2024-2025学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算 3.2.1 几个常用函数的导数教案 文 新人教A版选修1-1

2024-2025学年高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算3.2.1几个常用函数的导数教案文新人教A版选修1-1课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教材分析“2024-2025学年高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算3.2.1几个常用函数的导数教案文新人教A版选修1-1”这一章节主要讲述了几个常用函数的导数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的导数。这些内容是导数学习的基础，对于学生掌握导数的计算方法和技巧具有重要意义。

本章内容与学生的日常生活和后续学习密切相关，通过学习几个常用函数的导数，学生可以更好地理解导数的概念，为后续学习函数的单调性、极值等问题打下基础。在教学过程中，应注重引导学生通过观察、思考、实践等方式掌握导数的计算方法，提高学生的数学思维能力和动手能力。同时，结合具体例题和练习题，让学生在实际问题中运用所学知识，提高学生解决问题的能力。二、核心素养目标分析本章节的教学旨在培养学生的数学核心素养，包括逻辑推理、数学建模、数据分析、数学运算等能力。通过学习几个常用函数的导数，学生可以提升自己的数学逻辑推理能力，能够运用导数的概念和计算方法解决实际问题，培养数学建模和数据分析的能力。同时，通过导数的计算练习，提高学生的数学运算能力，熟练掌握导数的计算技巧。此外，通过本章节的学习，学生可以提升自己的数学思维能力，能够运用导数研究函数的单调性、极值等问题，培养解决问题的能力。总体来说，本章节的教学目标是以导数的计算为基础，全面提升学生的数学核心素养。三、学情分析在进入本章节的学习之前，学生已经掌握了函数的基本概念和相关性质，对幂函数、指数函数、对数函数等有一定的了解。在学习本章节之前，学生需要具备一定的逻辑推理能力、数学运算能力和数学思维能力。同时，学生需要具备良好的学习习惯和行为习惯，能够积极参与课堂讨论和练习，对课程学习有积极的影响。

然而，学生在学习本章节时可能会面临一些挑战。首先，导数的计算涉及到一些新的概念和计算方法，学生可能需要一定的时间去适应和理解。其次，导数的计算需要学生具备较高的数学思维能力和逻辑推理能力，对于一些学生来说可能存在一定的难度。此外，学生的学习习惯和行为习惯对于本章节的学习也有重要影响。如果学生能够积极主动地参与课堂讨论和练习，那么对于导数的计算和方法的掌握会更加顺利。

针对学生的具体情况，教师需要采取相应的教学策略。首先，可以通过举例和讲解，帮助学生理解和掌握导数的计算方法。其次，可以通过设置一些实际问题，让学生运用所学知识解决，提高学生的数学建模和数据分析能力。同时，教师需要关注学生的学习进度和理解情况，及时进行辅导和解答学生的疑问。此外，教师还可以鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的团队合作和沟通能力。四、教学方法与手段1.教学方法

（1）问题驱动法：教师通过提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣和主动性。例如，在讲解幂函数的导数时，教师可以提问：“为什么幂函数的导数会随着指数的不同而变化？”引导学生思考并探索答案。

（2）案例分析法：教师通过分析具体的案例，让学生理解导数的应用和实际意义。例如，在讲解导数在实际问题中的应用时，可以选取一些实际问题，如物体运动的瞬时速度和加速度，让学生运用所学知识解决。

（3）小组合作法：教师将学生分成小组，让学生在小组内进行讨论和合作，培养学生的团队合作和沟通能力。例如，在讲解指数函数的导数时，教师可以让学生小组合作，探讨指数函数导数的计算方法和规律。

2.教学手段

（1）多媒体教学：教师可以利用多媒体设备，如PPT、视频等，进行直观的教学展示，帮助学生更好地理解和记忆导数的计算方法和应用。例如，在讲解导数的计算时，可以通过动画演示导数的几何意义，让学生更直观地理解导数的概念。

（2）在线教学平台：教师可以利用在线教学平台，进行资源共享、互动交流等，提高教学效果和效率。例如，在讲解对数函数的导数时，可以通过在线平台发布相关的练习题和学习资料，让学生进行自主学习和巩固。

（3）数学软件辅助教学：教师可以利用数学软件，如Matlab、Excel等，进行数值计算和绘图，帮助学生更好地理解和应用导数。例如，在讲解导数在实际问题中的应用时，可以通过数学软件进行实例分析和模拟，让学生更直观地了解导数的应用价值。五、教学流程（一）课前准备（预计用时：5分钟）

学生预习：

发放预习材料，引导学生提前了解几个常用函数的导数的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。

设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习几个常用函数的导数内容做好准备。

教师备课：

深入研究教材，明确几个常用函数的导数教学目标和几个常用函数的导数重难点。

准备教学用具和多媒体资源，确保几个常用函数的导数教学过程的顺利进行。

设计课堂互动环节，提高学生学习几个常用函数的导数的积极性。

（二）课堂导入（预计用时：3分钟）

激发兴趣：

提出问题或设置悬念，引发学生的好奇心和求知欲，引导学生进入几个常用函数的导数学习状态。

回顾旧知：

简要回顾上节课学习的导数的基本概念和相关性质，帮助学生建立知识之间的联系。

提出问题，检查学生对导数的基本概念和相关性质的掌握情况，为几个常用函数的导数新课学习打下基础。

（三）新课呈现（预计用时：25分钟）

知识讲解：

清晰、准确地讲解几个常用函数的导数知识点，结合实例帮助学生理解。

突出几个常用函数的导数重点，强调几个常用函数的导数难点，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。

互动探究：

设计小组讨论环节，让学生围绕几个常用函数的导数问题展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。

鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。

技能训练：

设计实践活动或实验，让学生在实践中体验几个常用函数的导数知识的应用，提高实践能力。

在几个常用函数的导数新课呈现结束后，对几个常用函数的导数知识点进行梳理和总结。

强调几个常用函数的导数重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。

（四）巩固练习（预计用时：5分钟）

随堂练习：

随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对几个常用函数的导数的掌握情况。

鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决几个常用函数的导数问题。

错题订正：

针对学生在随堂练习中出现的几个常用函数的导数错误，进行及时订正和讲解。

引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。

（五）拓展延伸（预计用时：3分钟）

知识拓展：

介绍与几个常用函数的导数内容相关的拓展知识，拓宽学生的知识视野。

引导学生关注学科前沿动态，培养学生的创新意识和探索精神。

情感升华：

结合几个常用函数的导数内容，引导学生思考学科与生活的联系，培养学生的社会责任感。

鼓励学生分享学习几个常用函数的导数的心得和体会，增进师生之间的情感交流。

（六）课堂小结（预计用时：2分钟）

简要回顾本节课学习的几个常用函数的导数内容，强调几个常用函数的导数重点和难点。

肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。

布置作业：

根据本节课学习的几个常用函数的导数内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。六、教学资源拓展1.拓展资源：

（1）导数计算软件：介绍一些可以进行导数计算的软件，如Mathematica、MATLAB等，这些软件可以帮助学生更好地理解导数的计算过程。

（2）在线导数计算器：介绍一些在线导数计算器，如WolframAlpha、Desmos等，这些计算器可以帮助学生快速计算函数的导数。

（3）数学论坛和学术网站：推荐一些数学论坛和学术网站，如StackExchange、MathOverflow等，学生可以在这些网站上提问、解答问题，与其他数学爱好者交流。

（4）数学教学视频：推荐一些数学教学视频，如KhanAcademy、Coursera等，这些视频涵盖了从基础到高级的数学知识，可以帮助学生巩固学习内容。

2.拓展建议：

（1）让学生利用导数计算软件或在线导数计算器，自己探索一些其他函数的导数，加深对导数计算的理解。

（2）鼓励学生参加数学竞赛或挑战，如美国数学竞赛（AMC）、国际数学奥林匹克（IMO）等，提高自己的数学水平。

（3）引导学生阅读一些数学书籍或论文，了解导数在实际应用中的作用，如物理学、经济学等领域。

（4）鼓励学生尝试自己编写一些关于导数的编程项目，如开发一个简单的图形界面，展示函数的导数图像。

（5）建议学生加入数学社团或小组，与其他同学一起讨论和学习导数相关的问题，共同进步。

（6）鼓励学生积极参与数学研究，如参加学校或社区的研究项目，或与老师合作开展课题研究。七、反思改进措施（一）教学特色创新

1.引入更多的实际案例：在教学过程中，加入更多的实际案例，让学生通过解决实际问题，更好地理解和掌握导数的计算方法和应用。

2.增加互动环节：增加课堂上的互动环节，鼓励学生提问和发表自己的观点，激发学生的思考和参与度。

3.利用多媒体资源：充分利用多媒体资源，如视频、动画等，帮助学生更直观地理解导数的几何意义和应用。

（二）存在主要问题

1.学生理解程度不一：由于学生的数学基础和理解能力不同，有些学生可能对导数的计算和方法掌握得不够熟练。

2.教学方法单一：在教学过程中，可能会过于依赖讲授法，缺乏其他教学方法的应用，如讨论法、实验法等。

3.课堂氛围不够活跃：有时候课堂氛围不够活跃，学生的参与度和积极性不高，影响了教学效果。

（三）改进措施

1.实施分层教学：针对学生理解程度不一的问题，实施分层教学，对不同层次的学生进行有针对性的指导，帮助他们掌握导数的计算方法和应用。

2.丰富教学方法：在教学过程中，引入更多的教学方法，如讨论法、实验法等，激发学生的学习兴趣和主动性，提高教学效果。

3.营造活跃的课堂氛围：通过设计有趣的互动环节、鼓励学生提问等方式，营造活跃的课堂氛围，提高学生的参与度和积极性。八、重点题型整理（一）题型1：求函数的导数

例题1：求函数f(x)=x^3-3x+1的导数。

解答：首先，对每一项分别求导。对于x^3，导数是3x^2；对于-3x，导数是-3；对于常数项1，导数是0。所以，f(x)的导数是f'(x)=3x^2-3。

（二）题型2：求复合函数的导数

例题2：求函数f(x)=(x^2-1)^2的导数。

解答：首先，利用链式法则，将函数分解为内函数和外函数。内函数是u(x)=x^2-1，外函数是g(u)=u^2。然后分别求u(x)和g(u)的导数。u(x)的导数是2x，g(u)的导数是2u。根据链式法则，f(x)的导数是f'(x)=2(x^2-1)(2x)。

（三）题型3：求隐函数的导数

例题3：求函数y=x^3-3x+1的导数。

解答：首先，将y看作是x的函数，即y=f(x)。然后，对y求导。导数是dy/dx=3x^2-3。

（四）题型4：求参数方程的导数

例题4：求参数方程x=t^3,y=t^2的导数。

解答：首先，将参数方程转换为普通方程。得到x=t^3,y=t^2。然后，对x和y分别求导，得到dx/dt=3t^2,dy/dt=2t。

（五）题型5：求高阶导数

例题5：求函数f(x)=x^4-2x^3+x^2的导数。

解答：首先，对每一项分别求导。对于x^4，导数是4x^3；对于-2x^3，导数是-6x^2；对于x^2，导数是2x。所以，f(x)的一阶导数是f'(x)=4x^3-6x^2+2x。然后，对f'(x)再求导，得到二阶导数f''(x)=12x^2-12x+2。

（六）题型6：求隐函数组导数

例题6：求隐函数组{x=t^3,y=t^2}的导数。

解答：首先，将隐函数组转换为参数方程组。得到x=t^3,y=t^2。然后，对x和y分别求导，得到dx/dt=3t^2,dy/dt=2t。

（七）题型7：求函数的导数的几何意义

例题7：求函数f(x)=x^3的导数的几何意义。

解答：首先，求出f(x)的导数f'(x)=3x^2。然后，根据导数的几何意义，f'(x)表示函数f(x)在点(x,f(x))处的切线的斜率。

（八）题型8：求函数的导数在区间上的最大值和最小值

例题8：求函数f(x)=x^4-2x^3+x^2在区间[-2,2]上的最大值和最小值。

解答：首先，求出f(x)的导数f'(x)=12x^2-6x+2。然后，找到导数的零点，即解方程12x^2-6x+2=0。得到x=-1/6,x=2。然后，计算f(x)在x=-1/6,x=-2,x=2时的值。得到f(-2)=16,f(-1/6)=0,f(2)=8。所以，f(x)在区间[-2,2]上的最大值是16，最小值是0。

（九）题型9：求函数的导数在某点处的极值

例题9：求函数f(x)=x^4-2x^3+x^2在x=1处的极值。

解答：首先，求出f(x)的导数f'(x)=12x^2-6x+2。然后，找到导数的零点，即解方程12x^2-6x+2=0。得到x=-1/6,x=2。因为x=1不在导数的零点中，所以x=1是导数的驻点。然后，计算f(x)在x=1时的值。得到f(1)=-1。所以，f(x)在x=1处的极值是-1。

（十）题型10：求函数的导数在某区间上的单调性

例题10：求函数f(x)=x^4-2x^3+x^2在区间[-2,2]上的单调性。

解答：首先，求出f(x)的导数f'(x)=12x^2-6x+2。然后，找到导数的零点，即解方程12x^2-6x+2=0。得到x=-1/6,x=2。因为导数的零点是-1/6和2，所以导数在区间[-2,-1/6)上是负的，在区间(-1/6,2)上是正的。所以，f(x)在区间[-2,2]上是先减后增的。作业布置与反馈作业布置：

1.求函数的导数：请学生求出以下函数的导数：f(x)=x^3-3x+1,g(x)=(x^2-1)^2,h(x)=x^4-2x^3+x^2。

2.求复合函数的导数：请学生求出以下复合函数的导数：F(x)=(x^2-1)^3,G(x)=x^2*arctan(x)。

3.求隐函数的导数：请学生求出以下隐函数的导数：y=x^3-3x+1,z=x^2*arcsin(x)。

4.求参数方程的导数：请学生求出以下参数方程的导数：x=t^3,y=t^2,z=t^4。

5.求高阶导数：请学生求出以下函数的高阶导数：f(x)=x^4-2x^3+x^2,g(x)=x^6-3x^5+2x^4。

作业反馈：

1.针对求函数的导数，检查学生是否能够正确应用导数的定义和法则求出函数的导数，给出改进建议。

2.针对求复合函数的导数，检查学生是否能够正确运用链式法则求出复合函数的导数，给出改进建议。

3.针对求隐函数的导数，检查学生是否能够正确将隐函数转换为显函数，并求出其导数，给出改进建议。

4.针对求参数方程的导数，检查学生是否能够正确应用参数方程的导数公式求出参数方程的导数，给出改进建议。

5.针对求高阶导数，检查学生是否能够正确应用高阶导数的定义和法则求出函数的高阶导数，给出改进建议。板书设计1.求函数的导数

-明确目的：掌握求函数导数的基本方法。

-紧扣内容：

-导数的定义

-导数的四则运算法则

-求导公式（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数）

-结构清晰，条理分明：

-导数的定义

-导数的计算方法

-求导公式

-简洁明了，突出重点：

-导数的定义：f'(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h

-导数的计算方法：导数的四则运算法则、求导公式

-准确精炼，概括性强：

-导数的定义和计算方法

-求导公式

-艺术性和趣味性：使用图表、图解等直观方式展示导数的定义和计算方法，增加学生的兴趣和参与度。

2.求复合函数的导数

-明确目