2021-2022学年深圳第七某中学高一年级下册期中数学复习卷(附答案详解)

2021-2022学年深圳第七高级中学高一下学期期中数学复习卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知a,b,c满足a>b>0>c,则下列不等式成立的是()

22

A.ac>bcB.a+cVb+cC.ac<beD.-c<-c

2.设集合/={x|—1<%<1]>B={x\x2—2x<0},则AnB=()

A.{x|-1<%<2}B.{x|0<%<1]

C.{x|0<%<1}D.{x|l<%<2}

3.如图，在直三棱柱ABC-4当Ci中，^ACB：=90°,44i=2,AC=BC=1,则异面直线与

AC所成角的余弦值是()

A.在

5

B.渔

4

C.在

3

D.在

6

4.在△ABC中，若岳=2Z?sm4则B为()

yr127r_yr_pl5TT

A.-B.-C.一或一D.一或一

363366

5.在△ABC中，点。在BC边上，且丽=3配,AD=xAB+yAC.贝1()

A.x=y=|B.

Cr=|,y=[D.

6.已知1,m是两条不同的直线，Q是一个平面，且1〃a,则下列命题正确的是（）

A.若则m〃aB.若m〃a,则〃/m

C.若11m,则m1aD.若m1a,则11m

7.设落下是单位向量，且五・3=0，贝,（另一0的最小值为（）

A.—2B.>/2—2C.—1D.1-V2

8.在一个锐二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于到另一个平面的距离的2倍，则二面角大

小为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

9.已知a>0,b>0,且4a+b=ab,贝Ua+b的最小值为()

A.4B.9C.10D.4V2

10.海上有4B两个小岛相距10&km，从4岛望C岛和B岛所成的视角为60。，从B岛望C岛和4岛所

成的视角为75。，则B岛和C岛之间的距离BC=()km.

A.10B.10V3C.20D.10V2

11.在△ABC中，AB=4,BC=5,AC=6,则BC边上的高为（）

A.V7B.券C.2V7D.也

12.如图，在长方体ABC。一A'B'C'D'中，AB=6,AA'=

AD与8c所成的角等于()

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.己知单位向量五，3的夹角为拳k为+石与万一2方垂直，则上=.

14.已知a,b,c>0且a?+ab+ac+be=9,则2a+b+c的最小值为.

15.已知一个圆锥的母线和底面直径均为2cm,则此圆锥的全面积为cm2.

16.在平面四边形4BCD中，4B=3,BC=LCD=DA=4,则四边形2BCD面积的最大值为

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.在△ABC中，内角4,B,C的对边分别是a,b,c,且(a—b)2=c2—ab.

(1)求角C;

(2)若4ccos(A+])+bsinC=0,且a=l,求△4BC的面积.

18.已知向量了=(高，一生)，b=(2,cos2x)

(/)若xe(O,§,试判断五与石能否平行；

(II)若x6(0,§,求函数/(x)=a■石的最小值.

19.如图，直三棱柱ABC-4出口的侧棱长为1,AB=AC=1,BC=0，。是BC的中点.

(I)求证：4。JL平面％BCG；

(口)求证：&8〃平面

(ID)求三棱锥Bi-ADCi的体积.

20.已知圆B：(%-1)2+(y-l)2=2,过原点。作两条不同的直线。，6与圆B都相交.

(1)从B分别作k，6的垂线，垂足分别为4C,若瓦？.就=0，|R4|=\BC\,求直线4c的方程;

(2)若k，%，且k，%与圆8分别相交于P，Q两点，求A0PQ面积的最大值.

21.在四棱锥P—ABCD中，侧棱PD1底面4BCD,底面4BCD是正方形，若PD=M是PC的中

点.

(I)证明：PA〃平面BDM；

(n)求二面角B-DM-C的余弦值.

22.如图，在〃^=碎，肥=40米的直角三角形地块中划出一块矩形CT)崩地块进

行绿化.

(1)若要使矩形地块的面积不小于300后平方米，求3P长的取值范围；

(2)当矩形地块面积最大时，现欲修建一条道路恻，把矩形地块分成面积为1：3的两部分,

且点M在边3P上，点M在边3D上，求的最小值.

参考答案及解析

1.答案：c

解析：解：由a>b>0,c<0,

由不等式的基本性质得：ac<be,

故选：C.

当a>b>0,c<0,由不等式的基本性质得：ac<be,得解.

本题考查了不等式的基本性质，属简单题.

2.答案：B

解析：解：由B中不等式变形得：%(x-2)<0,

解得：0cx<2,即8={x|0<x<2},

•••/I={x|-1<%<1},

••ACiB={x|0<x<1},

故选：B.

求出8中不等式的解集确定出8,找出4与B的交集即可.

此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

3.答案：D

解析：

本题考查异面直线所成角的求法，考查了余弦定理，是基础题.

由4C7/A1C1，知ZGA1B是异面直线与AC所成角(或所成角的补角)，由此能求出异面直线与

4c所成角的余弦值.

解：连接DC】，

vAC/fA^,

・••4C14B是异面直线与4c所成角或其补角,

•・•在直三棱柱ABC-41B1G中，/-ACB=90°,AAt=2,AC=BC=1,

・•・AB=V1+1=V2»418=A/4+2=瓜,BC】=A/4+1=V5,A1C1=1,

...COSNG&B=佻由叱蛔=『=渔，

1A

2x/l1C1x141F2X1XV66

••・异面直线与4c所成角的余弦值为日

故选：D.

4.答案：C

解析:

本题主要考查正弦定理的运用.在三角形边、角问题中常与面积公式、余弦定理等一块考查，应注

意灵活运用。

解：•••遍£1=2加加4；.就=急

••・根据正弦定理亮=高

b_b

sinB更

.D6

：•sinB=——

2

...B=漾空

故选C.

5.答案：B

解析：

本题考查平面向量的基本定理的应用，属于基础题.

直接利用向量的运算法则化简求解即可.

解：在△ABC中，点。在BC边上，旦前=3反，AD=xAB+yAC

，.’,'—,,，■>*-Z'—,

AD=AB-VBD=ABA--BC

4

=AB+-(BA-{-AC)=工通+三前，

4、744

所以％=py=1，

44

故选：B.

6.答案：D

解析：

本题以命题真假的判断为载体，考查了空间直线与平面垂直、平行的判断和空间直线位置关系的判

断等知识点，属于中档题.

根据直线与平面平行的判定定理，得到A错误；根据直线与平面平行、垂直的性质定理，得到B,C

错误，力正确.

解：对于4,若，〃m,〃/a,且m在平面a夕卜，则可以得到m//a,但题设中没有mCa,故不一定m〃a,

故错误；

对于B,〃/a,mlfa,则/与?n可能平行、相交、异面，故错误；

对于C,〃/a,I1m,则m_La,也有可能平行、相交，故错误；

对于D,l//a,mla,则由线面平行、垂直的性质，可得IJ.m,故正确.

故选。.

7.答案：D

解析：

本题考查向量的数量积，向量的几何应用，属中档题.

由苍•3=0，可得五与5垂直，利用该式化简(方一。•@一。得1-不•0+石)，进而根据数量积结合

向量的几何意义求解最值.

解：•••五不=0，.•・日与方垂直，

(a-c)-(K-c)

=a-b-a-c-b-c+c2

=1—c-(a+b)>

求原式的最小值，即求机(五+w的最大值，

而当，与五+3共线且同向时，视①+均有最大值鱼.

(a-c)-(b-0的最小值为1一V2.

故选D

8.答案：A

解析：解：如图，点P是锐二面角a-［一夕中平77

面a内一点，//

PALI,交/于点A,PB10,交0于点B,////

•••4BJ.，，；.4PAB是二面角a-I-0的平面角，广

8

•・・点P到棱的距离等于到另一个平面的距离的2倍,

・•・PA=2PB,

CACPB1

，smZ-PAB=—=

PA2

・•・Z,PAB=30°.

•••二面角的大小是30。.

故选：A.

点P是锐二面角a-1—/?中平面a内一点，PA1I,交，于点4,PB1口,交0于点B,从而得到4B1

4P4B是二面角a-1一4的平面角，由此能求出二面角的大小.

本题考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三垂线定理的合理运用.

9.答案：B

解析：解：由a>0,b>0,且4a+b=ab,

可得1+~=1>

ba

则a+Z?=(Q+b)(*+，)=1+4+g+与

>5+2日.等=5+4=9.

yjab

当且仅当2=芈，即b=2a,又4a+b=Qb,

ab

解得a=3,b=6,a+b取得最小值9.

故选：B.

由条件可得：+3=l,即有a+b=(a+b)©+*=5+，费再由基本不等式可得最小值，注意

等号成立的条件.

本题考查基本不等式的运用：求最值，注意运用变形和乘1法，以及满足的条件：一正二定三等，考

查运算能力，属于中档题.

10.答案：B

解析：解：LA=60°,4B=45°,Z.C=180°-60°-75°=45°,AB=10V2fcm.

根据正弦定理刍=刍得BC=丝器=丫磐=10V3/cm.

stnAsinCsunCV2

2

故选从

先根据N4和48求出NC,进而根据正弦定理求得BC.

本题考查正弦定理的运用，考查利用数学知识解决实际问题，属于基础题.

11.答案：B

解析：解：设BC=x,贝i」CD=5-x,段

^Rt^ABD^,AD2=AB2-BD2,/

在RtAACD中，4。2=AC2-CO2,/X.

.-.AB2-BD2=AC2-CD2,即42-/=62-(5一乃2,--------------------

解得，%=p

AD=\lAB2-BD2=I16--=—.

\42

故选：B.

设80=X,根据勾股定理歹|J式AB?-BC>2=4。2-。。2,解得X即可.

本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b,斜边长为c,那么。2+炉=c2.

属于基础题.

12.答案：B

解析：

本题考查异面直线夹角问题，属基础题.

由8C〃4Z),知々I'ZM是AD与BC所成的角，由此能求出AD与BC所成的角.

•••BC//AD,

44'。力是AD与BC所成的角，

AB—6>AA'—BC—4,

AA'=AD=4,Y.AA'1AD,

•••/.A'DA=45°.

4'D与BC所成的角为45。.

故选:B.

13.答案：:

4

解析：解：•.•单位向量匕石的夹角为多届+石与日—2殛直，

(fca+K)-(a-2K)=/ca2+(l-2fc)a-K-2K2=0-

•••k+(1-2fc)cosY-2=0,

解得k=J.

4

故答案为：

4

由单位向量区3的夹角为与，々方+另与五-2另垂直，利用向量垂直的性质直接求解.

本题考查实数值的求法，考查向量垂直等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

14.答案：6

解析：解法一：,；Q(Q+b+c)+be=9,fa24-c2>2bc,

A(2a+b+c)2=4a2+Z?2+c2-|-4ab4-4ac4-2bc>4a2+4ab4-4ac4-4bc

=4[a(a+b+c)+be]=36,

又a,b,c>0,

故上式两边开方得，2a+Z?+c>6,

即2a+b+c的最小值为6.

解法二：Q2+由?+QC+be=9,因式分解为：(a+b)(a+c)=9.

又a,b,c>0,

・•・2a+b+c=(Q+b)+(a+c)N2j(a+b)(Q+c)=2V9=6,当且仅当a+b=a+c,即匕=

c>0时取等号.

即2Q+b+c的最小值为6.

故答案为：6.

解法一：由a(a4-b+c)+he=9,b2+c2>2bc,展开(2Q4-h+c)2=4a2+624-c2+4ab+4ac+

2bc,利用基本不等式的性质即可得出.

解法二：a?++ac+be=9,因式分解为：(a+/?)(Q+c)=9.又Q,b,c>0,对于2a+b+c=

(a+b)+(a+c),利用基本不等式的性质即可得出.

本题考查了基本不等式的性质、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

15.答案:37r

解析：解：圆锥的母线和底面直径均为2cm,所以圆锥的底面半径为1cm,

圆锥的全面积为S=nr2+nrl=7rxl24-7rxlx2=3n(cm2').

故答案为：37r.

根据圆锥的母线和底面直径，利用底面积+侧面积，即可求出圆锥的全面积.

本题考查了圆锥的表面积计算问题，是基础题.

16.答案：10百

解析：解：设8=a,D=0,

在^ABC中，由余弦定理知，AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosa=9+49-2x3x7cosa=58-

42cosa,

在小力C。中，由余弦定理知，=AD2+CD2_2AD.CD-cosB=16+16-2x4x4cos。=32-

32cos

58—42cosa=32—32cosB，B|J2lcosa—16cos0=13,

而四边形4BCD面积S=ShABC+ShACD=^AB-BC-sina+^AD-CD-sin。=|(21sina+16sin。),

令M=21cosa-16cosB=13,N=21sina+16shi0,

则“2+N2=212+162-2x21x16(cosacosB-sinasin/3)=697-672cos(a+夕)=169+N2，

N2=528-672cos(a+0),

••.当a+£=〃，N2取到最大值，为1200,即N的最大值为20百，

二四边形4BCD面积S=|(21sina+16s讥/?)<|x20V3=10V3.

故答案为：10H.

设B=a,D=0,在△4BC和△AC。中，均运用余弦定理，推出21cosa-16cos夕=13,而四边形48CD

面积S=](21sina+16sin£),令M=21cosa—16cos氏N=21sina+16sinp,结合同角三角函

数的平方关系、两角差的余弦公式，求得N的最大值，即可得解.

本题考查解三角形在平面几何中的应用，熟练余弦定理、正弦面积公式与两角和的余弦公式是解题

的关键，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题.

17.答案：(1)由(a—b)2=©2—ab,^a2+b2—c2=ab,

所以由余弦定理，得cosC=>+M-c2=9=J

2ab2ab2

又因为C£(0,兀),

所以c话;

(2)由,得4ccos(4+])+bsinC=0,得—4csinA+bsinC=0,

由正弦定理，得4ca=be.

因为cH0,所以4a=b,

又因a=l,所以匕=4,

所以△力8c的面积S=-absinC=ixlx4x—=y/3-

222

解析：（1）化简已知可得。2+垓一。2=。4再结合余弦定理可求角C；

（2）化简已知并结合正弦定理可得b=4a,求出a,b,进而求得面积.

本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角函数恒等变换的应用解三角形中的综合应用，考查计算

能力和转化思想，属于中档题.

18.答案：解：（I）向量胃=（*，一*），b-（2,cos2x），

若五与方平行，则与gcos2”急2,

因为工€(0,§,sinx0,所以得cos2x=-2,

这与|cos2%|<1相矛盾,

故力与了不能平行..・・（6分）

（□）..・向量五=（a,一丘）,b=(2,cos2%)，

-7*2-cos2x2-cos2xl-2sin2x,1

f(x')=a-o=-——I--：——=-：----=——：----=2osmx+-：-，

sinxsinxsinxsinxsinx

又•・,x€(0,§，：.sinxE(0,争,

・・,25勿%+加之

^2sinx=—即sinx=4时取等号.

故函数/（%）的最小值等于2&..・.（12分）

解析：（I）若五与石平行，则cos2x=-2,与|cos2x|W1相矛盾，从而力与方不能平行.

（n）/（x）=a-b=2sinx+—,由2s讥％+」一N2hsinx--=2遮，能求出函数/（%）的最小值.

sinxsinxyjsinx

本题考查向量是否平行的判断，考查函数的最小值的求法，考查向量平行、向量数量积公式等基础

知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

19.答案：（I）证明：•••三棱柱ABC-&B1C1是直三棱柱，

B1B_L底面4BC,

XvADu平面ABC,

B1B1AD,

又AB=AC=1,BC=V2,即三角形ABC是以A为直角的等腰直角三角形.

。是BC的中点，

.-.AD1BC,而=B$、BCu平面&BCG，

.-.AD_L平面B$CCi；

（H）证明：连接&c交4G于o,连接OD,

・•・点。是矩形Z14CC1对角线的交点，

。是&C的中点，

又•••。是BC的中点，

0D//ArB,

•••。。u平面ZDG，4窗仁平面4。6，

.••4避〃平面4DG；

（皿）解：由（I）知,4D1平面B1BCG，

•••力。为三棱锥4-B1Q0的高，

又TAB=AC=1,BC=V2.。是BC的中点，

AD=—,

2

"SABIQD=-x1Xy/2='

则/1-4DC1==|xyxy=^-

解析：本题考查空间中直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，

训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题.

（I）由三棱柱4BC-&B1C1是直三棱柱，得B]B1底面4BC,则当814。，再由AB=AC,D是8c的

中点，可得力D_LBC,贝HAD平面/BCG；

（口）连接41（7交46于。，连接。£）,可得。。〃4/，再由线面平行的判定可得&B〃平面ZDG：

（HI）由（I）知，平面BiBCG，贝IJ4D为三棱锥4-BiGD的高，求出三角形当白。的面积，由等

积法求三棱链&-40cl的体积.

20.答案：解：（1）由平面几何知识可知04BC为正方形，0B中点为G，｝,。8斜率为1,

•••AC：x+y-1=0.

（2）•；OP10Q,PQ为圆B的直径，±L|OB|=\BP\=\BQ\=yf2,设40PQ=8,

则|OP|=2V^cos。，|0Q|=2近sin。，

OPQ的面积S=1•\0P\'|0<2|=|-2五cosQ-2夜sine=2sin20<2,

当且仅当。=即寸，S取得最大值2.

解析：（1）由平面几何知识可知04BC为正方形，0B中点为0B斜率为1,即可求直线4c的方

程；

（2）若，11，2，且，1，，2与圆B分别相交于P，Q两点，△0。<2的面积5=?|。尸|・|0（2|=92鱼的外

2\[2sind=2sin26<2,即可求△OPQ面积的最大值.

本题考查直线方程，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

21.答案：（I）证明：连结力C,交BD于0,连结M0,

•.•底面4BCD是正方形，M是PC的中点，

。是ZC的中点，

•••M。是A4PC的中位线，

MO//AP,

vPA仁平面BDM,MOu平面8DM,

•••P4〃平面BDM.

（口）解：P01底面ABCO,DA,OCu