人教版九年级数学下册相似《相似三角形（第7课时）》示范教学设计

相似三角形（第7课时）教学目标1．通过带领学生复习，进一步加深学生对相似三角形的性质和判定的理解，使学生对相似三角形的知识形成整体认识，提升学生的逻辑推理能力．2．能够熟练应用相似三角形的性质和判定进行计算和证明．教学重点相似三角形的性质和判定的应用．教学难点相似三角形与圆的综合．教学过程知识回顾1．相似三角形的性质：（1）相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比．（2）相似三角形周长的比等于相似比．（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方．2．相似三角形的判定：（1）对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似．（2）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．（3）三边成比例的两个三角形相似．（4）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．（5）两角分别相等的两个三角形相似．（6）斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．【设计意图】复习已经学过的相似三角形知识，为引出新课作铺垫．新知探究类型一：利用相似三角形求线段长【问题】1．如图，F为四边形ABCD的边CD上一点，连接AF并延长交BC的延长线于点E，已知∠D＝∠DCE．（1）求证：△ADF∽△ECF；（2）若四边形ABCD为平行四边形，BC＝6，AF＝2EF，求CE的长．【师生活动】先让学生尝试独立完成，然后教师展示结果并讲解．【答案】（1）证明：∵∠D＝∠DCE，∠AFD＝∠EFC，∴△ADF∽△ECF．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝6．由（1）知△ECF∽△ADF，∴．又AF＝2EF，∴．∴CE＝3．【问题】2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求证：△BDE∽△EFC．（2）设．①若BC＝12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．【答案】（1）证明：∵DE∥AC，∴∠BED＝∠C．∵EF∥AB，∴∠B＝∠FEC．∴△BDE∽△EFC．（2）解：①∵EF∥AB，∴，即．又BC＝12，∴．②∵，∴．∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，相似比为．设△EFC的面积为S1，△ABC的面积为S，则．∵S1＝20，∴S＝45．∴△ABC的面积是45．【设计意图】通过问题1，2，让学生能够综合运用相似三角形的性质及判定解决线段长度问题，加深学生对知识的理解和应用．类型二：利用相似三角形证明比例式、等积式【问题】3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．（1）求证：AG平分∠BAC；（2）求证：．【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流，并派代表回答，教师板书讲解．【答案】证明：（1）∵∠DAE＋∠AED＋∠EDA＝180°，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∠AED＝∠B，∴∠ADE＝∠C．又，∴△ADF∽△ACG．∴∠DAF＝∠CAG，∴AG平分∠BAC．（2）∵∠AED＝∠B，∠CAG＝∠DAF，∴△AEF∽△ABG．∴．由（1）知△ADF∽△ACG，∴．∴．【问题】4．在△ABC中，∠BAC是直角，过斜边中点M且垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E，交AB于D，连接AM．求证：（1）△ABC∽△MEC；（2）AM2＝MD·ME．【答案】证明：（1）∵∠BAC是直角，ME⊥BC，∴∠BAC＝∠EMC＝90°．∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△MEC．（2）∵∠BAC是直角，ME⊥BC，∴∠C＋∠E＝∠C＋∠B＝90°．∴∠E＝∠B．∵点M为Rt△ABC斜边的中点，∴MA＝MB．∴∠MAD＝∠B＝∠E．而∠AMD＝∠EMA，∴△MAD∽△MEA．∴．∴AM2＝MD·ME．类型三：相似三角形与圆的综合【问题】5．如图，已知AB为⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接BC交⊙O于点F，取的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于点H．（1）求证：△HBE∽△ABC；（2）若CF＝8，BF＝10，求AC和EH的长．【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC．又EH⊥AB，∴EH∥AC．∴△HBE∽△ABC．（2）解：连接AF，∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB＝90°．∴∠AFC＝∠BAC＝90°．又∠ACF＝∠BCA，∴△CAF∽△CBA．∴．∴．∴CA＝12．∵D为的中点，∴∠BAD＝∠FAD．又EF⊥AF，EH⊥AB，∴EF＝EH．设EH＝x，则EF＝x，BE＝10－x，由（1）知△HBE∽△ABC，∴．∴．∴x＝4，即EH＝4．【设计意图】通过问题5，让学生学会综合运用相似三角形的性质和判定解决与圆有关的问