高中数学 第二章 几个重要的不等式学案 北师大版选修4

第二章几个重要的不等式

§1柯西不等式

1.1简单形式的柯西不等式

h自主预习一课前预习区___________________________________________________________________

学习目标

1.认识并理解平面上的柯西不等式的代数和向量形式.

2.会用柯西不等的代数形式和向量形式证明比较简单的不等式，会求某些函数的最值.

预习自测

1.柯西不等式

若a,b,c,dWR,则（a'+炉）（1+冷N（ac+bd）",等号成立Qad=be.

2.柯西不等式的向量形式

设a,B为平面上的两个向量，则Ia•BIWaI|£|,当且仅当B是零向量，或存在实

,数k,使a=kB时,等号成立.

自主探究

1.如何证明:a”az,bi,[eR时,（a；+何（E+区）云（@心+晶㈤”

提示（a：+谣）（碑+瑜一（aB+a也尸，0

0a；百+a超+a：8+a访;一4后一/6；—2agia2庆20

oaf8一Zaibazbz+a：店》0

<^>{a\bi—aith）2^0.

上式中等号成立oa&=az氏

2.设平面上两个向量为a=E,aj,£=（力，㈤，你能证明•£]吗？

a•B_____aib\+a2bz

提示,.,cos<a,6〉

/a〃£/Va：+ah/6；+度，

（己山+比庆）21

•2

..COS

=（#+/）（而+e）wi'

即(W+⑥(百+区)2(aibi+azbz)2,

、#+/•、百|现6+&公.

AI。〃£/2|Q•£1，等号成立的充要条件为a=A(4#0).

h讲练互动课堂讲练区____________________________________________________________________

典例剖析

知识点1利用柯西不等式证明不等式

【例1】已知3/+2/W6,求证：2x+

9i

证明由于2x+尸〒(#x)+-7^(\2y).

由柯西不等式匕心+饱㈤2辽（漆+血（百+度）得

&M）x6=^X6=H,

:.2x+y\Wy/Ti,/.2x+

【反思感悟】柯西不等式（胡+就（冰+区）2（a心+愚午）2=，［+1）百|句。1+/庆|,

应用时关键是对已知条件的变形.

绐变式训练

1.已知a,b,c,d£R,x>0,y>0,Hx=a+lf,/=/+7,求证：xy^ac+bd.

证明由柯西不等式知：

ac+bd^yja+l）yjc+（/=/?,y［^=xy.

:・xy^ac+bd.

【例2】（二维形式的三角不等式）设为，如心，现£凡用代数的方法证明后

2yj（xi-A2）2+（yi-72）2.

证明（、/#+货+d1+K）2

=#+。+2{#+。

24+/+2IE至+力也|+露+关

2'+4-2（小型+3度）+第+正

=#-2汨生+京+«-2yM+女=（汨一届’+（'一也）’

Y—+或+人茕+城K/（X1一下）/（力一人）2

【反思感悟】在平面中设。=（小，%）,B=（XZ，y2）,则。±£=（汨±也，/1±72），由

向量加法的三角形法则知：

a+i£：2Ia+£

1（刘+九）」+（力+4）2,由向量减法的几何意义知：

a+£12|。-£=^1+，+*\）1+一2

7（汨一尼）］+（廿一次）：

绐变式训练

2.利用柯西不等式证明：与（哼4?.

2

证明hd七+1w(才+为冏+电卜丁.

知识点2利用柯西不等式求函数的最值

［例3］求函数y=5山—1+{10—2册最大值.

解函数的定义域为{x|lWxW5}.

y=5y/xT+筐/5一启/5，+2［彳—1+5-x

=夜？义2=6，5当且仅当5y/5一4=镜4x—1

即了=詈时取等号，故函数的最大值为64.

【反思感悟】解题的关键是对函数解析式进行变形，使形式上适合应用柯西不等式，还要

注意求出使函数取得最值时的自变量的值.

绐变式训练

3.已知x+尸L求2^+3炉的最小值.

课堂小结

1.二维形式的柯西不等式

(扇+向(而+磅2(261+/㈤)当且仅当a也=色打时等号成立.

2.推论：(1)(a+6)•(c+cf)(r>f^+y［bd)\

(2)y/a；+a；•y/6十及2|演4+&庆|；

(3)耳己；+谒•〈百+62|a\b\|+|azbz\.

3.柯西不等式的向量形式Ia・£|W|。〃£|,当且仅当存在实数420,使a=X£时

等号成立.

4.二维形式的三角不等式

(1)、//+陵+、J反+区(句+bi)'+(我+V)2(或

君+4/+彦2«(/一。1)?+(%—人)3；

(2)7(旬―A)2+(改一b>"+y］(1—ci)'+(Z%-Q)22

N(a-a)2+(/一02)二

随堂演练

1.写出空间直角坐标系中柯西不等式的代数形式.

解(a：+/+扇)(百+及+硝

2(dib】+/庆+全庆”(功，/，桀，h,bz,6J£R).

当且仅当方=关=方寸等号成立.

2.写出空间代数形式的三角不等式.

解有两种形式分别对应定理3、定理4.

定理3为而+及+总

2y(ai+A)'+(/+〃)2+(国+公)2

定理4为7(a-从)’+(>―—)'+(>——)'+

7(4一0)」+(方一Q)+(6一C)2

2yl(国-。)2+(我-Q)2+(&-a)

3.已知a+1^+c=1,x+/+z2=l.

求证：ax+by+cz^l.

证明由柯西不等式得：

(#+E+/)(/+y+z)2{ax+by+cz)2.

•.•才+Z/+c'=l,x+y+z2=l,ax+by+cz\1.

ax+by+czW1.

4

尹课时作业I课后巩固区_________________________________________________________

一、选择题

1.下列说法：

①二维形式的柯西不等式中a,b,c,d没有取值限制.

②二维形式的柯西不等式中a,b,c,d只能取数,不能为代数式.

③柯西不等式的向量式中取等号的条件是a=B.

其中正确的个数有（）

A.1个B.2个

C.3个D.0个

解析由柯西不等式的概念知，只①正确，a,b,c,d是实数，没有其取值限制.

答案A

2.函数的最小值是（）

A.20B.25

C.27D.18

9Q「291

解析尸±+丁丁=［2叶（1—2x）h+=T

二［（而/+N1二五沟［卜，1^■（■\P32]

，估Y+产H总

=（2+3）2=25.

答案B

2万

3.设a、bG（0,+8），月.a#b,片工+—，Q=a+b,则（）

ba

A.P>QB.P2Q

C.KQD.

2~

解析联+务+”（加2T卜（常，[（储）+（5）1

、（a十方）②

核。，.逅+杨。..••石+「J.—3,\b.

a-\।-n

b

又,：a丰b,而等号成立的条件是市•

2炉

即a=6,.立+/+6.即处Q.

答案A

二、填空题

222

4.设a、尻c是正实数，且a+6+c=9,则丁加泮最小值是一

5.若a+b~+c=2,/+y+z=4,则ax+by+cz的取值范围是.

解析V(a+lf+c)(/+y+z)2(ax+by+cz)2,

(ax+by+cz)2W8,—2y/2<ax+by+czW2y12.

答案［一2m,2啦］

6.设a,b,m,〃GR,且a2+//=5,ma+nb=5,则^/君+//的最小值为.

解析运用柯西不等式求解.

根据柯西不等式Ea+〃6)°W(3+6,)但+冷，得25W5(疡+#),m+rf^5,的最小

值为乖.

答案乖

三、解答题

7.若2x+3y=l,求废+9/的最小值，并求出最小值点.

解由柯西不等式(4。+9/)(『+12)2(2x+3y)z=l,

4x2+9/2；.

当且仅当2x•l=3y•1,即2x=3y时取等号.

2x=3y->

由

2x+3y=L

的最小值为自

.•.4"9/最小值点为

8.设a,6G(0,+°°),若a+6=2,求的最小值.

解••(+〃(%)

6

即a=b时取等号,

・••当a=b=l时，,+%!勺最小值为2.

ab

9.已知才+5=1,a,Z;GR,求证：|acosJ+Z?sin8|W1.

证明V（5cos夕+6sin夕）W（才+4）（cos"夕+sin"。）

=1,1=1,|acosJ+6sinJ|W1.

1.2一般形式的柯西不等式

自主预习课前预习区

学习目标

1.理解三维形式的柯西不等式，在此基础上，过渡到柯西不等式的一般形式.

2.会用三维形式及一般形式的柯西不等式证明有关不等式和求函数的最值.

预习自测

1.定理2,设囱,a,…，an与bi,bi,…,1是两组实数,则有（才+-T--卜）（龙+度T—

+对）2（abi+a262H卜当向量（a,a”…,8）与向量S,坛…，共线时,等

号成立.

2.证明柯西不等式的一般形式的方法称为参数配方法.

3.推论

设ai,&,as,bi,bi,方3是两组实数，则有（4+/+港）（/+反+4）2（8山+改明+公力3）；

当向量（4,az,a）与向量（A,必6）共线时“=”成立.

自主探究

1.由二维的柯西不等式的向量式|。〃£|2|a•B,你能推导出二维的柯西不等式的代数

式吗？

提示设。=（4，32）,B=（b],㈤，则a•B=aib\+a2bl

代入向量式得：（益+若）（百十6）2（刘山+4

当且仅当旬力2=/。1时，等号成立.

2.在空间向量中，。•£|,你能据此推导出三维的柯西不等式的代数式吗？

提不设。—（演，az,3^），B=（bi,Mbi）9

则a•£=包5+〃2坊+&3公代入向量式得

（w：+a；+W）（总+反+总）2（必方+义2金+金/>3）；

当且仅当。与£共线时，即存在一个数h使得&=的,（？=1,2,3）时，等号成立.

3.你能猜想出柯西不等式的一般形式并给出证明吗？

提示柯西不等式的一般形式为：若句，的…，&,人,如…，儿都为实数，则有3+

灌H---F*）（面+Z^H----1■层）2（a心+a262H----F^A）2,证明如下：

若囱=/=­=a=0,则不等式显然成立，故设囱，a2,…，&至少有一个不为零，则4+

港+…+£>0.

考虑二次三项式（a；+a：H---FW）y+2（a心+生庆~1----卜&bj%+（Z>I+/>JH---1■后）

=（dix+6i）"+（a2x+&）'+,,•+（ax+6〃）'N0.

对于一切实数x成立，设二次三项式的判别式为4,

则7-=（@心+刈坊H---\~aM~—（d；+扇H---1-瀚（4+6H----F区）W0.

所以（女；+届H---F/）（总+Ed---1■对）

2（8力+a由乙H---Fa。）：

11

即----1■奇）2（"+8H---1■戌）22I国队+a262H----\-a„bn\

等号成立力琮=…琮.

8

尹讲练互动i课堂讲练区___________________________________________________________________

典例剖析

知识点1利用柯西不等式证明不等式

2229

【例1】设a,b,。为正数且互不相等，求证：—+k+M>

a-\~bb-vcc-vaa-vb-rc

证明2(a+匕+c)(£+W+£)

=[(a+8)+(Z?+c)+(c+a)]•岛+£+£

=[(W+b)'+(yjb+c)：+(yjc+a)[•

=(1+1+1)2=9.

•.'a,b,c互不相等，

•••等号不可能成立，从而原不等式成立.

【反思感悟】有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式

的形态结构，就可以达到利用柯西不等式的目的.

2伊变式训练

1.己知&,a,&为实数，氏,6；为正实数.

psiQz、(ai+检+全)

求证：征+石+请―&•

证明由柯西不等式得：

衡卷豁

y+y+y(6+&+&)

\bibibj

，伍金•问2

=(己+@+钻))

.2玲I_(a]+a+a)”

''b\biblA+&+&.

知识点2利用柯西不等式求函数的最值

【例2】己知a,b,(0,+8)且w+o+c=i,求1+,4。+1+泰40+1的最大值.

解小8+1+#46+1+#4c+1

=y/4a+l•1+/46+1•l+y/4c+l•1

W(4d+1+46+1+4c+O^^+rH-r)；

=于义小=弧

当且仅当甲=甲=守时取等号.

即a=6=c=t时，所求的最大值为

【反思感悟】利用柯西不等式，可以方便地解决一些函数的最大值或最小值问题.通过巧拆

常数、重新排序、改变结构、添项等技巧变形为能利用柯西不等式的形式.

犷变式训练

2.设2x+3y+5z=29,求函数u=#2x+1+(3y+4+75z+6的最大值.

解根据柯西不等式

120=3[(2x+1)+(3y+4)+(5z+6)]2(1Xy/2^+1+1X,3T+4+1Xyj5z+6)2,

故｛2x+l+y/3y+4+y/5z+6W2y/^d.

当且仅当2x+l=3y+4=5z+6,

即X=W，尸等，时等号成立，此时Z/max=2^/30.

0yiov

知识点3利用柯西不等式解方程

f9

^2_|_2_|_^2_2

【例3】在实数集内解方程J4'

,一8牙+6y—24z=39.

解由柯西不等式，得(系+/+/)[(-8)2+62+(—24月

2(—8x+6y—24z)2.①

V(j^+y+/)[(-8)2+62+(-24)2]

9

=-X(64+36+576)=392,又(一8才+6^—2402=392,

A(/+/+?)[(-8)2+62+(-24)2]

=(―8x+6y—24z):

即不等式①中只有等号成立，

从而由柯西不等式中等号成立的条件，得

xyz

它与一8x+6y—24z=39联立，可得

10

6918

尸一商尸乐'z=n?

【反思感悟】利用柯西不等式解方程，关键是由不等关系转换成相等关系，然后再通过等

号成立的条件求出未知数的值.

绐变式训练

3.利用柯西不等式解方程：241一2升44叶3=标.

解2y]l~2x+yj4x+3=啦72-4乂+1•#4x+3

W、2—4x+4x+3•#2+1=4•y/3=y/15.

又由已知241-2x+44x+3=标.所以等号成立，

由等号成立的条件、2-4x•l=44x+3•y/2

得：2—4x=8x+6,/.x=—

o

即方程的解为x=一

o

课堂小结

柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法；教材中的参数配方法（或判别式法）等，参数

配方法在解决其它问题方面也有广泛的应用.柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不

等式，求函数最值，解方程等.应用时，通过拆常数、重新排序、添项、改变结构等手段改

变题设条件，以利于应用柯西不等式.

随堂演练

1.比'的三边长为a、b、c,其外接圆半径为此求证：

G+9+冷（/+磊+舟乐36/

证明由三角形中的正弦定理得sin月=玲

1___4^同理」

所以

sir?力a'

'4〃4#4川

于是左边=（才+4+冷

-a2"I-b>2"I~c~,

(2/?,2R、2e2

a,一+b•-+c•一=36".

\abcJ

故原不等式获证.

2.已知4，的…，为都是实数，求证:

%(以+4+…+aMWa：+3+…+成

证明(12+12+-+12)(a!+^+-+a^)

2(1义劭+1义/+・・・+1乂4)2.

；・〃(W+/+…+/)2(a+&H-----卜4)2

.•.*+a2+…+/Wa：+a+••+鼠

守课时作业i课后巩固区

一、选择题

1.设a,b,ce(O,+8),且a+6+c=3,则]+[+(的最小值为()

又•.％+力+c=3,••J+；+，23,最小值为3.

abc

答案B

2.已知ai+mH--bW=l,x\-¥xi-\----F第=1,贝Iaxi+d2X2H-----的最大值为（）

A.1B.n

C.yj~nD.2

解析由柯西不等式（就+a；T----卜成）（4+£+…+尤）2（a】xi+改及T-----卜得

1•12（ax1+a2X2H----卜a\X\~\~aiX2-\----FawWL所求的最大值为1.

答案A

3.已知2x+3y+4z=10,则/+/+）2取到最小值时的必八z的值为（）

5105203040

A----R———

3'9'629'29’29

1111

C.1,D.1,

293/9

(/+/+/)(22+3?+42)

解析

29

,(2x+3y+4z)2_100

129=收

x=2k,

当且仅当＜尸3女,时，等号成立,则44+94+164=294=10,

z=4k

12

C20

k的

解得・,・<片嗡，选B.

40

7=--

I29,

答案B

二、填空题

4.已知实数a,b,c,d,e满足a+ZH~c+d+e=8,a2+Z>2+c+</+e2：=16,贝!]e的取值

范围为.

解析4(才+夕+1+泊=(1+1+1+1)(/+Z/+c2+d)

2(a+6+c+4

即4(16-e)X8-e)2,即64-44264-16e+e?

16

.'.5e2—16e^0,故OWeW-

5

「16]

答案[o,y

5.设a,b,c>0且a+b+c=/(力为常数).则,+)+'的最小值为.

abc~

(d+6+c)

解

abcA

9

答案力

三、解答题

6.已知实数a,b,c,d满足d+Z?+c+d=3,a+2lj+3C2+6G^=5,试求3的最值.

解由柯西不等式得，有

(2Z?"+3c~+6</)G+.+(。+。+中2,

、乙O0j

即2Z/+3c“+6-2(b+c+中“

由条件可得，5—才2(3—a)2

由by/^c乖d代入1

解得，lWa<2当且仅当时等号成立,Z?=1,时，=

O

2.

2J

b=Lc=~"=可时，4in=l.

Ot0

7.设4>4>…求证:

1111

----------+---------->0.

须一改氏一生a“-a“+ia〃+i-a

证明•.•&-&+]=(aj—<32)+(4一&)+…+(a〃-&+i)，

，[(功—4)+(4―a)+…+(&—a〃+J]•

111

a\—a?a-2-当an-an+\

27班一色,/1+,&_a•I1T----卜勺&—a〃+i•i1-)2=n>L

yjai—azy/&yJan-afl+\

(&-4+1)—^-+…+

a一色

111

即

a\-ai&一当a-a/1品―a+i

1

故--—■—+—■—>0.

a\—&&La+1Hn+LHi

8.设。是△加C内的一点，*,y,z是2到三边a,b,c的距离.A是△48C外接圆的半径,

证明：6+5•yja2+l/+c.

设S为△力及7的面积，则

abcabc

by+cz=2S=2—=—,

4/fZ/i

5+3+电wabcab+bc+ca

2Rabc

故不等式成立.

9.已知a>0,b>0,c>0,函数知x)=x+a|+|x—引+。的最小值为4・

(1)求a+6+c的值;

(2)求//+#/+的最小值.

14

解（1）因为f{x}=\x+a\+|x—b\+c2|（x+a）—（x—6）\+c=\a+b\+c,

当且仅当一时，等号成立.

又a>0,b>0,所以|a+6|=d+b.

所以/'（才）的最小值为a+b+c,

又己知F（x）的最小值为4,所以a+b+c=4.

⑵由⑴知a+6+c=4,由柯西不等式，得

伊+,+j（4+9+l）

(ab2

^|-X2+-X3+cXl|=（a+6+c）2=16,

即%+累+廿%

11

233CQ1Q911o

当且仅当丁=不~=7，即a=5，b=—,c=5时等号成立，故彳4+64+/的最小值是弓.

§2排序不等式

尹自主预习课前预习区

学习目标

1.了解排序不等式的“探究一猜想一证明一应用”的研究过程.

2.初步认识排序不等式的有关知识及简单应用.

预习自测

1.定理1：设<3,3和c,d都是实数，如果c》d,那么ac+bd^ad+bc,此式当且

仅当a=6（或时取"="号.

2.定理2：（排序不等式）设有两个有序实数组

…2为及人2庆2①,

则（顺序和）ab+a2b2H-----1-anbn》

（乱序和）a\b,i+aibfi+•••+altbj,^

（逆序和）a\bn-Va-ibn-xA-----Fanb\.

其中2,…，，是1,2,…，〃的任一排列方式.上式当且仅当&=/=3=品（或A=

为=・・・=4）时取号.

自主探究

1.某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现在选择商店中有单价

为3元、2元和1元的礼品，问有多少不同的购买方案？在这些方案中哪种花钱最少？哪种

花钱最多？

提示有多少种不同的购买方案，实质上就是礼品和单价有多少种不同的对应关系.与单价

3元对应的礼品可以是4件的礼品，也可以是5件或2件的礼品共有三种对应关系，与单价

2元对应的只还有剩下的2种.与单价一元对应的只有一种.由乘法分步计数原理知共有

3X2X1=6种不同的购买方案.

根据生活的实际经验，花钱最少的方案应是最贵的礼品买最少的件数，最便宜的礼品买最多

的件数，即1X5+2X4+3X2=19元，花钱最多的方案应是：单价最高的礼品买最多的件

数，单价最低的礼品买最少的件数，即1X2+2X4+3X5=25元.

2.设有两组实数，a1<a2<a,设©、cZ、Q是力、勿、友的任一个排列，作和a©+

&Q+a3c3,你能猜测和的最大值及最小值分别是怎样的和式吗？

提示由问题1我应得到启发，和最大的应该为aib+a?庆儿和最小的应该是每从+生从

+asb\.

3.有10个人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第7。=1,2,…，10）个人的水桶需要白-

分，假设这些心各不相同，问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的

总时间最小？这个最少的总时间等于多少？（根据排序原理回答）

提示不妨设小派…〈为，Vl<2<3<-<10,由排序原理知逆序和最小,即10力+9友+…

+编最小，所以按注水时间由小到大的顺序注水，则他们10人等候的总时间最小，最少的

总时间为10,1+9友+…+加.

T讲练互动J课堂讲练区

典例剖析

知识点1利用排序原理证明不等式

_.,,、,—3i、、-b12c-2rICc2i2~\I~a2»b2^

【例1】已知a,b,。为正数，求证：-------------》abc.

a-\-b-vc

证明根据所需证明的不等式中a,b,c的“地位”的对称性，不妨设心—，则土为

bcWcaWab.

c

由排序原理：顺序和》乱序和，得:

be.ca.ab、be、ca、ab

—a+―b+-c2-c+—a+―b

b~c+ca-VaIJ

即，与a+b+c,

abc

因为a,b,c为正数，所以abc>0,a+b+c>0,

^t}c+ca+atf,

~T是----a--Fvbfi+--c-----三abc.

经变式训练

1.已知团Wa?W…Wa”b\Wbz&，，Wb”,

16

求证：+4员H----Fa/，2一(a+a2H-----Fa)(A+庆H-----卜b).

n

证明令5=国。］+/6+…+国。，贝IJ

S2a出+比4-I----\-anb\，

52的益+4庆+…+&坊,

S2a\bn+a2blH----Fanbn-1,

将上面〃个式子相加，并按列求和可得

nS^a\(Z?i+6z+***+&)+/(％+益+~+。〃)+…+&(%+Z^+…+b〃)

=("+愚+…+包)(Z?i+&H-----F〃)

S2―(国+全+,,,+&)(a+&+,,,+，〃)

n

即(a6+4我+…+ab)

2,(ai+&H----Fa)(A+&H-----卜h).

n

【例2】设4，女,…，a〃是〃个互不相同的正整数，求证：l+g+；H-----方+^+…

证明V12<22<32<***</72,・•・»*>•,>5.

设a,Q,…，g是a,改,,•,,&由小到大的一个排列,

即Ci<Q<e<・・・<C〃,

根据排序原理中，逆序和《乱序和，

得不+'+呆!----卜宗W&+§+泉---玲,

而。1,Q,…，。〃分别大于或等于1,2,•••,n,

Ci+'+《T-----卜[/1+[+]T------©

/3n/3n

=14+-+?

；」+3+2+…+9W+自+…+叁

绐变式训练

2.设……,©为正数组a”…，&的某一排列,求证:£+导…+蓍

证明不妨设0<a忘/则£

因为L—,,,•,,是,，—,—,■的一个排序,

C\C2Cn3\313n

故由排序原理：逆序和W乱序和

得31,---卜&•工

a\&an

《团•—+az•---\-an•

八C八2Cn

口114।“2।।

即一+一+…+-2〃・

C\Q

知识点2利用排序原理求最值

【例3】设ai,c为任意正数，求条+*+后的最小值.

解不妨设

则a+a+b+c,~r~;-2-7-2-^7,

b-rcc-vaa-vb

由排序不等式得，

b+cc+aa+6~6+cc+aa+b

b+Jc+/a+厂b+Jc+a+a+b

上述两式相加得：2岛+岛+品2

即喘-+4-+M2*

b-rcc+aa+b2

当且仅当a=b=c时，三一+<一+一，取最小值,

b+cc+aa+b2

经变式训练

3.设0<aWbWc且abc=1.

试求:“、+/】［、+'：，r［八的最小值•

a（ZH-c）b（a+c）cka+b）

解令S=,（、+c）+°3（a+c）+C3（a+6）’

18

(abc),J(abc)’(abc).

"a(6+c)t)(d+c)c(a+6)

beacab

a(6+c)Cb(a+c)dcc(a+6)d'

由已知可得：a(6+c)亍b(a+c)=c(a+6)'abWaeWbe,

.obeacab

••SNa(6+c)•ac+b*他+-'be

=---+---+---

a(6+c)b(a+c)c(a+6)

「4be-acab

乂三~//

5a(.b+1c)x•^b+b,(/a+।c)x•bc+-c^,a+..b.)•ac

=—旦—+—£—+—2_

a(6+c)b(a+c)c(a+6)'

两式相加得：2日%t+%3・

31i13

・"与，即ETF+ETr+KSF的最小值为，

课堂小结

排序不等式有着广泛的实际应用，在应用时，一定在认真分析题设条件的基础上观察要证结

论的结构特征，从而分析出要用排序原理中逆序和w乱序和，或是乱序和w顺序和，或者逆

序和W顺序和.不少命题的证明可能多次用到排序原理.

随堂演练

1.利用排序原理证明：若国,4，…，a,,为正数，则7■•工

证明不妨设曷2a…2a>0,

则有^~W

3\323n

a\•一+/,-H-----F&•一

m3iaa

由排序不等式,得------------------------n

n

'+'+…+工

W-&-+-/-+-,•-•-+-&•-a---氏-----8，n

nn

工+工+…+'

8+&H-----Fa司改

峭wnn

.8+a2T-------卜为n

••n与'

a32an

O*25&A5111

2.已知b,。为正数，a262c.求证：工^+^^+^^^一+彳+一.

H,bccaababc

证明•・・a262c20,/.32^2/,alj22t^c,

又a=62d,由排序原理得：

abacbc

5,555,55

Qzl「<7「

/33+33+3/313/3+,33+33（顺序和2乱序和），

bcacababbcac

又,：士

abc

由乱序和》逆序和得：*+与+323+微+马=1+9+，.

bcaabcabc

•Jd111

••b,3c3ic3a：il-a3b/33一a十~b7十一c■

h课时作业=课后巩固区

一、选择题

1.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.

已知三个房间的粉刷面积（单位：m?）分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费

用（单位：元/n?）分别为a,b,c,且a<6<c.在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）

是（）

A.av+by-\-czB.az+by-\-ex

C.ay+bz+exD.ay+bx+cz

解析法一用特值法进行验证.令x=l,y=2,z=3,a=l,b=2,c=3.A项：ax+by

+cz=l+4+9=14；B项：az+by+cx=3+4+3=10；C项：ay+bz+cx=2+6+3=ll；

D项：ay-\~bx-\-cz=2+2+9=13.故选B.

法二由顺序和2乱序和2反序和.可得az+Ap+cx最小.

答案B

二、填空题

2222

2.设a,m,8,…，必为正数，那么片a+或+…+d与g竺+生+…+况+包的大小

3283Da

关系是.

解析假设句2例，国2…学国“则!》二-，…212工，

&an-\aa\

20

并且/2扇2…24，

2222

Q\/

P=ai+a+ad---Fa„=-4-+—H---F—,

23\@1aa

是反顺和，。是乱顺和，由排序不等式定理收。

答案公

三、解答题

2222

3.设外，的…，&为正数，求证：^+'+3+^」+^，3i+d2H-----

32333n3\

证明不妨设国＞a＞・・＞品＞0,则有给给…

也有人〈工〈…〈,，由排序原理：乱序和》逆序和，得：

3]3-2&

团2a2a”2ai2色2.a2..

—十一H---F—2一丁―H----H-=nai+a2H----ra„.

&L&a8,\&&

oj-LA/?4-rCJI

4.设从8、C表示△4?C的三个内角的弧度数，a,b,c表示其对边，求证：

a十b-vc3

证明法一不妨设4〉&C,则有a＞"c,由排序原理：顺序和2乱序和.

aA+bB+心aB+bC+cA；aA+bB+心aC+bA+cB；

aA+bB+cC=aA+防+cC,上述三式相加得

3^sA-\~bB~\~cC)2(4+8+C)(a+8+c)=兀(a+Z?+c).

.aA+bB+cC-

■*a+b+c

法二不妨设给&C,则有a〉力a

aA+bB+cC1+3+C、a+<+c

由排序不等式31-33-

即a什b+心子也+什。)，二吗空区..

3a+b+c3

5.设a,b,。为正数，利用排序不等式证明，+^+。323aA.

证明不妨设a262c>0,・••才2622c2,

由排序原理：顺序和2逆序和，得：

3+62才6+8%,I)+C^IDC+Cb,c+a^^c+ca,

三式相加得2(a+Z?3+c)2a(//+(?)+b(c+a)+c(z?*2+Z?2).

2

又才+，222ab,Z?~\~c^2bcfc-\-a^2ca.

所以2(4+6+/)26abc,

a+6,+C3abc.

当且仅当a=b=。时，等号成立.

■+6+c

6.设a,b,c是正实数，求证：at)yc^{abc)3.

证明不妨设d262c〉0,则lgaNlgc.

据排序不等式有：

alga+blgb+cigcNZdga+clgZ?+^lgc

algd+，lg6+cigc2clga+algb+bigc

alga+bYgZ?+cigc=a\.ga+blgb+cigc

上述三式相加得：

3(alga+Z?lgb+cigc)2(a+b+c)(lga+lgA+lgc),

即lg(aZ"/)2’+:+，lg(ab。•

故atl'c^(a6c)，+:+，.

o

7.设％,yi(7=L2,…，力是实数，且历》王2》…刑》…2%