2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.1.2蝗制训练含解析新人教A版必修4

PAGE第一章三角函数1．1随意角和弧度制1.1.2弧度制[A组学业达标]1．1920°的角化为弧度制为 ()A.eq\f(16,3)B.eq\f(32,3)C.eq\f(16,3)πD.eq\f(32,3)π解析：∵1°＝eq\f(π,180)rad，∴1920°＝1920×eq\f(π,180)＝eq\f(32,3)π.答案：D2．已知α＝eq\f(6,7)π，则角α的终边在 ()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析：eq\f(π,2)<eq\f(6,7)π<π，所以角α的终边在其次象限，选B.答案：B3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长为()A．2B.eq\f(2,sin1)C．2sin1 D．sin2解析：扇形的半径r＝eq\f(1,sin1)，因此弧长l＝|α|·r＝eq\f(2,sin1).答案：B4．把－eq\f(11,4)π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ的值是 ()A．－eq\f(3π,4) B．－eq\f(π,4)C.eq\f(π,4) D.eq\f(3π,4)解析：由－eq\f(11,4)π＝θ＋2kπ(k∈Z)，得θ＝－eq\f(11,4)π－2kπ(k∈Z)，明显k≤0时，|θ|取最小值．k＝－1时，θ＝－eq\f(3,4)π，|θ|＝eq\f(3,4)π；k＝－2时，θ＝eq\f(5,4)π，|θ|＝eq\f(5,4)π>eq\f(3,4)π；k＝0时，θ＝－eq\f(11,4)π，|θ|＝eq\f(11,4)π>eq\f(3,4)π.故满意题意的是θ＝－eq\f(3,4)π.答案：A5．扇形的周长为6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是 ()A．1 B．4C．1或4 D．2或4解析：设扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2R＋α·R＝6，,\f(1,2)R2·α＝2，))解得α＝1或α＝4，选C.答案：C6．时钟从6时50分走到10时40分，分针旋转了________弧度．解析：时钟共走了3小时50分钟，分针旋转了－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×2π＋\f(5,6)×2π))＝－eq\f(23π,3).答案：－eq\f(23π,3)7．如图，马路弯道处eq\o(AB,\s\up8(︵))的长l＝________(精确到1m)．解析：l＝eq\f(π,3)×45≈47(m)．答案：47m8．在0°～720°中与eq\f(2π,5)终边相同的角为________．解析：∵eq\f(2π,5)＝eq\f(2,5)×180°＝72°，∴与角eq\f(2π,5)终边相同的角构成集合{θ|θ＝72°＋k·360°，k∈Z}．当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°.∴在0°～720°范围内，与角eq\f(2π,5)终边相同的角为72°，432°.答案：72°，432°.9．(1)把－1480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π；(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β.解析：(1)∵－1480°＝－eq\f(74π,9)＝－10π＋eq\f(16,9)π，又0<eq\f(16,9)π<2π，∴－1480°＝eq\f(16,9)π＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝α＋2kπ＝eq\f(16,9)π＋2kπ(k∈Z)．当k＝－1时，β＝eq\f(16,9)π－2π＝－eq\f(2,9)π，当k＝－2时，β＝eq\f(16,9)π－4π＝－eq\f(20,9)π.10．已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？解析：∵扇形的周长＝2R＋l＝2πR，∴扇形的弧长l＝2(π－1)R.∴扇形的圆心角α＝2(π－1)rad，合eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(360（π－1）,π)))°.∴扇形的面积S＝eq\f(1,2)lR＝(π－1)R2.[B组实力提升]11．一段圆弧的长度等于其所在圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为 ()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,3)C.eq\r(3)D.eq\r(2)解析：设圆内接正方形的边长为a，则该圆的直径为eq\r(2)a，∴弧长等于a的圆弧所对的圆心角α＝eq\f(l,r)＝eq\f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq\r(2).故选D.答案：D12．设集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝\f(kπ,2)，k∈Z))))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝\f(kπ,4)，k∈Z))))，则集合M与N的关系是 ()A．MN B．MNC．M＝N D．M∩N＝∅解析：集合M中，α＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)是eq\f(π,2)的整数倍的角，其终边在坐标轴上，α＝kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)的终边在直线y＝x上；集合N中，β＝eq\f(kπ,4)(k∈Z)是eq\f(π,4)的整数倍角，其终边在直线y＝x上，或y轴上，或直线y＝－x上，或x轴上，故MN.答案：B13．若角α的终边与角eq\f(π,6)的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________．解析：如图所示，设角eq\f(π,6)的终边为OA，OA关于直线y＝x对称的射线为OB，则以OB为终边且在0到2π之间的角为eq\f(π,3)，故以OB为终边的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))).∵α∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋eq\f(π,3)<4π，∴－eq\f(13,6)<k<eq\f(11,6).∵k∈Z，∴k＝－2，－1，0，1，∴α＝－eq\f(11π,3)，－eq\f(5π,3)，eq\f(π,3)，eq\f(7π,3).答案：－eq\f(11π,3)，－eq\f(5π,3)，eq\f(π,3)，eq\f(7π,3)14．已知⊙O的一条弧eq\o(AE,\s\up8(︵))的长等于该圆内接正三角形的边长，则从OA顺时针旋转到OE所形成的角α的弧度数是________．解析：如图，OA＝r，∠OAD＝30°，则AD＝r·cos30°＝eq\f(\r(3),2)r，∴边长AB＝2AD＝eq\r(3)r.∴eq\o(AE,\s\up8(︵))的弧长l＝AB＝eq\r(3)r.又∵α是负角，∴α＝－eq\f(l,r)＝－eq\f(\r(3)r,r)＝－eq\r(3).答案：－eq\r(3)15．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是30cm，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解析：(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，∵α＝60°＝eq\f(π,3)，R＝10(cm)，∴l＝αR＝eq\f(10π,3)(cm)．S弓＝S扇－S△＝eq\f(1,2)×eq\f(10π,3)×10－2×eq\f(1,2)×10×sineq\f(π,6)×10×coseq\f(π,6)＝50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(\r(3),2)))(cm2)．(2)由l＋2R＝30，∴l＝30－2R，从而S＝eq\f(1,2)·l·R＝eq\f(1,2)(30－2R)·R＝－R2＋15R＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R－\f(15,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(225,4).∴当半径R＝eq\f(15,2)cm时，l＝30－2×eq\f(15,2)＝15cm，扇形面积的最大值是eq\f(225,4)cm2，这时α＝eq\f(l,R)＝2rad.∴当扇形的圆心角为2rad，半径为eq\f(15,2)cm时，面积最大，为eq\f(225,4)cm2.16.如图，圆心在原点，半径为R的圆交x轴正半轴于A点，P，Q是圆上的两个动点，它们同时从点A动身沿圆周做匀速运动．OP沿逆时针方向每秒转eq\f(π,3)，OQ沿顺时针方向每秒转eq\f(π,6).试求P，Q动身后第五次相遇时，OP，OQ各自转过的弧度数及点P，Q各自走过的弧长．解析：设P、Q第五次相遇经过t秒，P转动的弧度数为eq\f(π,3)t，Q转的弧度数为eq\f(π,6)t.因此l1＋l2＝eq\f(π,3)tR＋