第四章 几何图形初步压轴题考点训练（解析版）-2024年常考压轴题攻略（7年级上册人教版）

第四章几何图形初步压轴题考点训练评卷人得分一、单选题1．如图，A，B两地相距1200m，小车从A地出发，以8m/s的速度向B地行驶，中途在C地停靠3分钟．大货车从B地出发，以5m/s的速度向A地行驶，途经D地（在A地与C地之间）时沿原路返回B点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取完两批货后再出发至A点．已知：，则直至两车都各自到达终点时，两车相遇的次数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】由题意可求出，，，．再根据题意结合速度=路程÷时间讨论即可．【详解】解：由题意可知．∵，∴，，∴，．当大货车第一次到达D地时，用时，∴此时小车行驶路程为．∵，∴此过程两车不相遇；当大货车第一次由D地返回B地，且到达C地的过程中，∵，∴大货车到达C地用时．假设此过程中两车相遇，且又经过t秒相遇，则，解得：，即说明大货车到达C地之前没相遇；当大货车继续由C地返回B地时，∵，∴大货车到达B地用时．此时大货车共行驶．∵小车到达C地用时，∴当大货车到达B地时，小车已经到达C地停靠．∵小车中途在C地停靠3分钟，即，∴当大货车到达B地时，小车在C地还需停靠．当大货车又从B地出发前往D地时，用时，∴当大货车到达D地时小车还在停靠，即此时第一次相遇，∴此时小车剩余停靠时间，∴当小车出发时，大货车第二次从D地前往B地行驶了．假设大货车到达B地前小车能追上大货车，且用时为，则，解得：，即说明大货车到达B地前小车没追上大货车，∴此过程两车没相遇．当大货车最后由B地前往A地时，小车正在向B地行驶，∴两车此过程必相遇．综上可知，两车相遇的次数为2次．故选A．【点睛】本题考查线段的n等分点，线段的和与差，一元一次方程的实际应用．读懂题意，列出算式或方程是解题关键．2．如果线段AB=3cm，BC=1cm，那么A、C两点的距离d的长度为（）A．4cm B．2cm C．4cm或2cm D．小于或等于4cm，且大于或等于2cm【答案】D【详解】试题分析：①当A，B，C三点在一条直线上时，分点B在A、C之间和点C在A、B之间两种情况讨论；②当A，B，C三点不在一条直线上时，根据三角形三边关系讨论.解：当点A、B、C在同一条直线上时，①点B在A、C之间时：AC=AB+BC=3+1=4；②点C在A、B之间时：AC=AB-BC=3-1=2，当点A、B、C不在同一条直线上时，A、B、C三点组成三角形，根据三角形的三边关系AB-BC＜AC＜AB+BC，即2＜AC＜4，综上所述，选D.故选D.点睛：本题主要考查点与线段的位置关系..利用分类思想得出所有情况的图形是解题的关键，3．用折纸的方法，可以直接剪出一个正五边形(如图)．方法是：拿一张长方形纸对折，折痕为AB，以AB的中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的线折叠，再沿CD剪开，使展开后的图形为正五边形，则∠OCD等于()A．108° B．90° C．72° D．60°【答案】B【分析】根据折叠可知∠DOC为36°，根据正五边形内角为108°可知∠ODC为54°，由三角形内角和为180°即可得.【详解】由折叠可知周角被平分为10份，所以∠DOC为36°，由正五边形一个内角为108°，所以∠ODC为108°=54°，所以∠OCD=180°-54°-36°=90°，故选B.【点睛】此题考查了折叠的性质和三角形内角和定理，熟练掌握折叠性质是解本题关键.4．如图，点、、在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法：，其中正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据线段中点的定义和线段的和差分别计算即可.【详解】①∵H是的中点，∵分别是的中点，.

∴①正确.②由①知∴②错误.③∴③正确.④

∴④正确.综上，①③④正确.故选：D【点睛】本题主要考查了线段中点的定义，线段的和差.根据线段的和差进行求解是解题的关键.5．如图1，线段表示一条拉直的细线，、两点在线段上，且，.若先固定点，将折向，使得重叠在上；如图2，再从图2的点及与点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设OB=3x，依次表示出BP、OA、AP、AB的长度，折叠后从点B处剪开得到AB段为2x，OB=3x，BP=5x，即可得到比值.【详解】设OB=3x，则BP=7x，∴OP=OB+BP=10x，∵，∴OA=4x，AP=6x，∴AB=OA-OB=x，将折向，使得重叠在上，再从点重叠处一起剪开，得到的三段分别为：2x、3x、5x，故选：D.【点睛】此题考查线段的和差计算，设未知数分别表示各段的长度使分析更加简单，注意折叠后AB段的长度应是原AB段的2倍，由此计算即可.6．一个正方体锯掉一个角后，顶点的个数是（

）A．7个或8个 B．8个或9个C．7个或8个或9个 D．7个或8个或9个或10个【答案】D【详解】如下图，一个正方体锯掉一个角，存在以下四种不同的情形，新的几何体的顶点个数分别为：7个、8个、9个或10个.故选D.评卷人得分二、填空题7．已知∠AOB＝80°，射线OC在∠AOB内部，且∠AOC＝20°，∠COD＝50°，射线OE、OF分别平分∠BOC、∠COD，则∠EOF的度数是．【答案】或【分析】先根据题意画出图形，再分OD在内和OD在外，根据角的和差关系、角平分线的定义可求的度数．【详解】（1）如图1，OD在内，，,，射线OE平分，，射线OF平分，，，；（2）如图2，OD在外，，,，射线OE平分，，射线OF平分，，，.则的度数是或.故答案为：或.【点睛】本题考查了角的和差关系、角平分线的定义，OD在外的情形易被忽略，从而出现漏解是本题的难点．8．已知一条射线OA由点O引射线OB，OC，∠AOB=72°，∠BOC=36°，则∠AOC等于．【答案】36°或108°【详解】根据题意画图，可知：当OC在∠AOB的外部时，∠AOC=∠AOB+∠BOC=72+36°=108°；当OC在∠AOB的内部，∠AOC=∠AOB-∠BOC=72-36°=36°.故答案为36°或108°.9．如图，已知∠AOB＝40°，自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB＝2：3，OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为．【答案】4°或100°．【分析】由题意∠AOC：∠COB=2：3，∠AOB=40°，可以求得∠AOC的度数，OD是角平分线，可以求得∠AOD的度数，∠COD=∠AOD-∠AOC．【详解】解：若OC在∠AOB内部，∵∠AOC：∠COB＝2：3，∴设∠AOC＝2x，∠COB＝3x，∵∠AOB＝40°，∴2x+3x＝40°，得x＝8°，∴∠AOC＝2x＝2×8°＝16°，∠COB＝3x＝3×8°＝24°，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝20°，∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°﹣16°＝4°．若OC在∠AOB外部，∵∠AOC：∠COB＝2：3，∴设∠AOC＝2x，∠COB＝3x，∵∠AOB＝40°，∴3x﹣2x＝40°，得x＝40°，∴∠AOC＝2x＝2×40°＝80°，∠COB＝3x＝3×40°＝120°，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝20°，∴∠COD＝∠AOC+∠AOD＝80°+20°＝100°．∴OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为4°或100°．【点睛】本题考查角的计算，结合角平分线的性质分析，当涉及到角的倍分关系时，一般通过设未知数，建立方程进行解决．10．如图，直线AB⊥OC于点O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一个顶点与点O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，现将三角形EOF以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转至三角形E′OF′，同时直线PQ也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转至P′Q′，设运动时间为m秒（0≤m≤20），当直线P′Q′平分∠E′OF′时，则∠COP′＝．【答案】或【分析】由题意，分两种情况讨论，当平分时，当平分时作出图形，分别画出对应图，对比开始时刻的角度，通过角度的加减计算即可．【详解】平分，，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，以每秒的速度点O顺时针旋转，①如图1中，当平分时，解得，②如图2，当平分时，解得故答案为：或【点睛】本题考查了角度的计算，角平分线的定义，垂直的定义，通过旋转的速度和时间可得旋转的角度，对比旋转之前的图形是解题的关键．评卷人得分三、解答题11．如图，内部有一射线OC，，与的度数比为，射线从出发，以10度/秒的速度绕点O顺时针旋转，同时射线从出发以20度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当射线与射线重合后，立即以原速逆时针旋转，当与重合后再次改变方向顺时针向旋转（即在与之间来回摆动），当与重合时，与都停止旋转．旋转过程中设旋转的时间为t秒．(1)时，；(2)当t为何值时，恰好是的平分线；(3)在旋转的过程中，作的角平分线，是否存在某个时间段，使得的度数保持不变？如果存在，求出的度数，并写出对应的t的取值范围；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)100(2)3或7(3)存在，时，的度数保持不变，；时，的度数保持不变，【分析】（1）当时，，，故，即得；（2），与的度数比为，知，，故从旋转到（或从旋转到需要（秒），从旋转到需要（秒），当时，；当时，；当时，，解方程可得答案；（3）当时，；当时，；当时，，即可得到答案．【详解】（1）解：（1）当时，，，，；故答案为：100；（2），与的度数比为，，，从旋转到或从旋转到需要（秒），从旋转到需要（秒），当时，，，恰好是的平分线，，解得；当时，，，恰好是的平分线，，解得（舍去）；当时，，，恰好是的平分线，，解得；综上所述，当为3或7时，恰好是的平分线；（3）存在某个时间段，使得的度数保持不变，理由如下：当时，，，平分，，，时，的度数保持不变，；当时，，，平分，，，时，的度数随的改变而改变；当时，，，平分，，，时，的度数保持不变，；综上所述，时，的度数保持不变，；时，的度数保持不变，．【点睛】本题考查了角的和差，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，能应用分类讨论思想解决问题．12．已知：如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（0秒秒）（1）用含t的代数式表示的度数．（2）在运动过程中，当第二次达到时，求t的值．（3）如果让射线改变方向，绕点O逆时针方向旋转，在用时不超过30秒的情况下，用时多少秒，能使得，请直接写出t的值．【答案】（1）当0≤t≤9时，∠MOA＝20t，当9＜t≤18时，∠MOA＝360°-20t，当18＜t≤27时，∠MOA＝20t-360°，当27＜t≤30时，∠MOA＝；（2）5；（3）7.5或10.5或25.5或28.5【分析】（1）分四种情况，分别求出∠MOA的度数，即可；（2）当∠AOB第二次达到120°时，射线OB在OA的左侧，∠AOM与∠BON重叠部分为∠AOB，故有等量关系∠MOA＋∠NOB−∠AOB＝180°，列方程求解可得t．（3）OA、OB都是逆时针旋转，可理解为初始路程差为180°的追及问题：当∠AOB第一次达到30°时，即OB差30°追上OA，路程差为（180−30）°，即40t−20t＝180−30；第二次达到30°时，即OB追上OA且超过30°，路程差为（180＋30）°；第三次达到30°时，OB再走一圈差30°追上OA，路程差为（180＋360−30）°；第四次达到30°时，OB再次追上且超过30°，路程差为（180＋360＋30）°，此时求出的t已接近30，故不需再求第五次．【详解】解：（1）当0≤t≤9时，∠MOA＝20t，当9＜t≤18时，∠MOA＝360°-20t，当18＜t≤27时，∠MOA＝20t-360°，当27＜t≤30时，∠MOA＝，（2）当∠AOB第二次达到120°时，如图1，得：∠MOA＋∠NOB−∠AOB＝180°∴20t＋40t−120＝180，解得t＝5；（3）如图2，当∠AOB第一次达到30°时，OB比OA多转了（180−30）°，得：40t−20t＝180−30解得：t＝7.5如图3，当∠AOB第二次达到30°时，OB比OA多转了（180＋30）°，得：40t−20t＝180＋30解得：t＝10.5当∠AOB第三次达到30°时，OB比OA多转了（180＋360−30）°，得：40t−20t＝180＋360−30解得：t＝25.5当∠AOB第四次达到30°时，OB比OA多转了（180＋360＋30）°，得：40t−20t＝180＋360＋30解得：t＝28.5综上所述，t＝7.5或10.5或25.5或28.5时，∠AOB＝30°．【点睛】本题考查了角度计算，一元一次方程的应用．第（3）题转化为追及问题来思考，可把每次∠AOB达到30°的分类计算方法更统一且好理解．13．已知线段，(，为常数，且)，线段在直线上运动(点B，M在点A的右侧，点N在点M的右侧)．P是线段的中点，Q是线段的中点．(1)如图①，当点N与点B重合时，求线段的长度(用含a，b的代数式表示)；(2)如图②，当线段运动到点B，M重合时，求线段，之间的数量关系；(3)当线段运动至点Q在点B的右侧时，请你画图探究线段，，三者之间的数量关系．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根据题意表示出和的长度，然后即可求出；（2）根据题意表示出和的长度，再表示出和的长度，即可发现和之间的数量关系；（3）分两种情况讨论：①点M在点B的左侧，②点M在点B的右侧．表示出和，即可发现，，三者之间的数量关系．【详解】（1）因为P是线段的中点，Q是线段的中点，所以，，∴．（2）因为P是线段的中点，Q是线段的中点，所以，，因为，所以，因为，所以．（3）如图①，当点M在点B的左侧时，，所以；如图②，当点M在点B的右侧时，，所以．综上所述，或．【点睛】本题考查了线段的和差问题，动点问题，画好线段图，分类讨论是解题的关键．14．如图，射线上有三点、、，满足，，，点从点出发，沿方向以的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点、停止运动.（1）若点运动速度为，经过多长时间、两点相遇？（2）当时，点运动到的位置恰好是线段的中点，求点的运动速度;（3）设运动时间为，当点运动到线段上时，分别取和的中点、，则____________.【答案】（1）经过，、两点相遇（2）答案不唯一，具体见解析（3）【分析】（1）设经过t秒时间P、Q两点相遇，根据OP+CQ=OA+AB+AC列出方程即可解决问题；（2）分两种情形求解即可；（3）用t表示AP、EF的长，代入化简即可解决问题；【详解】（1）设运动时间为，则，；所以经过，、两点相遇（2）当点在线段上时，如下图,AP+PB=60,∴AP=40,OP=50,∴P用时50s,∵Q是OB中点,∴CQ=50,点的运动速度为；当点在线段的延长线上时，如下图,AP=2PB,∴AP=120,OP=140,∴P用时140s,∵Q是OB中点,∴CQ=50,点的运动速度为；（3）如下图,由题可知,OC=90,AP=x-20,EF=OF-OE=OF-OP=50-x,∴90-（x-20）-2(50-x)=10【点睛】本题考查两点间距离、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，找到等量关系，注意分类讨论是解题关键．15．如图，线段，，点以的速度从点沿线段向点运动；同时点