新教材适用2024-2025学年高中数学第10章概率10.1随机事件与概率10.1.2事件的关系和运算素养作业新人教A版必修第二册

第十章10.110.1.2A组·素养自测一、选择题1．一个射手进行射击，记事务A1＝“脱靶”，A2＝“中靶”，A3＝“中靶环数大于4”，则在上述事务中，互斥而不对立的事务是(B)A．A1与A2 B．A1与A3C．A2与A3 D．以上都不对[解析]射手进行射击时，事务A1＝“脱靶”，A2＝“中靶”，A3＝“中靶环数大于4”，事务A1与A2不行能同时发生，并且必有一个发生，即事务A1与A2是互斥且对立，A不是；事务A1与A3不行能同时发生，但可以同时不发生，即事务A1与A3是互斥不对立，B是；事务A2与A3可以同时发生，即事务A2与A3不互斥不对立，C不是，明显D不正确．故选B.2．从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事务“取出1个红球和2个白球”的对立事务是(D)A．取出2个红球和1个白球B．取出的3个球全是红球C．取出的3个球中既有白球也有红球D．取出的3个球不止一个红球[解析]从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球可能的状况有：“3个红球”“1个红球2个白球”“2个红球1个白球”，所以事务“取出1个红球和2个白球”的对立事务是“3个红球或2个红球1个白球”即“3个球不止一个红球”，故选D.3．下列各组事务中，是对立事务的是(C)A．一名射手在一次射击中，命中环数大于6与命中环数小于8B．统计一个班的数学成果，平均分不低于90分与平均分不高于90分C．掷一枚骰子，向上点数为奇数与向上点数为偶数D．某人连续投篮三次，恰有两次命中与至多命中一次[解析]在一次射击中命中环数为7同时包含于环数大于6与环数小于8，所以两事务不互斥，故A错误；一个班的数学成果平均分为90分同时包含于平均分不低于90分与平均分不高于90分，所以两事务不互斥，故B错误；掷一枚骰子，向上点数不为奇数即为偶数，所以两事务是对立事务，故C正确；某人连续投篮三次，恰有两次命中与至多命中一次不会同时发生，且两事务有可能均不发生(当三次都命中时两个事务都没有发生)，故两事务为互斥事务，但不为对立事务，故D错误．故选C.4．(多选题)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次放射一枚炮弹，设事务A＝{两弹都击中飞机}，事务B＝{两弹都没击中飞机}，事务C＝{恰有一弹击中飞机}，事务D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系正确的是(ABC)A．A∩D≠∅ B．B∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D[解析]“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中其次枚没中或第一枚没中其次枚击中，“至少有一弹击中”包含两种状况：一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，故A∩D≠∅，B∩D＝∅，A∪C＝D，A∪B≠B∪D.5．(多选题)从3名女生和2名男生中任选两人组成学习小组，记“至少1名女生”为事务A，“至少1名男生”为事务B，“恰有1名女生”为事务C，“2名都是男生”为事务D，则下列结论正确的有(AD)A．事务A和D是对立事务B．事务B和C是对立事务C．事务A和B是互斥事务D．事务C和D是互斥事务[解析]将3名女生设为a，b，c，两名男生设为A，B，任选两人组成学习小组，以下是样本空间Ω包含的基本领件：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，其中事务A包含(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，事务B包含(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，事务C包含(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，事务D包含(A，B)，因为A∩D＝∅，且A∪D＝Ω，所以事务A和D是对立事务，A正确；因为B∩C＝{(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)}，所以事务B和C不是互斥事务，也不是对立事务，B错误；因为A∩B＝{(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)}，所以事务A和B不是互斥事务，C错误；因为C∩D＝∅，所以事务C和D是互斥事务，D正确．故选AD.二、填空题6．给出以下三个命题：(1)将一枚硬币抛掷两次，记事务A：“二次都出现正面”，事务B：“二次都出现反面”，则事务A与事务B是对立事务；(2)在命题(1)中，事务A与事务B是互斥事务；(3)在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事务A：“所取3件中最多有2件是次品”，事务B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事务A与事务B是互斥事务，其中真命题的个数是_1__.[解析]命题(1)是假命题，命题(2)是真命题，命题(3)是假命题．对于(1)(2)，因为抛掷两次硬币，除事务A，B外，还有“第一次出现正面，其次次出现反面”和“第一次出现反面，其次次出现正面”两个事务，所以事务A和事务B不是对立事务，但它们不会同时发生，所以是互斥事务；对于(3)，若所取的3件产品中恰有2件次品，则事务A和事务B同时发生，所以事务A和事务B不是互斥事务．7．某人在打靶中，连续射击2次，事务A：“至少有一次中靶”，事务B：“至多有一次不中靶”，则事务A与事务B的关系是_A＝B__.[解析]至少有一次中靶，即有一次中靶或者两次都中靶，与至多有一次不中靶的含义相同，故A＝B.8．抛掷一枚骰子，依据向上的点数可以定义下列事务，事务A＝{出现3点}，事务B＝{出现3点或6点}，事务C＝{出现的点数是奇数}，事务D＝{出现的点数大于3点}，则C∩D＝_{出现5点}__，A∪B＝_{出现3点或6点}__.[解析]因为事务C＝{出现1点或3点或5点}，事务D＝{出现4点或5点或6点}，所以C∩D＝{出现5点}，A∪B＝{出现3点或6点}．三、解答题9．从某高校数学系图书室中任选一本书．设A＝{数学书}，B＝{中文版的书}，C＝{2000年后出版的书}．问：(1)A∩B∩eq\x\to(C)表示什么事务？(2)在什么条件下有A∩B∩C＝A?(3)eq\x\to(C)⊆B表示什么意思？(4)假如eq\x\to(A)＝B，那么是否意味着图书室中的全部的数学书都不是中文版的？[解析](1)由题意知，设A＝{数学书}，B＝{中文版的书}，C＝{2000年后出版的书}，所以A∩B∩eq\x\to(C)＝{2000年或2000年前出版的中文版的数学书}．(2)由题意知，设A＝{数学书}，B＝{中文版的书}，C＝{2000年后出版的书}，可得在“图书室中全部数学书都是2000年后出版的且为中文版”的条件下，才有A∩B∩C＝A.(3)由题意知，设A＝{数学书}，B＝{中文版的书}，C＝{2000年后出版的书}，可得eq\x\to(C)⊆B表示2000年或2000年前出版的书全是中文版的．(4)是．由题意知，设A＝{数学书}，B＝{中文版的书}，C＝{2000年后出版的书}，可得eq\x\to(A)＝B意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且全部的中文版的书都不是数学书，eq\x\to(A)＝B，又可等价成eq\x\to(B)＝A，因而也可说明为图书室中全部数学书都不是中文版的，而且全部外文版的书都是数学书．10．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球(标号为1和2)，2个绿球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事务R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“其次次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”．(1)事务R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？(2)事务R与事务G的并事务与事务M有什么关系？事务R1与事务R2的交事务与事务R有什么关系？[解析](1)因为R⊆R1，所以事务R1包含事务R；因为R∩G＝∅，所以事务R与事务G互斥；因为M∪N＝Ω，M∩N＝∅，所以事务M与事务N互为对立事务．(2)因为R∪G＝M，所以事务M是事务R与事务G的并事务；因为R1∩R2＝R，所以事务R是事务R1与事务R2的交事务．B组·素养提升一、选择题1．抛掷一枚质地匀称的骰子一次，事务1表示“骰子向上的点数为奇数”，事务2表示“骰子向上的点数为偶数”，事务3表示“骰子向上的点数大于3”，事务4表示“骰子向上的点数小于3”则(B)A．事务1与事务3互斥B．事务1与事务2互为对立事务C．事务2与事务3互斥D．事务3与事务4互为对立事务[解析]由题可知，事务1可表示为：A＝{1,3,5}，事务2可表示为：B＝{2,4,6}，事务3可表示为：C＝{4,5,6}，事务4可表示为：D＝{1,2}，因为A∩C＝{5}，所以事务1与事务3不互斥，A错误；因为A∩B为不行能事务，A∪B为必定事务，所以事务1与事务2互为对立事务，B正确；因为B∩C＝{4,6}，所以事务2与事务3不互斥，C错误；因为C∩D为不行能事务，C∪D不为必定事务，所以事务3与事务4不互为对立事务，D错误；故选B.2．设H，E，F为三个事务，eq\o(H,\s\up6(－))，eq\o(E,\s\up6(－))，eq\o(F,\s\up6(－))分别表示它们的对立事务，表示“三个事务恰有一个发生”的表达式为(B)A．H＋E＋F B．Heq\o(E,\s\up6(－))eq\o(F,\s\up6(－))＋eq\o(H,\s\up6(－))Eeq\o(F,\s\up6(－))＋eq\o(H,\s\up6(－))eq\o(E,\s\up6(－))FC．HEeq\o(F,\s\up6(－))＋Heq\o(E,\s\up6(－))F＋eq\o(H,\s\up6(－))EF D．eq\o(H,\s\up6(－))＋eq\o(E,\s\up6(－))＋eq\o(F,\s\up6(－))[解析]“恰有一个发生”是指三个事务中只有一个发生，同时另外两个不发生，故选B.3．2024年某省新高考将实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语，必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．已知某同学已选了物理，记事务A：“他选择政治和地理”，事务B：“他选择化学和地理”，则事务A与事务B(A)A．是互斥事务，不是对立事务B．是对立事务，不是互斥事务C．既是互斥事务，也是对立事务D．既不是互斥事务也不是对立事务[解析]事务A：“他选择政治和地理”，事务B：“他选择化学和地理”，则事务A与事务B不能同时发生，但能同时不发生，故事务A和B是互斥事务，但不是对立事务，故A正确．二、填空题4．掷一枚质地匀称的骰子，记A为事务“落地时向上的数是奇数”，B为事务“落地时向上的数是偶数”，C为事务“落地时向上的数是3的倍数”．其中是互斥事务的是_A，B__，是对立事务的是_A，B__.[解析]A，B既是互斥事务，也是对立事务．5．如图所示，事务A＝“甲元件正常”，B＝“乙元件正常”，C＝“丙元件正常”．则A∪B∪C表示的含义为_电路工作正常__，eq\x\to(A)∩eq\x\to(B)∩eq\x\to(C)表示的含义为_电路工作不正常__.[解析]A∪B∪C表示甲、乙、丙元件至少有一个正常，即电路工作正常；eq\o(A,\s\up6(－))∩eq\o(B,\s\up6(－))∩eq\o(C,\s\up6(－))表示甲、乙、丙元件都不正常，即电路工作不正常．三、解答题6．在掷骰子试验中，依据向上的点数可以定义很多事务，如：A＝{出现点数1}；B＝{出现点数3或4}；C＝{出现的点数是奇数}；D＝{出现的点数是偶数}．(1)说明以上4个事务的关系；(2)求两两运算的结果．[解析]在掷骰子的试验中，依据向上出现的点数有1,2,3,4,5,6共6个可能的基本结果，记作Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.(1)事务A与事务B互斥，但不对立，事务A包含于事务C，事务A与D互斥，但不对立；事务B与C不是互斥事务，事务B与D也不是互斥事务；事务C与D是互斥事务，也是对立事务．(2)A∩B＝∅，A∩C＝A，A∩D＝∅.B∩C＝A3＝{出现点数3}，B∩D＝A4＝{出现点数4}．C∩D＝∅A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1或3或4}，A∪C＝C＝{出现点数1或3或5}，A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1或2或4或6}．B∪C＝{出现点数1或3或4或5}．B∪D＝{出现点数2或3或4或6}．C∪D＝{出现点数1或2或3或4或5或6}．C组·探究创新(多选题)(202