本题考查了有理数的大小比较：对于两个正分数，当分母相等时，分母越大，分数的值就越大；当分子相等时，分母越大，分数的值就越小．74．（3分）如图，三角形中，，，．以为中心，将三角形顺时针旋转，使得点落在边延长线上的点，此时点落在点的位置，连接，，相交于点，交于，交于，则2.7．【考点】面积及等积变换【分析】首先利用旋转性质以及三角形面积求法得出与面积，再利用，，进而求出即可．【解答】解：过点作于点，，，，以为中心，将三角形顺时针旋转，使得点落在边延长线上的点，此时点落在点的位置，，，，，，，，，．故答案为：2.7．【点评】此题主要考查了三角形面积求法以及旋转的性质和面积等积变换等知识，根据已知得出是解题关键．三、解答题：75．证明：三个相邻奇数的乘积一定能被3整除．【考点】因式分解的应用【分析】可设三个相邻奇数为，，为奇数），得出它们的乘积，再分；；三种情况讨论即可得证．【解答】证明：设三个相邻奇数为，，为奇数），，若，则能被3整除；若，则是3的倍数，能被3整除；若，则是3的倍数，能被3整除．故三个相邻奇数的乘积一定能被3整除．【点评】考查了因式分解的应用，本题的关键是设出三个相邻奇数，表示出它们的积，以及分类思想的应用．76．已知是矩形的边上任意一点，试过作两条直线，将矩形分成三个面积相等的图形．【考点】作图—应用与设计作图【分析】分三种情况：是三分点，如，当，当，分别得出即可．【解答】解：分三种情况1．是三分点，如，作，连，，分矩形成三个面积相等的图形2．当，在上取，，使，作，交于，．，为，中点，连，并延长交于，，，分矩形成三个面积相等的图形3．当，在上取，使，作，交于，为中点，连并延长交于，作，交于，，分矩形成三个面积相等的图形．【点评】此题主要考查了应用设计作图，根据已知对的长进行讨论得出是解题关键．77．将数字1，2，5，4，6填入图中的小圆圈中．从1开始顺时针依次数两个数字可产生5个两位数12，25，54，46和61．从1开始逆时针依次数两个数字可产生另5个两位数16，64，45，52和21．（1）验证：．（2）对任意5个不等的非零数字，，，，，可以生成10个两位数，，，，和，，，，，请证明：．（3）写出10个彼此不等的两位数，使得其中5个两位数的平方和等于其余5个两位数的平方和．【考点】规律型：数字的变化类【分析】（1）分别计算，，再比较结果；（2）将两位数表示为，其它数依此类推，利用完全平方公式分别计算等式左右两边，并进行比较，证明结论；（3）根据（2）的结论，写出其中5个两位数，再将这5个两位数分别交换个位，十位的位置，得出另外5个数即可．【解答】解：（1），，；（2）证明：，，；（3）满足题意的10个数为：23，34，45，56，67，76，65，54，43，32．【点评】本题考查了数字的变化规律．关键是根据题意，由特殊到一般，得出规律，再用完全平方公式证明结论．

考点卡片1．数轴（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．2．相反数（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．3．绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．（2）如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）4．非负数的性质：绝对值在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．5．倒数（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．一般地，a•＝1（a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．（2）方法指引：①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同．【规律方法】求相反数、倒数的方法求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置注意：0没有倒数．6．有理数大小比较（1）有理数的大小比较比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．（2）有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．【规律方法】有理数大小比较的三种方法1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．3．作差比较：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＜0，则a＜b；若a﹣b＝0，则a＝b．7．有理数的加减混合运算（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．（2）方法指引：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．8．有理数的乘法（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．（2）任何数同零相乘，都得0．（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．（4）方法指引：①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．9．有理数的乘方（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．（3）方法指引：①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．10．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．11．有理数的混合运算（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．12．近似数和有效数字（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．（3）规律方法总结：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．13．科学记数法—表示较小的数用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律x的取值范围表示方法a的取值n的取值|x|≥10a×10n1≤|a|＜10整数的位数﹣1|x|＜1a×10﹣n第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）14．列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．【规律方法】列代数式应该注意的四个问题1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．15．代数式求值（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．16．规律型：数字的变化类探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．17．完全平方公式（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．18．平方差公式（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．19．整式的混合运算（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．20．因式分解的应用1、利用因式分解解决求值问题．2、利用因式分解解决证明问题．3、利用因式分解简化计算问题．【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．21．分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．【规律方法】分式化简求值时需注意的问题1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条