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文档简介

第一章中点模型的构造

当已知条件中出现一个中点时,你首先想到的作辅助线解题方法是什么?如果已知两个

中点呢?

一、考情分析

三角形是初中几何的重要内容之一,也是历年中考命题的热点.其中,三角形各边的中

点、中线及中位线的有关性质的应用,是中考的必考内容,历年来多以计算和证明题的形式

出现.通过对近几年北京及全国多个省市中考有关试题的分析,我们预计与中点有关的操作

性试题和综合性的探究题将是今后几年中考数学的重点题型.

二、名师讲堂

知识点睛

1.线段的中点

如图(a)所示,点M将线段AB分成相等的两条线段AM与BM点M叫作线段AB的中

点,类似地,还有线段的三等分点,四等分点,如图(b)、图(c)所示.

A―MBAMNBAMNPB

AM=BM=^/ABAM=jMN=BN=^-ABAM=MNq=NP=BP=*AB

(a)(b)(c)

2.等腰三角形

(1)定义:如图所示,在aABC中,如果AB=AC,则4ABC是等腰三角形.

(2)性质:①等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”);

②等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高相互重合(简写成“三线合一”).

(3)判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角

对等边”).

3.等边三角形

(1)定义:三条边都相等的三角形叫作等边三角形.

(2)性质:等边三角形三个角都相等并且每一个角都等于60°三线合一”.

(3)判定:①三个角都相等的三角形是等边三角形;

②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形;

③三边相等的三角形是等边三角形,

4.直角三角形

(1)定义:有一个角是直角的三角形叫作直角三角形.

(2)性质:①直角三角形中两锐角互余;

②直角三角形斜边中线等于斜边一半;

③直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半;

④直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方一一勾股定理.即如果直角三角形中两

直角边是a、b,斜边为c,JU!]a2+b2=c2.

(3)判定:①有一个角是直角的三角形是直角三角形;

②如果三角形的三边长a、b、c满足a?+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

5.全等三角形

(1)定义:能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.

(2)性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等.

(3)判定:①三边对应相等的两个三角形全等(SSS);

②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS);

③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA);

④两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS);

⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).

☆小提示:S-Side(边),A-Angle(角),H-Hypolenuse(斜边).L-leg(直角边)

6.三角形的中位线

(1)定义:我们把连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线,如图,在aABC中,

D、E分别是AB、AC中点,则DE叫作aABC的中位线.

(2)定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半.

如图所示,在aABC中,DE是aABC的中位线,则DE〃BC且。E.

2

A

技巧提炼

很多几何题会给出“点X是线段XX的中点”这样的条件,那么看到“中点”我们应该

想到什么呢?“中点”有哪些作用呢?

1.已知任意三角形一边上的中点,可以考虑:

(1)倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形,如图(a)、图(b)所示.

(2)三角形中位线定理.

AA

2.已知直角三角形斜边中点,可以考虑构造斜边中线.

3.已知等腰三角形底边中点,可以考虑与顶点连接用“三线合一”

4.有些题目的中点不直接给出,此时需要我们挖掘题目中的隐含中点,例如直角三角形中

斜边中点,等腰三角形底边上的中点,当没有这些条件的时候,可以用辅助线添加.

例题精讲

例1

【11000001]如图所示,在aABC中,AB=12,AC=20,求BC边上的中线AD的取值范

围.

【思路点拨】因为AD是中线,所以加倍延长AD至点E,使DE=AD,连接CE,构造全

等三角形即可.

例2

【11000002]如图所示,已知在aABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,连接

BE并延长交AC于点F,AF=EF,求证:AC=BE.

A

【思路点拨】遇到中线,我们可以考虑倍长中线或类中线(与中点有关的线段),因为AD

是中线,所以加倍延长AD至点G,使DG=DA,连接BG,构造全等三角形,进行导角;

或者加倍延长DE.构造全等三角形,再进行导角.

变式1

【11000003]如图所示,已知在AABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE

=AC,延长BE交AC于点F,AF与EF相等吗?为什么?

【思路点拨】因为AD是中线,所以加倍延长AD至点G,使DG=DA,连接BG,构造全

等三角形,进行导角;或者加倍延长DE,构造全等三角形,再进行导角.

变式2

【1100(X)04]如图所示,在aABC中,AD交BC于点D,点E是BC中点,EF〃AD交CA

的延长线于点E交AB于点G,若AD为aABC的角平分线,求证:BG=CF.

G

BEDC

【思路点拨】因为E是中点,所以加倍延长FE至点H,使EH=EF,连接BH,构造全等

三角形,进行导角,此题还有更多的解法,读者可自行探究.

例3

【11000005]如图所示,在RtZ^ABC中,/BAC=90°,点D为BC的中点,点E、F分

别为AB、AC上的点,且EDLFD.以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形?若能,

该三角形是锐角三角形,还是直角三角形,或者是钝角三角形?

【思路点拨】此题需要把线段BE,EF,FC集中到同一个三角形中,题目中出现了中点D,

可以考虑加倍延长FD至点G,使DG=DF,连接BG,EG,构造全等三角形,利用三角形

的三边关系得证.

变式1

[11000006]如图所示,已知M为4ABC中BC边上的中点,NAMB、ZAMC的平分线

分别交AB、AC于点E、F,连接EF.

求证:BE+CF>EF.

A

【思路点拨】因为M是中点,所以加倍延长EM至点D,使DM=EM,连接CD,DF,利

用三角形的三边关系得证.

变式2

【11000007]如图所示,在AABC中,D是BC的中点,DM_LDN,如果BM2+CV=DM2

+DN2,求证:AD2=-(AB2+AC2).

【思路点拨】因为D是中点,所以加倍延长MD至点E,使DE=DM,连接EN,CE,利

用勾股定理得证.

例4

[110000081已知:如图所示,在AABC中,BE、CF分别为边AC、AB上的高,D为BC

的中点,DM_LEF于点M.求证:FM=EM.

A

【思路点拨】直角三角形斜边上有中点,通常考虑斜边中线,所以连接DE,DF构造等腰

三角形,再利用等腰三角形三线合一的性质即可.

例5

[11000009]已知I:ZkABD和4ACE都是直角三角形,且NABD=NACE=90°.如图所

示,连接DE,设M为DE的中点,连接MB、MC.

求证:MB=MC.

【思路点拨】由/ABD=/ACE=90°,可得CE〃DB,又M是DE的中点,所以可以考

虑延长BM与CE相交,构造“8”字全等.

例6

【11000010】问题一:如图(a)所示,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、

AD的中点,连接EF并延长,分别与BA、CD的延长线交于点M、N,求证:ZBME=Z

CNE.

问题二:如图(b)所示,在四边形ADBC中,AB与CD相交于点O,AB=CD,E、F分

别是BC、AD的中点,连接EF,分别交DC、AB于点M、N,判断AOMN的形状,请直

接写出结论.

问题三:如图(c)所示,在AABC中,AC>AB,D点在AC上,AB=CD,E、F分别是

BC、AD的中点,连接EF并延长,与BA的延长线交于点G,若NEFC=60°,连接GD,

判断4AGD的形状并证明.

【思路点拨】问题一:在四边形中,一组对边相等,另一组对边有中点,可以考虑连接其中

一条对角线,然后取中点,构造三角形中位线,所以连接BD,取BD的中点H,连接HE,

HF,利用三角形中位线即可.

问题二:在四边形中,对角线相等,一组对边有中点,可以考虑取另一组对边中其中一边的

中点,构造三角形中位线,所以取AC的中点H,连接FH,EH即可.

问题三:此题的方法与问题一类似,连接BD,取BD的中点H,连接HE,HF,利用三角

形中位线即可.

例7

【11000011]如图所示,已知在AABC中,AB=AC,CE是AB边上的中线,延长AB至

点D,使BD=AB.求证:CD=2CE.

【思路点拨】因为CE是中线,所以加倍延长CF至点E连接BF(或AF),构造全等三角

形即可.

例8

【11000012】问题1:如图(a)所示,三角形ABC中,点D是AB边的中点,AEXBC,

BF±AC,垂足分别为点E、F,AE、BF交于点M,连接DE、DF.若DE=kDF,则k的

值为.

问题2:如图(b)所示,三角形ABC中,CB=CA,点D是AB边的中点,点M在三角形

ABC的内部.且/MAC=NMBC.过点M分别作MEJ_BC,MF1AC,垂足分别为点E、

F,连接DE、DF.求证:DE=DF.

问题3:如图(c)所示,若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CBWCA”,其他条

件不变,试探究DE与DF之间的数量关系,并证明你的结论.

A

AA

【思路点拨】问题3:根据问题1我们得到以下启示:取AM的中点G,BM的中点H,连

接DG,GF,DH,HE,然后利用三角形的中位线和直角三角形斜边中线进行解题.

三、牛刀小试

小试1

【11000013]如图所示,在等腰直角三角形ABC中,ZABC=90°,D为AC边上中点,

过D点作DELDF,交AB于点E,交BC于点F.若AE=4,FC=3,求EF长.

小试2

[11000014]如图所示,在AABC中,D是BC延长线上一点,CD=BC,E是CA延长线

上一点,AE=2AC,若AD=BE,求证:ZSABC是直角三角形.

E

小试3

【11000015]如图所示,在正方形ABCD中,F是AB中点,连接CF,作DE_LCF交BC

于点E,交CF于点M,求证:AM=AD.

小试4

[11000016]如图所示,ZBAC=ZDAE=90°,M是BE的中点,AB=AC,AD=AE,

求证:AM1CD.

A

E

7Myc

D

小试5

【11000017]如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB/7CD,AD=BC,AC与BD交于点O,

ZAOB=60°,P、Q、R分别是OA、BC、OD的中点,求证:Z\PQR是正三角形.

小试6

【11000018】如图所示,在AABC中,若NB=2NC,AD1BC,E为BC边的中点,求证:

AB=2DE.

A

小试7

【11000019]如图所示,分别以AABC的边AB,AC为边,向三角形的外侧作正方形ABDE

和正方形ACFG,点M为BC中点.

(1)求证:AM±EG;

(2)求证:EG=2AM.

小试8

[110000201如图所示,在AABC的两边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG,取

BE、BC、CG的中点M、Q、N.

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