初升高数学暑假衔接（人教版）高一预习5.4 三角函数的图像与性质（教师版）

5.4三角函数的图象与性质【知识梳理】知识点正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RReq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)))))值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]递减区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]对称中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))对称轴方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ【基础自测】1．函数f(x)＝－2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的定义域是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,6)))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(π,12)))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,6)k∈Z))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,6)k∈Z))))【答案】D【详解】由2x＋eq\f(π,6)≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得x≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)，k∈Z.2．下列函数中周期为eq\f(π,2)，且为偶函数的是()A．y＝sin4x B．y＝coseq\f(1,4)xC．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,2))) D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)x－\f(π,2)))【答案】C【详解】显然周期为eq\f(π,2)的有A和C，又因为y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,2)))＝cos4x是偶函数，故选C.3．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))在[0，π]上的单调递减区间为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))【答案】D4．函数y＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))在x＝________时，y取最大值．【答案】4kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)【详解】当函数取最大值时，eq\f(1,2)x－eq\f(π,4)＝2kπ(k∈Z)，x＝4kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．5．函数y＝－tan2x＋4tanx＋1，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))的值域为________．【答案】[－4,4]【详解】∵－eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,4)，∴－1≤tanx≤1.令tanx＝t，则t∈[－1,1]，∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.∴当t＝－1，即x＝－eq\f(π,4)时，ymin＝－4，当t＝1，即x＝eq\f(π,4)时，ymax＝4.故所求函数的值域为[－4,4]．【例题详解】一、三角函数的定义域例1(1)函数y＝eq\r(sinx－cosx)的定义域为________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(5π,4)))(k∈Z)【详解】要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为eq\f(π,4)，eq\f(5π,4)，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(5π,4)，k∈Z)))).(2)函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的定义域是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,4))))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(π,4)))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z)))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(3π,4)，k∈Z))))【答案】D【详解】由x－eq\f(π,4)≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)得x≠kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z.跟踪训练1(1)函数f(x)＝ln(cosx)的定义域为()eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))，k∈ZB．(kπ，kπ＋π)，k∈ZC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))，k∈ZD．(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z【答案】C【详解】由题意知，cosx>0，∴2kπ－eq\f(π,2)<x<2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴函数f(x)的定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))，k∈Z.(2)函数的定义域为__________．【答案】【详解】解得故答案为二、三角函数的值域例2(1)函数，的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据的范围，结合正弦函数的图象，求出的范围，从而可求函数的值域.【详解】∵，∴，∴，所以函数的值域为．故选：D.(2)函数y=tan（+），x∈（0，]的值域是______．【答案】【分析】根据，，求解的范围，结合正切函数的性质可得值域；【详解】解：由，，，结合正切函数的性质可得：．故答案为，．【点睛】本题考查了与正切函数有关的值域求法，是基础题．(3)函数y＝4cos2x＋4cosx－2的值域是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据二次函数性质以及三角函数有界性求得值域.【详解】解：，因为，所以当时，，当时，，因此值域是故选：B.跟踪训练2(1)函数的值域为（

）A．[0，1] B． C． D．【答案】B【解析】根据自变量的范围，得到的范围，进一步得到答案.【详解】解：，，所以.故选：B.(2)函数，的值域为____________．【答案】【分析】利用同角的三角函数的基本关系式可得，利用换元法可求函数的值域.【详解】因为，故，令，因为，故，故即函数的值域为.故答案为：.题型三、三角函数的周期性例3(1)下列函数中，是周期函数的为()A．y＝sin|x| B．y＝cos|x|C．y＝tan|x| D．y＝(x－1)0【答案】B【详解】∵cos|x|＝cosx，∴y＝cos|x|是周期函数．其余函数均不是周期函数．(2)在函数①，②，③,④中，最小正周期为的所有函数为A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③【答案】A【详解】试题分析：①中函数是一个偶函数，其周期与相同，;②中函数的周期是函数周期的一半，即;③;④，则选A．考点：三角函数的图象和性质跟踪训练3下列函数中周期为且为偶函数的是A． B．C． D．【答案】A【分析】对于每一个选项化简再判断得解.【详解】对于选项A,周期为且是偶函数，所以选项A正确；对于选项B,，周期为π且是奇函数，所以选项B错误；对于选项C,y=cosx,周期为2π，所以选项C错误；对于选项D,y=-sinx,周期为2π，所以选项D错误.故答案为A【点睛】(1)本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)使用周期公式，必须先将解析式化为或的形式；正弦余弦函数的最小正周期是.题型四、三角函数的对称性例4(1)若函数的最小正周期为，则它的一条对称轴是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由，可得，所以，令，得，从而可得到本题答案.【详解】由题，得，所以，令，得，所以的对称轴为，当时，，所以函数的一条对称轴为.故选：A(2)函数的图象的一个对称中心可以是()A．B．C．D．【答案】D【详解】令，解得：，当时，的图象是由的图象向上平移个单位得到的，函数的图象的一个对称中心可以是故选点睛：正切函数的对称中心为，那么可以令，解得：，代入一个整数时，就得到了一个对称中心，又根据的图象是由的图象向上平移个单位得到的，即可求得答案．(3)已知函数的图像关于直线对称，则可能取值是（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正弦型函数的对称性，可以得到一个等式，结合四个选项选出正确答案.【详解】因为函数的图像关于直线对称，所以有，当时，，故本题选D.【点睛】本题考查了正弦型函数的对称性，考查了数学运算能力.跟踪训练4(1)函数的一个对称中心是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】计算余弦型函数的对称中心，然后直接进行判断即可.【详解】令，则所以函数的对称中心为令，所以函数的一个对称中心是故选：B【点睛】本题考查余弦型函数的对称中心，属基础题.(2)如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值为（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用余弦函数的对称中心及给定条件列式，再经推理计算即可得解.【详解】因函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点对称，则有，于是得，显然对于是递增的，而时，，，当时，，，所以|φ|的最小值为.故选：A题型五、三角函数的单调性例5(1)函数的单调递增区间是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】根据正切函数的图象与性质，令，即可求得函数的递增区间，得到答案.【详解】由题意，令，解得，所以函数的单调递增区间为.故选：A.(2)已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】,，且均属于，而，大小关系即可确定.【详解】解：；，，即.又正切函数在上单调递增，；；，，故选：C.(3)函数的单调递减区间为___________.【答案】【详解】试题分析：因为，所以转化为求的增区间，由，解得（），故原函数的单调递减区间为，注意复合函数单调性的规律：“同增异减”.考点：三角函数的性质：单调性.跟踪训练5(1)函数的单调增区间是__________．【答案】【分析】利用整体代入法求得函数的单调增区间.【详解】由，解得，所以的递增区间是.故答案为：【点睛】本小题主要考查三角函数单调区间的求法，属于基础题.(2)下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用正切函数的单调性可判断AB选项的正误，利用余弦函数的单调性可判断C选项的正误，利用正弦函数的单调性可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，，因为正切函数在上为增函数，且，所以，，即，A选项错误；对于B选项，由于正切函数在上为增函数，且，所以，，B选项错误；对于C选项，，，因为余弦函数在为减函数，且，所以，，即，C选项正确；对于D选项，由于正弦函数在上为增函数，且，所以，，D选项错误.故选：C.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.【课堂巩固】1．函数，的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正切函数的定义域和值域，求得该函数的值域．【详解】解：对于函数，，，，故选：C．【点睛】本题主要考查正切函数的定义域和值域，属于基础题．2．设则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：利用诱导公式、三角函数的单调性即可得出．解：∵a=sin33°，b=cos55°=sin35°，∴a＜b，又，∴c＞b＞a．故选C．考点：不等式比较大小．3．下列关系中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据对数函数的性质判断A，根据指数函数的性质判断B，根据正弦函数的性质及诱导公式判断C，根据余弦函数的性质及诱导公式判断D；【详解】解：对于A：因为，，，故A错误；对于B：因为在定义域上单调递减，因为，所以，又，，因为在上单调递增，所以，所以，所以，故B正确；对于C：因为在上单调递减，因为，所以，又，所以，故C错误；对于D：因为在上单调递减，又，所以，又，所以，故D错误；故选：B4．已知函数，，其函数图象的一个对称中心是，则该函数的一个单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由正切函数的对称中心得，得到，令可解得函数的单调递减区间.【详解】因为是函数的对称中心，所以，解得因为，所以，，令，解得，当时，函数的一个单调递减区间是故选：D【点睛】本题考查正切函数的图像与性质，属于基础题.5．已知函数，下面结论错误的是（

）A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是增函数C．函数的图像关于直线对称 D．函数是奇函数【答案】D【详解】试题分析：,所以函数的最小正周期为,函数在区间上是增函数,函数的图像关于直线对称,函数是偶函数.考点：1.三角函数的周期性；2.三角函数的奇偶性；3.图像得对称轴；4.函数的单调性.6．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可得,，，，．故A正确．考点：三角函数单调性．7．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的最小正周期是B．的值域是C．直线是函数图像的一条对称轴D．的递减区间是，【答案】D【解析】根据函数的解析式，得到其最小正周期，值域，对称轴和递减区间，然后对四个选项分别进行判断，得到答案.【详解】函数所以函数的最小正周期，所以选项A错误；由解析式可知，所以的值域为，所以选项B错误；当时，，，不是函数图像的对称轴，所以选项C错误.令，，可得，，的递减区间是，，所以选项D正确.故选：D.【点睛】本题考查正切型函数的周期、值域、对称性和单调区间，属于简单题.8．函数的单调递增区间为__________．【答案】，【分析】先求出函数的单调递增区间，再与定义域取交集可得出答案．【详解】正弦函数的单调递减区间为，由，得，故函数的增区间为再结合，可得函数的增区间为，故答案为：，【点睛】方法点睛：本题考查复合型正弦函数的单调区间的求解，并且限制了定义域，这种问题首先应求出这个函数在上的单调区间，再将所得区间与定义域取交集即可求解，考查计算能力以及三角函数基本性质的应用，属于中等题．9．函数的定义域为_____________．【答案】【分析】对数函数要求真数大于0，解正弦不等式，求出定义域.【详解】由题意得：，故，则故答案为：10．已知，则实数的大小关系为__________.【答案】【分析】确定，再比较大小得到答案.【详解】，故，故.故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数值的大小比较，意在考查学生对于三角函数知识的灵活运用.11．关于下列命题：①若是第一象限角，且，则；②函数是偶函数；③函数的一个对称中心是；④函数在上是增函数，所有正确命题的序号是_____．【答案】②③【分析】结合相关知识对给出的每个选项分别进行分析、判断可得正确的命题．【详解】对于①，若α，β是第一象限角，且α>β，可令α=390°，β=30°，则sinα=sinβ，所以①错误；对于②，函数y=sin=-cosπx，f(x)=-cos(πx)=f(x)，则为偶函数，所以②正确；对于③，令2x-=kπ，解得x=(k∈Z)，所以函数y=sin的对称中心为，当k=0时，可得对称中心为，所以③正确；对于④，函数，当时，，所以函数在区间上单调递减，所以④不正确．综上，命题②③正确．【点睛】本题综合考查三角函数的有关内容，考查综合运用和解决问题的能力，解题时可根据题中的要求分别进行求解，但由于涉及的内容较多，所以解题时要注意结果的正确性．12．已知函数.(1)求的定义域、值域；(2)探究的周期性、奇偶性、单调性及其图象的对称性.【答案】(1)定义域为，值域为；(2)答案见解析.【分析】(1)根据给定函数结合正切函数的定义域和值域即可计算作答.(2)借助正切函数的周期性、奇偶性、单调性及其图象的对称性探讨相应性质即可作答.【详解】(1)函数，令，解得，所以的定义域为，值域为.(2)依题意，函数为周期函数，其最小正周期；由(1)知，函数的定义域为，显然，而，即函数的定义域关于数0不对称，则既不是奇函数也不是偶函数；由得：，所以函数的单调递增区间为，，无单调递减区间；由得：，所以函数的图象的对称中心是.【课时作业】1．函数的最大值为（

）A．1 B．0 C．2 D．【答案】C【分析】根据正弦函数的值域求解.【详解】当等于时，有最大值.故选：C.【点睛】本题考查正弦函数的最值，属于简单题.2．已知，，，则下列关系中正确的是A． B． C． D．【答案】C【分析】利用函数的单调性、正切函数的值域即可得出．【详解】，，∴，又∴，则下列关系中正确的是：．故选C．【点睛】本题考查了指对函数的单调性、三角函数的单调性的应用，属于基础题．3．对于函数，有以下四种说法：①函数的最小值是②图象的对称轴是直线③图象的对称中心为④函数在区间上单调递增．其中正确的说法的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】求出函数的最值，对称中心坐标，对称轴方程，以及函数的单调区间，即可判断正误．【详解】函数，当时，即，函数取得最小值为，故①正确；当时，即，函数的图象的对称轴是直线，故②错误；当时，即，函数的图象的对称中心为，故③错误；当，即，函数的递增区间为，当时，的递增区间为，故④正确.故选：B【点睛】关键点点睛：函数的递增区间转化为的递减区间.4．函数的单调递增区间是()A．，k∈Z B．，k∈ZC．，k∈Z D．，k∈Z【答案】B【分析】根据正切函数的图象与性质，即可求解函数的单调递增区间，得到答案.【详解】由题意，函数，令，解得，即函数单调递增区间是，故选B.【点睛】本题主要考查了正切函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记正切函数的图象与性质，列出相应的不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．已知函数的一个零点是，是的图象的一条对称轴，则取最小值时，的单调递增区间是A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根据函数的一个零点是，得出，再根据直线是函数图象的一条对称轴，得出，由此求出的关系式，进而得到的最小值与对应的值，进而得到函数的解析式，从而可求出它的单调增区间．【详解】∵函数的一个零点是，∴，∴，∴，或．①又直线是的图像的一条对称轴，∴，②由①②得，∵，∴；此时，∴，∵，∴，∴．由，得．∴的单调增区间是．故选A．【点睛】本题综合考查三角函数的性质，考查转化和运用知识解决问题的能力，解题时要将给出的性质进行转化，进而得到关于参数的等式，并由此求出参数的取值，最后再根据解析式得到函数的单调区间．6．已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为，且，则不等式的解集为（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由对称轴距离求得，由函数值求得，写出函数解析式，，解出解集即可.【详解】由题知，函数的周期，则，又，，则，函数解析式为则由正弦函数性质知，，解得故选：C7．设,,,c，则下列关系式正确的是（______）A． B．. C． D．【答案】C【分析】根据余弦函数为偶函数，所以，再根据余弦函数在区间上单调递减，可比较值的大小．【详解】因为函数f(x)=cosx是偶函数，所以，且,函数f(x)在区间上单调递减，所以，即,选C.【点睛】本题综合考查三角函数奇偶性、单调性与对数函数的公式，由x值的大小比较y值的大小是一种常见题型，需要分析出所给函数的性质．8．函数有（

）个不同的零点A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由结合正弦函数的性质得出零点的个数.【详解】易知在上单调递增，，即函数在上只有一个零点；当时，，由得出，即，，，解得，即在上有4个零点.综上，有5个零点.故选：C9．（多选）若函数，则下列命题正确的是（

）A．函数的图象与的图象重合B．C．D．存在唯一的，使得【答案】AC【分析】逐项代入验证，化简即可得到结果.【详解】，A对；，，，B错；，，C对．，，当，即时，，，使得；当，即时，，，使得.所以，有两解.故选：AC.10．函数的单调递减区间为________.【答案】(k∈Z)【分析】化简函数解析式，由，即可得结果.【详解】由y＝cos＝cos，得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数的单调递减区间为(k∈Z).【点睛】函数（）的单调区间的求法：把看作是一个整体，由可求得函数的减区间，由可求得增区间.11．已知函数，是偶函数，则______.【答案】【分析】由为偶函数可知当时,取得最大或最小值,再计算即可.【详解】因为为偶函数,故当时,取得最大或最小值.即.即.又,故.故答案为：【点睛】本题主要考查了根据三角函数性质求参数的问题,属于基础题型.12．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是_______．【答案】【详解】，若函数在上单调递减，则，，若，则，，，，若函数在上单调递减，则满足，即，即，故答案为.【方法点晴】本题主要考查三角函数的性质及利用单调性求参数的范围，属于中档题.利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;②利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题是利用方法①求解的．13．若函数的图像在上恰好有一个点的纵坐标为，则实数的值可以是__________（写出一个满足题意的值即可）．【答案】（答案写内任意的实数都正确）.【分析】本题为开放性题目，答案不唯一，通过换元，把原命题转化为函数的图像在上恰好有一个点的纵坐标为，结合正弦函数图像，解得的范围，得到答案.【详解】因为函数的图像在上恰好有一个点的纵坐标为，令，由，得，，即，原命题等价于，函数的图像在上恰好有一个点的纵坐标为，所以，即，解得.故答案为：（答案写内任意的实数都正确）.14．给出下列四个命题：函数的一条对称轴是；函数的图象关于点对称；若，则，其中；④函数的最小值为.以上四个命题中错误的个数为____________个.【答案】1【分析】对于①：由f（）=﹣2，可判断；对于②：由函数y=tanx满足f（x）+f（π﹣x）=0可判断；对于③：可得2x1﹣=mπ，2x2﹣=nπ，（m∈Z，n∈Z），∴x1﹣x2=π=kπ，其中k∈Z，即可判定；对于④：函数y=cos2x+sin