【公开课】《数列求和之裂项求和》教学设计

1、公开课数列求和之裂项求和教学设计教学目标知识与技能目标：数列求和的方法之裂项相消法过程与能力目标：裂项相消法的常见题型及解题思路教学重难点重点：裂项相消法的常见题型及解题思路难点：裂项相消法适用题型的特征及相消后所剩项数的判断教学过程一、新课导入二、问题探究例1（2015年全国卷I） 为数列的前项和.已知，（1）求的通项公式：（2）设 ,求数列的前项和.解：（1）由，可知可得，即由于，可得又，解得（舍去），所以是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为（2）由可知设数列的前项和为，则【点评】本题利用裂项法是解决本题的关键巩固练习变式1：（湖北省武汉部分重点中学2020届高三起点考试）已知数列a

2、n是等比数列，Sn为数列an的前n项和，且a33，S39（1）求数列an的通项公式；（2）设bnlog2，且bn为递增数列，若cn，求证：c1+c2+c3+cn1变式2：已知等差数列的公差，其前项和为，若，且成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）若，证明：.解：（）数列为等差数列，且，成等比数列，即，又，.（）证明：由（）得，小结：要先观察通项类型，再裂项求和，而且要注意剩下首尾两项，还是剩下象上例中的四项，后面还很可能和极限、求参数的最大小值联系。例2 （晋江市养正中学2021届高二年第一次月考试题2019.9.30）已知数列an的前n项和为Sn，且.（1）证明数列是等比数列,并求数列的通

3、项公式；（2） 设，求数列的前项和.巩固练习变式1：（湖北省黄冈中学2019届高三数学模拟试题1）已知各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，a1，a3a5.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)设等比数列an的公比为q，a1，a3a5，q2q4，q2，q±，an>0，q，an×n1n1.(2)由(1)知ann1，a1，Sn，bn2.Tn22.变式2：已知各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若a5=2a3+a4，且S5=62（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn5解：（1）设

4、公比为q（q0），由a5=2a3+a4，且S5=62，得，解得a1=2，q=2，an=2n，（2）由（1）可知an=2n+1，Sn=2（2n1），Sn+1=2（2n+11），bn=（），Tn= （）+（）+（）=（1），n+12，（1），且（1），Tn变式3：已知数列，其中，且满足，.（1） 求证：数列为等比数列；（2） 求数列的前项和为.(1)证明:an-bn=(3an-1-bn-1)- () (an-1-3bn-1)=2(an-1-bn-1), 又a1-b1=5-(-1)=6,所以是首项为6,公比为2的等比数列. (2)由(1)知,an-bn=3·2n . 因为an+bn=(3a

5、n-1-bn-1)+ () (an-1-3bn-1)=an-1+bn-1,a1+b1=5+(-1)=4,所以为常数列且an+bn=4.联立得an=3·2n-1 +2, 故所以Sn= =. 数列的前n项和Sn为_解：所以Sn= =. 例3已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=sin，求数列bn的前n项和为Tn【分析】（1）等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列可得=S1S4，即=a1，解得：a1即可得出（2） bn=sin=（1）n+1，对n分为奇数偶数分组求和即可得出【解答】解：

6、（1）等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列=S1S4，即=a1，化为：a1=1an=1+2（n1）=2n1（2）bn=sin=（1）n+1，n为偶数时，数列bn的前n项和为Tn=+=1=n为奇数时，数列bn的前n项和为Tn=+=1+=变式1：正项数列的前项和为，且（），设，则数列的前2020项的和为_【答案】【解析】,当时, ,解得.当时, ,可化为: ,数列是等差数列,公差为1,首项为1.， .,则数列的前2020项的和 .三、拓展训练拓展1：拓展2：已知数列的前项和为，且，求解：拓展3：（浙江省名校联盟2020届高三第一次联考试题）已知等比数列的公比，且，是

7、，的等差中项数列的通项公式，（1）求数列的通项公式；（2）证明：，解：（I）由是，的等差中项得，所以，解得 ，由，得 ，解得或，因为，所以 .所以， . （II）由（I）可得，.,.拓展4：（摘自2012福建中学数学期刊：第11期的第26页）四、知识归纳裂项相消法的常见类型 分式型、等差数列型、指数型、根式型裂项相消法的一般步骤 求通项 裂项 相消 求和裂项相消法的常见裂项公式（1） （3） （3） （4）（5） （6）（7）（8） （9） （10） （11） n(n+1)= （12） n(n+1)(n+2)=五、板书设计课题1、 新课引入2、 问题探究例1：变式1：变式2：例2：变式1：变式

8、2：变式3：例3：变式1：小结1、2、3、4三、作业六、课后作业布置：1 已知等比数列的前项和为，满足，.(1)求的通项公式；(2)记，数列的前项和为，求证：.解：（1）设的公比为，由得，,所以，所以.又因为，所以，所以.所以.（2）由（1）知，所以，所以.2.设数列满足且.(1) 求的通项公式；(2) 设.解：(1)由题设,即是公差为1的等差数列.又,故.所以 # (2) 由()得 ,4.（2011年全国卷I） 等比数列的各项均为正数，且求数列的通项公式.设 求数列的前n项和.解：（）设数列an的公比为q，由得所以。由条件可知c>0，故。由得，所以。故数列an的通项式为an=。（ ）故所以数列的前n项和为5.数列的前n项和记为 ，等差数列的各项为正，其前n项和为，且，又 成等比数列（）求 ，的通项公式；（）求证：当n 2时，解：（）由，得，两式相减得，所以 所以 又所以，从而 而，不符合上式，所以 因为为等差数列，且