2015届高考数学第一轮考点分类检测试题29

温馨提示：此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word文档返回原板块。考点36直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T4)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则()A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l【解析】选D因为m,n为异面直线,所以过空间内一点P,作,则,即垂直于与确定的平面,又平面,平面,所以平面,平面,所以平面既垂直平面,又垂直平面,所以与相交,且交线垂直于平面,故交线平行于,选D.2.(2013·浙江高考文科·T4)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面()A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m∥α,m∥β,则α∥βC.若m∥n,m⊥α,则n⊥α D.若m∥α,α⊥β,则m⊥β【解题指南】根据线、面平行、垂直的定义与性质判断.【解析】选C.A选项中m与n还有可能相交或异面;B选项中α与β还有可能相交;D选项中m与β还有可能平行或m⊂β.3.（2013·山东高考理科·Ｔ4）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面积是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为()

A.B.C.D.【解题指南】本题考查直线与平面所成的角，注意线面角的做法：垂-连-证-求.【解析】选B.取正三角形ABC的中心，连结,则是PA与平面ABC所成的角.因为底面边长为，所以,.三棱柱的体积为,解得，即,所以，即.4.（2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ11）与（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ10）相同已知正四棱柱的正弦值等于（）A.B.C.D.【解题指南】利用体积相等法求出三棱锥的高为即可确定与平面所成角的正弦值.【解析】选A.如图，设，则，三棱锥的高为，与平面所成的角为.因为，即，解得.所以.5.(2013·浙江高考理科·T10)在空间中,过点A作平面π的垂线,垂足为B,记B=fπ(A).设α,β是两个不同的平面,对空间任意一点P,Q1=fβ[fα(P)],Q2=fα[fβ(P)],恒有PQ1=PQ2,则()A.平面α与平面β垂直B.平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°C.平面α与平面β平行D.平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°【解题指南】充分理解题意,依据立体几何中的面面之间的位置关系判断.【解析】选A.由于P是空间任意一点,不妨设P∈α,如图所示,则Q1=fβ[fα(P)]=fβ(P),Q2=fα[fβ(P)]=fα(Q1),又PQ1=PQ2,显然B,C,D不满足,故选A.二、解答题6.（2013·重庆高考文科·Ｔ19）如图，四棱锥中，⊥底面，，，．（Ⅰ）求证：⊥平面；（Ⅱ）若侧棱上的点满足，求三棱锥的体积．【解题指南】直接利用线面垂直的判定定理证明⊥平面,通过转化可求解三棱锥的体积.【解析】（Ⅰ）证明:因,即为等腰三角形,又,故.因为⊥底面，所以.从而与平面内两条相交直线都垂直,所以⊥平面.（Ⅱ）三棱锥的底面的面积由⊥底面，得由,得三棱锥的高为,故所以7.（2013·广东高考文科·Ｔ18）如图①，在边长为1的等边中，分别是边上的点，，是的中点，与交于点，将沿折起，得到如图②所示的三棱锥，其中．①②(1)证明：//平面；(2)证明：平面；(3)当时，求三棱锥的体积．【解题指南】本题以折叠问题为背景，考查线面平行与垂直的证明及空间几何体体积的求法，对于立体几何中的折叠问题要注意折叠前后变与不变量.【解析】（1）在等边中，，所以,在折叠后的三棱锥中也成立，所以.因为平面，平面，所以平面；（2）在等边中，是的中点，所以=1\*GB3①，.因为在三棱锥中，，所以=2\*GB3②因为，所以平面；（3）由（1）可知，结合（2）可得平面..8.（2013·辽宁高考文科·Ｔ18）如图，是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点.求证：平面平面;设为的中点,为的重心,求证:∥平面.【解题指南】利用条件证明线线垂直，进而证明线面垂直；借助线线平行去证明线面平行,再由面面平行的性质得到线面平行。【证明】由是圆的直径，得；由垂直于圆所在的平面，得平面;又平面，得；又所以连接并延长交于,连接由为的重心,知为的中点，由为的中点,则∥,又因为平面,平面所以∥平面又由为的中点,则∥，同理可证，∥平面因为,平面,平面,所以，据面面平行的判定定理，平面∥平面又平面,故∥平面.9.（2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ19）如图，四棱锥都是边长为的等边三角形.（=1\*ROMANI）证明：（=2\*ROMANII）求点【解析】（=1\*ROMANI）取的中点，连结，则四边形为正方形.过作平面，垂足为.连结，，，.由和都是等边三角形知,所以，即点为正方形对角线的交点，故，从而.因为是的中点，是的中点，所以∥，因此.（=2\*ROMANII）取的中点,连结,则∥.由（=1\*ROMANI）知，,故.又,,故为等腰三角形，因此.又，所以平面.因为∥，平面,平面,所以∥平面.因此到平面的距离就是到平面的距离，而,所以到平面的距离为1.10.（2013·四川高考文科·Ｔ19）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是线段的中点，是线段上异于端点的点。（1）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；（2）设（1）中的直线交于点，求三棱锥的体积。（锥体体积公式：，其中为底面面积，为高）【解题指南】本题第（1）问求解时要首先明确证明直线与平面垂直的定理需要满足的条件，在第（2）问的求解过程中要注意等体积法的转化.【解析】（1）如图,在平面ABC内,过点P作直线l∥BC,因为l在平面A1BC外,BC在平面A1BC内,由直线与平面平行的判定定理可知,l∥平面A1BC.由已知,AB=AC,D是BC的中点,所以,BC⊥AD,则直线l⊥AD.因为AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥直线l.又因为AD,AA1在平面ADD1A1内,且AD与AA1所以直线l⊥平面ADD1A1(2)过D作DE⊥AC于E.因为AA1⊥平面ABC,所以DE⊥AA1,又因为AC,AA1在平面AA1C1C所以DE⊥平面AA1C由AB=AC=2,∠BAC=120°,有AD=1,∠DAC=60°,所以在中，,又,所以因此三棱锥的体积是11.(2013·天津高考文科·T17)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等.D,E,F分别为棱AB,BC,A1(1)证明EF∥平面A1CD.(2)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1.(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.【解题指南】(1)连接ED,通过证明四边形A1DEF为平行四边形,得出EF∥A1D,以证明EF∥平面A1CD.(2)由侧棱A1A⊥底面ABC证明A1A⊥CD,再由三角形ABC为等边三角形得出CD⊥AB,以证明CD⊥平面A1ABB1,进而证明平面A1CD⊥平面A1ABB(3)根据(2)的结论,过点B作A1D的垂线,以作出直线BC与平面A1CD所成角,化归到直角三角形中求解.【解析】（1）如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC∥A1C1,且AC=A1C1,连接ED,在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE=QUOTEAC且DE∥AC,又因为F为A1C1的中点,可得A1F=DE,且A1F∥DE,即四边形A1DEF为平行四边形,所以EF∥DA1,又EF⊄平面A1CD,DA1⊂平面A1CD,所以EF∥平面A1(2)由于△ABC是正三角形,D为AB的中点,故CD⊥AB,又由于侧棱A1A⊥底面ABC,CD⊂平面ABC,所以A1A⊥CD,又A1A∩AB=A,因此CD⊥平面A1ABB1,而CD⊂平面A1CD,所以平面A1CD⊥平面A1(3)在平面A1ABB1内,过点B作BG⊥A1D交直线A1D于点G,连接CG.由于平面A1CD⊥平面A1ABB1,而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线,故BG⊥平面A1CD,由此得∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角.设棱长为a,可得A1D=QUOTE,由△A1AD∽△BGD,易得BG=QUOTE,在Rt△BGC中,所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.12.(2013·浙江高考文科·T20)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=QUOTE,PA=QUOTE,∠ABC=120°,G为线段PC上的点.(1)证明:BD⊥面PAC.(2)若G为PC的中点,求DG与平面PAC所成的角的正切值.(3)若G满足PC⊥平面BGD,求QUOTE的值.【解题指南】(1)证明线面垂直可以根据定义证明;(2)首先要找出DG与平面PAC所成的角,再在三角形中去解决;(3)根据线面垂直的性质求解.【解析】(1)设点O为AC,BD的交点,由AB=BC,AD=CD,得BD是线段AC的中垂线.所以O为AC的中点,BD⊥AC.又因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD,所以BD⊥平面APC.(2)连结OG,由(1)可知OD⊥平面APC,则DG在平面APC内的射影为OG,所以∠OGD是DG与平面APC所成的角.由题意得在△ABC中，所以在Rt△OCD中，在Rt△OGD中，所以与平面所成角的正切值为.(3)连结OG.因为PC⊥平面BGD,OG⊂平面BGD,所以PC⊥OG,在Rt△PAC中，得，所以，从而，所以13.(2013·江苏高考数学科·T16)如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB,过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG∥平面ABC.(2)BC⊥SA.【解题指南】(1)利用面面平行的判定定理证明.(2)先证线面垂直再证线线垂直.【证明】(1)因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又因为EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,又因为AF⊂平面SAB,AF⊥SB,所以AF⊥平面SBC,因为BC⊂平面SBC,所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF⊂平面SAB,AB⊂平面SAB,所以BC⊥平面SAB.又因为SA⊂平面SAB,所以BC⊥SA.14.（2013·湖南高考文科·Ｔ17）如图.在直菱柱ABC-A1B1C1∠BAC=90°，AB=AC=QUOTE，AA1=3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动。证明：AD⊥C1E；当异面直线AC，C1E所成的角为60°时，求三棱锥C1-A2B1E的体积【解题指南】证明两异面直线垂直，一般是先转化成线面垂直，后再证线线垂直。求三棱锥的体积关键是确定高和的长度【解析】（=1\*ROMANI）证明：因为AB=AC，D是BC的中点，所以①又在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，而，所以②由①②可得,因为点E在棱BB1上运动。得,所以AD⊥C1E。(=2\*ROMANII)因为,所以是异面直线所成的角，所以，因为,所以,又,从而,于是故，又，所以从而15.（2013·江西高考文科·Ｔ19）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，AB//CD，AD⊥AB，AB=2，AD=QUOTE，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3.(1)证明：BE⊥平面BB1C1(2)求点B1到平面EA1C1【解题指南】（1）利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，必须先证两个线线垂直，本题中易得，只需借助长度关系证另一条即可；（2）三棱锥的点面距常利用等体积法.【解析】(1)证明：过点B作CD的垂线交CD于点F，则BF=AD=,EF=AB-DE=1，FC=2.在BFE中，BE=,在CFB中，BC=.在中，因为,所以,又由平面ABCD得,又BB1∩BC=B,故BE⊥平面BB1C1C.(2).在中，同理，则.设点到平面的距离为d，则三棱锥B1-EA1C1的体积为从而.16.（2013·安徽高考理科·Ｔ19）如图，圆锥顶点为。底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°.和是底面圆上的两条平行的弦，轴与平面所成的角为60°，（1）证明：平面与平面的交线平行于底面；（2）求。【解题指南】（1）证明平面PAB与平面PCD的交线平行于底面上的直线AB；（2）取CD的中点F，得到为OP与面PCD所成的角，在中，求出，即可得出。【解析】（1）设平面PAB与平面PCD的交线为，因为AB//CD,AB不在面PCD内，所以AB//面PCD,又因为，面PAB与面PCD的交线为，所以AB//，由直线AB在底面上而在底面外可知，与底面平行。（2）设CD的中点为F，连接OF,PF,由圆的性质，，因为所以,又，因此,从而直线OP在面PCD上的射影为直线PF，故为OP与面PCD所成的角，由题设知，，设OP=h，则，根据题设有，得，由，可解得。因此，在=，故=.17.（2013·安徽高考文科·Ｔ18） 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=600。已知PB=PD=2，PA=.（1）证明：PC⊥BD（2）若E为PA的中点，求三菱锥P-BCE的体积。【解题指南】（1）通过证明BD⊥平面APC得PC⊥BD；（2）转化为求解。【解析】（1）连接AC,交BD于O点,连接PO,因为底面ABCD是菱形,所以AC⊥BD,BO=DO,由PB=PD知,PO⊥BD,再由PO∩AC=O,知BD⊥平面APC,又PC⊂平面APC,因此PC⊥BD.（Ⅱ）因为E是PA的中点，所以,由PB=PD=AB=AD=2知，,因为，所以PO=AO=,,又=3，由（1）知，因此,18.（2013·北京高考文科·Ｔ17）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点，求证：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD;（Ⅱ）BE∥平面PAD（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD.PPABCDEF【解析】(1)因为面PAD⊥面ABCD,交线为AD,PA⊥AD,所以PA⊥面ABCD.(2)因为AB∥CD,E为CD中点,CD=2AB,所以AB∥DE且AB=DE,所以四边形ABED为平行四边形,所以BE∥AD.又因为AD⊂面PAD,BE⊄面PAD,所以BE∥面PAD.(3)因为BA⊥平面PAD,而平面PAD⊥平面ABCD,交线AD,所以BA⊥平面PAD,因为AB∥CD,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD且CD⊥AD,又因为在平面PCD中,EF∥PD(三角形的中位线),于是CD⊥FE.因为在平面ABCD中,由(2),BE∥AD,于是CD⊥BE.因为FE∩BE=E,FE⊂平面BEF,BE⊂平面BEF,所以CD⊥平面BEF,又因为CD⊂平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD.19.（2013·山东高考文科·Ｔ19）如图，四棱锥中，,,分别为的中点(Ⅰ)求证：(Ⅱ)求证：【解题指南】（Ⅰ）本题考查线面平行的证法，可利用线线平行，也可利用面面平行，来证明线面平行；(Ⅱ)本题考查了面面垂直的判定，在平面EMN中找一个直线MN平面EFG即可.【解析】(I)方法一：取PA的中点H,连接EH,DH.因为E为PB的中点，所以EH//AB,EH=AB.又AB//CD,CD=AB,所以EH//CD,EH=CD.因此四边形DCEH是平行四边形.所以CE//DH.又DH平面PAD,CE平面PAD,因此CE//平面PAD.方法二：连接CF.因为F为AB的中点，所以AF=AB.又CD=AB,所以AF=CD.又AF//CD，所以四边形AFCD为平面四边形.因此CF//AD.又CF平面PAD,所以CF//平面PAD.因为E,F分别为PB,AB的中点，所以EF//PA.又EF平面PAD，所以EF//平面PAD.因为CFEF=F,故平面CEF//平面PAD.又CE平面CEF，所以CE//平面PAD.（II）证明：因为E,F分别为PB,AB的中点，所以EF//PA.又ABPA.所以ABEF.同理可证ABFG.又EFFG=F,EF平面EFG,FG平面EFG,因此AB平面EFG