2024年九年级中考数学专题训练-动点最值之胡不归模型

第1页（共1页）中考专题-动点最值之胡不归模型【背景故事】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？建立模型【解决思路】构造射线AD使得sin∠DAN=k，即CHAC=k，CH将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．【例题】1．如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+32A．3 B．3 C．33 D．2+232．在△ABC中，∠ACB＝90°，P为AC上一动点，若BC＝4，AC＝6，则2BP+AP的最小值为（）A．5 B．10 C．52 D．1023．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝45°，BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则22BP+CPA．522 B．52 C．104．已知等边△ABC中AD⊥BC，AD＝12，若点P在线段AD上运动，当12AP+BP的值最小时，APA．4 B．8 C．10 D．125．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则2PD+PC的最小值是（）A．4 B．2+22 C．22 D．36．如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则22AP+PBA．2 B．3 C．62

【练习】7．如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+PD的最小值等于．8．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+12PD的最小值等于9.例3.如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA＝43，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是

胡不归问题参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+32A．3 B．3 C．33 D．2+23【分析】过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，有锐角三角函数可得EP=32PD，即PB+32PD＝PB+PE，则当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+【解答】解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，∵AB∥CD，∴∠EDP＝∠DAB＝60°，∴sin∠EDP=EP∴EP=3∴PB+32PD＝PB∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，∵sin∠A=BE∴BE＝33，故选：C．2．在△ABC中，∠ACB＝90°，P为AC上一动点，若BC＝4，AC＝6，则2BP+AP的最小值为（）A．5 B．10 C．52 D．102【分析】2BP+AP=2（BP+22AP），求BP+22AP【解答】解：以A为顶点，AC为一边在下方作∠CAM＝45°，过P作PF⊥AM于F，过B作BD⊥AM于D，交AC于E，如图：2BP+AP=2（BP+22AP），要使2BP+AP最小，只需BP∵∠CAM＝45°，PF⊥AM，∴△AFP是等腰直角三角形，∴FP=22∴BP+22AP最小即是BP+FP最小，此时P与E重合，F与D重合，即BP+22∵∠CAM＝45°，BD⊥AM，∴∠AED＝∠BEC＝45°，∵∠ACB＝90°，∴sin∠BEC＝sin45°=BCBE，tan∠BEC又BC＝4，∴BE＝42，CE＝4，∵AC＝6，∴AE＝2，而sin∠CAM＝sin45°=DE∴DE=2∴BD＝BE+DE＝52，∴2BP+AP的最小值是2BD＝10，故选：B．3．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝45°，BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则22BP+CPA．522 B．52 C．10【分析】过点P作PE⊥AB于点E，由勾股定理得PE=22BP．继而证明当C、P、E三点共线且CE⊥AB，22BP+PC＝PE+PC的值最小为CE．由由等腰三角形腰上的高相等，解出【解答】解：∵∠A＝45°，BD⊥AC，∴∠ABD＝45°．过点P作PE⊥AB于点E，由勾股定理得PE=2∴22当C、P、E三点共线，且CE⊥AB时，22BP+PC＝PE+PC的值最小为CE∵△ABC中，AB＝AC＝10，BD⊥AC，CE⊥AB，由等腰三角形腰上的高相等，∴BD＝CE，在Rt△ABD中，BD=AB2故22BP+PC＝PE+PC＝CE=5故选：B．4．已知等边△ABC中AD⊥BC，AD＝12，若点P在线段AD上运动，当12AP+BP的值最小时，APA．4 B．8 C．10 D．12【分析】可以作BE⊥AC于点E，交AD于点P，根据△ABC是等边三角形，AD⊥BC，得∠DAC＝30°，所以PE=12当BP⊥AC时，12AP+BP＝PE+BP的值最小，根据等边三角形的重心即可求得AP【解答】解：如图，作BE⊥AC于点E，交AD于点P，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴∠DAC＝30°∴PE=1当BP⊥AC时，12AP+BP＝PE+BP此时，AP=23故选：B．5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则2PD+PC的最小值是（）A．4 B．2+22 C．22 D．3【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据2PD+PC=2（PD+22PC）=2（DP+PJ），求出【解答】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，∴DH＝BD•sin45°＝22，∵PJ⊥CB，∴∠PJC＝90°，∴PJ=22∴2PD+PC=2（PD+22PC）=2（∵DP+PJ≥DH，∴DP+PJ≥22，∴DP+PJ的最小值为22，∴2PD+PC的最小值为4．故选：A．6．如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则22AP+PBA．2 B．3 C．62 【分析】可以在△ABC内作∠MBA＝30°，过点A作AD⊥BM于点E，交AC于点P，可得EP=22当BP⊥AE时，则22AP+PB＝PE+PB的值最小，最小值是BE【解答】解：如图，在△ABC内作∠MBA＝30°过点A作AE⊥BM于点E，BM交AC于点P，∵∠BAC＝15°，∴∠APE＝45°∴EP=2当BP⊥AE时，则22AP+PB＝PE+PB最小值是BE的长，在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，AB＝2∴BE＝AB•cos30°=3∴22AP+PB的最小值是3故选：B．二．填空题（共2小题）7．如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+PD的最小值等于6．【分析】依据∠EDP＝∠DAB＝30°，即可得出DP＝2EP，进而得到2PB+PD＝2（PB+PE），当点B、P、E三点共线时，2PB+PD的最小值等于2BE的长，再根据含30°角的直角三角形的性质即可得到BE的长．【解答】解：如图，过点P作AD的垂线，交AD延长线于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EDP＝∠DAB＝30°，∴EP=12DP，即DP＝2∴2PB+PD＝2（PB+PE），当点B、P、E三点共线时，PB+EP有最小值，最小值等于BE的长，此时2PB+PD的最小值等于2BE的长，∵此时在Rt△ABE中，∠EAB＝30°，AB＝6，∴BE=12∴2PB+PD的最小值等于6．故答案为：6．8．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+12PD的最小值等于【分析】如图，过点P作PE⊥AD交AD的延长线于E，过点B作BM⊥AE于M．解直角三角形求出BM，由PB+12PD＝BP+PE，利用BP+PE≥【解答】解：如图，过点P作PE⊥AD交AD的延长线于E，过点B作BM⊥AE于M．在Rt△ABM中，∵∠AMB＝90°，∠A＝30°，AB＝6，∴BM=12∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠PDE＝∠A＝30°，∵∠PED＝90°，∴PE=12∵PB+12PD＝BP+∵BP+PE≥BM，∴BP+PE≥3，∴BP+PE的最小值为3，∴PB+129.【解答】过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，∵EH∥AB，∴∠HEB＝∠ABE，∴tan∠HED＝tan∠EBA＝，设DH＝4m，EH＝3m，则DE＝5m，∴蚂蚁从D爬到E点的时间＝＝4（s）若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间＝＝4（s），∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，作AG⊥EH于G，则