2020-2021学年河北省部分名校高一下学期期末数学试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages44页2020-2021学年河北省部分名校高一下学期期末数学试题一、单选题1．复数的实部是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由复数除法运算法则化简复数，由实部定义可得结果.【详解】，的实部是．故选：C.2．已知数据的方差为3，则数据，，，…的方差是（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】D【分析】直接根据方差的性质求解即可．【详解】解：由题意可得数据的方差是，故选：D．3．在平行四边形中，点是的中点，点是的中点，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由向量的线性运算直接转化求解即可.【详解】，.故选：B.4．某校举行校园歌手大赛，6位评委对某选手的评分分别为9.2，9.5，8.8，9.9，8.9，9.5，设该选手得分的平均数为x，中位数为y，众数为z，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平均数，中位数，众数的概念，分别求出，即可求出结果.【详解】由题意可得，，，，则．故选：A.5．已知，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列命题正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，是异面直线，，，且，则【答案】D【分析】根据线面、面面平行与垂直的性质定理及判定定理一一判断即可；【详解】解：若，，则或，则A错误；若，，则或与相交，则B错误；若，，则或，则C错误；若是异面直线，，，且，则，则D正确．故选：D6．某校对该校800名高一年级学生的体重进行调查，他们的体重都处在A，B，C，D四个区间内，根据调查结果得到如下统计图，则下列说法正确的是（）A．该校高一年级有300名男生B．该校高一年级学生体重在C区间的人数最多C．该校高一年级学生体重在C区间的男生人数为175D．该校高一年级学生体重在D区间的人数最少【答案】C【分析】分别根据条形图和扇形图求得女生和男生的体重在A、B、C、D区间的人数，逐一判断可得选项.【详解】由题意可得该校高一年级有名女生，则有名男生，则男生体重在A，B，C，D区间内的人数分别为75，150，175，100，从而该校高一年级学生体重在A，B，C，D区间的人数分别为135，270，255，140，故A，B，D错误，C正确．故选：C.7．在三棱锥中，平面平面，和均为等边三角形，分别是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】取棱的中点，由可知所求角为；由线面垂直的判定可知平面，得到，由平行关系可推导得到；根据长度关系和垂直关系可求得，由此可得所求正弦值.【详解】分别取棱的中点，连接．和均为等边三角形，，，又平面，，平面，又平面，；分别为棱中点，，即为异面直线与所成角；分别为棱中点，，；设，则，．平面平面，平面平面，，平面，，，，则，．故选：B.8．已知集合，且，，则函数有零点的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】运用列举法列出所有基本事件，再分和两种分别求出事件，由古典概率公式可得选项.【详解】由题意可得总的基本事件数为9，记这个基本事件为，其基本事件是：，，.当时．函数有零点，符合条件的基本事件有，共3个；当时，有零点，则，即，从而符合条件的基本事件有，，其4个．故所求概率．故选：A.二、多选题9．已知复数，，则下列命题正确的是（）A．若，则是纯虚数 B．若是纯虚数，则C．若，则是实数 D．若是实数，则【答案】BCD【分析】先由复数的运算求得，，再由复数的概念可得选项.【详解】由题意可得，．当且时，是纯虚数，则A错误，B正确；当时，是实数，则C，D正确．故选：BCD．10．连续抛掷一个质地均匀的骰子（每个面上对应的数字分别为1，2，3，4，5，6）两次．事件A表示“第一次正面朝上的点数是奇数”，事件B表示“第二次正面朝上的点数是偶数”，事件C表示“两次正面朝上的点数之和小于6”，事件D表示“两次正面朝上的点数之和是9”，则下列说法正确的是（）A．事件A与事件B为对立事件 B．事件A与事件B相互独立C．事件C与事件D是互斥事件 D．事件C与事件D相互独立【答案】BC【分析】根据相互独立事件、互斥事件、对立事件的定义判断可得；【详解】解：由题意可知事件A与事件B相互独立，则A错误，B正确；事件C与事件D是互斥事件，但不是对立事件，则C正确；D错误．故选：BC11．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且，则（）A． B．角B的取值范围是C．的取值范围是 D．的取值范围是【答案】ACD【分析】利用正弦定理比较容易得出，再根据锐角和得出，的范围，进而得出的范围.【详解】因为，所以，所以或．因为，所以，所以，则，故A正确．因为，所以．因为是锐角三角形，所以即解得，所以，则，故B错误，D正确．因为，所以，所以，则C正确，故选：ACD.12．如图，在直三棱柱中，，是等边三角形，点O为该三棱柱外接球的球心，则下列命题正确的是（）A．平面B．异面直线与所成角的大小是C．球O的表面积是D．点O到平面的距离是【答案】ACD【分析】根据线面平行的判定定理可判断A选项；由可得是异面直线与所成的角，求出其正切值，从而求出角的大小，由此判断B选项；设外接圆的圆心为，连接，可得球的半径，由此判断C选项；设外接圆的半径为，由正弦定理求得，则点到平面的距离，由此判断D选项．【详解】解：如图，由题意可知，因为平面，平面，所以平面，故A正确；因为，所以是异面直线与所成的角，因为，所以，所以，故B错误；设外接圆的圆心为，连接，由题意可得，，则球的半径，从而球的表面积是，故C正确；设外接圆的半径为，由题意可得，则，由正弦定理可得，则点到平面的距离，故D正确；故选：ACD．三、填空题13．已知向量，，若，则_______．【答案】【分析】根据向量共线的坐标表示计算可得；【详解】解：因为向量，，且，所以，解得．故答案为：14．已知一圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积是_______．【答案】【分析】根据侧面展开图可确定母线长和底面圆半径，由此求得圆锥的高，根据圆锥体积公式可求得结果.【详解】设该圆锥底面圆的半径为，高为，母线长为，则，，解得：，，该圆锥的体积是．故答案为：.15．已知是方程的一个根，则_______．【答案】33【分析】设该方程的另一个根为，由已知对立方程组，解之可得答案.【详解】设该方程的另一个根为，则从而解得即故．故答案为：33.16．如图，已知两座山的高分别为米，米，为测量这两座山峰之间的距离，选择水平地面上一点为测量观测点，测得，，，则_______米．【答案】【分析】过点作，根据已知长度和角度关系可求得，利用余弦定理可求得，从而由勾股定理可求得，开平方得到结果.【详解】过点作，垂足为，则米，．由题意可得：米，米，又，，，米．故答案为：.四、解答题17．已知向量的夹角为，且，．（1）求的值；（2）若，求的值【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）由数量积定义可求得，进而得到，开平方得到结果；（2）由垂直关系可得，由平面向量数量积运算律化简整理可得关于的方程，解方程可求得结果.【详解】（1），，；（2）由得：，即，即，解得：或.18．某高校将参加该校自主招生考试的学生的笔试成绩按得分分成组，得到的频率分布表如图所示．该校为了选拔出最优秀的学生，决定从第组和第组的学生中用分层抽样法抽取名学生进行面试，根据面试成绩（满分：分），得到如图所示的频率分布直方图．组号分组频数频率第组第组第组第组第组合计图图（1）求第组和第组的学生进入面试的人数之差；（2）若该高校计划录取人，求该高校的录取分数．【答案】（1）；（2）分．【分析】（1）由表格数据可确定抽样比，由此得到第组和第组应抽取的人数，进而求得结果；（2）首先确定该高校的录取率，则所求录取分数为名学生分数的分位数，由百分位数的估计方法计算可得结果.【详解】（1）由题意可知抽取比例为：，则第组应抽取的人数为，第组应抽取的人数为．故第组和第组的学生进人面试的人数之差为：；（2）由题意知该高校的录取率为：．，．则该高校的录取分数在内．设该高校的录取分数为，则，解得：．故该高校的录取分数为分．19．如图，在三棱柱中，，点为的中点，，．（1）证明：平面平面ABC．（2）求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）由题意得，，从而平面ABC，由此证得平面平面ABC；（2）设点O到平面的距离为h，点B1到平面的距离为d，易得，根据棱锥的体积公式求出，求出，再根据等体积法求出答案．【详解】（1）证明：因为，所以，，在三棱柱中，，所以，又因为，所以平面ABC，又因为平面，所以平面平面ABC；（2）解：设点O到平面的距离为h，点B到平面的距离为d，因为点O为的中点，所以，，因为，，所以，则，因为，所以，即点到平面的距离为．20．端午节，又称端阳节、龙舟节、天中节等，源于中国人对自然天象的崇拜，由上古时代祭龙演变而来．端午节与春节、清明节、中秋节并称中国四大传统节日．某社区为丰富居民业余生活，举办了关于端午节文化习俗的知识竞赛，比赛共分为两轮．在第一轮比赛中，每位参赛选手均需参加两关比赛，若其在两关比赛中均达标，则进入第二轮比赛．已知在第一轮比赛中，第一关达标的概率分别是，；第二关达标的概率分别是，．在第一轮的每关比赛中是否达标互不影响．（1）分别求出进入第二轮比赛的概率；（2）若两人均参加第一轮比赛，求两人中至少有人进入第二轮比赛的概率．【答案】（1）；；（2）．【分析】（1）由独立事件概率乘法公式直接计算可得结果；（2）首先求得两人都没有进入第二轮比赛的概率，由对立事件概率公式计算可得结果.【详解】（1）设事件为“在第一轮第一关比赛中达标”，事件为“在第一轮第二关比赛中达标”，事件为“在第一轮第一关比赛中达标”，事件为“在第一轮第二关比赛中达标”．则进入第二轮比赛的概率，进入第二轮比赛的概率．（2）由（1）可知没有进入第二轮比赛的概率，没有进入第二轮比赛的概率，则两人都没有进入第二轮比赛的概率为．故两人中至少有人进入第二轮比赛的概率．21．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求A；（2）若角A的角平分线，且，求面积的最小值．【答案】任选三个条件之一，都有（1）；（2）．【分析】若选①，（1）根据正弦定理进行边角互化得，再由角的范围可求得角A．若选②，（1）根据余弦定理求得，由角的范围可求得角A．若选③，根据正弦定理进行边角互化得，由角的范围可求得角A（2）根据三角形的面积公式求得，，再运用函数的性质可求得面积的最小值．【详解】解：若选①，（1）因为，所以．因为，所以，所以，所以．因为，所以．若选②，（1）因为，所以，所以，则．因为，所以．若选③，（1）因为，所以，所以，所以．因为，所以．（2）因为，所以，所以，则，故．设，则，从而，当且仅当，即时，．故当，时，的面积取得最小值，且最小值为．22．如图，在正四棱锥中，点E，F分别在棱PB，PD上，且．（1）证明：平面PAC．（2）在棱PC上是否存在点M，使得平面MEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在满足条件的点M，．【分析】（1）连接，记，连接PO，由此可得，且，根据线面垂直的判定定理可得平面，由可得，由此可得结论；（2）存在点满足时，平面．连接ME，MF，