2025届高考数学二轮复习专题突破-平面向量中的最值问题含解析

Page261．已知是顶角为，腰长为2的等腰三角形，为平面内一点，则的最小值是A． B． C． D．【分析】依题意，作图，则，要使最小，则，最小，且最大，从而可得答案．【解答】解：设的中点为，依题意，，，且，，，要使最小，则，最小，且使得，最小时最大，当与共线反向时，最小为，且此时，的最小值是，故选：．【点评】本题考查平面对量数量积的运算，考查平面对量数量积的应用，突出考查作图实力与逻辑推理实力，属于难题．2．如图，在平面四边形中，，，，．若点为边上的动点，则的最小值为A． B． C． D．3【分析】如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，求出，，的坐标，依据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．【解答】解：如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，过点做轴，过点做轴，，，，，，，，，，，，，，，设，，，，，，当时，取得最小值为．故选：．【点评】本题考查了向量在几何中的应用，考查了运算实力和数形结合的实力，属于中档题．3．已知中，，若，则的最小值为A．7 B．9 C．16 D．25【分析】由题意画出图形，建立平面直角坐标系，再由平面对量的坐标运算求解．【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，则，，以为圆心，以1为半径的圆的方程为，可设，则，，．的最小值为7．故选：．【点评】本题考查平面对量数量积的性质及应用，考查运算求解实力，建系是关键，是中档题．4．已知，，是单位圆上不同的三点，，则的最小值为A．0 B． C． D．【分析】先建立平面直角坐标系，设，，求出对应点的坐标，然后结合平面对量数量积运算求解即可．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设，，又，则，所以，，所以，当时，取最小值，故选：．【点评】本题考查了平面对量数量积的运算，属基础题．5．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众宠爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形．设点为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为A． B．12 C． D．36【分析】建立直角坐标系，可得，设，表示出，再由三角函数的性质得解．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，圆的方程为，则可设，所以，所以，所以的最大值为．故选：．【点评】本题考查平面对量的数量积以及三角函数的图象及性质，考查运算求解实力，属于中档题．6．如图，在四边形中，，，，且，，则实数的值为，若，是线段上的动点，且，则的最小值为．【分析】以为原点，以为轴建立如图所示的直角坐标系，依据向量的平行和向量的数量积即可求出点的坐标，即可求出的值，再设出点，的坐标，依据向量的数量积可得关于的二次函数，依据二次函数的性质即可求出最小值．【解答】解：以为原点，以为轴建立如图所示的直角坐标系，，，，，，，，，设，，，，，，，解得，，，，，，，，设，则，其中，，，，，，当时取得最小值，最小值为，故答案为：，．【点评】本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．7．在边长为1的等边三角形中，为线段上的动点，且交于点，且交于点，则的值为1；的最小值为．【分析】设，表示出，，，利用数量积的定义与性质即可求出．【解答】解：如图，设，是边长为1等边三角形，，，，，，，是边长为等边三角形，，，则，，，的最小值为．故答案为：1，．【点评】本题考查向量的数量积的定义，向量的运算法则，二次函数求最值，属于中档题．8．已知正方形，，，，，，点关于直线对称的点为，则的最小值为0．【分析】利用点关于直线对称求出点坐标，结合对勾函数求出横坐标的取值范围，结合的轨迹，利用极化恒等式进行求解．【解答】解：由正方形建立如图示的平面直角坐标系，由题意得：，，，，则直线．设，则，解得所以．其中，所以在，上单调递增，所以，，从而，且当时，．此时当位于右端点与重合时，最高．又点，关于直线对称，所以，所以点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆弧，其中圆弧的上端点坐标为，如图所示．取的中点，连接，因为，两式平方后相加得：．要使的值最小，则须要最小．连接与圆弧交点即为最小的，此时由勾股定理得：，此时．过点作轴于点，则，所以，即故，即的横坐标为符合要求，故的最小值为：．故答案为：0．【点评】本题考查平面对量的数量积运算，考查学生的运算实力，属于中档题．类型二、向量模的最值问题9．已知向量、满意，，则的最小值是4，最大值是．【分析】通过记，利用余弦定理可可知、，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．【解答】解：记，则，如图，由余弦定理可得：，，令，，则、，其图象为一段圆弧，如图，令，则，则直线过、时最小为，当直线与圆弧相切时最大，由平面几何学问易知即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧所在圆的半径的倍，所以．综上所述，的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合实力，考查运算求解实力，涉及余弦定理、线性规划等基础学问，留意解题方法的积累，属于中档题．10．已知为单位向量，向量满意，则的最大值为A．4 B．5 C．6 D．7【分析】设，，依据向量满意，可得，的关系式，并得出，的取值范围，，依据函数的最值求解即可．【解答】解：设，，则，，，即，则，，所以，当时，取得最大值为6，即的最大值为6，故选：．【点评】本题考查了向量数量积的应用，将所求问题坐标化转化为函数的最值问题是解题关键．11．已知向量，满意，与的夹角为，则当实数改变时，的最小值为A． B．2 C． D．【分析】利用计算即可．【解答】解：设，则，当时，的最小值为．故选：．【点评】本题考查向量的运算，属中档题．12．已知非零平面对量，，满意，，若与的夹角为，则的最小值为A． B． C． D．【分析】利用肯定值三角不等式得到，然后求的最小值即可．【解答】解：由题可得，，所以要求的最小值，需求的最小值，因为与的夹角为，所以的最小值为，所以，即的最小值为．故选：．【点评】本题考查了平面对量数量积的计算，属于中档题．13．已知平面对量满意，且，则的最大值是__________．【答案】.【分析】由数量积得的值，设出、、，得到点C的轨迹方程，方法1：设出点C的参数坐标，代入转化为求三角函数的最大值即可得结果.方法2：设出点C的坐标，代入转化为求圆上的点到定点的距离的最大值即可得结果.【详解】∵，，，∴，又∵，∴，∴设，，，则，，∵，∴即：，∴，则点C的轨迹是以AB为直径的圆，又∵AB的中点，半径为∴点C的轨迹方程为：，①方法1：∴设，则，∴，∴.故答案为：.方法2：设，则，∴，∵的几何意义为：①上的点与点的距离，∴的最大值为：①的圆心到点M的距离与①的半径之和，即：，∴，故答案为：.14．已知平面对量，，满意⊥，且，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立直角坐标系，进而可得点C的轨迹，然后依据三角形相像将转为求线段和最短，然后依据数形结合即得.【详解】设，，则，，即C在以为圆心，2为半径的圆上，如图，取，则，又，所以有～，所以，又因为，，所以．故选：B.15．已知平面对量，，且，，向量满意，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可求得，，令，则，从而可得点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，令，则，然后结合图形可求出的最小值【详解】因为，，所以，因为，所以，如图，令，则，，所以，，因为，，所以，即，设，则点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，令，则，所以当，且C，P，Q三点共线时，取最小值，则，故选：A16．已知平面对量，，两两之间的夹角均相等，且，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依据题意确定向量两两间夹角为，利用条件求出，再求的平方即可得解.【详解】因为平面对量，，两两之间的夹角均相等，且两两之间的数量积为负数，所以两两之间的夹角均为，，且，则解得，所以，故.故选：B17已知平面对量满意：与的夹角为，记是的最大值，则的最小值是__________．【答案】【分析】设为AB中点，令，结合图形，利用向量的线性运算求出，转化为函数求最小值即可.【详解】如图，设为AB中点，令，则

①，因为，故有，

②，由①②得，从而，因为，所以，即点C在以AB为直径的圆E上.，，当且仅当时，即时等号成立.故答案为：18．已知平面对量满意：，，则的最小值为___________．【答案】##【分析】建立平面直角坐标系，设，，求出B的轨迹方程，再依据的几何意义求其最小值.【详解】如图，在平面直角坐标系中，设，，则A(1，0)，B(x，y)，则，，即的轨迹为抛物线：.设，则，＝，设，∵，故C的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，∴，可看作抛物线上随意点到以为圆心，半径为1的圆上任一点的距离，则，当时取等号.故的最小值为.故答案为：.19．已知平面对量、、满意，，，则的取值范围为______．【答案】【分析】设，，，作，，，则，求出线段的中点的轨迹方程为，可得出，设点，由结合向量模的三角不等式可求得的取值范围.【详解】如图，设，，，作，，，则，则，，，令，即，，整理得，故点的轨迹方程为，，设点，圆的方程为，半径为，因为，且，，所以，，.即，即.故的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查向量模的最值的求解，对于较为困难的题型，可以考虑将向量特别化、坐标化来处理，利用解析法结合平面几何的相关学问、向量模的三角不等式来求解.声22269117类型三、向量夹角的最值问题1．已知平面对量，满意，记与夹角为，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】设，则，，令，则，，由得，则，∴时，取得最大值，∴的最小值为．12．设，，若对，，则与的夹角等于（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】D【分析】对两边平方，然后转化为关于的二次不等式恒成立问题，利用判别式解答即可.【详解】，设，即，即对恒成立，即对恒成立，，解得，即，又，与的夹角等于150°，故选：D.13．已知向量，满意，，且对随意实数，不等式恒成立，设与的夹角为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平方法，结合平面对量数量积的运算性质和定义，结合一元二次不等式解集的性质、同角的三角函数关系式、正切的二倍角公式进行求解即可.【详解】要想不等式恒成立，只需，而，所以，即，则有，则有，所以，故选：D2.已知平面对量，满意，且对随意实数，有，设与夹角为，则的的最小值为.答案：【分析】由题意可设，由题意求出，依据向量的几何意义找到向量对应的点所在的区域，结合向量夹角的含义，找到与夹角最大时或夹角无限小时的位置，即可求得答案.【详解】由题意可设，则，由于对随意实数，有，故恒成立，即对随意实数恒成立，故，即，所以向量对应的点位于如图所示的直线外部的阴影区域内（含边界直线），设，，则,故，不妨假设向量对应的点在上部分区域内，则由图可以看到当对应的点位于处，即在直线上，且当时，最大，此时，所以，即最小值为，由图可以看到，当点沿直线向外运动或在阴影部分中向远处运动时，可以无限趋近于，故，因此的范围是，当点位于直线上或下方的区域内时，同理可求得的的最小值为。15．已知平面单位向量，满意．设，，向量，的夹角为，则的最小值是．【分析】设、的夹角为，由题意求出；再求，的夹角的余弦值的最小值即可．【解答】解：设、的夹角为，由，为单位向量，满意，所以，解得；又，，且，的夹角为，所以，，；则，所以时，取得最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了平面对量的数量积与夹角的运算问题，是中档题．类型四、向量与基本不等式交汇的最值问题2、在△ABC中，点P满意eq\o(BP,\s\up7(→))＝2eq\o(PC,\s\up7(→))，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若eq\o(AM,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))＝neq\o(AC,\s\up7(→))(m＞0，n＞0)，则m＋2n的最小值为()A．3 B．4C．eq\f(8,3) D．eq\f(10,3)【答案】A【详解】如图，易知eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BP,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,3m)eq\o(AM,\s\up7(→))＋eq\f(2,3n)eq\o(AN,\s\up7(→)).∵M，P，N三点共线，∴eq\f(1,3m)＋eq\f(2,3n)＝1，∴m＝eq\f(n,3n－2)，则m＋2n＝eq\f(n,3n－2)＋2n＝eq\f(6n2－3n,3n－2)＝eq\f(\f(2,3)3n－22＋\f(5,3)3n－2＋\f(2,3),3n－2)＝eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3n－2＋\f(1,3n－2)))＋eq\f(5,3)≥eq\f(2,3)×2＋eq\f(5,3)＝3，当且仅当(3n－2)＝eq\f(1,3n－2)，即m＝n＝1时等号成立．3．（多选题）中，为上一点且满意，若为线段上一点，且满意(，为正实数)，则下列结论正确的是（）A．B．C．的最大值为D．的最小值为答案：A、D解析：∵，，∴，∵，，三点共线，∴，∴，B错误；，∴，A正确；∴，∴，∴，当时，等号成立，C错误；，当时，等号成立，D正确．4．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是AB，AD上的动点，且满意2|eq\o(AM,\s\up7(→))|＋|eq\o(AN,\s\up7(→))|＝1，设eq\o(AC,\s\up7(→))＝xeq\o(AM,\s\up7(→))＋yeq\o(AN,\s\up7(→))，则2x＋3y的最小值为()A．48 B．49C．50 D．51【答案】B【解析】如图，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，C(4,3)，D(0,3)．设M(m,0)，N(0，n)，因为2|eq\o(AM,\s\up7(→))|＋|eq\o(AN,\s\up7(→))|＝1，所以2m＋n＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤m≤eq\f(1,2)，0≤n≤1)).因为eq\o(AC,\s\up7(→))＝xeq\o(AM,\s\up7(→))＋yeq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))，所以x＝eq\f(4,m)，y＝eq\f(3,n)，所以2x＋3y＝eq\f(8,m)＋eq\f(9,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(8,m)＋eq\f(9,n)))(2m＋n)＝25＋eq\f(8n,m)＋eq\f(18m,n)≥25＋24＝49，当且仅当eq\f(8n,m)＝eq\f(18m,n)，即m＝eq\f(2,7)，n＝eq\f(3,7)时取等号，故选B.14．平面对量满意，对随意的实数t，恒成立，则（

）A．与的夹角为 B．为定值C．的最小值为 D．在上的投影向量为【答案】AD【分析】由题意可得：与的夹角，然后依据向量的运算逐项进行检验即可求解.【详解】设平面对量与的夹角为，因为对随意的实数t，恒成立，即恒成立，又，也即对随意的实数恒成立，所以，则，所以，故选项正确；对于，因为随的改变而改变，故选项错误；对于，因为，由二次函数的性质可知：当时，取最小值，故选项错误；对于，向量上的一个单位向量，由向量夹角公式可得：，由投影向量的计算公式可得：在上的投影向量为，故选项正确，故选：.15．已知平面对量满意，，，对随意的实数，均有的最小值为，则下列说法正确的是（

）A．与夹角的余弦值为 B．的最小值为2C．的最小值为2 D．若时，这样的有3个【答案】AC【分析】首先依据向量的垂直关系建立平面直角坐标系，利用向量的坐标法来解决本题，给出向量和，再依据已知条件给出向量终点C点的轨迹方程为；对于A选项，可以通过向量，的坐标表示，结合夹角余弦的计算公式得到结果；对于B选项，，利用函数思想给出向量模长的最小值为1；对于C选项：因为表示抛物线上的点到和距离之和，再结合抛物线的定义，利用数形结合可以求出的最小值为2；对于D选项：可得(舍负)，代入抛物线方程得到：，所以，故这样的有2个.【详解】因为，，，所以，在平面直角坐标系中令，设，过点作,垂足为，则而,所以,由抛物线的定义知：点在以为焦点，为准线的抛物线上运动且方程为对于A:因为，所以与夹角余弦值：，故A对；对于B:当时，取得最小值，最小值为1，故B错；对于C：，表示抛物线上的点到和距离之和，由抛物线的定义知：所以，故C对；对于D：所以，又因为，所以，代入抛物线方程得到：，所以，故这样的有2个，故D错.故选：AC【点睛】利用向