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第二讲数列求和及数列综合应用一、选择题1.若等比数列{an}的前n项和Sn,且S10=18,S20=24,则S40等于()A.eq\f(80,3)B.eq\f(76,3)C.eq\f(79,3)D.eq\f(82,3)解析:根据分析易知:∵S10=18,S20-S10=6,∴S30-S20=2,S40-S30=eq\f(2,3),∴S40=eq\f(80,3),故选A.答案:A2.数列{an}的通项公式an=eq\f(1,\r(n)+\r(n+1)),若{an}的前n项和为24,则n为()A.25B.576C.624D.625解析:an=eq\f(1,\r(n)+\r(n+1))=-(eq\r(n)-eq\r(n+1)),前n项和Sn=-[(1-eq\r(2))+(eq\r(2)-eq\r(3))+…+(eq\r(n)-eq\r(n+1))]=eq\r(n+1)-1=24,故n=624.选C.答案:C3.(·大连模拟)设Sn为数列{an}的前n项之和,若不等式aeq\o\al(2,n)+eq\f(S\o\al(2,n),n2)≥λaeq\o\al(2,1)对任何等差数列{an}及任何正整数n恒成立,则λ的最大值为()A.0B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,2)D.1解析:a1=0时,不等式恒成立,当a1≠0时,λ≤eq\f(a\o\al(2,n),a\o\al(2,1))+eq\f(S\o\al(2,n),n2a\o\al(2,1)),将an=a1+(n-1)d,Sn=na1+eq\f(nn-1d,2)代入上式,并化简得:λ≤eq\f(5,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n-1d,a1)+\f(6,5)))2+eq\f(1,5),∴λ≤eq\f(1,5),∴λmax=eq\f(1,5).答案:B4.已知数列{an}满足a1=0,an+1=eq\f(an-\r(3),\r(3)an+1)(n∈N*),则a20等于()A.0B.-eq\r(3)C.eq\r(3)D.eq\f(\r(3),2)解析:∵a1=0,an+1=eq\f(an-\r(3),\r(3)an+1),∴a2=-eq\r(3),a3=eq\r(3),a4=0,….从而知3为最小正周期,从而a20=a3×6+2=a2=-eq\r(3).答案:B5.(·广东)已知等比数列{an}满足an>0,n=1,2,…,且a5·a2n-5=22n(n≥3),则当n≥1时,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=A.(n-1)2B.n2C.(n+1)2D.n(2n-1)解析:∵a5·a2n-5=22n=aeq\o\al(2,n),an>0,∴an=2n,∴log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=log2(a1a3…an-1)=log221+3+…+(2n-1)=log22n2选B.答案:B二、填空题6.设数列{an}的前n项和为Sn,Sn=eq\f(a13n-1,2)(n∈N*),且a4=54,则a1=________.解析:由于Sn=eq\f(a13n-1,2)(n∈N*),则a4=S4-S3=eq\f(a181-1,2)-eq\f(a127-1,2)=27a1,且a4=54,则a1=2.答案:27.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5=5a3,则eq\f(S9,S5)=________.解析:设等差数列的公差为d,首项为a1,则由a5=5a3知a1=-eq\f(3,2)d,∴eq\f(S9,S5)=eq\f(9a1+4d,5a1+2d)=9.答案:98.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4≥10,S5≤15,则a4的最大值为________.解析:设等差数列的首项为a1,公差为d,则S4=4a1+6d≥10,即2a1+3dS5=5a1+10d≤15,即a1+2d≤3.又a4=a1+3d,因此求a4的最值可转化为在线性约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1+3d≥5,,a1+2d≤3))限制之下的线性目标函数的最值问题,作出可行域如图,可知在当a4=a1+3d,经过点A(1,1)时有最大值4.答案:49.(·福建)五位同学围成一圈依序循环报数,规定:①第一位同学首次报出的数为1,第二位同学首次报出的数也为1,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和;②若报出的数为3的倍数,则报该数的同学需拍手一次.已知甲同学第一个报数,当五位同学依序循环报到第100个数时,甲同学拍手的总次数为________.解析:1,1,2,3,5,8,13,21,…该数列被3除所得的余数构成的数列为1,1,2,0,2,2,1,0,…所得新数列中每4个数出现一个0,而又有5名同学,因而甲同学报的数为3的倍数的间隔为20,所以甲同学报的数为3的倍数的数依次是第16,36,56,76,96次,共5个数,故答案为5.答案:5三、解答题10.(·济南模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn=k·2n+m,k≠0,且a1=3.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=eq\f(n,an),求数列{bn}的前n项和Tn.解:(1)方法一:依题意有eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(3=2k+m,,3+a2=4k+m,,3+a2+a3=8k+m.))①解得a2=2k,a3=4k,∴公比为q=eq\f(a3,a2)=2,eq\f(a2,3)=eq\f(2k,3)=2,k=3,代入①得m=-3,∴an=3·2n-1.方法二:n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1·k.由a1=3得k=3,∴an=3·2n-1,又a1=2k+m=3,∴m=-3.(2)bn=eq\f(n,an)=eq\f(n,3·2n-1),Tn=eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(2,2)+\f(3,22)+…+\f(n,2n-1))),②eq\f(1,2)Tn=eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)+\f(2,22)+…+\f(n-1,2n-1)+\f(n,2n))),③②-③得eq\f(1,2)Tn=eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,2)+\f(2,22)+…+\f(1,2n-1)-\f(n,2n))),Tn=eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,2n))),1-\f(1,2))-\f(n,2n)))=eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,2n)-\f(n,2n+1))).11.(·浙江五校联考)已知数列{an}的前n项和是Sn,且Sn+eq\f(1,2)an=1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log3(1-Sn+1),求适合方程eq\f(1,b1b2)+eq\f(1,b2b3)+…+eq\f(1,bnbn+1)=eq\f(25,51)的n的值.解:当n=1时,a1=S1,由S1+eq\f(1,2)a1=1,得a1=eq\f(2,3).当n≥2时,∵Sn=1-eq\f(1,2)an,Sn-1=1-eq\f(1,2)an-1,∴Sn-Sn-1=eq\f(1,2)(an-1-an),即an=eq\f(1,2)(an-1-an),∴an=eq\f(1,3)an-1.∴{an}是以eq\f(2,3)为首项,eq\f(1,3)为公比的等比数列,故an=eq\f(2,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n-1=2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n.(2)∵1-Sn=eq\f(1,2)an=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n,bn=log3(1-Sn+1)=log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n+1=-n-1,∴eq\f(1,bnbn+1)=eq\f(1,n+1n+2)=eq\f(1,n+1)-eq\f(1,n+2),∴eq\f(1,b1b2)+eq\f(1,b2b3)+…+eq\f(1,bnbn+1)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)-\f(1,3)))+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)-\f(1,4)))+…+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n+1)-\f(1,n+2)))=eq\f(1,2)-eq\f(1,n+2).解方程eq\f(1,2)-eq\f(1,n+2)=eq\f(25,51),得n=100.12.已知函数f(x)=eq\f(x+3,x+1)(x≠-1),设数列{an}满足a1=1,an+1=f(an),数列{bn}满足bn=|an-eq\r(3)|,Sn=b1+b2+…+bn(n∈N*).(1)用数学归纳法证明:bn≤eq\f(\r(3)-1n,2n-1);(2)证明:Sn<eq\f(2\r(3),3).证明:(1)当x≥0时,f(x)=1+eq\f(2,x+1)>1.因为a1=1,所以an≥1(n∈N*).下面用数学归纳法证明不等式bn≤eq\f(\r(3)-1n,2n-1).①当n=1时,b1=eq\r(3)-1,不等式成立.②假设当n=k时,不等式成立,即bk≤eq\f(\r(3)-1k,2k-1),那么bk+1=|ak+1-eq\r(3)|=eq\f(\r(3)-1|ak-\r(3)|,1+ak)≤eq\f(\r(3)-1,2)bk≤eq\f(\r(3)-1k+1,2k).所以,当n=k+1时,不等式也成立.根据①和②,可知不等式对任意n∈N*都成立.(2)由(1)知bn≤eq\f(\r(3)-1n,2n-1)
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