沪教版九年级上册数学专题训练专题14相似三角形章节重难点专练(原卷版+解析)

专题14相似三角形章节重难点专练第I卷（选择题）一、单选题1．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，则下列关系式中成立的有()①；②；③；④CE2=CD×BC；⑤BE2=AE×BCA．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．如图，∠ABC=∠CDB=90°，BC=3，AC=5，如果△ABC与△CDB相似，那么BD的长()A． B． C． D．或3．下列说法:①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1:2；④两个相似多边形的面积比为4:9，则周长的比为16:81中，正确的有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．在中，点、分别在边、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（）A．AD=6,BD=4,AE=2.4,CE=1.6B．BD=2，AB=6，CE=1，AC=3；C．AD=4，AB=6，DE=2，BC=3；D．AD=4，AB=6，AE=2，AC=3．5．一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（）A．19 B．17 C．24 D．216．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度(

)A．增大1.5米

B．减小1.5米

C．增大3.5米

D．减小3.5米7．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝，CD＝，点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为，则点P的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4第II卷（非选择题）二、解答题8．如图，在中，点分别在上，，，，与交于点.（1）求证：；（2）连接，求证：.9．已知：.（1）求代数式的值；（2）如果，求的值.10．解方程：.11．在△ABC中，已知BC=6，BC边上中线AD=5.点P为线段AD上一点（与点A、D不重合），过P点作EF∥BC，分别交边AB、AC于点E、F，过点E、F分别作EG∥AD，FH∥AD，交BC边于点G、H．（1）求证：P是线段EF的中点；（2）当四边形EGHF为菱形时，求EF的长；（3）如果sin∠ADC=，设AP长为x，四边形EGHF面积为y，求y关于x的函数解析式及其定义域．12．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,CD=6，BC=4，∠ABD=∠C，P是CD上的一个动点(P不与点C点D重合),且满足条件:∠BPE=∠C,交BD于点E.（1）求证：△BCP∽△PDE；（2）如果CP=x,BE=y，求y与x之间的函数关系式；（3）P点在运动过程中，△BPE能否成为等腰三角形，若能，求x的值，若不能，说明理由.13．已知：如图，直线y=kx+2与x轴的正半轴相交于点A（t,0）、与y轴相交于点B，点C在第三象限内，且AC⊥AB，AC=2AB．（1）当t=1时，求直线BC的表达式；（2)点C落在直线：y=-3x-10上，求直线CA的表达式.14．如图，已知AD=2，DB=1,∠ACD=∠B,∠BAC的平分线分别交CD、BC于F、E.（1）求AC的值（2）求的值.15．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．原题：如图1，在▱ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若=3，求的值．（1）尝试探究在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是，CG和EH的数量关系是，的值是（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若=m（m≠0），则的值是（用含m的代数式表示），试写出解答过程．（3）拓展迁移如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若=a，=b（a＞0，b＞0），则的值是（用含a，b的代数式表示）．16．如图，已知在△中，是边上的中线，设，；（1）求（用向量的式子表示）（2）如果点在中线上，求作在方向上的分向量；（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）17．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为ts，正方形和梯形重合部分的面积为Scm2．（1）当t=_________s时，点P与点Q重合；（2）当t=_________s时，点D在QF上；（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数关系式．三、填空题18．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF．如果△DEF与△ABC相似（相似比不为1），那么△DEF的面积为______．19．已知点P是线段AB上的一点，且，如果AB=10cm，那么BP=_____cm20．如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为____________21．化简：______．22．如图，在中，点、分别在、上，且，若，，那么______．23．如图，在口ABCD中，点F是AB的中点，点E在BC上，且BC＝3BE，设，，那么将下列向量表示、的分解式：（1）________；（2）________；（3）________；（4）________．24．如图，若点G是△ABC的重心，GD∥BC，则=__________．25．如图，在等边三角形ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝1，CD＝，则△ABC的边长为____．26．如果两个相似三角形周长的比是2:3，那么它们面积的比是________.27．如图，M是▭ABCD的AB的中点，CM交BD于E，则图中阴影部分的面积与▱ABCD的面积之比为_____．28．在中，，G是的重心，过G作边BC的平行线交AC于点H，则GH的长为_________.29．如果两个相似三角形的面积之比是9：25，其中小三角形一边上的中线长是12cm，那么大三角形对应边上的中线长是_________cm.30．如图，AD∥EF∥BC，，DF＝6cm，则DC＝_________cm.31．如图，AB//CD，AD与BC相交于点E，如果AB=2，CD=6，AE=1，那么DE=_________．32．如图，平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE．若的面积为a，则平行四边形ABCD的面积为___（用a的代数式表示）．33．若，则＝_____．34．如图，在平行四边形ABCD中，AD=10cm，CD=5cm，E为AD上一点，且BE=BC，CE=CD，则DE=_____cm专题14相似三角形章节重难点专练第I卷（选择题）一、单选题1．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，则下列关系式中成立的有()①；②；③；④CE2=CD×BC；⑤BE2=AE×BCA．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．如图，∠ABC=∠CDB=90°，BC=3，AC=5，如果△ABC与△CDB相似，那么BD的长()A． B． C． D．或3．下列说法:①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1:2；④两个相似多边形的面积比为4:9，则周长的比为16:81中，正确的有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．在中，点、分别在边、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（）A．AD=6,BD=4,AE=2.4,CE=1.6B．BD=2，AB=6，CE=1，AC=3；C．AD=4，AB=6，DE=2，BC=3；D．AD=4，AB=6，AE=2，AC=3．5．一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（）A．19 B．17 C．24 D．216．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度(

)A．增大1.5米

B．减小1.5米

C．增大3.5米

D．减小3.5米7．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝，CD＝，点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为，则点P的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4第II卷（非选择题）二、解答题8．如图，在中，点分别在上，，，，与交于点.（1）求证：；（2）连接，求证：.9．已知：.（1）求代数式的值；（2）如果，求的值.10．解方程：.11．在△ABC中，已知BC=6，BC边上中线AD=5.点P为线段AD上一点（与点A、D不重合），过P点作EF∥BC，分别交边AB、AC于点E、F，过点E、F分别作EG∥AD，FH∥AD，交BC边于点G、H．（1）求证：P是线段EF的中点；（2）当四边形EGHF为菱形时，求EF的长；（3）如果sin∠ADC=，设AP长为x，四边形EGHF面积为y，求y关于x的函数解析式及其定义域．12．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,CD=6，BC=4，∠ABD=∠C，P是CD上的一个动点(P不与点C点D重合),且满足条件:∠BPE=∠C,交BD于点E.（1）求证：△BCP∽△PDE；（2）如果CP=x,BE=y，求y与x之间的函数关系式；（3）P点在运动过程中，△BPE能否成为等腰三角形，若能，求x的值，若不能，说明理由.13．已知：如图，直线y=kx+2与x轴的正半轴相交于点A（t,0）、与y轴相交于点B，点C在第三象限内，且AC⊥AB，AC=2AB．（1）当t=1时，求直线BC的表达式；（2)点C落在直线：y=-3x-10上，求直线CA的表达式.14．如图，已知AD=2，DB=1,∠ACD=∠B,∠BAC的平分线分别交CD、BC于F、E.（1）求AC的值（2）求的值.15．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．原题：如图1，在▱ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若=3，求的值．（1）尝试探究在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是，CG和EH的数量关系是，的值是（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若=m（m≠0），则的值是（用含m的代数式表示），试写出解答过程．（3）拓展迁移如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若=a，=b（a＞0，b＞0），则的值是（用含a，b的代数式表示）．16．如图，已知在△中，是边上的中线，设，；（1）求（用向量的式子表示）（2）如果点在中线上，求作在方向上的分向量；（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）17．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为ts，正方形和梯形重合部分的面积为Scm2．（1）当t=_________s时，点P与点Q重合；（2）当t=_________s时，点D在QF上；（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数关系式．三、填空题18．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF．如果△DEF与△ABC相似（相似比不为1），那么△DEF的面积为______．19．已知点P是线段AB上的一点，且，如果AB=10cm，那么BP=_____cm20．如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为____________21．化简：______．22．如图，在中，点、分别在、上，且，若，，那么______．23．如图，在口ABCD中，点F是AB的中点，点E在BC上，且BC＝3BE，设，，那么将下列向量表示、的分解式：（1）________；（2）________；（3）________；（4）________．24．如图，若点G是△ABC的重心，GD∥BC，则=__________．25．如图，在等边三角形ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝1，CD＝，则△ABC的边长为____．26．如果两个相似三角形周长的比是2:3，那么它们面积的比是________.27．如图，M是▭ABCD的AB的中点，CM交BD于E，则图中阴影部分的面积与▱ABCD的面积之比为_____．28．在中，，G是的重心，过G作边BC的平行线交AC于点H，则GH的长为_________.29．如果两个相似三角形的面积之比是9：25，其中小三角形一边上的中线长是12cm，那么大三角形对应边上的中线长是_________cm.30．如图，AD∥EF∥BC，，DF＝6cm，则DC＝_________cm.31．如图，AB//CD，AD与BC相交于点E，如果AB=2，CD=6，AE=1，那么DE=_________．32．如图，平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE．若的面积为a，则平行四边形ABCD的面积为___（用a的代数式表示）．33．若，则＝_____．34．如图，在平行四边形ABCD中，AD=10cm，CD=5cm，E为AD上一点，且BE=BC，CE=CD，则DE=_____cm参考答案1．B解析：分析：根据角平分线的性质，推出角相等，再得出边相等，判断出①②正确，再利用三角形不相似，排除其它选项，最后得解．【详解】解：如图，∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD∴∠ABE=∠CBE，∠ABE=∠CBE．∵CD∥BA，∴∠ABC+∠BCD=180°．∴∠BEC=∠D=∠A=90°．则有△CED∽△BEA∽△CBE,∴①正确，③正确；无法证明CD=DE，故②不正确；故④CE2=CD×BC正确；故BE2=AE×BC不正确．因此只有①②④正确．故选B．【点睛】本题利用了平行线的性质，角的平分线的性质，等边对等角，相似三角形的判定和性质求解．2．D解析：分析：分两种情况：①△ABC∽△CDB，②△ABC∽△BDC；根据相似三角形的对应成比例，从而可求得BD的长．【详解】解：分两种情况：

①∵△ABC∽△CDB，

∴，

即，∴BD=；

②由勾股定理得：AB==4，

∵△ABC∽△BDC，

∴，即，

解得：BD=；

综上可知：BD的长为；或

故选：D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质、勾股定理；熟练掌握相似三角形的性质是解决问题的关键．3．B分析：由位似图形的定义即可判断①；位似图形不一定要经过平移，可判断②；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可判断③；相似多变形的面积比等于相似比的平方，可判断④.【详解】解：位似图形不仅相似，并且对应点之间的连线均相交于同一点，对应的边相互平行，故①正确；位似图形不一定要经过平移，故②错误；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故③正确；相似多变形的面积比等于相似比的平方，面积比为4:9，则周长的比应为2:3，故④错误；正确的是①和③，故选择B.【点睛】本题考察了位似的定义以及相似的性质.4．C解析：根据平行线分线段成比例定理，分别求得各对应线段的比，比相等，即可判定DE与BC平行．注意排除法在解选择题中的应用．如图所示，A，由AD=6，BD=4，得，由AE=2.4，CE=1.6，得，所以，所以△ADE∽△ABC，所以∠ADE=∠ABC，所以DE∥BC；B，由DB=2，AB=6，得，由CE=1，AC=3得，所以，所以△ADE∽△ABC，所以∠ADE=∠ABC，所以DE∥BC；C，△ABC中，由AD=4，AB=6，得，由DE=2，BC=3得，但是DE与BC不一定平行，（如下图）；D，由AD=4，AB=6，得，由AE=2，AC=3得，所以，所以△ADE∽△ABC，所以∠ADE=∠ABC，所以DE∥BC，故选C．点睛：平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例．其逆命题是假命题，不一定成立．5．C【详解】试题分析：设另一个三角形的最短边为x，第二短边为y，根据相似三角形的三边对应成比例，知，∴，，∴．故选C．考点：相似三角形的性质．6．D【详解】试题分析：设小明在A处时影长为x，B处时影长为y．∵AC∥OP，BD∥OP，∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，∴，，则，∴x=5；，∴y=1.5，∴x﹣y=3.5，故变短了3.5米．故选D．考点：中心投影．7．B解析：首先作出AB、AD边上的点P（点A）到BD的垂线段AE，即点P到BD的最长距离，作出BC、CD的点P（点C）到BD的垂线段CF，即点P到BD的最长距离，由已知计算出AE、CF的长与比较得出答案．解：过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F，∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠CDF=90°-∠ADB=45°，∵sin∠ABD=，∴AE=AB?sin∠ABD=2?sin45°=2?=2＞，所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为的点2个，∵sin∠CDF=，∴CF=CD?sin∠CDF=?=1＜，所以在边BC和CD上没有到BD的距离为的点，所以P到BD的距离为的点有2个，故选B．此题考查的知识点是解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是先求出各边上点到BD的最大距离比较得出答案．8．（1）证明见解析；（2）证明见解析.分析：（1）根据已知条件先证明DG∥AC，EF∥AB，可得∠HGF=∠C，∠HFG=∠B，即可证明△HFG∽△ABC，从而可得结论；（2）连接DF，EG，DE，证明四边形DFGE和ADHE是平行四边形，即可证得结论.【详解】∵AB=3AD，BF=FG=CG，∴BD=2AD，BG=2CG，∴,∴DG∥AC,同理可得，EF∥AB，∴∠HFG=∠ABC，∠HGF=∠ACB，∴△HFG∽△ABC，∴，即；（2）连接，DE,如图所示，∵EF∥AB，∴,∵GF=FB∴=1，∴GH=HD，同理可证，FH=EH，∴四边形DFGE是平行四边形，∴DF∥EG，∴∠FDG=∠EGD，∴∠FHG=∠EGH+∠HEG，∵∠DHE=∠FHG，∴∠DHE=∠EGH+∠HEG=，由EF∥AB，DG∥AC,得四边形ADHE是平行四边形，∴∠A=∠DHE，∴【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例的判定与性质，以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握相减的判定与性质是解决此题的关键.9．（1）1；（2）分析：（1）设a=2k，b=3k，c=5k，代入代数式，即可求出答案；（2）把a、b、c的值代入，求出即可．【详解】∵∴设a=2k，b=3k，c=5k，（1）；（2）∵∴6k-3k+5k=24，∴k=3，∴a=2×3=6，b=3×3=9，c=5×3=15.【点睛】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力．10．解析：分析：先设2x2-3x=a，4=b，x2+x=c，-1=d，再根据分合比的性质列方，最后根据解一元二次方程的方法，求解即可.【详解】设2x2-3x=a，4=b，x2+x=c，-1=d，则原方程变为应用分合比性质：则，即bc=ad，即4（x2+x）=-2x2+3x解得经检验都是原方程的根.【点睛】本题考查分合比性质解一元二次方程，学生们需要认真分析.11．（1）证明见解析；（2）；（3）y=-x2+5x(0<x<5)解析：试题分析：（1）利用EF∥BC，得出△AEP∽△ABD，△AFP∽△ACD，得出，又BD=CD，则得出结论；（2）由EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，得出（相似三角形对应中线的比等于对应边的比），则可求出EF；（3）过点P作PQ⊥BC于Q，易知四边形EGHF是平行四边形，根据S四边形EGHF=GH×PQ=EF×PQ=y，利用△AEF∽△ABC，求得EF，利用sin∠ADC=求得PQ，则可得y关于x的关系式.解：（1）∵EF∥BC，∴△AEP∽△ABD，△AFP∽△ACD，∴，，∴，又∵BD=CD，∴EP=FP，即P是EF中点．（2）∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，设EF=a，则EG=EF=a，∵EG∥AD，EF∥BC，∴四边形EGDP是平行四边形，∴PD=EG=a，∴AP=AD-PD=5-a，∴，解得，即EF=．（3）如图，过点P作PQ⊥BC于Q，∵△AEF∽△ABC，∴，即，解得EF=.∵sin∠ADC==，∴PQ=×PD=（5-x）.∵EG∥AD，FH∥AD，∴EG∥FH，又∵EF∥BC，∴四边形EGHF是平行四边形．∴GH=EF，∴S四边形EGHF=GH×PQ=EF×PQ=y=×（5-x）=-x2+5x，其中0<x<5.12．（1）证明见解析（2）（3）当x=2或时，△BPE为等腰三角形解析：（1）根据已知条件先得出∠BPD=∠PBC+∠C，然后求出∠PBC=∠EPD即可得证；（2）由（1）的结论得出，把CP=x,，BE=y，BD=BC=4，CD=6代入此式即可求出y与x之间的函数关系式；（3）分当BP=PE，则△BCP≌△PDE，求出x，当BE=PE，证出△BEP∽△CBD求出x；当BP=BE，可推出∠BPE=∠PEB>∠CDB，矛盾.解：(1)证明:因为AB∥DC，所以∠ABD=∠BDC因为∠ABD=∠C，所以∠BDC=∠C因为∠BPD=∠BPE+∠EPD∠BPD=∠PBC+∠C又因为∠BPE=∠C所以∠PBC=∠EPD所以△BCP∽△PDE(2)因为△BCP∽△PDE所以,因为CP=x,BE=y，BD=BC=4,CD=6所以DP=6-x,DE=4–y所以,所以(3)(ⅰ)若BP=PE，则△BCP≌△PDE，所以PD=BC=4,所以x=2(ⅱ)若BE=PE，则∠BPE=∠PBE=∠C=∠CDB，所以△BEP∽△CBD，PE：PB=BC：CD=2：3又因为PD：BC=PE：PB即（6-x）：4=2：3，所以x=(ⅲ)若BP=BE，则∠BPE=∠PEB>∠CDB，矛盾.所以，当x=2或时，△BPE为等腰三角形.“点睛”此题考查了相似三角形的判定（平行于三角形一边的直线截另两边所得三角形与原三角形相似）与性质（相似三角形的对应边成比例）．此题很简单，解题时要注意细心．13．（1）（2）y=x-2解析：（1）先证ΔAOB∽ΔACH求出C点的坐标，设BC为y=k1x+b将B、C代入即可求出直线BC的表达式；（2）由（1）可知ΔAOB∽ΔACH，求出A、C的坐标代入AC为，即可求出直线CA的表达式.解：（1）过H作CH⊥x轴，垂足为H，由题意得，当t=1时，A(1,0),OA=1，B（0，2），OB=2AC⊥AB，∠BAC=90°，∠BAO+∠CAH=90°∠BAO+∠OBA=90°∠ABO=∠CAH在ΔAOB与ΔACH中，∠ABO=∠CAH∠AOB=∠CHA与ΔAOB∽ΔACHCH=2,AH=4,C(-3,-2)设BC为y=k1x+b,代入B（0，2）,C(-3,-2)得，解得，(2)由（1）可知ΔΔAOB∽ΔACHCH=2t,AH=4,C(t-4,-2t)又C在直线：y=-3x-10上，t=2C（-2，-4），A（2，0）设AC为,代入A（2，0）,C(-2,-4)，解得，14．（1）（2）解析：由∠ACD=∠B，∠BAC=∠BAC，推出△ACD∽△ACB，于是得到=，求得AC=，根据AE平分∠BAC，得到∠BAE=∠CAE，推出△ABE∽△ACF，即可得到结论.解：（1）∵∠ACD=∠B，∠BAC=∠BAC，∴△ACD∽△ACB，∴=，∴AC2=AB×AD=6，∴AC=.(2)AE平分∠BAC,∠BAE=∠CAF,而∠ACD=∠B，ΔABE∽ΔACF,，.15．（1）AB=3EH；CG=2EH；．（2）．（3）ab．【详解】试题分析：（1）本问体现“特殊”的情形，=3是一个确定的数值．如答图1，过E点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH来表示，最后求得比值；（2）本问体现“一般”的情形，=m不再是一个确定的数值，但（1）问中的解题方法依然适用，如答图2所示．（3）本问体现“类比”与“转化”的情形，将（1）（2）问中的解题方法推广转化到梯形中，如答图3所示解：（1）依题意，过点E作EH∥AB交BG于点H，如图1所示．则有△ABF∽△EHF，∴==3，∴AB=3EH．∵▱ABCD，EH∥AB，∴EH∥CD，又∵E为BC中点，∴EH为△BCG的中位线，∴CG=2EH．∴．故答案为AB=3EH；CG=2EH；．（2）如图2所示，作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB．∴．∴AB=mEH．∵AB=CD，∴CD=mEH．∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG．∴=2，∴CG=2EH．∴=．故答案为．（3）如图3所示，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD．∵EH∥CD，∴△BCD∽△BEH，∴=b，∴CD=bEH．又，∴AB=aCD=abEH．∵EH∥AB，∴△ABF∽△EHF，∴=ab．故答案为ab．考点：相似形综合题．16．（1）；（2）见解析.分析：（1）根据AD是边BC上的中线可得BD=BC,可得,根据可求出；（2）利用平行四边形法则，即可求得在方向上的分向量.【详解】（1）因为AD是边BC上的中线，所以BD=BC,所以,因为，所以；（2）如图，过点E作EM∥BC，EN∥AB，就是在方向上的分向量.【点睛】本题主要考查平面向量和平行四边形法则，解题的关键是掌握平行四边形法则画出分向量.17．（1）1（2）（3）解析：试题分析：（1）当点P与点Q重合时，AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=2，∴t+t=2，解得t=1s，故填空答案：1．（2）当点D在QF上时，如答图1所示，此时AP=BQ=t．∵QF∥BC，APDE为正方形，∴△PQD∽△ABC，∴DP：PQ=AC：AB=2，则PQ=DP=AP=t．由AP+PQ+BQ=AB=2，得t+t+t=2，解得：t=．故填空答案：．（3）当P、Q重合时，由（1）知，此时t=1；当D点在BC上时，如答图2所示，此时AP=BQ=t，BP=t，求得t=s，进一步分析可知此时点E与点F重合；当点P到达B点时，此时t=2．因此当P点在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，其运动过程可分析如下：①当1＜t≤时，如答图3所示，此时重合部分为梯形PDGQ．此时AP=BQ=t，∴AQ=2﹣t，PQ=AP﹣AQ=2t﹣2；易知△ABC∽△AQF，可得AF=2AQ，EF=2EG．∴EF=AF﹣AE=2（2﹣t）﹣t=4﹣3t，EG=EF=2﹣t，∴DG=DE﹣EG=t﹣（2﹣t）=t﹣2．S=S梯形PDGQ=（PQ+DG）•PD=[（2t﹣2）+（t﹣2）]•t=t2﹣2t；②当＜t＜2时，如答图4所示，此时重合部分为一个多边形．此时AP=BQ=t，∴AQ=PB=2﹣t，易知△ABC∽△AQF∽△PBM∽△DNM，可得AF=2AQ，PM=2PB，DM=2DN，∴AF=4﹣2t，PM=4﹣2t．又DM=DP﹣PM=t﹣（4﹣2t）=3t﹣4，∴DN=（3t﹣4）．S=S正方形APDE﹣S△AQF﹣S△DMN=AP2﹣AQ•AF﹣DN•DM=t2﹣（2﹣t）（4﹣2t）﹣×（3t﹣4）×（3t﹣4）=﹣t2+10t﹣8．综上所述，当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，S与t之间的函数关系式为：S=．考点：相似形综合题；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．点评：本题是运动型综合题，涉及到动点与动线问题．第（1）（2）问均涉及动点问题，列方程即可求出t的值；第（3）问涉及动线问题，是本题难点所在，首先要正确分析动线运动过程，然后再正确计算其对应的面积S．本题难度较大，需要同学们具备良好的空间想象能力和较强的逻辑推理能力．18．；分析：根据小正方形的边长，分别求出和三边的长，然后判断它们是否对应成比例，再用三角形面积公式求解即可.【详解】如图，∵，∴∵，，∴∴∴∴故答案为：1【点睛】本题考查了在网格中画与已知三角形相似的三角形、三角形全等的判定以及三角形面积公式，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键.19．分析：根据黄金分割点的定义，可得BP=AB，代入数据即可得出BP的长度．【详解】解：∵点P在线段AB上，BP2=AP•AB，

∴点P为线段AB的黄金分割点，又AB=10cm，

∴BP=10×=（5）cm．

故答案为5.【点睛】此题考查了黄金分割，理解黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解决问题的关键．20．3a分析：通过证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质求出△BCA的面积为4a，计算即可．【详解】解：∵∠CAD=∠B，∠ACD=∠BCA，

∴△ACD∽△BCA，

∴,

∴，

解得，△BCA的面积为4a，

∴△ABD的面积为：4a-a=3a，

故答案为：3a．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．21．分析：根据向量的加减法法则计算即可.【详解】解：-=.【点睛】本题考查了向量的加减法，掌握运算法则是关键.22．分析：根据，得到，通过△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到DE：BC=AD：AB=4：7．【详解】解：∵S△ADE=4，S△BDE=3∴∴∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴DE：BC=AD：AB=4：7．

故答案为4：7．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，知道不等底同高的三角形的面积比等于底的比是解题的关键．23．分析：先利用平行四边形的性质求出各边之间的关系，再利用向量混合运算法则一一求出即可.【详解】由平行四边形ABCD可知：AD=BC，OC=AC，

因为点F是AB的中点，BC=3BE，

所以BA=2BF，BC=3BE.

(1)；

(2)；

(3)；

(4)，

.【点睛】本题考查向量的混合运算及其几何意义，是基础题．解题时要认真审题，注意数形结合思想的灵活运用．24．；解析：分析：延长AG交BC于E，根据重心的概念和性质得到BE=EC，，根据平行线分线段成比例定理得到比例式，计算即可．【详解】解：延长AG交BC于E，

∵点G是△ABC的重心，

∴BE=EC，,∵GD∥BC，,又BE=EC，.【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．25．3分析：根据等边三角形性质求出AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，推出∠BAP=∠DPC，证△BAP∽△CPD，得出，代入求出即可．【详解】∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠B=∠C=