高等数学教程　下册　第4版 课件 8.2 常数项级数的审敛法

证设定理8.1

(级数收敛的必要条件)若级数

收敛,则所以8.2

常数项级数的审敛法8.2.1级数收敛的必要条件说明:

调和级数的通项收敛于0,但是级数发散,说明不是级数收敛的充分条件.因此,级数收敛的必要条件常用于判断级数发散,而不能用于判断级数收敛.例1判断下列级数的敛散性:

解题思路:若

则级数发散.解(1)因所以,级数(1)发散.(2)令则所以,级数(2)发散.则称该级数称为正项级数.8.2.2正项级数及其审敛法由单调有界数列必有极限,

可得下面重要定理.显然,正项级数部分和数列单调增加.定理8.2正项级数收敛当且仅当它的部分和数列有界.定理8.3(正项级数的比较审敛法)证即部分和数列有界,则收敛;(1)若收敛,(2)若发散,所以

收敛.且则发散.(2)

用反证法

若收敛,则由(1)可知也收敛,矛盾.故发散.解p-级数的部分和为由调和级数发散,例2讨论p-级数的敛散性(常数p>0).证明部分和数列有上界,有

发散.从而收敛.

等比数列

而重要参考级数:

几何级数,p-级数,

调和级数.通常取是敛散性已知的级数作为比较的标准,用于判断的收敛性.重要结果:例3

讨论下列级数的敛散性:解

(1)因由比较审敛法,级数(1)发散.(2)因

由比较审敛法,级数(2)收敛.证反之不成立.例如,收敛,发散.由级数收敛的必要条件因级数

收敛,例4设正项级数收敛,证明收敛.反之是否成立?由比较审敛法知

收敛.所以两级数有相同的敛散性;定理8.4(正项级数的比较审敛法的极限形式)如果则现只证(1)由余和定律和比较审敛法

,即两级数有相同的敛散性.敛散性相同;比较审敛法可以理解成当时如下的无穷小比较.解设例5判定级数的敛散性.

故,原级数收敛.因定理8.5(p—级数审敛法)解(1)因故级数(1)发散.例6讨论下列级数的敛散性:(2)因故,级数(2)收敛.故,级数(4)收敛.(3)因(4)因故,级数(3)发散.定理8.6(比值审敛法)

(1)当时级数收敛;设是正项级数,如果则(2)当时级数发散.证有即故原级数收敛.所以,当时,原级数发散.当时,比值审敛法的优点:不必找参考级数.注意:

当时,级数可能收敛也可能发散.2.若用比值判别法判定级数发散注:级数的通项un不趋于零.1.适用于或关于n的若干连乘积(或商)形式.例如,级数级数收敛3.条件是充分的,而非必要的.例如,所以,级数所以,不存在.解因例7判别级数的敛散性.故,原级数收敛.例8判别级数的敛散性.解当0<a<1时,收敛;当a>1时,发散;当

a=1时,原级数为收敛.解例9

讨论级数的敛散性.

不存在对级数利用比值审敛法,可知

收敛.所以,

不能直接用比值审敛法再由正项级数的比较审敛法知,原级数收敛.定理8.7(柯西根值审敛法)设

是正项级数,则

时级数收敛;

如果说明:注意:

当时,级数可能收敛也可能发散.时级数发散.但反之不对.例10判别级数

的敛散性,解故此级数收敛.用比值审敛法故比值判别法无法鉴别此级数的收敛性.*定理8.8(积分审敛法)设

是正项级数,N为某个自然数.如果存在

上的单调函数有相同的敛散性.使得则级数与广义积分解*例11判断下列级数的敛散性广义积分所以级数(1)发散;广义积分发散,广义积分所以级数(2)收敛.正、负项相间的级数称为交错级数.8.2.3交错级数定理8.9(莱布尼兹定理)则级数收敛,即形如如果交错级数满足条件:分析:证证毕例如,都是收敛的交错级数.也是收敛的交错级数.余项注:比较un与un+1大小的方法有三种:(1)比值法,

??(3)由un找出一个连续可导函数考察?(2)差值法,

用莱布尼茨定理判别交错级数是否收敛时,要考察un与un+1大小.使得例12解且满足莱布尼兹定理的条件:根据莱布尼茨定理,所给级数收敛.为交错级数,且其和s<1.解令所以,原级数收敛.例13

判别级数

的敛散性.则且且例如,均条件收敛;定义8.2

若

收敛,则称

为绝对收敛;而级数绝对收敛.正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.8.2.4绝对收敛与条件收敛任意项级数思想:正项级数若

收敛,而

发散,则称

为条件收敛.证又因注:

一个条件收敛的交错级数的所有奇数项所成的级数是发散的,所有偶数项所成的级数也是发散的.定理8.10

若级数绝对收敛,则级数一定收敛.通常先考查它若使用比值法或根值法判定级数不绝对收敛(这时级数的通项不趋对于交错级数,利用无穷级数的性质将级数拆开为如不是绝对收敛的,再看它是否条件收敛.便可断言级数发散.莱布尼茨定理.然后讨论敛散性也是常用手段.两个级数,讨论任意项级数的收敛性时,是否绝对收敛(用正项级数的审敛法),于零),

可用解由定理知,原级数绝对收敛.例14

讨论级数

的敛散性.例15若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?解原级数是交错级数,利用莱布尼兹定理条件收敛.例16解绝对收敛级数的性质定理8.11(无限交换律)绝对收敛的级数在任意重条件收敛的级数不具备这个性质，而且可以证明，对于条件收敛的级数，适当地交换各项的次序所组成的更序级数可以收敛于任何预先给定的数或发散。排后,仍然绝对收敛且和不变.的xn

项的系数的求法.考虑无穷级数的乘法问题.

xn

的系数是称级数为级数和级数的柯西乘积.