2024-2025学年高中数学 第1章 立体几何初步 6 垂直关系 6.1 垂直关系的判定（教师用书）教案 北师大版必修2VIP

2024-2025学年高中数学第1章立体几何初步6垂直关系6.1垂直关系的判定（教师用书）教案北师大版必修2主备人备课成员教学内容本节选自2024-2025学年高中数学第1章“立体几何初步”中的6.1节“垂直关系的判定”，以北师大版必修2为教材。教学内容主要包括以下方面：首先，通过具体图形引导学生理解垂直关系的定义；其次，教授并练习几种常见的垂直关系判定方法，如对边垂直判定、对角线垂直判定和高线垂直判定等；最后，结合实例，让学生掌握如何在实际问题中应用垂直关系判定定理，并解决相关问题。教学过程中，注重培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力，提高学生对立体几何基础知识的掌握和应用。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理和空间想象等核心素养。通过探究垂直关系的判定，使学生能够抽象出几何图形的垂直属性，形成严谨的逻辑推理能力；加强学生对立体图形的认识，提高空间想象力；在实际问题中运用判定方法，增强数学应用意识，培养解决复杂问题的能力。同时，注重发展学生的数据分析和几何直观，为后续学习打下坚实基础。教学难点与重点1.教学重点

（1）垂直关系的定义及性质：理解垂直关系的本质，掌握其基本性质，如直角形成、对边垂直等。

举例：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，证明线段A1D与平面ABCD垂直。

（2）垂直关系的判定方法：熟练掌握并运用对边垂直判定、对角线垂直判定和高线垂直判定等方法。

举例：在三角形ABC中，若AB⊥BC，AC⊥BC，证明AB∥AC。

（3）垂直关系在实际问题中的应用：学会将垂直关系应用于解决实际问题，如空间几何体的表面积、体积计算等。

举例：求长方体ABCD-A1B1C1D1的体积。

2.教学难点

（1）空间想象能力：在三维空间中，学生需要具备较强的空间想象力，才能更好地理解垂直关系及其判定方法。

突破方法：利用实物模型、计算机软件等辅助工具，帮助学生直观地感受和理解垂直关系。

（2）逻辑推理能力：在证明垂直关系时，学生需要运用严密的逻辑推理，从已知条件推导出结论。

突破方法：引导学生通过画图、列出已知和求解步骤，逐步培养其逻辑推理能力。

（3）综合应用能力：将垂直关系应用于解决实际问题，涉及多个知识点，学生需要具备一定的综合应用能力。

突破方法：设置典型例题和练习题，让学生在实际操作中学会运用垂直关系解决问题。

（4）对垂直关系判定方法的灵活运用：学生在掌握基本判定方法的基础上，需要学会根据不同几何图形的特点，灵活运用判定方法。

突破方法：通过多种几何图形的举例，让学生理解判定方法之间的联系与区别，提高其灵活运用能力。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与手段1.教学方法

（1）讲授法：以讲解为主，结合具体实例，系统地传授垂直关系的定义、性质及判定方法，使学生在短时间内掌握核心知识。

例如：通过讲解长方体模型，让学生理解垂直关系的性质及判定方法。

（2）讨论法：针对课程难点和实际问题，组织学生进行小组讨论，培养学生主动思考、合作解决问题的能力。

例如：针对某一具体几何图形，让学生分组讨论如何判定其中的垂直关系。

（3）实验法：引导学生通过实际操作，观察和验证垂直关系的判定方法，提高学生的实践操作能力。

例如：让学生使用三角板和直尺等工具，动手制作模型，验证垂直关系的判定方法。

2.教学手段

（1）多媒体设备：利用PPT、几何画板等多媒体教学工具，展示立体几何图形，使抽象的几何关系形象化、直观化。

例如：通过PPT展示不同几何图形的垂直关系，帮助学生更好地理解判定方法。

（2）教学软件：运用教学软件，如Mathematica、3D绘图软件等，构建三维模型，让学生从不同角度观察几何体，提高空间想象力。

例如：使用3D绘图软件绘制长方体，让学生从不同角度观察垂直关系。

（3）网络资源：充分利用网络资源，为学生提供丰富的学习资料，拓展学生的知识面，提高自主学习能力。

例如：推荐学生观看在线教育视频，了解立体几何中垂直关系的实际应用。教学流程一、导入新课（用时5分钟）

同学们，今天我们将要学习的是“垂直关系的判定”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过什么是垂直的情况？”比如，我们常见的墙壁和地面，它们之间的关系就是垂直的。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索垂直关系的奥秘。

二、新课讲授（用时10分钟）

1.理论介绍：首先，我们要了解垂直关系的基本概念。垂直关系是指两条直线或线段在空间中相交成直角的关系。它在几何学中具有重要作用，如判断几何体的形状和计算表面积等。

2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以长方体为例，分析其各个面之间的垂直关系，以及如何帮助我们解决实际问题。

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调垂直关系的判定方法及其在实际中的应用。对于难点部分，如空间想象能力和逻辑推理，我会通过举例和比较来帮助大家理解。

三、实践活动（用时10分钟）

1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与垂直关系相关的实际问题，如建筑物中的垂直结构。

2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用三角板和直尺搭建垂直关系模型。

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。

四、学生小组讨论（用时10分钟）

1.讨论主题：学生将围绕“垂直关系在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。

2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。

五、总结回顾（用时5分钟）

今天的学习，我们了解了垂直关系的基本概念、判定方法以及在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对垂直关系的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。拓展与延伸1.拓展阅读材料

-《立体几何中的垂直关系及其应用》：深入探讨垂直关系在立体几何中的应用，包括几何体的表面积和体积计算等。

-《几何画板在立体几何教学中的应用》：介绍如何利用几何画板软件辅助教学，特别是在垂直关系判定和空间几何体展示方面的应用。

-《生活中的垂直关系》：收集和整理了日常生活中各种垂直关系的实例，帮助学生更好地理解几何知识在实际生活中的应用。

2.课后自主学习和探究

-研究长方体、正方体等常见几何体的垂直关系，探讨它们在结构稳定性和空间利用方面的作用。

-探索垂直关系在建筑设计中的应用，如高层建筑的垂直结构设计，以及如何影响建筑物的稳定性和抗震性。

-尝试使用计算机软件（如CAD、SketchUp等）绘制三维模型，模拟和验证垂直关系的判定方法。

-研究垂直关系在桥梁工程中的应用，分析不同类型的桥梁如何利用垂直结构来提高承重能力和稳定性。

-探索垂直关系在自然界的应用，如植物的生长方向、动物的建筑行为等，理解自然界中几何原理的奇妙体现。

鼓励学生在课后通过阅读拓展材料和进行自主探究，进一步深化对垂直关系的理解，提高空间想象能力和解决问题的能力。同时，通过将几何知识与现实生活相结合，培养学生对几何学的兴趣和认识，增强数学学科的实用性和生活化。教学反思在今天的课堂中，我们探讨了立体几何中的垂直关系及其判定方法。整体来看，学生们对于这个概念的理解还是不错的，但在实际应用上，部分学生似乎还显得有些吃力。我发现，通过具体案例的引入和讲解，学生们能够更快地抓住垂直关系的特点，但在独立操作和解决问题时，他们的空间想象能力和逻辑推理能力还有待提高。

课堂上，我尝试运用了多种教学方法和手段，比如讲授法、讨论法和实验法，以及多媒体设备和教学软件，希望以此来激发学生的学习兴趣，提高他们的参与度。从学生的反应来看，这些方法确实起到了一定的效果，但我也注意到，对于一些抽象的概念，仅仅依靠视觉和听觉的刺激是不够的，还需要让学生动手操作，亲身体验。

在实践活动和小组讨论环节，我发现学生们在合作中能够更好地发挥自己的优势，互相学习，共同解决问题。不过，我也观察到有些学生在讨论中较为被动，可能是因为他们对知识点掌握得不够牢固，或者是对自己的观点缺乏信心。在未来的教学中，我需要更多地关注这些学生，鼓励他们积极参与，勇敢表达自己的观点。

此外，我还发现，对于垂直关系的判定方法，虽然我强调了重点和难点，但学生们在实际应用中仍然存在一些误区。这可能是因为我在讲解过程中没有足够地细化这些方法，或者是缺乏足够的练习来巩固这些知识点。因此，我计划在接下来的课程中，增加一些针对性的练习，帮助学生更好地掌握这些判定方法。板书设计①重点知识点：

-垂直关系的定义与性质

-垂直关系的判定方法

1.对边垂直判定

2.对角线垂直判定

3.高线垂直判定

-垂直关系在实际问题中的应用

②重点词句：

-“直角相交即为垂直”

-“判定方法：观察、推理、验证”

-“空间几何体中的垂直结构”

③艺术性与趣味性：

-使用不同颜色粉笔，突出重点和难点，如用红色标注“垂直”关键词，用蓝色表示判定方法。

-利用简笔画或几何图形，直观展示垂直关系，如绘制直角三角形、长方体等。

-设计有趣的互动环节，如让学生上黑板用磁铁和直尺搭建垂直模型，增加课堂趣味性。

-在板书设计中融入数学故事或历史背景，如介绍古希腊数学家如何研究垂直关系，激发学生的兴趣。作业布置与反馈1.作业布置

-填空题：完成教材中的练习题，巩固垂直关系的定义和性质。

-选择题：从给定选项中选择正确的垂直关系判定方法，如对边垂直、对角线垂直等。

-解答题：解决实际应用问题，如计算长方体的体积，分析垂直关系在其中的作用。

-创新题：设计一个几何体，并解释