实数精讲精练（解析版）-中考数学备考复习重点资料归纳

第01讲实数

柒孽可0而•%

1.理解有理数的意义，能用数轴表示有理数

2.借助数轴理解绝对值的意义，掌握有理数的绝对值的方法，知道时的含义

3.掌握有理数的四则运算

4.理解乘方的意义

5.理解有理数的运算律

6.了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根

7.了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根

8.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内的平方根

9.了解无理数和实数的概念，了解实数与数轴上的点一一对应

10.能求实数的相反数与绝对值

11.能估计无理数的大致范围

12.了解近似数的概念

★简单；★★易错；★★★中等；★★★★难；★★★★★压轴

国考点导航

考点1:实数的分类..........................................................................2

考点2：数轴的相关计算...............................................................9

考点3：相反数.......................................................................15

考点4：绝对值.......................................................................19

考点5:科学记数法..................................................................26

考点6：近似数.......................................................................29

考点7:实数的大小比较..............................................................35

考点8:平方根、算术平方根、立方根.................................................39

考点9:实数的运算..................................................................45

课堂总结：思维导图..................................................................50

分层训练：课堂知识巩固..............................................................51

三和叙保双

考点1：实数的分类

①实数分类

f正整数

整数.o

［负整数

仃理数‘什分数］

分数j仃限小数和

L负分数I

■无限循环小数

无理瞰』无限不循环小数

②无理数几种常见类型：

1.开不尽的数型：如小，逆等开方开不尽的数；

2.构造型：如0.1010010001…；

3."及含"的数：如〃，〃+4等.另外依靠勾股定理的计算，估算无理数的大小.

4.三角函数

学有笔记

匕向的必帮新

【例题精析1】｛无理数-判断*｝在下列实数中，无理数是（）

A.sin45°B.-C.0.3D.tan45°

3

【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念,

有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无

理数.由此即可判定选择项.

【解答】解：A.sin450=也，是无理数，故本选项符合题意；B.1是分数，属于有理

23

数，故本选项不合题意；C.0.3是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；D.tan450=l,

是整数，属于有理数，故本选项不合题意；故选：A.

【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：万，2;z■等；开

方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数.

【例题精析2】｛实数概念综合十）下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无

理数都是带根号的数；③负数没有立方根；④病的平方根是±8.其中正确的有（

）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【分析】直接利用实数与数轴的关系以及无理数的定义、立方根、平方根的定义分别分析得

出答案.

【解答】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，符合题意；②无理数是无限不循环小数,

原说法不合题意；③负数也有立方根，原说法不合题意；④病=8的平方根是±2&,原

说法不合题意.故选：B.

【点评】此题主要考查了实数与数轴的关系以及无理数的定义、立方根、平方根的定义，正

确掌握相关定义是解题关键.

【例题精析3】｛实数分类★｝下列说法正确的是（）

A.正整数、负整数统称为整数B.正分数、负分数统称为分数

C.正数、负数统称为有理数D.整数、分数、小数都是有理数

【分析】根据有理数的定义及其分类求解可得.

【解答】解：4.正整数、零、负整数统称为整数，故本选项不合题意；B.正分数、负

分数统称为分数，说法正确，故本选项符合题意；C.正有理数、0、负有理数统称为有理

数，故本选项不合题意；

D.整数、分数、小数都是有理数，说法错误，无限不循环小数不是有理数，故本选项不

合题意；故选：B.

【点评】本题考查了有理数，掌握有理数的相关定义是解答本题的关键.

【例题精析4】｛无理数-程序图★★｝（凉山州•中考真题）有一个数值转换器，原理如

下：当输入的x为64时;输出的》是（）

----------------------早不理豹-------

输入xIr-取算术平方根3』输出。

是有理数

A.2点B.3五C.D.8

【分析】把X=64代入数值转换器中计算确定出y即可.

【解答】解：由题中所给的程序可知：把64取算术平方根，结果为8,8是有理数，，结

果次为无理数，.•.y=&=2夜.故选：A.

【点评】此题考查了实数，弄清数值转换器中的运算是解本题的关键.

【例题精析5】｛实数概念综合玄｝（河北•中考真题）如图为张小亮的答卷，他的得分

应是（）

乙1幺得分?

填空（年小JS20分,共100分）

①-I的绝对值是1.

②2的倒数是二.

③-2的相反数足2.

④1的立方根是」

（垃-1和7的平均数足3.）

A.100分B.80分C.60分D.40分

【分析】根据绝对值、倒数、相反数、立方根以及平均数进行计算即可.

【解答】解：-1的绝对值为1,2的倒数为1,-2的相反数为2,1的立方根为1,-1和7

2

的平均数为3,故小亮得了80分，故选：B.

【点评】本题考查了实数，掌握绝对值、倒数、相反数、立方根以及平均数的定义是解题的

关键.

【例题精析6】｛实数-新定义★★｝（2020•长沙）2020年3月14日，是人类第一个“国

际数学日这个节日的昵称是“"（Oay）”.国际数学日之所以定在3月14日，是因为

“3.14”是与圆周率数值最接近的数字.在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，

可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志.我国南北朝时的祖冲

之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界

一千多年.以下对于圆周率的四个表述：

①圆周率是一个有理数；

②圆周率是一个无理数；

③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；

④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比.

其中表述正确的序号是（）

A.②③B.①③C.①④D.②④

【分析】根据实数的分类和乃的特点进行解答即可得出答案.

【解答】解：因为圆周率是一个无理数，是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长

与直径的比，

所以表述正确的序号是②③；故选：A.

【点评】此题考查了实数，熟练掌握实数的分类和“乃”的意义是解题的关键.

比对童例珠

【对点精练1】｛无理数-判断支乂？。2。•遂宁）下列各数3.1415926,V9,1.212212221...,

-,2-万，-2020,苑中，无理数的个数有3个.

7--------

【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有万的数，

找出无理数的个数.

【解答】解：在所列实数中，无理数有1.212212221…，2-万，姬这3个，故答案为：3.

【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的掌握无理数的三种形式：①开方开不尽得到

的无限不循环小数，②无限不循环小数，③含万或由不构造的无限不循环小数.

【对点精练2】｛实数概念综合★★｝下列说法：①-0.25的平方根是±0.5；②任何数的

平方都是非负数，因而任何数的平方根也是非负数；③任何一个非负数的平方根都不大

于这个数；④平方根等于本身的数是0.其中正确的是（）

A.④B.①②C.②③D.③

【分析】根据平方根的定义即可求出答案.

【解答】解：①负数没有平方根，故①不符合题意.②一个正数的平方根有两个，且互为相

反数，故②不符合题意.③1的平方根为±1,此时1的平方根大于1,故③不符合题意.④

4244

平方根等于本身的数是0,故④符合题意.故选：A.

【点评】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型.

【对点精练31｛实数分类★｝下列说法中，正确的是（）

［知识拓展］（自然数：»）

A.正有理数和负有理数统称有理数B.一个有理数不是整数就是分数

C.零不是自然数，但它是有理数D.正分数、零、负分数统称分数

【分析】根据有理数的分类，可得答案.

【解答】解：A、整数和分数统称有理数，故A错误；8、整数和分数统称有理数，故A正

确；

C、零是自然数，是有理数，故C错误；。、正分数、负分数统称分数，故。错误；故选：

B.

【点评】本题考查了有理数，利用了有理数的意义.

【对点精练4】｛实数-新定义★★★｝（2021•随州）2021年5月7日，《科学》杂志发

布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果.祖冲之是我

国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率乃精确到小数点后第七位的人，他

给出开的两个分数形式：—（约率）和空（密率）.同时期数学家何承天发明的''调

7113

日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似

值和过剩近似值分别为2和4（即有2Vx其中a,b,c,4为正整数），则之

acaca+c

是x的更为精确的近似值.例如：已知曰＜乃＜丝，则利用一次“调日法”后可得到

507

%的一个更为精确的近似分数为：157+22=—;由于〃2。3.1404〈万，再由

50+75757

—,可以再次使用“调日法”得到"的更为精确的近似分数…现已知

577

-＜V2＜-,则使用两次“调日法”可得到血的近似分数为

52

【分析】根据“调日法”逐次进行计算求解.

【解答】解：工〈及＜3,.•.利用一次“调日法”后可得到血的一个更为精确的近似分

52

7+310

数为:

5+2T

-=J—且则＞2,.•.1〈也＜W再次使用“调日法”得至I」V2的更为精确的近似分

7V494957

7+10=*故答案为:‘

数为:

5+7

【点评】本题考查简单的推理与证明，根据“调日法”的定义进行计算是解决本题的关键,

是基础题，考查了计算能力.

【实战经典1】（2021•永州）在0,—,-0.101001,兀，强中无理数的个数是1

7-

个.

【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，

有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无

理数.

【解答】解：0,死=2,是整数，属于有理数；马是分数，属于有理数；-0.101001是有

7

限小数，属于有理数；无理数有万，共1个.故答案为：1.

【点评】此题考查了无理数的定义.解题的关键是掌握无理数的定义，注意带根号的要开不

尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数.如万，3，0.8080080008...（每两个8之间

依次多1个0）等形式.

【实战经典2]（通辽•中考真题）实数tan45。，我，0,二万，囱，」，sin60°,

53

0.3131131113...（相邻两个3之间依次多一个1）,其中无理数的个数是（）

A.4B.2C.1D.3

【分析】掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有力的数，

结合题意判断即可.

【解答】解：在实数tan45。，册,0,乃，W，」，sin60°,0.3131131113…（相邻

53

两个3之间依次多一个1）中，无理数有：-1不，sin600,0.3131131113...（相邻两个3

之间依次多一个1）,共3个，故选：D.

【点评】此题主要考查了无理数的定义，熟记无理数的三种形式，①开方开不尽的数，②无

限不循环小数，③含有乃的数是解题的关键.

3_

考点2：数轴的相关计算

（1）三要素：原点、正方向、单位长度

（2）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大

匕@制融代书

【例题精析1】｛数轴的几何意义★★｝（泰安•中考真题）如图，四个实数m,n,p,

q在数轴上对应的点分别为A/,N,P>Q,若〃+q=0,则机，“，p,夕四个实

数中，绝对值最大的一个是（）

A.pB.qC.mD.n

【分析】根据〃+4=0可以得到“、g的关系，从而可以判定原点的位置，从而可以得到哪

个数的绝对值最大，本题得以解决.

【解答】解：〃+q=0,和q互为相反数，0在线段N。的中点处，.•.绝对值最大的点

P表示的数p，

故选：A.

【点评】本题考查实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答.

【例题精析2】｛实数的几何意义★）如图，数轴上点C所表示的数是（）

'\：8

-10123；4

A.713B.2忘C.3.6D.3.7

【分析】利用数轴表示数得到Q4=3,利用基本作图得到AB=2,再利用勾股定理计算出OB,

从而得到OC的长，然后利用数轴表示数的方法得到C点表示的数.

【解答】解：04=3,48=3-1=2,OB=J13,;.OC=OB=9,

.•.点C表示的数是内，故选：A.

【点评】本题考查了实数与数轴：实数与数轴上的点是一一对应关系；以及勾股定理的基本

计算.也考查了基本作图.

【例题精析3】｛数轴的计算★）（2021•福州模拟）若实数a,b,c,〃在数轴上的对

应点的位置如图所示，则①a>Y；②b+d<0；③lake?；④的结论中，正

确的是（）

-4-3-2-1012345

A.①②B.①④C.②③D.③④

【分析】①根据在数轴上，右边的点表示的数比左边的大即可判断；②根据异号两数的加法

法则判断；

③注意到c是一个真分数，所以/<1,而|a|>3,从而作出判断；④先判断c?与d的大小，

再开方即可.

【解答】解：①根据在数轴上，右边的点表示的数比左边的大可知：a>T,符合题意；

②异号两数相加，取绝对值较大数的符号，取”的符号正号，所以。+”>0,不符合题意；

|a|>3,c2<1,a|>c2,不符合题意：©-c2<1,d>2,:.c2<d,:.c<y/ci,符

合题意；故选：B.

【点评】本题考查了实数与数轴，解题的关键是注意到c是一个真分数，所以/<1.

三」e珠

【对点精练1】｛实数的几何意义★｝（成都中考真题）如图，数轴上点A表示的实数

是.

-2-101A2

【分析】直接利用勾股定理得出三角形斜边长即可得出A点对应的实数.

【解答】解：由图形可得：-1到A的距离为后，则数轴上点A表示的实数是：

V5-1.

故答案为：A/5-I.

【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确得出-1到A的距离是解题关键.

【对点精练2】｛数轴的计算★｝（2019•北京）在数轴上，点A,3在原点。的两侧，

分别表示数。，2,将点A向右平移1个单位长度，得到点C,若CO=BO,则。的值

为()

A.-3B.-2C.-1D.1

【分析】根据CO=30可得点C表示的数为-2,据此可得a=-2-1=-3.

【解答】解：点C在原点的左侧，且CO=8O,.•.点。表示的数为一2,.•.〃=一2-1=一3.故

选：A.

【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键.

【对点精练3】｛数轴的计算★★★｝有一题目：点尸、。、M分别表示数-1、1、5,

三点在数轴上同时开始运动，点P运动方向是向左，运动速度是2/s；点。、M的运

动方向是向右，运动速度分别1/s、3/5,如图，在运动过程中，甲、乙两位同学提出

不同的看法：

甲：3PM-5PQ的值不变；

乙：5QM-3PQ的值不变；

下列选项中，正确的是()

P0M

A.甲、乙均正确B.甲正确、乙错误

C.甲错误、乙正确D.甲、乙均错误

【分析】设运动时间为fs,用含f的代数式表示PM、PQ、QM,代入3PM-5P。和

5QM-3PQ计算即可得到答案.

【解答】解：设运动时间为…，点尸、Q、”分别表示数-1、1、5,

运动后表示的数是-1-2/,。运动后表示的数是1+r,M运动后表示的数是5+3,，

.­.PM=(5+3r)-(-l-2r)=5r+6,P0=(l+r)-(-l-2r)=3r+2,

QM=(5+3f)_(l+f)=2r+4,

3PM-5PQ=3(5z+6)-5(3/+2)=8,5QM—3PQ=5(2f+4)-3(3f+2)=f+2,

.•.3PM-5PQ的值不变，5QM-3PQ的值随f的增大而增大，.•.甲正确、乙错误，故选：B.

【点评】本题考查数轴上点表示的数，解题关键是掌握数轴上点移动后表示的数的规律：左

减右加.

二位建/典

【实战经典1】（2021•广州）如图，在数轴上，点A、8分别表示〃、b,且a+b=O,

若A8=6,则点A表示的数为（）

-------1n>

A-------Bx

A.-3B.0C.3D.-6

【分析】根据相反数的性质，由a+b=0,/W=6得avO,b>0,b=-a,故

AB=/?+（—〃）=6.进而推断出a=—3.

【解答】解：a+b=O,：,a=—b,即。与b互为相反数.又AB=6,

:.b—a=6.2Z?=6..\b=3.

.•"=一3,即点A表示的数为-3.故选：A.

【点评】本题主要考查相反数的性质，熟练掌握相反数的性质是解决本题的关键.

【实战经典2]（2019•福建）如图，数轴上A、3两点所表示的数分别是T和2,点C

是线段钻的中点，则点C所表示的数是—.

4g.g、

―^4'~02~

【分析】根据A、8两点所表示的数分别为T和2,利用中点公式求出线段他的中点所表

示的数即可.

【解答】解：数轴上A,3两点所表示的数分别是T和2,.•.线段4?的中点所表示的数

=g(-4+2)=-l.

即点C所表示的数是-1.故答案为：-1

【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键.

图对在•戴理

考点3：相反数

(1)概念：只有符号不同的两个数

(2)代数意义：a、方互为相反数U>a+8=0

(3)几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等

卜…学秀笔记

N____________

:总销做显布

【例题精析1】｛相反数的定义*｝下列两个数互为相反数的是()

A.-0.5和gB.(-$和-(-，)C.乃和-3.14D.+20和-(-20)

【分析】将每组中的两个数进行求和运算，根据结果和互为相反数的意义进行判断即可.

【解答】解：因为-0.5+1=0,所以-0.5与L是互为相反数，因此选项A符合题意；

22

因为(3-(-2)*0,因此(。和-昌不是互为相反数，因此选项3不符合题意；

因为万—3.14=0.0015926...，因此选项C不符合题意；因为+20-(-20)=20+20=40,因

此+20和20)不是互为相反数，所以选项。不符合题意；故选：A.

【点评】本题考查互为相反数，掌握互为相反数的意义是正确判断的前提.

【例题精析2】｛相反数的定义★★｝下列说法正确的是()

A.符号相反的两个数互为相反数B.一个数的相反数一定是正数

C.一个数的相反数一定比这个数本身小D.一个数的相反数的相反数等于原数

【分析】利用相反数的意义对每个选项进行辨别，对于错误的选项可以举出反例，选出正确

选项.

【解答】解：相反数是只有符号不同的两个数，零的相反数仍旧是零.

13和-5的符号相反，但3和-5不是相反数，

r.A选项错误；5的相反数是-5,.•.3选项错误；-2的相反数是2,2>-2,

••.C选项错误；•一个数的相反数的相反数是它本身，.•.D选项正确；故选：D.

【点评】本题主要考查了相反数的意义，熟记相反数的定义是解题的关键.

【例题精析3】｛相反数的代数意义*｝若3a+4与处-6互为相反数，则46+6”的值为

4.

【分析】直接利用相反数的性质得出3a+4+»-6=0,进而得出答案.

【解答】解：13a+4与2b-6互为相反数，

.+4+%一6=0,:.3a+2b=2,:.4b+6a=2(2b+3a)=4.故答案为：4.

【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键.

【例题精析4】｛相反数-符号化简★｝下列化简正确的是()

A.+(-2)=2B.-(-3)=3C.+(+3)=-3D.一(+2)=2

【分析】根据相反数的定义解答即可.

【解答】解：A、+(-2)=-2,原计算错误，故此选项不符合题意；

B、-(-3)=3,原计算正确，故此选项符合题意；

C、+(+3)=3,原计算错误，故此选项不符合题意；

D、-(+2)=-2,原计算错误，故此选项不符合题意；故选：B.

【点评】此题主要考查了相反数.解题的关键是掌握相反数的定义.相反数的定义：只有符

号不同的两个数叫做互为相反数.

司;对支树林

【对点精练1】｛相反数的定义*｝若一个数的相反数等于它本身，那么这个数一定是(

)

【知识拓展】(倒数等于它本身:绝对值等于它本身：O)

£

A.0B.1C.-1

2

【分析】根据相反数的定义解答.

【解答】解：0的相反数是0,.•.如果一个数的相反数等于它本身，那么这个数是0.故

选：A.

【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键.

【对点精练2】｛相反数的定义*｝已知“与6互为相反数，则下列式子：①a+A=O；

②a=—〃；匕；©-<0,其中一定成立的是（）

b

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】直接利用相反数的定义得出答案.

【解答】解：。与6互为相反数，，①。+。=0,正确；©a=-b,正确；③a=昔误;

④g<0（aw0）,原式错误，故选：B.

b

【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键.

【对点精练3】｛相反数的代数意义★）如果a和。互为相反数，c和d互为倒数，那么

\Qcd-a—b=10

【分析】直接利用相反数和倒数的定义得出。+6=0,Cd=\,进而得出答案.

【解答】解：。和人互为相反数，C和d互为倒数，

.'.a+b=O,cd=1,,'.10cd—a—b=10—（a+b）=10.故答案为：10.

【点评】此题主要考查了相反数和倒数，正确掌握相关定义是解题关键.

【对点精练4】｛相反数的代数意义★｝若3a-劭与互为相反数，则2的值为

a

4

9~'

【分析】直接利用相反数的定义进而得出等式，进而得出“，人的关系.

.h4

【解答】解•：3a与。一5人互为相反数，「.3a—4/?+。-5〃=0,则4<7—9。=0,故一=—.故

a9

答案为：-.

9

【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键.

【实战经典1]（2021•烟台）若x的相反数是3,则x的值是（）

A.—3B.—C.3D.±3

3

【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数.

【解答】解：-3的相反数是3,.•.x=-3.故选：A.

【点评】本题主要考查的是相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键.

【实战经典2](2021•深圳)匚•的相反数(

2021

A.2021C.-2021

【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上”号，求解即可.

【点评】本题考查了相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的

相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒数的

意义混淆.

考点4:绝对值

(1)几何意义：数轴上表示的点到原点的距离

(2)运算性质：

..\a,a>0,,\a-b,a>b

同=〈\a-b\=<

[-a,a<0[b-a,a<b

(3)非负性：|a|eo,若|a|+炉=0,则a=ZrO

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【例题精析1】｛绝对值的定义*｝下列说法中错误的个数是（）

①绝对值是它本身的数有两个，是0和1②一个有理数的绝对值必为正数

③0.5的倒数的绝对值是2④任何有理数的绝对值都不是负数.

A.0B.1C.2D.3

【分析】根据绝对值的定义，可得答案.

【解答】解：①绝对值是它本身的数有非负数，故①说法错误；

②0的绝对值等于0,故②说法错误；③0.5的倒数是2,2的绝对值是2,故③说法正确；

④任何有理数的绝对值都是非负数，故④说法正确；故选：C.

【点评】本题考查了绝对值，根据绝对值的定义求解是解题关键，注意选错误的.

【例题精析2】｛运算性质★★｝若|x-1|=3,|止5,-上＞0,那么x-y的值是（

)

A.2或0B.—2或0C.—1或3D.—7或9

【分析】根据绝对值、有理数的除法法则、有理数的减法解决此题.

【解答】解：ilx-g,\y\=5,.-.x-l=±3,y=±5.r.x=4或-2,y=±5.又-^>0,

X

<0.

x

x与y异号..,.当x=4时，y=-5,此时x-y=4-(-5)=9；当x=-2时，y=5,止匕时

x-y=-2-5=-7.综上：x-y=9或—7.故选：D.

【点评】本题主要考查绝对值、有理数的除法、有理数的减法，熟练掌握绝对值、有理数的

除法法则、有理数的减法法则是解决本题的关键.

【例题精析3】｛运算性质★｝若2<"3时，化简|a-2|+|。-3|()

A.1B.2a-5C.-1D.5-2a

【分析】直接利用绝对值的性质化简求出答案.

【解答】解：-2<a<3.:\a-2\+\a-?>\=a-2+3-a=\.故选：A.

【点评】此题主要考查了绝对值的性质，正确利用。的取值范围化简是解题关键.

【例题精析4】｛运算性质★★｝若实数a、6、c•满足|“-勿=1,|«-c|=7,则|b-c|

的值为()

A.6B.7C.6或8D.6或7

【分析】根据条件得：a-b=±\,“-。=±7,然后分四种情况分别计算即可.

【解答】解：\a-b\-\,|a—c|=7,:.a—b=+\,a—c=±7,

当a-b=l,c=7时，b-c=a-c-(a-b')=l-\=6,原式=6；

当a-b=-l,a-c=-7时，b-c=a-c-(a-h)=-7+l=-6,原式=6;

当a—b=l,a—c=—7时，b-c=a-c-(a-b)=-7-l=-S,原式=8；

当a-Z?=-l,a—c=7时，b-c=a-c-(a-b)='7+l=S,原式=8；故选：C.

【点评】本题考查了绝对值的定义，体现了分类讨论的数学思想，分类做到不重不漏是解题

的关键.

【例题精析5】｛运算性质若。儿/0,则回+回+二的值为()

ab\c\

A.±3或±1B.±3或0或±1C.±3或0D.0或±1

【分析】分4种情况分别计算，根据绝对值的性质化简即可得出答案.

【解答】解：若a,b,c都是正数，那么原式=1+1+1=3：若a,b,c中有1个负数,

不妨设a是负数，那么原式=一1+1+1=1;若a,b,c中有2个负数，不妨设a,b是负

数，那么原式=T+(-l)+l=—1;

若a,b,c都是负数，那么原式=一1+(-1)+(-1)=一3;故选：A.

【点评】本题考查了绝对值的性质，体现了分类讨论的数学思想，掌握正数的绝对值等于它

本身，负数的绝对值等于它的相反数，。的绝对值是。是解题的关键.

【例题精析6】｛绝对值-非负性★｝若|〃?一2|+|〃一7|=0,则|旭+川=()

A.2B.7C.8D.9

【分析】根据非负数的性质列式求出机、n,然后代入计算即可得解.

【解答】解：由题意得，加―2=0,7=0,解得%=2,〃=7,所以，|，〃+〃|引2+7|=9.故

选：D.

【点评】本题考查了非负数的性质.解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为

零，那么每一个加数也必为零.

【例题精析7】｛几何意义★★★｝-+4I+IT+2I的最小值是6.

【分析】根据绝对值的定义解决此题.

【解答】解：•|x+4|表示x对应的点到Y对应的点的距离，x+2H2-x|表示2对应的

点到x对应的点的距离，1x+41+1-x+21表示x对应的点到-4对应的点、2对应的点的距

离之和.

.」x+4|+|-x+2|的最小值是2—(T)=6.故答案为：6.

【点评】本题主要考查绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解决本题的关键.

【例题精析8]｛几何意义★★★｝式子|x-3|+|x+4|有最小值，其最小值是7.

【分析】|x-3|+|x+4|表示在数轴上表示数x的点到表示数3与表示数T的距离之和，因

此当x在3与-4之间时，这个距离之和最小，最小值为3与-4之间的距离7.

【解答】解：Ix-31+1x+41表示在数轴上表示数x的点到表示数3与表示数-4的距离之和,

因此当-4初k3时，这个距离之和最小，最小值就是3与-4之间的距离，为7,

当T张！k3时，|x-3|+|x+4|有最小值，最小值是7.故答案为：7.

【点评】本题考查了绝对值的非负数性质.解题的关键是明确数轴表示数的意义和方法，理

解数轴上两点距离的计算方法是正确计算的前提.

比OI佳

【对点精练1】｛运算性质★｝下列各式的结论成立的是()

A.若|川=|〃|,则机=〃B.若|川则加

C.若加>〃，则|相|>|〃|D,若〃zv〃vO,则|"?|>|〃|

【分析】根据绝对值的性质逐一判断即可.

【解答】解：A.若|〃?|=|九|,则机=〃或机=-〃，故原说法错误，选项不符合题意；

B.若|/%|>|川，则-〃?<〃<机，，故原说法错误，选项不符合题意；

C.若加>〃>-加，则|相|>|川，故原说法错误，选项不符合题意；

D.若加<〃vO,则正确，选项符合题意；故选：D.

【点评】本题考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键.

【对点精练2】｛运算性质★｝若|了|=5,|y|=2且xvO,y>0,则x+y=()

A.7B.-7C.3D.-3

【分析】由绝对值的定义，得*=±5,y=±2，再根据xvO,y>0,确定x、y的具体对

应值，最后代入计算x+y的值.

【解答】解：••|X|=5,|止2,.・.x=±5,y=±2,

xvO,y>0，x=—5,y=2,:.x+y=-3.故选：D.

【点评】主要考查了绝对值的运算，先确定绝对值符号中X、)，的取值再去计算结果.注意

绝对值等于一个正数的数有两个；两个负数，绝对值大的反而小.

【对点精练3】｛运算性质★｝已知|a|=3,出|=2,|a-勿=b-a,则=1或—5_

【分析】首先根据绝对值的性质，求出〃、人的值，然后代值求解即可.

【解答】解：|“|=3,|勿=2,;.a=±3,b=±2；又因为|“一切=人一“，当。=一3,6=2

时，a—b=—5;当a=—3,b=—2时，a—〃=—1.故a—6的值为一1或一5.故答案为：—I

或-5.

【点评】此题主要考查绝对值的性质：绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负

数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

【对点精练4】｛绝对值符号化简★★｝己知l<x<2,则lx-3l+ll-xl=2.

【分析】结合绝对值的性质进行化简求解即可.

【解答】解：1<x<2,.,.x-3<0>l-x<0,.'Jx-31+ll-xl=-(x-3)+|l-x|

=3-x-(l-x)=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查了绝对值的性质，解答本题的关键在于熟练掌握绝对值的性质.

【对点精练5】｛运算性质★｝已知-3<y<2,化简Iv-2l+|y+3l=5.

【分析】根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后化简即可.

【解答】解：3<y<2,.」y—2|+|y+3|=2—y+y+3=5.故答案为：5.

【点评】本题考查了整式的加减、绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键.

【对点精练6】｛绝对值-非负性★｝若|a+l|+|6-3|=0,则彷=_-3一

【分析】根据绝对值的非负性解决此题.

【解答】解：|a+l|..O,|人一3|..0,.•.当|a+l|+|b-3|=0时，«+1=0,b-3=O.

a=-1,b=3.ab=—3.故答案为：—3.

【点评】本题主要考查绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解决本题的关键.

【对点精练7】｛绝对值-非负性★｝|2x-4|+|x+2y-8|=0,贝!I(%—丫)如=_一1_.

【分析】根据非负数的性质列出二元一次方程组，求解得到x、y的值，再代入代数式进行

计算即可得解.

【解答】解：根据题意得，①

[x+2y-8=0②

由①得，x=2,把x=2代入②得，2+2y-8=0,解得y=3,「.(x-y严।=(2-3严'=-1.故

答案为：-1.

【点评】本题考查了解二元一次方程组，利用非负数的性质.解题的关键是掌握解二元一次

方程组的方法，能够正确利用非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0

求出x、y的值.

【对点精练8】｛几何意义★★★）适合|n+5|+|a-3|=8的整数。的值有（）

A.4个B.5个C.7个D.9个

【分析】此方程可理解为。到-5和3的距离的和，由此可得出。的值，继而可得出答案.

【解答】解：|。+5|表示。到-5点的距离，|。-3|表示。到3点的距离，由-5到3点的距

离为8,

故-5到3之间的所有点均满足条件，即-5强山3,又由。为整数，

故满足条件的〃有：-5,-4.-3,-2,-1.0,1,2,3共9个，故选：D.

【点评】本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大，关键是利用数轴进行解答.

【实战经典1】（2021•阿坝州）|-3|的绝对值为（）

A.-3B.0C.3D.±3

【分析】利用绝对值的意义解答即可.

【解答】解：|-3|=3,|3|=3.故选:C.

【点评】本题主要考查了绝对值的意义，熟记负数的绝对值等于它的相反数是解题的关健.

【实战经典2】（2021•大庆）下列说法正确的是（）

A.|x|<xB.若lx-ll+2取最小值，则x=0

C.若则|x|<|y|D.若|x+l|,,0,贝Ux=—1

【分析】根据绝对值的定义以及绝对值的非负性逐一分析四个选项，即可得出结论.

【解答】解：A、当x=0时，|x|=x,故此选项错误，不符合题意；

8、,-11..0,.,.当x=l时，次-11+2取最小值，故此选项错误，不符合题意；

C>.[xXyl，故此选项错误，不符合题意；

D、|x+l|„0,|x+l|..O,.\x+l=0,.-.x=-l.故此选项正确，符合题意.故选：D.

【点评】本题考查了绝对值，牢记绝对值的定义以及绝对值的非负性是解题的关键.

考点5:科学记数法

(1)形式：aXIO",其中lW|a|<10,"为整数

(2)确定n的方法：对于数位较多的大数，”等于原数的整数为减去1;对于小数，写成

axl(T",lW|a|<10,〃等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个

数(含小数点前面的一个)

学霸望记

国I制总代新

【例题精析1】｛科学记数法-表示较小的数支｝