高中数学二轮复习 考点突破 第一部分 专题三 第二讲 数列求和及数列综合应用 理

第二讲数列求和及数列综合应用一、选择题1．若等比数列{an}的前n项和Sn，且S10＝18，S20＝24，则S40等于()A.eq\f(80,3)B.eq\f(76,3)C.eq\f(79,3)D.eq\f(82,3)解析：根据分析易知：∵S10＝18，S20－S10＝6，∴S30－S20＝2，S40－S30＝eq\f(2,3)，∴S40＝eq\f(80,3)，故选A.答案：A2．数列{an}的通项公式an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))，若{an}的前n项和为24，则n为()A．25B．576C．624D．625解析：an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝－(eq\r(n)－eq\r(n＋1))，前n项和Sn＝－[(1－eq\r(2))＋(eq\r(2)－eq\r(3))＋…＋(eq\r(n)－eq\r(n＋1))]＝eq\r(n＋1)－1＝24，故n＝624.选C.答案：C3．(·大连模拟)设Sn为数列{an}的前n项之和，若不等式aeq\o\al(2,n)＋eq\f(S\o\al(2,n),n2)≥λaeq\o\al(2,1)对任何等差数列{an}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为()A．0B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,2)D．1解析：a1＝0时，不等式恒成立，当a1≠0时，λ≤eq\f(a\o\al(2,n),a\o\al(2,1))＋eq\f(S\o\al(2,n),n2a\o\al(2,1))，将an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋eq\f(nn－1d,2)代入上式，并化简得：λ≤eq\f(5,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n－1d,a1)＋\f(6,5)))2＋eq\f(1,5)，∴λ≤eq\f(1,5)，∴λmax＝eq\f(1,5).答案：B4．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝eq\f(an－\r(3),\r(3)an＋1)(n∈N*)，则a20等于()A．0B．－eq\r(3)C.eq\r(3)D.eq\f(\r(3),2)解析：∵a1＝0，an＋1＝eq\f(an－\r(3),\r(3)an＋1)，∴a2＝－eq\r(3)，a3＝eq\r(3)，a4＝0，….从而知3为最小正周期，从而a20＝a3×6＋2＝a2＝－eq\r(3).答案：B5．(·广东)已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝A．(n－1)2B．n2C．(n＋1)2D．n(2n－1)解析：∵a5·a2n－5＝22n＝aeq\o\al(2,n)，an>0，∴an＝2n，∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…an－1)＝log221＋3＋…＋(2n－1)＝log22n2选B.答案：B二、填空题6．设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝eq\f(a13n－1,2)(n∈N*)，且a4＝54，则a1＝________.解析：由于Sn＝eq\f(a13n－1,2)(n∈N*)，则a4＝S4－S3＝eq\f(a181－1,2)－eq\f(a127－1,2)＝27a1，且a4＝54，则a1＝2.答案：27．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5＝5a3，则eq\f(S9,S5)＝________.解析：设等差数列的公差为d，首项为a1，则由a5＝5a3知a1＝－eq\f(3,2)d，∴eq\f(S9,S5)＝eq\f(9a1＋4d,5a1＋2d)＝9.答案：98．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为________．解析：设等差数列的首项为a1，公差为d，则S4＝4a1＋6d≥10，即2a1＋3dS5＝5a1＋10d≤15，即a1＋2d≤3.又a4＝a1＋3d，因此求a4的最值可转化为在线性约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋3d≥5，,a1＋2d≤3))限制之下的线性目标函数的最值问题，作出可行域如图，可知在当a4＝a1＋3d，经过点A(1,1)时有最大值4.答案：49．(·福建)五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________．解析：1,1,2,3,5,8,13,21，…该数列被3除所得的余数构成的数列为1,1,2,0,2,2,1,0，…所得新数列中每4个数出现一个0，而又有5名同学，因而甲同学报的数为3的倍数的间隔为20，所以甲同学报的数为3的倍数的数依次是第16,36,56,76,96次，共5个数，故答案为5.答案：5三、解答题10．(·济南模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝k·2n＋m，k≠0，且a1＝3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝eq\f(n,an)，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)方法一：依题意有eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝2k＋m，,3＋a2＝4k＋m，,3＋a2＋a3＝8k＋m.))①解得a2＝2k，a3＝4k，∴公比为q＝eq\f(a3,a2)＝2，eq\f(a2,3)＝eq\f(2k,3)＝2，k＝3，代入①得m＝－3，∴an＝3·2n－1.方法二：n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1·k.由a1＝3得k＝3，∴an＝3·2n－1，又a1＝2k＋m＝3，∴m＝－3.(2)bn＝eq\f(n,an)＝eq\f(n,3·2n－1)，Tn＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,2)＋\f(3,22)＋…＋\f(n,2n－1)))，②eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(2,22)＋…＋\f(n－1,2n－1)＋\f(n,2n)))，③②－③得eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)＋\f(2,22)＋…＋\f(1,2n－1)－\f(n,2n)))，Tn＝eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))－\f(n,2n)))＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n)－\f(n,2n＋1))).11．(·浙江五校联考)已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＋eq\f(1,2)an＝1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3(1－Sn＋1)，求适合方程eq\f(1,b1b2)＋eq\f(1,b2b3)＋…＋eq\f(1,bnbn＋1)＝eq\f(25,51)的n的值．解：当n＝1时，a1＝S1，由S1＋eq\f(1,2)a1＝1，得a1＝eq\f(2,3).当n≥2时，∵Sn＝1－eq\f(1,2)an，Sn－1＝1－eq\f(1,2)an－1，∴Sn－Sn－1＝eq\f(1,2)(an－1－an)，即an＝eq\f(1,2)(an－1－an)，∴an＝eq\f(1,3)an－1.∴{an}是以eq\f(2,3)为首项，eq\f(1,3)为公比的等比数列，故an＝eq\f(2,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1＝2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n.(2)∵1－Sn＝eq\f(1,2)an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n，bn＝log3(1－Sn＋1)＝log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n＋1＝－n－1，∴eq\f(1,bnbn＋1)＝eq\f(1,n＋1n＋2)＝eq\f(1,n＋1)－eq\f(1,n＋2)，∴eq\f(1,b1b2)＋eq\f(1,b2b3)＋…＋eq\f(1,bnbn＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))＝eq\f(1,2)－eq\f(1,n＋2).解方程eq\f(1,2)－eq\f(1,n＋2)＝eq\f(25,51)，得n＝100.12．已知函数f(x)＝eq\f(x＋3,x＋1)(x≠－1)，设数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f(an)，数列{bn}满足bn＝|an－eq\r(3)|，Sn＝b1＋b2＋…＋bn(n∈N*)．(1)用数学归纳法证明：bn≤eq\f(\r(3)－1n,2n－1)；(2)证明：Sn<eq\f(2\r(3),3).证明：(1)当x≥0时，f(x)＝1＋eq\f(2,x＋1)>1.因为a1＝1，所以an≥1(n∈N*)．下面用数学归纳法证明不等式bn≤eq\f(\r(3)－1n,2n－1).①当n＝1时，b1＝eq\r(3)－1，不等式成立．②假设当n＝k时，不等式成立，即bk≤eq\f(\r(3)－1k,2k－1)，那么bk＋1＝|ak＋1－eq\r(3)|＝eq\f(\r(3)－1|ak－\r(3)|,1＋ak)≤eq\f(\r(3)－1,2)bk≤eq\f(\r(3)－1k＋1,2k).所以，当n＝k＋1时，不等式也成立．根据①和②，可知不等式对任意n∈N*都成立．(2)由(1)知bn≤eq\f(\r(3)－1n,2n－1)