浙江省绍兴市上虞区2022-2023学年高一下学期期末质量调研卷数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省绍兴市上虞区2022-2023学年高一下学期期末质量调研卷数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数，则的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因，所以的虚部为.故选：D.2.P是所在平面上一点，满足，则的形状是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形〖答案〗B〖解析〗由，可得，即，即，将等式两边平方，化简得，∴，即，因此，是直角三角形.故选：B．3.在中，若，，，则＝（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由向量平行四边形法则，知当时，，又，，故，，则，所以．故选：B.4.已知、表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由平面与平面垂直的判定定理知，为平面内的一条直线，如果，则，故充分性成立；反过来为平面内的一条直线，由可能有或或与相交（不垂直）三种情况，故必要性不成立，所以“”是“”的充分非必要条件．故选：A．5.设，为非零向量，，，则下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗C〖解析〗对于A，当，时，满足，但，选项A错误；对于B，当时，，则与不一定平行，选项B错误；对于C，由，则，即，所以，所以与同向，即，选项C正确；对于D，若，则，所以，不能得出，选项D错误．故选：C.6.已知四面体，是边长为6的正三角形，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，取中点，连接，因为是边长为6的正三角形，，则由三线合一可知，所以二面角的平面角为，取三角形的外心，设外接球的球心为，则平面，且，其中为四面体外接球的半径，过点作垂直平面，垂足为点，由对称性可知点必定落在的延长线上面，由几何关系，设，而由正弦定理边角互换得，进而，由勾股定理得，从而，，所以，，所以由得，，解得，所以四面体的外接球的表面积为.故选：B.7.某校组织高一1班，2班开展数学竞赛，1班40人，2班30人，根据统计分析，两班成绩的方差分别为，.记两个班总成绩的方差为，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗设两个班的平均分分别为，，两个班的总的平均分为，则.故选：B.8.所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，其中平行的两个面叫底面，其它面叫侧面，两底面之间的距离叫高，经过高的中点且平行于两个底面的截面叫中截面．似柱体的体积公式为，这里、为两个底面面积，为中截面面积，为高．如图，已知多面体中，是边长为的正方形，且，均为正三角形，，，则该多面体的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，分别过点，作的垂线，垂足分别为点，，连接，，容易求得，，取的中点，连接，易得，则，所以多面体的体积.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则在复平面内对应的点在一条直线上〖答案〗AD〖解析〗对于A：设，若，则，故，必有，A正确；对于B：若，，则有，但，B错误；对于C：若，，则有，但，C错误；对于D：设复数，在复平面内对应的点为和，若，则在复平面内对应的点为线段的中垂线，故在复平面内对应的点在一条直线上，D正确.故选：AD.10.已知是边长为2的等边三角形，分别是上的两点，且，与交于点，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.在方向上的投影向量的模长为〖答案〗BD〖解析〗由题意可知：为中点，则，以为原点，分别为轴，轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，，设由，可得，即是中点，，故选项正确；，故选项错误；又因为则，故选项错误；易知在方向上的投影向量的模长为，故选项D正确．故选：BD.11.如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱的中点，点P为线段上的动点（包含端点），则（）A.存在点P，使得平面 B.对任意点P，平面平面C.两条异面直线和所成的角为 D.点到直线的距离为4〖答案〗ABD〖解析〗A：当与重合时，由题可知，，四边形为平行四边形，故，又平面，平面，则平面，故A正确；B：连接，平面，平面，，又，故，又平面，平面，又平面，故对任意点P，平面平面，故B正确；C：由正方体的结构特征可知，异面直线和所成的角即为和所成的角，由图可知为，故C错误；D：由正方体的特征可得，，所以点到直线的距离，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.盒中有四个大小、形状完全相同的小球，分别编号为1、2、3、4，现从中任取两个小球，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为_____________．〖答案〗〖解析〗首先从中任取两个小球有共个基本事件，取出的小球中至少有一个号码为奇数有共个基本事件，所以取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为.故〖答案〗为：.13.在中，角的对边分别为，已知．则角______.〖答案〗〖解析〗由正弦定理及二倍角公式得：，因为在中，，，即，即，因为在中，，所以，所以.故〖答案〗为：.14.位于奥体核心的杭州世纪中心总投资近100亿元，总建筑面积约53万平方米，由两座超高层双子塔和8万平方米商业设施构成，外形为杭州的拼音首字母“H”，被誉为代表新杭州风貌、迎接八方来客的“杭州之门”.如图，为测量杭州世纪中心塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在点C测得塔顶A的仰角为80°，则塔高为___________米.（结果保留整数，参考数据：）〖答案〗310〖解析〗设米，因为在点C测得塔顶A的仰角为80°，所以，在中，，所以，在中，因为，，所以，由正弦定理得，所以，则，所以米.故〖答案〗为：310.四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设是不共线的两个非零向量．（1）若，求证：三点共线；（2）若与共线，求实数k的值．解：（1）由，得，，所以，且有公共点B，所以三点共线.（2）由与共线，则存在实数，使得，即，又是不共线的两个非零向量，因此，解得，或，实数k的值是.16.记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．（1）求角C；（2）若的周长为20，面积为，求边c．解：（1），由正弦定理，得，，，又，得，所以，即，由，解得.（2）由（1），得，则，由余弦定理，得，即，得，又，所以，即，即，解得.17.2023年为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）若该中学参加这次竞赛的共有3000名学生，试估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数；（2）估计参加这次竞赛的学生成绩的第75百分位数；（3）若在抽取的80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率．解：（1）由频率分布直方图可知，成绩在内的频率为，则估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数约为人.（2）由频率分布直方图可知，成绩在内的频率为，成绩在内的频率为，成绩在内的频率为，成绩在内的频率为，成绩在内的频率为，所以成绩在分以下的学生所占的比例为，成绩在分以下的学生所占的比例为，所以成绩的分位数一定在内，即，因此估计参加这次竞赛的学生成绩的分位数为.（3）因为，，，所以从成绩在，，内的学生中分别抽取了人，人，人，其中有人为航天达人，设为，有人不是航天达人，设为，则从6人中选择2人作为学生代表，有，共种，其中2人均为航天达人为共种，所以被选中的2人均为航天达人的概率为．18.如图，以AD所在直线为轴将直角梯形ABCD旋转得到三棱台，其中，．（1）求证：；（2）若，求直线AD与平面CDF所成角的正弦值．解：（1）连接BD，DE，设，则，取AB的中点G，连接DG，则四边形BCDG为正方形，故，得，∴，∴，同理可得，，又面BDE，∴面BDE，又面BDE，.（2）由（1）知，又∵，∴，由，得，又∵，面ABCD，∴面ABCD，过点D作交AB于点M，连接EM，因为面ABCD，所以，又因为，且面DEM，则面DEM，又面ABE，∴面面ABE，过点D作交EM于点N，连接AN，∴就是直线AD与面ABE所成的线面角，∵面面ADE，∴就是直线A