2020年第一章事件与概率案例版概率与统计学习导引

实用文档用心整理1-千里之行始于足下第一章事件与概率案例案例1某人有5把钥匙，其中有2把房门钥匙，但忘记了开门的是哪二把，只好逐把试开，问此人在三次内能打开房门的概率是多少？分析第一次开时可以从5把中任取一把，有种取法，第二次在剩下的4把中任取一把，有种取法，第三次又在剩下的3把中任取一把有种取法，共有种取法，即Ω含有6个基本事件。解答设A={三次内打开房门}，则三次都打不开房门共有种开法，所以A包含个基本事件。于是。案例2袋中有a+b张彩票，其中a张有奖b张无奖，现在把彩票随机地一张张摸出来，求第k次摸出的彩票中奖的概率(1≤k≤a+b).分析如果把a+b张彩票看成是各不相同的，可采用无重复的排列方法求解，则有解法1；如果构造的样本空间只考虑前k次摸彩票或第k次摸彩票，则可得解法2与解法3。解答1设A={第k次摸出的彩票中奖}.把a+b张彩票随机地一个个摸出来进行全排列，样本空间Ω含有(a+b)!个基本事件。A包含的基本事件数可以这样考虑从a张有奖彩票中任取一张排在第k个位置，有a种取法，其余a+b-1位置上相当于a+b-1张彩票进行全排列，有(a+b-1)!种排法。于是解答2把a张有奖的和b张无奖的彩票看作是各不相同的，样本空间只考虑前k次摸摸彩票，基本事件总数为，其中第k个位置上排有奖彩票的种数为从a张有奖彩票中任取一个排在第k个位置上，再从余下的a+b-1张任取k-1张排在前面k-1个位置上，共有种排法。于是解答3样本空间只考虑第k次摸彩票。基本事件总数是从a+b张彩票中任取一张排在第k个位置上，有a+b种排法。而第k个位置排有奖彩票的种数是从a张有奖彩票中任取一张排在第k个位置上，有a种排法。于是评注（1）显然所求事件的概率与k无关，即每一次摸到有奖彩票的概率相同。这是抽签问题的模型，即抽签时各人机会均等，与先后顺序无关；（2）本例的三种解法，来自对样本空间的不同构造。在计算n，k时必须在已经确定的样本空间中进行，否则就会导致错误的结果；（3）本例也可作为条件概率问题，用全概率公式求解，读者不妨一试。案例3甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别为.4，.5，.7。如果只有一人击中，飞机被击落的概率为.2；如果有两人击中，飞机被击落的概率为.6；如果三人都击中，飞机一定被击落，求飞机被击落的概率。分析要考虑飞机被击落，必须先考虑有几个人击中飞机，然后利用全概公式计算其概率。解答设Ai分别表示甲、乙、丙击中飞机，(i=1,2,3)，则由已知P(A1)=.4，P(A2)=.5，P(A3)=.若Bi={有i个人击中飞机}，(i=,1,2,3)，A={飞机被击落}，则由已知且注意到A1，A2，A3相互独立，有=（1－.4）(1－.5)(1－.7)=.9,=.4×.5×.3+.6×.5×.3+.6×.5×.7=.3P(B2)=.41,P(B3)=.14,于是，由全概率公式得=.9×+.36×.2+.41×.6+.14×1=.45案例4已知产品中96%是合格品，现用一种简化的质量检查方法，它把真正的合格品判为合格品的概率为98%，而把废品误判为合格品的概率为5%.求被判为合格品的一个产品确实是合格品的概率。分析本例为已知试验的结果，即一个产品被判为合格品，寻找导致该结果的某种原因发生的可能性，即计算这个合格品来自合格品的可能性.可用逆概公式求解。解答设A={一产品确为合格品}，B={检验后被判为合格品}，则={一产品为废品}.由题设可知于是，由逆概公式得评注（1）该案例属于全概和逆概问题，一般这类问题所涉及的试验可分成两步第一步的试验结果可构成样本空间的一个划分，（或者说可构成一个完备事件组），在这些结果的基础上再进行第二步实验。（2）如果要求的是与第二步试验结果有关的某事件的概率，则利用全概公式。如果已知与第二步试验结果有关的某事件已经发生，要求该事件发生的某种原因的概率，则利用逆概公式。案例5若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为.4%，混合1个人的血清，求混合血清中含有肝炎病毒的概率。分析每个人血清中含有肝炎病毒的事件是相互独立的，且混合血清中含有病毒当且仅当1个人中至少一个人血清中含有病毒。解答设Ai={第i个人的血清中含有肝炎病毒}，(i=1,2,3,…,1)，则所求概率的事件可表示为于是评注(1)这类问题,要根据实际意义由试验的独立性判断事件的独立性；(2)利用事