初中数学几何辅助线秘籍

第一章中点模型的构造

当已知条件中出现一个中点时，你首先想到的作辅助线解题方法是什么？如果已知两个

中点呢？

一、考情分析

三角形是初中几何的重要内容之一，也是历年中考命题的热点.其中，三角形各边的中

点、中线及中位线的有关性质的应用，是中考的必考内容，历年来多以计算和证明题的形式

出现.通过对近几年北京及全国多个省市中考有关试题的分析，我们预计与中点有关的操作

性试题和综合性的探究题将是今后几年中考数学的重点题型.

二、名师讲堂

知识点睛

1.线段的中点

如图（a）所示，点M将线段AB分成相等的两条线段AM与BM点M叫作线段AB的中

点，类似地，还有线段的三等分点，四等分点，如图（b）、图（c）所示.

A―MBAMNBAMNPB

AM=BM=^/ABAM=jMN=BN=^-ABAM=MNq=NP=BP=*AB

（a）（b）（c）

2.等腰三角形

（1）定义：如图所示，在aABC中，如果AB=AC,则4ABC是等腰三角形.

（2）性质：①等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；

②等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）.

（3）判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角

对等边”）.

3.等边三角形

（1）定义：三条边都相等的三角形叫作等边三角形.

（2）性质：等边三角形三个角都相等并且每一个角都等于60°三线合一”.

（3）判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形；

②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；

③三边相等的三角形是等边三角形，

4.直角三角形

（1）定义：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形.

（2）性质：①直角三角形中两锐角互余；

②直角三角形斜边中线等于斜边一半；

③直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；

④直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方一一勾股定理.即如果直角三角形中两

直角边是a、b,斜边为c,JU!]a2+b2=c2.

（3）判定：①有一个角是直角的三角形是直角三角形；

②如果三角形的三边长a、b、c满足a?+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

5.全等三角形

（1）定义：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.

（2）性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.

（3）判定：①三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；

②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；

③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；

④两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）；

⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.

☆小提示：S-Side（边），A-Angle（角），H-Hypolenuse（斜边）.L-leg（直角边）

6.三角形的中位线

（1）定义：我们把连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线，如图，在aABC中，

D、E分别是AB、AC中点，则DE叫作aABC的中位线.

（2）定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.

如图所示，在aABC中，DE是aABC的中位线，则DE〃BC且。E.

2

A

技巧提炼

很多几何题会给出“点X是线段XX的中点”这样的条件，那么看到“中点”我们应该

想到什么呢？“中点”有哪些作用呢？

1.已知任意三角形一边上的中点，可以考虑：

（1）倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形，如图（a）、图（b）所示.

（2）三角形中位线定理.

AA

2.已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线.

3.已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”

4.有些题目的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中的隐含中点，例如直角三角形中

斜边中点，等腰三角形底边上的中点，当没有这些条件的时候，可以用辅助线添加.

例题精讲

例1

【11000001］如图所示，在aABC中，AB=12,AC=20,求BC边上的中线AD的取值范

围.

【思路点拨】因为AD是中线，所以加倍延长AD至点E,使DE=AD,连接CE,构造全

等三角形即可.

例2

【11000002］如图所示，已知在aABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接

BE并延长交AC于点F,AF=EF,求证：AC=BE.

A

【思路点拨】遇到中线，我们可以考虑倍长中线或类中线(与中点有关的线段)，因为AD

是中线，所以加倍延长AD至点G,使DG=DA,连接BG,构造全等三角形，进行导角；

或者加倍延长DE.构造全等三角形，再进行导角.

变式1

【11000003］如图所示，已知在AABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE

=AC,延长BE交AC于点F,AF与EF相等吗？为什么？

【思路点拨】因为AD是中线，所以加倍延长AD至点G,使DG=DA,连接BG,构造全

等三角形，进行导角；或者加倍延长DE,构造全等三角形，再进行导角.

变式2

【1100(X)04］如图所示，在aABC中，AD交BC于点D,点E是BC中点，EF〃AD交CA

的延长线于点E交AB于点G,若AD为aABC的角平分线，求证：BG=CF.

G

BEDC

【思路点拨】因为E是中点，所以加倍延长FE至点H,使EH=EF,连接BH,构造全等

三角形，进行导角，此题还有更多的解法，读者可自行探究.

例3

【11000005］如图所示，在RtZ^ABC中，/BAC=90°,点D为BC的中点，点E、F分

别为AB、AC上的点，且EDLFD.以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能,

该三角形是锐角三角形，还是直角三角形，或者是钝角三角形？

【思路点拨】此题需要把线段BE,EF,FC集中到同一个三角形中，题目中出现了中点D,

可以考虑加倍延长FD至点G,使DG=DF,连接BG,EG,构造全等三角形，利用三角形

的三边关系得证.

变式1

［11000006］如图所示，已知M为4ABC中BC边上的中点，NAMB、ZAMC的平分线

分别交AB、AC于点E、F,连接EF.

求证：BE+CF>EF.

A

【思路点拨】因为M是中点，所以加倍延长EM至点D,使DM=EM,连接CD,DF,利

用三角形的三边关系得证.

变式2

【11000007]如图所示，在AABC中，D是BC的中点，DM_LDN,如果BM2+CV=DM2

+DN2,求证：AD2=-(AB2+AC2).

【思路点拨】因为D是中点，所以加倍延长MD至点E,使DE=DM,连接EN,CE,利

用勾股定理得证.

例4

[110000081已知：如图所示，在AABC中，BE、CF分别为边AC、AB上的高，D为BC

的中点，DM_LEF于点M.求证：FM=EM.

A

【思路点拨】直角三角形斜边上有中点，通常考虑斜边中线，所以连接DE,DF构造等腰

三角形，再利用等腰三角形三线合一的性质即可.

例5

[11000009]已知I：ZkABD和4ACE都是直角三角形，且NABD=NACE=90°.如图所

示，连接DE,设M为DE的中点，连接MB、MC.

求证：MB=MC.

【思路点拨】由/ABD=/ACE=90°,可得CE〃DB,又M是DE的中点，所以可以考

虑延长BM与CE相交，构造“8”字全等.

例6

【11000010】问题一：如图（a）所示，在四边形ABCD中，AB=CD,E、F分别是BC、

AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N,求证：ZBME=Z

CNE.

问题二：如图（b）所示，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O,AB=CD,E、F分

别是BC、AD的中点，连接EF,分别交DC、AB于点M、N,判断AOMN的形状，请直

接写出结论.

问题三：如图（c）所示，在AABC中，AC>AB,D点在AC上，AB=CD,E、F分别是

BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G,若NEFC=60°,连接GD,

判断4AGD的形状并证明.

【思路点拨】问题一：在四边形中，一组对边相等，另一组对边有中点，可以考虑连接其中

一条对角线，然后取中点，构造三角形中位线，所以连接BD,取BD的中点H,连接HE,

HF,利用三角形中位线即可.

问题二：在四边形中，对角线相等，一组对边有中点，可以考虑取另一组对边中其中一边的

中点，构造三角形中位线，所以取AC的中点H,连接FH,EH即可.

问题三：此题的方法与问题一类似，连接BD,取BD的中点H,连接HE,HF,利用三角

形中位线即可.

例7

【11000011］如图所示，已知在AABC中，AB=AC,CE是AB边上的中线，延长AB至

点D,使BD=AB.求证：CD=2CE.

【思路点拨】因为CE是中线，所以加倍延长CF至点E连接BF（或AF）,构造全等三角

形即可.

例8

【11000012】问题1：如图（a）所示，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AEXBC,

BF±AC,垂足分别为点E、F,AE、BF交于点M,连接DE、DF.若DE=kDF,则k的

值为.

问题2：如图（b）所示，三角形ABC中，CB=CA,点D是AB边的中点，点M在三角形

ABC的内部.且/MAC=NMBC.过点M分别作MEJ_BC,MF1AC,垂足分别为点E、

F,连接DE、DF.求证：DE=DF.

问题3：如图（c）所示，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CBWCA”，其他条

件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论.

A

AA

【思路点拨】问题3：根据问题1我们得到以下启示：取AM的中点G,BM的中点H,连

接DG,GF,DH,HE,然后利用三角形的中位线和直角三角形斜边中线进行解题.

三、牛刀小试

小试1

【11000013］如图所示，在等腰直角三角形ABC中，ZABC=90°,D为AC边上中点,

过D点作DELDF,交AB于点E,交BC于点F.若AE=4,FC=3,求EF长.

小试2

［11000014］如图所示，在AABC中，D是BC延长线上一点，CD=BC,E是CA延长线

上一点，AE=2AC,若AD=BE,求证：ZSABC是直角三角形.

E

小试3

【11000015］如图所示，在正方形ABCD中，F是AB中点，连接CF,作DE_LCF交BC

于点E,交CF于点M,求证：AM=AD.

小试4

[11000016]如图所示，ZBAC=ZDAE=90°,M是BE的中点，AB=AC,AD=AE,

求证：AM1CD.

A

E

7Myc

D

小试5

【11000017］如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB/7CD,AD=BC,AC与BD交于点O,

ZAOB=60°,P、Q、R分别是OA、BC、OD的中点，求证：Z\PQR是正三角形.

小试6

【11000018】如图所示，在AABC中，若NB=2NC,AD1BC,E为BC边的中点，求证:

AB=2DE.

A

小试7

【11000019]如图所示，分别以AABC的边AB,AC为边，向三角形的外侧作正方形ABDE

和正方形ACFG,点M为BC中点.

(1)求证：AM±EG；

(2)求证：EG=2AM.

小试8

[110000201如图所示，在AABC的两边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG,取

BE、BC、CG的中点M、Q、N.