高中数学易错易混易忘题分类汇编

最新高中数学易错易混易忘题分类汇编

高中数学易错易混易忘题分类汇编

“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥

之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合笔

者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，

这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的

高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作

针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风

破浪，实现自己的理想报负。

【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。

例1、设Ax|x28x150,Bx|ax10，若ABB,求实数a组成

的集

合的子集有多少个？

【易错点分析】此题由条件ABB易知BA,由于空集是任何非空集合的子集，但在

解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。

解析：集合A化简得A3,5，由ABB知BA故（I）当B时，即方程

ax10无

11或。35解，此时a=0符合已知条件（II）当B时，即方程ax10的解为3

或5,代入得a综上满足条件的a组成的集合为0,11,,故其子集共有238个。

35

B时，要树立起分类讨论的数学思想，【知识点归类点拔】（1）在应用条件AUB=B

AAB=AA

将集合A是空集中的情况优先进行讨论.

（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异

性对集合元素的限制。有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此

外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：

Ax,y|x2y24,

2Bx,yx3y42r2,其中r0,若AB求r的取值范

围。将集合所表达

的数学语言向自然语言进行转化就是：集合A表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合

B表示以（3,4）为圆心，以r为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半

径r的取值范围。思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要

注意集合语言的应用。

【练1】已知集合Ax|x24xO、Bx|x22alxa210,若

BA,

1或alo则实数a的取值范围是。答案：a

【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。

例2、已知x22y2

1,求x2y2的取值范围4

【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x的函数最值求

解，但极易忽略x、y满足x22y2

1这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。41

解析：由于x22y2y221得(x+2)=l-4422Wl,.,.-3Wx〈T从而x+y=-3xT6x-

12=222+28

因此当x=T时x+y有最小值1,当x=-82822时，x+y有最大值。故x+y的取值范围是

[1,2228

]

【练2】(05

()x2y221b0上变化，则x22y的最大值为高考重庆卷)若动点(x,y)

在曲线4b

b2b2

b240b440b24(D)2b(A)4(B)4(C)

42bb42bb2

答案：A

【易错点3]求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。

例3、a2x1Ifx是R上的奇函数，(1)求a的值(2)求的反函数fx

xl2

【易错点分析】求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域

而出错。解析：（1）利用fxfx0（或f00）求得a=L

2x11yxxfxx,设yfx,则21y1y由于y1故2,

211y

1x22x111x1,1所以fxlog21x1x1

fxx2121（2）由a1即1ylyxlog2,而

【知识点归类点拔】（1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反

函数的定义域在反函数的解析式后表明（若反函数的定义域为R可省略）。

（2）应用f1（b）af（a）b可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注

意其自变量和函数值要互换。

【练3】（2004全国理）函数

A、

C、fx1x1的反函数是（）yx22x2x1B、

yx22x2x1yx22xx1D、yx22xx12

答案：B

【易错点4】求反函数与反函数值错位

例4、已知函数

称，贝IJ

A、gfx12x1,函数ygx的图像与yfx1的图象关于直线yx

对1xygx的解析式为（）x32x2xlx3B>gxC、gx

D、gxxlx2x2x

【易错点分析】解答本题时易由ygx与yf1x1互为反函数，而认为

yf1x1的

12x1

1x132x而错选A。x反函数是yfx1则ygx=fx1=

解析：由1x12xl2x1x1Ifx得fx从而yfx1

再求1x2x211

X

2x。正确答案：B1xyf1x1的反函数得gx

【知识点分类点拔】函数yf1x1与函数yfx1并不互为反函数，他只

是表示f1x

yfx1则f1yx1,中x用x-1替代后的反函数值。这是因为由求反函

数的过程来看：设

ly互换即得yfx1的反函数为yfx1,故yfxxf1y1再将

x、1的

反函数不是yf1x1,因此在今后求解此题问题时一定要谨慎。

TT【练4】(2004高考福建卷)已知函数y=log2x的反函数是y=f(x),则函数y=

f(l-x)的图象是()

答案：B

【易错点5】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对

称。

例5、判断函数f(x)lg1x2

x22的奇偶性。

【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：

f(x)lg1x2

x22fx从3

而得出函数fx为非奇非偶函数的错误结论。

21x0解析：由函数的解析式知x满足即函数的定义域为1,00,1

定义域关于原点对称，

x22在定义域下fxlg1x2

x易证fxfx即函数为奇函数。

【知识点归类点拔】(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充

分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。

(2)函数fx具有奇偶性，则fxfx或fxfx是对定义域

内x的恒等式。常常利用这•点求解函数中字母参数的值。

【练5】判断下列函数的奇偶性：

①fxfxx1③fx1sinxcosx

1sinxcosx

答案：①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数

【易错点6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。

例6、函数fxlog22x22x11111证明fx是奇函数且在x或

的反函数为fx,22

其定义域上是增函数。

【思维分析】可求

只需研究原函数f1x的表达式，再证明。若注意到f1与fx具有相同

的单调性和奇偶性，fx的单调性和奇偶性即可。

2x1

2x1解析：fxlog2

log22x12x1log22x12x1fX，故fX为奇函数从而

f1x为奇函数。又令t2x1211t1在，和，上均为增

函数且ylog2为增函数，2x12x122

故11fx在，和，上一分别为增函数。故f1x分别在

0,和,0上分别为22

增函数。

【知识点归类点拔】对■于反函数知识有如下重要结论：（1）定义域上的单调函数必有

反函数。（2）奇函数的反函数也是奇函数且原函数和反函数具有相同的单调性。（3）定

义域为非单元素的偶函数不存在反函数。

（4）周期函数不存在反函数（5）原函数的定义域和值域和反函数的定义域和值域到

换。即f1（b）af（a）bo

exex

f（x）2【练6】（1）（99全国高考题）已知，则如下结论正确的是（）4

A、

C、fx是奇函数且为增函数B、fx是奇函数且为减函数fx是偶函数且为

增函数D、fx是偶函数且为减函数

1则使fx1成立的x的f1x是函数fx1axaxa1的反

函数，答案：A（2）（2005天津卷）设2a2la2la21）C、（，）B、（,,a）

D、（a,）取值范围为（）A、（2a2a2a

2答案：A（a1时，fx单调增函数，所以

f1x1ff1xf1xf1a1.）2a

【易错点7】证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的规范性及树立定义域

优先的原则。例7、试判断函数fxaxbaO.b0的单调性并给出证明。x

【易错点分析】在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。特别注

意定义xlD,x2Dfxlfx2fxlfx2中的xl,x2的任意性。以及

函数的单调区间必是函数定义域的子集，要树立定义域优先的意识。

解析：由于fxfx即函数fx为奇函数，因此只需判断函数fx在

0,上的单调性

xlx20,即可。设fxlfx2xlx2axlx2bxlx2由于xlx20

故当

xl,x2时，此时函数在fxfxOfx12上增函数，同

理可证

函数fx在上为减函数。又由于函数为奇函数，故函数在为减函

数，在

为增函数。综上所述：函数在和上分别为增函数，在

fx

和上分别为减函数.

5

fxaxa0（1）用单调性的定义判断函数fx在ax【练7】(1)(潍

坊市统考题）

（2）设fx在0x1的最小值为ga，求yga的解析式。0,上

的单调性。

1112a1答案：（1）函数在，为增函数在0,为减函

数。(2)ygaaaaa0a1

（2）（2001天津）设a0且exafxxae为R上的偶函数。（1）求a的值

（2）试判断函数在0,上的单调性并给出证明。

答案：（1）a1（2）函数在0,上为增函数（证明略）

【易错点8】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条

件使用，导致错误结论。

例8、（2004全国高考卷）已知函数

【易错点分析】fxax33x2x1上是减函数，求a的取值范围。

fx0xa,b是fx在a.b内单调递减的充分不必要条件，在解题过

程

fxx3在R上递减，但fx3x20o

fx3a2x6x1(1)当fx0时，fx是减函数，则

解得中易误作是充要条件，如解析:求函数的导数a0故

3a2x6x1OxR0

3

32a3。(2)当a3时，18(3)当a3时,

fx3x3xx13x易知此时函数也在R上是减函数。39

在R上存在一个区间在其上有

的取值范围是fX0,所以当a3时，函数fX不是减函数，综上，所求

a,3©

其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明：①f(x)Ofx可导，【知

识归类点拔】若函数6

与f(x)为增函数的关系:f(x)0能推出f(x)为增函数，但反之不一定。如函数

f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0,.\f(x)0是f(x)为增函数的充

分不必要条件。②f(x)0时，f(x)。与f(x)为增函数的关系:若将f(x)0的根

作为分界点，因为规定f(x)0,即抠去了分界点，此时f(x)为增函数，就一定有

f(x)0。.•.当f(x)0时，f(x)0是f(x)为增函数的充分必要条件。

③f(x)0与f(x)为增函数的关系:f(x)为增函数，一定可以推出f(x)0,但反之不

一定，因为f(x)0,即为f(x)0或f(x)0»当函数在

f(X)0,则f(x)为常数，函数不具有单调性。，f(x)0是f(x)为增函数的某个

区间内恒有

必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们

一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的

端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际

应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。因此本题在第一步后再对a

维的严密性。

【练8】(1)(2003新课程)函数

A、b3和a3进行了讨论，确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分条件或

将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，这需要同学们在学习过

程中注意思yx2bxcx0,是是单调函数的充要条件是()0B、

b0C、b0D、b0

答案：A

(2)是否存在这样的K值，使函数

上递增？

答案：k

在fxk2x4231xkx22x在1,2上递减，在2,321。(提示据

题意结合函数的连续性知f20,但f20是函数在1,2上递减，2)

2,上递增的必要条件，不一定是充分条件因此由f20求出K值后要检

验。

【易错点9】应用重要不等式确定最值时，忽视应用的前提条件特别是易忘判断不等式

取得等号时的变量值是否在定义域限制范围之内。

例9、已知：a>0,b>0,a+b=l,求(a+la)+(b+21

b)的最小值。2

错解：(a+

值是8la)+(b+21b)=a+b+22211+22ab+4>2ab+2ab+424ab11+4=8/.(a+aab)+(b+21b)

的最小2

【易错点分析】上面的解答中，两次用到了基本不等式a+bN2ab,第•次等号成立的

条件是a=b=

二次等号成立的条件ab=2212,第lab,显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8

不是最小值。

7

解析:原式=a+b+1111112++4=(a+b)+(+)+4-[(a+b)-2ab]+[(+)-

]+4ababa2b2a2b21ablllll=(『2ab)(l+22)+4由abW()=得：『2ab21-=,且22216,

1+222172422ababab

12511125,原式2317+4=(当且仅当a=b=时，等号成立)，(a+)+(b+)的最小值是。

222ab2222222222

【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即

“一正、二定、三

相等”，在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限

制范围内。

【练9】(97全国卷文22理22)甲、乙两地相距skm,汽车从甲地匀速行驶到乙

地，速度不得超过ckm/h，已知汽车每小时的运输成木(以元为单位)由可变部分和固定

部分组成：可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a元。

(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义

域；

(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

答案为：(1)ysa2bvaOvc(2)使全程运输成本最小，当vbWc时，行

驶速度v=a

b；

当a>c时、行驶速度v=c«b

【易错点10】在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意

识和易忽略对数函数的真数的限制条件。

例10、是否存在实数a使函数

明理由。

【易错点分析】本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法，在解题

过程中易忽略对数函数的真数大于零这个限制条件而导致a的范围扩大。

解析：函数fxlogaax2x在2,4上是增函数？若存在求出a的值，若不存

在，说fx是由xax2x和ylogax复合而成的，根据复合函数的单调

性的判断方

fxlogaax2法（1）当a>l时，若使x在2,4上是增函数，则

xax2x在2,4上是增函

212ax数且大于零。故有2a解得a>l。（2）当a〈l时若使

fxloga24a20x在2,4上是增

142函数，则xaxx在2,4上是减函数且大于零。2a不等式组无

解。综上

416a40

所述存在实数a>l使得函数fxlogaax2x在2,4上是增函数

【知识归类点拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次

项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、

对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1）,特别在解决涉及指、对复

合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限

制）。

8

【练10］（1）（黄岗三月分统考变式题）设a

间。

答案：当00,且a1试求函数yloga43xx2的的单调区

333a1,函数在1,上单调递减在,4上单调递增当a1函数在

1,上单调222

递增在3,4上单调递减。2

Ifxlogax3axa0,a1在区间(，0)内单调递增，则a的2

1399取值范围是()A、［,1)B、［,1)C、(,)D、(1,)4444(2)(2005高考天

津)若函数

答案：B.(记g2则g'x3xa当a1时，要使得fx是增函数，则需有

g,x0xx3ax,

231a3恒成立，所以.矛盾.排除C、D当0a1时，要使fx是函数，则

需有g'x0恒42

31成立，所以a3.排除A)422

【易错点111用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性.

12求sinycosx的最大值3

1【易错点分析】此题学生都能通过条件sinxsiny将问题转化为关于sinx的函数，

进而利用换3

元的思想令tsinx将问题变为关于t的二次函数最值求解。但极易忽略换元前后变量

的等价性而造成例11、已知sinxsiny错解，

解析：由已知条件有siny

2sinx13,而11sinx且sinysinx1,1(结合sinx1,1)

得33122令siyncxo=ssinxcos2x=sin2xsinx33

即2222tsinxt1则原式=t2tt1根据二次函数配方

得：当t3333

sinx2

3时，原式取得最大值49。

【知识点归类点拔】“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素

质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能

力”，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简

化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的

是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、

复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变

量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或

者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

【练11](1)(高考变式题)设a>0,000求f(x)=2a(sinx+cosx)—sinx2cosx—2a

的最大值和29

最小值。

答案：f(x)的最小值为一2a—2

2

12(0a)122

2a-,最大值为

2122

2a22a(a)22

(2)不等式x>ax+答案：a

3的解集是(4,b),则a=_,b=_______。

2

1

,b36t原不等式变为关于t的一元二次不等式的解集为8

)

【易错点12】已知Sn求an时，易忽略n=1的情况.例12、(2005高考北京卷)数

列

(1)求a2,a3,a4的值及数列an前n项和sn且al1,an13sn»

1

an的通项公式。

【易错点分析】此题在应用sn与an的关系时误认为an的情况的验证。易得出数列

snsn1对于任意n值都成立，忽略了对，n=l

an为等比数列的错误结论。

解析：易求得

141611

a2,a3,a4。由al1,an1sn得ansn1n2故

392733

11141

an1ansnsn1ann2得an1ann2又al1,a2故该数列从

第

33333

1n1

二项开始为等比数列故an14n2。

n233

sin1【知识点归类点拔】对于数列an与sn之间有如下关系:an利用两

者之间的关系snsn1n2

可以已知sn求ano但注意只有在当al适合an的形式。

【练12］（2004全国理）已知数列则数列

snsn1n2时两者才可以合并否则要写分段函数

an满足al1,anal2a23a3n1an1n2

an的通项为。

1n1

答案：（将条件右端视为数列nan的前nT项和利用公式法解答即可）ann!

n22

【易错点13］利用函数知识求解数列的最大项及前n项和最大值时易忽略其定义域限制

是正整数集或其子集（从1开始）10

例13、等差数列an的首项al0,前n项和sn,当1m时，smsi。问n为何值

时sn最大？

【易错点分析】等差数列的前n项和是关于n的二次函数，可将问题转化为求解关于n

的二次函数的最大值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。

解析：由题意知sn=fnnalnn12dd2dnaln此函数是以

22n为变量的二次函

数，因为al0,当1m时，，smsi故d0即此二次函数开口向下，故由

f1fm得当

时x

当11m2fx取得最大值，但由于nN,故若1m为偶数，当n1m1时sn

最大。1m2时，sn最大。m为奇数时，当n

【练13］（2001全国高考题）设

结论错误的是（）A、dan是等差数列，sn是前n项和，且s5s6,s6s7s8,

则下列OB、a70C、s9s5D、s6和s7均为sn的最大值。

答案：C（提示利用二次函数的知识得等差数列前n项和关于n的二次函数的对称轴再

结合单调性解答）

【易错点14］解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解

答过程繁琐。例14、己知关于的方程x23xa0和x23xb0的四个根组成首项

为34的等差数列，求ab的值。

【思维分析】注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性质明确等

差数列中的项是如何排列的。

解析：不妨设34是方程x23xa0的根，由于两方程的两根之和相等故由等差数列

的性质知方程

2x23xa0的另一根是此等差数列的第四项，而方程x3xb0的两根是等差数

列的中间两

项，根据等差数列知识易知此等差数列为：2735313579,b,，故a从而abi

1616844,4411

2【练14](2003全国理天津理)已知方程x

为2xm0和x22xn0的四个根组成一个首项34C、14的等差数列，则mn=

()A、1B、12D、38

答案：C

【易错点15]用等比数列求和公式求和时，易忽略公比q=1的情况

例15、数列｛an｝中，al

(I)求使anan11,a22,数列｛anan1｝是公比为q(q0)的等比数列。

(II)求数列｛an｝的前2n项的和S2n.anlan2an2an3成立的q的取值范

围；

【易错点分析】对于等比数列的前n项和易忽略公比q二l的特殊情况，造成概念性错

误。再者学生没有从定义出发研究条件数列｛anan1｝是公比为q(q0)的等比数列得

到数列奇数项和偶数项成等比数列而找不到解题突破口。使思维受阻。

解：(I)•・•数列｛an

由anan1an1｝是公比为q的等比数列，/.anlan2ananlq,

an2an3ananlq2,anlan2an2an3得

anan1ananIqananlq21qq2,即

12,,解得0qq2q10(q0)

(ID由数列｛anan1｝是公比为q的等比数列，得anlan2aqn2q,这表

明数列｛an｝的ananlan

1,a22,・••当q1时，所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比

都是q,又al

S2nala2a3a4a2n1a2n

(ala2a3an)(a2a4a6a2n)

al(1qn)a2(lqn)3(lqn),当qID寸，1qlqlq

S2nala2a3a4a2n1a2n

(ala2a3an)(a2a4a6a2n)12

(1111)(2222)3n.【练15](2005高考全国卷一第一

问)设等比数列

答案：an的公比为q,前n项和sn0(1)求q的取值范1,00,

【易错点16]在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前n项和不

会采用错项相减法或解答结果不到位。

例16、.(2003北京理)已知数列

(1)求数列an是等差数列，且al2,ala2a312an的通项公式(2)令

bnanxnxR求数列bn前项和的公式。

an的通项公式再由数列bn的通项公式分析可知数列bn是一【思维分析】本

题根据条件确定数列

个等差数列和一个等比数列构成的“差比数列”，可用错项相减的方法求和。

解析：(1)易求得an

(2)由(1)得bn2n2nxn令sn2x4x26x32nxn(I)贝ij

(注意错过一位再相减)得xsn2x24x32n1xn2nxn1(II)用

(I)减去(II)

x1xn2n123nn1nx当1xsn2x2x2x2x2nx当

xIsn1x1x

xl时sn2462nnn1

综上可得:

n2x当xIsn

sn246n11

【知识点归类点拔】一般情况下对于数列cn有cnanbn其中数列an和bn

分别为等差数列和等比数列，则其前n项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比

数列的公比再错过--项相减的方法来求解，实际上课本上等比数列的求和公式就是这种情

况的特例。

【练16](2005全国卷一理)已知

求数列an的unananlban2b2abnlbnnN,aO,bO当

ab时，13

前n项和sn

答案：a1时snn1an2n2an1a22a当a1时

sn21ann3

2.

【易错点17】不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法，在应用裂项求和方法时

对裂项后抵消项的规律不清，导致多项或少项。

例17、求Snllll„.112123123n

【易错点分析】本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破

口，其次在裂项抵消中间项的过程中，对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失

误。

解：由等差数列的前n项和公式得123nn(n1)

2,

1111211,,,就分别得到，，，,，，2(),n取1,2,3,

112123123nn(n1)nn1

；.Sn2(11)2(11)2(11)2(11)22334nn1

2(112n).22142162l(2n)21【练17](2005济南统考)求和Sn2+

++,,+.22142162l(2n)1

答案：Snllllllll2n111„1=

n.1335572n12n12n1

【易错点18】易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用，缺乏

严谨的逻辑思维。例18、(2004年高考数学江苏卷，20)设无穷等差数列｛an｝的前n项

和为Sn.

3(1)若首项al，公差d1,求满足S2(Sk)2的正整数k；2k

(II)求所有的无穷等差数列｛an｝,使得对于一切正整数k都有S

时极易根据条件''对于一切正整数k都有Sk2(Sk)2成立.【易错点分析】本小题主

要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第

(II)k2(Sk)2成立”这句话将k取两个特殊值确定出等差数列的首项和公差，但没有认

识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是条件成立14的充分条

件。还应进一步的由特殊到一般。

解：(I)当al由S3n(n1)3n(n1)12,d1时Snnaldnnn

2222214131kk2(k2k)2,即k(k1)0又k0,所以k4.422n2k2(Sk)2,得

(II)设数列{an}的公差为d,则在S

2(Sn)2中分别取k=l,2,得

alal2,SI(SI)(1),即43212d(2ald)24alS4(S2)

(2)22由(1)得al0或al1.当al0时，代入(2)得d0或d6,2若

al0,d0,贝(Jan0,Sn0,从而Sk(Sk)成立，若al20,d6,则an6(n1),由

S318,(S3)2324,Sn216知s9(S3),故所得数列不符合题意.当al

若al1时，代入(2)得46d(2d)2,解得d。或d21,d0,则anl,Snn,

从而Sk2(Sk)2成立；若all,d2,则an2n1,Sn13(2n1)n2,从而

S(Sn)2成立.综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：①{an}:an=0,即0,0,

0,„；②{an}:an=l,即1,1,1,„；③{an}:an=2n—1,即1,3,5,„)

k2【知识点归类点拔】事实上，“条件中使得对于一切正整数k都有S(Sk)2成立.”

就等价于关于k的方

程的解是一切正整数又转化为关于k的方程的各项系数同时为零，于是本题也可采用这

程等价转化的思想解答，这样做就能避免因忽视充分性的检验而犯下的逻辑错误。在上述

解法中一定要注意这种特殊与一般的关系。

【练18](1)(2000全国)已知数列cn，其中cn2n3n,且数列cn1pen

为等比数列.求常数p答案：p=2或p=3(提示可令n=l,2,3根据等比中项的性质建立关于

P的方程，再说明P值对任意自然数n都成立)

【易错点19】用判别式判定方程解的个数(或交点的个数)时，易忽略讨论二次项的系

数是否为0.尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略.

例19、已知双曲线x2y24,直线ykx1,讨论直线与双曲线公共点的个数

【易错点分析】讨论直线与曲线的位置关系，一般将直线与曲线的方程联立，组成方程

组，方程组有几解，则直线与曲线就有几个交点，但在消元后转化为关于x或y的方程

后，易忽视对方程的种类进行讨论而主观的误认为方程就是二次方程只利用判别式解答。

ykx122222解析：联立方程组消去y得到1kx2kxk40

(1)当1k0时一，22xy4

即k1,方程为关于x的一次方程，此时方程组只有解，即直线与双曲线只有一个交

点。(2)当

21kOk时即，方程组只有一解，故直线与双曲线有一个交点(3)当

2443k0

21k0k时，方程组有两个交点此时klo(4)当

233443k0

21k0时即或时方程组无解此时直线与双曲线无交点。

kk233443k015

综上知当k1或k时直线与双曲线只有一个交点，当k1。时k3k

33直线与双曲线有两个交点，当k

【知识点归类点拔】判断直线与双曲线的位置关系有两种方法：一种代数方法即判断方

程组解的个数对应于直线与双曲线的交点个数另一种方法借助于渐进线的性质利用数形结

合的方法解答，并且这两种方法的对应关系如下上题中的第一种情况对应于直线与双曲线

的渐进线平行，此时叫做直线与双曲线相交但只有一个公共点，通过这一点也说明直线与

双曲线只有一个公共点是直线与双曲线相切的必要但不充分条件。第二种情况对应于直线

与双曲线相切。通过本题可以加深体会这种数与形的统一。

x2

y21,双曲线c2的左右焦点分别为cl的左右【练19](1)(2005重庆卷)已知

椭圆cl的方程为4

顶点，而c2的左右顶点分别是cl的左右焦点。(1)求双曲线的方程(2)若直线

1:ykx

圆cl及双曲线c2恒有两个不同的交点，且与c2的两个交点A和B满足10A0B6,

其中0为原

x2112点，求k的取值范围。答案：(1)y1(2)

1,322

(2)已知双曲线C：,过点P(l,1)作直线1,使1与C有且只有一个公共点，则满

足上述条件的直线1共有

y2

1中整理有(4-k)x+2k(k-l)x-____条。答案：4条(可知k存在时,令1:yT=k(xT)

代入x4

5(l-k)-4=0,/.当4-k=0即k=±2时,有一个公共点;当kW±2时，由A=0有k,

有一个切点另：当k2222122

1

不存在时，x=l也和曲线C有一个切点.•.综上，共有4条满足条件的直线）

【易错点20】易遗忘关于sin和cos齐次式的处理方法。

cossin22；(2)sinsin.cos2cos的值.cossin

22【思维分析】将式子转化为正切如利用1sincos可将（2）式分子分母除去

sin即可。

sin1cossincos1tan12322；解：（1）

sin1tan12cossin1cos

sin2sincos2cos222(2)sinsincos2cossin2cos2

sin2sin2222242cos2cossin213lcos2例20、已

知tan2,求(1)

【知识点归类点拔】利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进

行弦、切互化，就会使解题过程简化。

（1sin2cos2sec2tan2tancot16

这些统称为1的代换）常数“1”的种种代换有着广泛的应用.

【练20】.（2004年湖北卷理科）

已知6sin2sincos2cos20,[,],求sin（2）的值.23

tan1tan2）1tan2答案：66tan2tan20,

sin2313【易错点21]解答数列应用题，审题不严易将有关数列的

第n项与数列的前n项和混淆导致错误解答。例21、如果能将一张厚度为0.05mm的报纸

对拆,再对拆•••・对拆50次后,报纸的厚度是多少?你相信这时报纸的厚度可以在地球和月

球之间建一座桥吗？（已知地球与月球的距离约为410米）8

【易错点分析】对拆50次后,报纸的厚度应理解一等比数列的第n项,易误理解为是比

等比数列的前n项和。解析：对拆一次厚度增加为原来的一倍，设每次对拆厚度构成数

列an,则数列an是以al=0.0510米为首项，公比为2的等比数列。从而对拆50次后纸

的厚度是此等比数列的第51项,利用等比数列的通项公式易得a51=0.053IO?2=5.63310,

而地球和月球间的距离为4310-3501038<5,6331010故可建一座桥。

【知识点归类点拔】以数列为数学模型的应用题曾是高考考查的热点内容之一，其中

有很多问题都是涉及到等差或者等比数列的前n项和或第n项的问题，在审题过程中一定

要将两者区分开来。

【练21]（2001全国高考）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境

建设，并以此发展旅

1,本年度当地旅游业收入估计为5

1400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增

加.4游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少

⑴设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn

的表达式；

(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入

lln-lnlk-14n(1)an=800+8003(1-)+„+8003(1-)=8003(1-)=40003[1-()1

5555k1

llk-ln5-5bn=400+4003(1+)+„+4003(1+)=4003()kl=16003[On-l14444k1

(2)至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入

【易错点221单位圆中的三角函数线在解题中一方面学生易对此知识遗忘，应用意识不

强，另一方面易将角的三角函数值所对应的三角函数线与线段的长度二者等同起来，产生

概念性的错误。

例21、下一列命题正确的是()17

A、、都是第二象限角，若sinsin,则tantan、都是第三象

限角，若

coscos,则sinsintantan

C、、都是第四象限角，若sinsin

,则。

D、、都是第一象限角，若coscos,贝ijsinsin

【易错点分析】学生在解答此题时易出现如下错误：(1)将象限角简单理解为锐角或

钝角或270到360度之间的角。(2)思维转向利用三角函数的单调性，没有应用三角函

数线比较两角三角函数值大小的意识而使思维受阻。

解析：A、由三角函数易知此时角的正切线的数量比角的正切线的数量要小即tan

理可知sin

tan

B、同

sinC、知满足条件的角的正切线的数量比角

。正确。D、同理可知应为sin

的正切线的数量要大即

tantansin。

【练22］（2000全国高考）已知sinA、若B、若答案：D

【易错点23】在利用三角函数的图象变换中的周期变换和相位变换解题时。易将和

求错。

sin

,那么下列命题正确的是（）

、都是第二象限角，则tan、都是笫四象限角，则tan

、都是第一象限角，则cos、都是第三象限角，则cos

cosB、若cosD^若

tantan

例23.要得到函数

1

ysin2x的图象，只需将函数ysinx的图象（）

23

个单位。3

1

B、先将每个x值缩小到原来的倍，y值不变，再向左平移个单位。

43

C、先把每个x值扩大到原来的4倍，y值不变，再向左平移个单位。

6

1

D、先把每个x值缩小到原来的倍，y值不变，再向右平移个单位。

46

A、先将每个x值扩