量子力学常用积分公式

量子力学常用积分公式

(1)fx"elLXdx=-x'-em--fx"-'elKdx(n>0)

JaaJ

^QX

(2)\eaxsmbxdx=-----7(asinZ?九一〃cosbx)

Ja~+b~

(3)cosaxdx=------------(acoshx+bsrnbx)

Ja+/?

(4)[xsinaxcbc=—sinax—xcosax

Jaa

(5)xsmaxdx=—sin6rx+(———)cosax

Jaaa

(6)xcosaxdx=—cosax+—s]nax

Jaa

f2,2x,x22.

(7xcosax小=rcosar+(---------)xsin«x)

Ja-aa

-yjctx~+c4----Ip^-\l~cix+Vcix~+c)(a>0)

2T

(8)JVax2+cdx=

一yjcix~+cH----,urcsin(.1----x)(a<0)

22fVc

gsin"xdx(n=正偶数)

⑼=Y

f2cos"xdx—~&(”=正奇数)

J。〃!！

冗八/

—{a>0)

2

/mArsindfxJ

(10)-------ax-\

JoX

71八

----(Q<0)l

2

(11))£e~axxndx=(〃=正整数,。>0)

(14)「尤2"+k1公=n!

Jo2an+'

(16)[xe~msinbxdx=—,,(a>0)

J。(a2+b2)2

产-axiia-b~八

xecosbxax=一；---丁丁(a>0)

J。(a2+b2)2

其次章：函数与波动方程

［1］试用量子化条件，求谐振子的能量［谐振子势能V(X)=,加。?/］

2

(解)(甲法)可以用Wilson-Sommerfeld的量子化条件式:，pdq=nh

在量子化条件中，令p=mx为振子动量，夕=x为振子坐标，设总能量E

则£=—+m(0—p=卜的七一幽三

2m2V2

代入公式得:，砥生宇

量子化条件的积分指一个周期内的位移,可看作振幅砺的四倍，要打算振幅a,留意在A或B

点动能为0,E=L”。2a2,(［)改写为：

2

2jmcoyla2-x2dx=nh(2)

积分得:moxTJi-nh

遍、占h乘-I--g得g

271

［乙法］也是采用量子化条件，大积分变量用时间t而不用位移X，按题意振动角频率为(D，直接

写出位移工，用，的项表示：

求微分:弱=tZr=acocosMdt(4)

求积分：p-mx=macoc^cot(5)

将（4）（5）代量子化条件：

T是振动周期,T=24?,求出积分，得

co

n=1,2,3正整数

#

⑵用量子化条件，求限制在箱内运动的粒子的能量，箱的长宽高分别为a,dc.

（解）三维问题，有三个独立量子化条件,

可设想粒子有三个分运动,每一分运动是自由运动.设粒子与器壁作弹性碰撞，则每碰一次时,

与此壁正交方向的分动量变号（如-p）,其余分动量不变，设想粒子从某一分运动完

成一个周期,此周期中动量与位移同时变号,量子化条件：

=n/=2pJ：dx=2ap⑴

fP”,=”=2p"=2"⑵

tp：dq=%h=2p」：dz=2cp（3）

p,p,〃都是常数，总动量平方p=Jp；+p；+p；总能量是:

小港产+（生产+（区内

8/nabc

但外，孙，〃工=1,2,3正整数.

#

[3]平面转子的转动惯量为I,求能量允许值.

（解）解释题意:平面转子是个转动体，它的位置由一坐标（例如转角°）打算，它的运动是一种

2

刚体的平面平行运动.例如双原子分子的旋转.按刚体力学，转子的

1,

角动量I(0，但(W=夕是角速度,能量是E=

采用量子化条件，将〃理解成为角动量,4理解成转角夕，一个周期内的运动理解成旋转一周,

则有

Jpdq=£\cod(p=2TAO>=nh(1)

⑴说明。是量子化的

nhnh.八〜

⑵co^—^—(〃=1,2,3.....)(2)

2力I

IT“力“2为2

⑶代入能量公式，得能量量子化公式：E=±1/2=上(空)2=~_⑶

22I21

#

留有一带电荷e质量加的粒子在平面内运动，垂直于平面方向磁场是B*求粒子能量允许值.

(解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动，设圆半径是r,线速度

是叭用高斯制单位,洛伦兹与向心力平衡条件是：

Bevmv2

(1)

又采用量子化条件，令p=电荷角动量q=转角(p

Jpdq=£mrvdtp=27rmrv=nh(2)

即mrv=nh(3)

由⑴(2)求得电荷动能1Rpfin

22mc

再求运动电荷在磁场中的磁势能，按电磁学通电导体在磁场中的势能

磁矩*场强=电流*线圈面积*场强=空土*/是电荷的旋转频率,八上

ccc2zrr

代入前式得

运动电荷的磁势能=—BeLhn（符号是正的）

2mc

Betin

点电荷的总能量=动能+磁势能=E=^—（〃=1,2,3）

2mc

#

[5]对高速运动的粒子（静质量加）的能量和动量由下式给出：

试依据哈密顿量H=E=6汽4+c2P2（3）

及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度

并证明它大于光速.

•QH

（解）依据（3）式来组成哈氏正则方程式组:q=--，本题中q,=叭〃,.=p,因而

*Pi

v=­y]m2c4+c2p~=icP-------（4）

6py]m2c4+c2p2

从前式解出p（用v表示）即得到（2）.又若将（2）代入（3）,就可得到（1）式.

其次求粒子速度v和它的物质波的群速度UG间的关系•运用德氏的假设：P=M于（3）式

右方，又用石=力0于（3）式左方，遍除/?:

依据波包理论，波包群速度“J是角频率丢波数的一阶导数：

最终一式依据（4）式等于粒子速度V,因而以=丫。

又按一般的波动理论，波的相速度是由下式规定

=uA——（v是频率）

「k

米用（5）式得知

故相速度（物质波的）应超过光速。

最终找出必和V/,的关系，将（1）（2）相除，再运用德氏波假设:

E_tlCD_c2_c2巨⑺

V

PhkVVc'P

VG

#

［6］（1）试用Fermat最小光程原理导出光的折射定律

（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难：

如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理可必//=0认为pmv则

bjpdl=0这将导得下述折射定律

这明显违反试验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：p=与Ev仍就成立，E是

粒子能量，从一种媒质到另一种媒质E仍不变，仍有bJpd/=O,你怎样解决冲突？

（解）甲法：光线在同一匀称媒质中依直线传播，因此自定

点A到定点B的路径是两段直线：光程

设A,B到界面距离是a,b（都是常量）有

又AB沿界面的投影c也是常数，因而［J存在约束条件:

“吆2+M。2=。<2）

求（1）的变分，而将伞］，。2看作能独立变化的，有以下极值条件

次=〃asec@rga［a+〃*sec®吆侬da=0（3）

2+bd=Sc=Q

再求⑵的变分aseca\dax^aia2

⑶与⑷消去dq和/得

［乙法］见同一图，取x为变分参数，取0为原点，则有：

n,x6xn（c-x）&c

求此式变分，令之为零，有：81=/-普=0

，la2+x2扬+（c-x）2

这个式子从图中几何关系得知，就是(5).

(2)按前述论点光若看作微粒则粒子速度u应等于光波的群速度y；G光程原理作

22

=0,依前题相速y=J，而VG=J=c〃,〃是折射率,〃是波前阵面更引起的，而

PVG'V,,

波阵面速度则是相速度V.,这样最小作用量原理仍可以化成最小光程原理.

前一非难是将光子的传播速度V看作相速度V。的误会.

#

[7]当势能V(1)转变一常量C时，即V(F)fV(刃+c,粒子的波函数与时间无关部分变

否?能量本征值变否？

(解)设原来的薛定瑞方程式是

号+―-=0将方程式左边加减相等的量C-得：

dxh

12

-^+-^{[£+C]-[V(x)+C]}^=0

dxn

这两个方程式从数学形式上来说完全相同，因此它们有相同的解必x),

从能量本征值来说，后者比前者增加了Co

#

[8]设粒子势能的微小值是E“>Vmin

(证)先求粒子在某一状态中的平均值能量E

其中动能平均值肯定为正:

*2

方2%2

-------+——fffi//dr

2m2m”)

_方2方2

用高斯定理：〒=一3—j](/V•加+一-J”▽顿

B一

中间一式的第一项是零，由于〃假定满意平方可积条件,因而7>0因此三+±>V,能

让能量平均值V>ymm因此后〉令“=(本征态)则豆=E，而

方〉V.得证

JL^nVmin

#

[9]设粒子在势场V(r)中运动⑴证明其能量的平均值

—CI•方2

^-.E=\wdx2=[[一心(1)

JJ2m

其中W是能量密度(2)证明能量守恒公式

dW-

—+V-S=O(2)

dt

其中5=-—(^V+-^V/)(能流密度)

2mdtdt

A方2

(证明)(1)三维粒子的能量算符是『VZ"+v”(3)

2m

求方在状态-中的平均值

由于y'v?中=V(TW)-,将此式代入前一式：

最末一式按高斯定理化为面积分

若中满意平方可积条件，则lim+*v+=。，s考虑为无限远处的界面。结果证得公式⑴

r—>8

⑵求⑴式中能量密度W的时间偏导数，留意甲。5*一般都含时间，▽中,▽甲*也是如

^\JLJO4-2

此，因而：—=—{—VT*VT+T*VT}

dtdt2m

粒子满意含时间薛定谤方程及其共加方程式：

-力2a卬*a叩

又设s三——[-—•▽++则有

2mdtdt

公式⑵得证。

[10]设N个粒子的哈密顿量为：

人-次勿：+1>麻--动⑴

/=1乙"1i=l

甲齿弓…几/)是它的任一态函数，定义:

p(rj)=^p,.(rj)(2)

7(r,r)=^7,.(r,Z)(3)

求证：吆+▽•］=()⑷

dt

［证明］按定义:

dtdti

=EPGJ)⑸

i

多粒子的体系的状态中/弓••斤N，。应满意多粒子薛定谓方程式，写出这个方程式和其共轨

印P方2

方程式：加方中-，)”力中(6a)

Y

、一初三=Z(—^V/)+*+Z%+*(6b)

Stk2mV

将前二式等式右方的式子代替左方的?，—,代进式⑸

dtdt

--------------⑺

又待证的公式的等号左方其次项是：

等=Z警=ZJ……也X£言v*.(¥%+-"¥*)-

-------------------------------------------------(9)

将⑼式两个求和合一，留意到iw%的项不存在，因而⑻⑼等值异号。

［⑴设当与凡是薛定娉方程式两个解，证明川＞:(』)％(无与时间无关。

T

［证明］试将此式对时间求偏导数，再采用中\,中2所满意的薛定瑞方程式，有：

因—桁分甲、匕为2-\72+*1+VT*1

dt2m

最终一道等号是采用高斯定理将题给的体积分(T)变换成(T)的包围面S的面积分，

若甲”W2满意平方可积条件

等，可使这面积分等于零。所以体积分1/)%(匕。公3是与时间无关的。

T

#

［12J考虑单粒子的薛定瑞方程式：

V”V2为实函数，证明粒子的几率不守恒。求出在空间体积。内，粒子几率“丢失”或“增

加”的速率。

解：要证明几率不守恒，可以计算总几率的时间变化率，先考察空间肯定体积Q中粒子

消失的总几率，按Born假设，总几率是

求总几率的时间变化率

(1)

vzi-Lyv/**

再依据薛定谤方程式和其共朝方程式求出q二和有

dtdt

0/力，1

,VV-[V,+/V]^

~dt+2

2mim(2)

方1

——▽卯*一[vwj*

.dt2mihi12

将（2）代入（1）,化简后得

采用高斯定理将右方第一项变形：

=/一/*）.曲+-JJJ/*匕叱x(3)

c2mi力c

假如粒子的运动范围是无限的，并且符合平方可积条件，则在无限远处产一＞0,

▽卢•卢*f0,因而（3）式的面积分等于0。

笥=匕（X）%，(4)

4T）

这证明总几率尸=灯3%不守恒，由于?。0。

Q初

假如考察有限体积Q之内总几率的变化率，令:

（3）式改写为：

冷-1P,。TIff-*匕⑴〃八(5)

J是空间Q内粒子几率削减或增加的速度右方—是指。的包围面s上几率流

dt

淌的速度（流进或流出），右方指由虚数势能引起的，附加的几率变化

力Q

速率，题目所指的是这一项。

[13]对于一维自由运动粒子，设”（x,0）=3（幻求M（x,f）「o

（解）题给条件太简洁，可以假设一些合理的条件，既然是自由运动，可设粒子动量是

p，能量是E,为了能代表一种最普遍的一维自由运动，可以认为粒子的波函数是个波包（很

多平面波的叠加），其波函数：

〃（即。(1)

这是一维波包的通用表示法，是一种福里哀变换，上式若令f=0应有

(2)

但按题意，此式等于6（x）。但我们知道一维5函数一种表示是:

1产

抬）="一e*'dk(3)

将（2）（3）二式比较：知道上=",并且求得°（p）=^^,于是（1）成为

力、2兀卜

1产^-(px-Ei)

…=茄&「dP(4)

这是符合初条件的波函数，但P，E之间尚有约束条件后=支二（由于是自由粒子,

2m

总能量等于动能），代入（4）

(5)

将此式变形成高斯积分，简洁得到所需结果:

采用积分匚

写出共轨函数（前一式i变号）：

本题也可以用Fresnel积分表示，为此可将（6）式积分改为:

用课本公式得—(1+0,两者相乘，可得相同的结果。

W（X,。2成

#

［14］在非定域势中粒子的薛定谤方程式是：

a办2

hi—^［x,r）=--V2vP（^,0+,（月落|3，t）d3x'（1）

求几率守恒对非定域势的要求。此时，只依靠于波函数平在空间一点的几率波是否存在？

［解］按题意，是要求写出几率守恒的条件，从这个条件寻出V（x,/）应遵守的要求。

几率守恒的条件是:

%*理+也中

或3X'=Q(2)

nQdtdt

与［13］题类似，可写出川的共轨方程式:

-hi—^(x,r)=-—V2T*(X,r)+ff[V*(x,x)vr(x',t)d3x'(3)

dt2mJJJx，

3kp

将⑴和网中的——和想等同的式子代入到⑵式中去，就得到如下的条件:

dtdt

将前式等号左方第一项变成面积分［高斯定理］,其次项变成六重积分:

2加〃hi

s(4)

川川W*(焉z)V(x,元')%(亍，。—中(焉/"*(焉亍)+气'，t)\d3x-d3x'=0

Q/

前式等号左方第一项由于波函数平方可积条件（5*->0,5（%）-»0当》一>8时）可消去,

因甲（元，。和%（亍，f）形式相同,xr'对易：

y

权力,力［内,x'）-V（x,元'）N*（元，x-dx'-0(5)

n/

这积分式定积分，它等于零的可能性要求被积函数为零，即：

因此丫（元，亍）必需是无，于实函数。#

［15］写出动量表象中的薛定瑞方程式。

［解］本题可有二中［A］含时间薛定调方程式，［B］定态薛定谭方程式。

［A］写出含时间薛氏方程式：

a中方2

M—=----V2T+V（x）T（1）

dt2m

为将前式变换成动量表象，可写出含时间的表象变换式：

+伍'）=一百2万川川君tW'd3P（2）

JJJ

（2成）r

)=力2

〃仿，t)e'r，xlhd3x(3)

为了能用（3）变换（1）式，将（1）式遍乘--^万6寸‘〃'，对空间积分:

（2洲”2

左方变形

h3

hi---\3fffT(X,tY^'dx

拉(2洲3〃JJJ(尸

(4)

=位导,仿，0

dt

等号右方第一积分是可以用三重积分的分部积分来变形的，这式写成标量：

—•—++=卜公dydz（5）

（2励严2办2&2j

计算（5）的X部分分部积分法：

o2o2

关于9，」的积分按同法计算，（5）式的结果是

dy2dz2

再计算（4）式右方其次积分

=JJJG仿，力广，w⑺

但最终一个积分中

7指坐标空间，J指动量相空间，最终将（4）（6）（7）综合起来就得到动量表象的积分方

程式如下:

a2

初三“仿，。=3〃仿，仿，广亚（尸，w(8)

dt2m"J

若要将定态薛定将方程式从坐标表象变成动量表象，运算步骤和上面只有很少的差别，设粒

子能量为E,坐标表象