2025-高考科学复习解决方案-数学-基础版第5节　指数与指数函数含答案

2025-高考科学复习解决方案-数学-基础版第5节指数与指数函数含答案第五节指数与指数函数课标解读考向预测1.了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.3.会画指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.指数函数是高考考查的重点内容之一，应当熟练掌握指数函数的概念、图象和单调性等常考知识点．在近三年的高考中，考查了指数型函数的图象和性质，或与分段函数结合，以选择题或填空题的形式出现.预计2025年高考可能会考查利用指数函数的性质比较大小、指数型函数图象的识别与应用以及指数型函数单调性的应用，题型为选择题或填空题，难度中档；也可能会以指数或指数函数为载体，结合新定义、初等数论等以创新型题目出现在第19题，难度较大.必备知识——强基础1．根式(1)如果xn＝a，那么eq\x(\s\up1(01))x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子eq\r(n,a)叫做eq\x(\s\up1(02))根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．(3)(eq\r(n,a))n＝eq\x(\s\up1(03))a．当n为奇数时，eq\r(n,an)＝eq\x(\s\up1(04))a；当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))2．分数指数幂正数的正分数指数幂，aeq\s\up7(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，n>1)．正数的负分数指数幂，a－eq\s\up7(\f(m,n))＝eq\f(1,aeq\s\up7(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)．0的正分数指数幂等于eq\x(\s\up1(05))0，0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质aras＝eq\x(\s\up1(06))ar＋s；(ar)s＝eq\x(\s\up1(07))ars；(ab)r＝eq\x(\s\up1(08))arbr(a>0，b>0，r，s∈R)．4．指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数．(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域eq\x(\s\up1(09))(0，＋∞)性质图象过定点eq\x(\s\up1(10))(0，1)，即当x＝0时，y＝1当x>0时，eq\x(\s\up1(11))y>1；当x<0时，eq\x(\s\up1(12))0<y<1当x<0时，eq\x(\s\up1(13))y>1；当x>0时，eq\x(\s\up1(14))0<y<1在(－∞，＋∞)上是eq\x(\s\up1(15))增函数在(－∞，＋∞)上是eq\x(\s\up1(16))减函数(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数．(2)画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).(3)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．(4)指数函数y＝ax与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(x)(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)eq\r(4,(－4)4)＝－4.()(2)2a·2b＝2ab.()(3)eq\r(n,an)＝(eq\r(n,a))n＝a.()(4)eq\r(6,(－3)2)＝(－3)eq\s\up7(\f(1,3)).()(5)函数y＝2x－1是指数函数．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2．小题热身(1)(人教A必修第一册习题4.1T1改编)下列运算中正确的是()A.eq\r((2－π)2)＝2－π B．aeq\r(－\f(1,a))＝eq\r(－a)C．(meq\s\up7(\f(1,4))neq\s\up7(-\f(3,8)))8＝eq\f(m2,n3) D．(x3－eq\r(2))3＋eq\r(2)＝x9答案C解析对于A，因为2－π<0，所以eq\r((2－π)2)＝π－2，故A错误；对于B，因为－eq\f(1,a)>0，所以a<0，则aeq\r(－\f(1,a))＝－(－a)·eq\f(1,\r(－a))＝－eq\r(－a)，故B错误；对于C，因为(meq\s\up7(\f(1,4))neq\s\up7(-\f(3,8)))8＝(meq\s\up7(\f(1,4)))8·(neq\s\up7(-\f(3,8)))8＝eq\f(m2,n3)，故C正确；对于D，因为(x3－eq\r(2))3＋eq\r(2)＝x9－2＝x7，故D错误．(2)已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1，2)，那么这个函数也必定经过点()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))C．(1，2) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,8)))答案D(3)函数y＝2x＋1的图象是()答案A(4)若函数y＝ax(a>0，且a≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a的值为________．答案2考点探究——提素养考点一指数幂的运算例1(1)(2024·湖北宜昌高三模拟)已知x，y>0，化简eq\f(3xeq\s\up7(-\f(3,4))yeq\s\up7(\f(1,2)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)xeq\s\up7(\f(1,4))yeq\s\up7(-\f(1,3))))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)x－1yeq\s\up7(-\f(1,6)))))＝__________．答案－10y解析原式＝eq\f(3xeq\s\up7(-\f(3,4))yeq\s\up7(\f(1,2)),－\f(3,10)xeq\s\up7(-\f(3,4))yeq\s\up7(-\f(1,2)))＝－10y.(2)计算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))eq\s\up12(0.5)－0.752＋6－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,27)))eq\s\up12(－\f(2,3))＝________．答案1解析原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2)))eq\s\up12(\f(1,2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,36)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(3)))eq\s\up12(－\f(2,3))＝eq\f(3,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,36)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－2)＝eq\f(3,2)－eq\f(9,16)＋eq\f(1,36)×eq\f(9,4)＝1.【通性通法】【巩固迁移】1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(－\f(1,2))·eq\f(\r((4ab－1)3),(0.1)－1·(a3·b－3)eq\s\up5(\f(1,2)))(a>0，b>0)＝________．答案eq\f(8,5)解析原式＝eq\f(2·4eq\s\up7(\f(3,2))aeq\s\up7(\f(3,2))beq\s\up7(-\f(3,2)),10aeq\s\up7(\f(3,2))beq\s\up7(-\f(3,2)))＝eq\f(8,5).2．若xeq\s\up7(\f(1,2))＋xeq\s\up7(-\f(1,2))＝3，则x2＋x－2＝________．答案47解析由xeq\s\up7(\f(1,2))＋xeq\s\up7(-\f(1,2))＝3，得x＋x－1＝7，再平方得x2＋x－2＝47.考点二指数函数的图象及其应用例2(1)(2024·安徽合肥八中月考)函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：eq\f(5,4)，eq\r(3)，eq\f(1,3)，eq\f(1,2)中的一个，则a，b，c，d的值分别是()A.eq\f(5,4)，eq\r(3)，eq\f(1,3)，eq\f(1,2) B.eq\r(3)，eq\f(5,4)，eq\f(1,3)，eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\r(3)，eq\f(5,4) D.eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，eq\f(5,4)，eq\r(3)答案C解析由题图，直线x＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而eq\r(3)>eq\f(5,4)>eq\f(1,2)>eq\f(1,3)，故选C.(2)(2024·江苏南京金陵高三期末)若直线y＝3a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围为________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))解析当0<a<1时，y＝|ax－1|的图象如图1所示，由已知得0<3a<1，∴0<a<eq\f(1,3)；当a>1时，y＝|ax－1|的图象如图2所示，由已知可得0<3a<1，∴0<a<eq\f(1,3)，结合a>1可得a无解．综上可知，a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))).【通性通法】(1)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．【巩固迁移】3．(2024·广东深圳中学高三摸底)函数y＝e－|x|(e是自然对数的底数)的大致图象是()答案C解析y＝e－|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))\s\up12(x)，x≥0，,ex，x<0，))易得函数y＝e－|x|为偶函数，且图象过(0，1)，y＝e－|x|>0，函数在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，故C符合题意．故选C.4．(多选)若实数x，y满足4x＋5x＝5y＋4y，则下列关系式中可能成立的是()A．1<x<y B．x＝yC．0<x<y<1 D．y<x<0答案BCD解析设f(x)＝4x＋5x，g(x)＝5x＋4x，则f(x)，g(x)都是增函数，画出函数f(x)，g(x)的图象，如图所示，根据图象可知，当x＝0时，f(0)＝g(0)＝1；当x＝1时，f(1)＝g(1)＝9，依题意，不妨设f(x)＝g(y)＝t，则x，y分别是直线y＝t与函数y＝f(x)，y＝g(x)图象的交点的横坐标．当t>9时，若f(x)＝g(y)，则x>y>1，故A不正确；当t＝9或t＝1时，若f(x)＝g(y)，则x＝y＝1或x＝y＝0，故B正确；当1<t<9时，若f(x)＝g(y)，则0<x<y<1，故C正确；当t<1时，若f(x)＝g(y)，则y<x<0，故D正确．故选BCD.考点三指数函数的性质及其应用(多考向探究)考向1比较指数式的大小例3(2023·天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为()A．c>a>b B．c>b>aC．a>b>c D．b>a>c答案D解析解法一：因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b>a>1.因为函数φ(x)＝0.6x是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60＝1，即c<1.综上，b>a>c.故选D.解法二：因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b>a.因为函数h(x)＝x0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a>c.综上，b>a>c.故选D.【通性通法】比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小．(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；或构造同一幂函数，然后利用幂函数的性质比较大小．(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较．【巩固迁移】5．(2023·福建泉州高三质检)已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－\f(1,3))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))eq\s\up12(－\f(2,3))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(\f(2,3))，则()A．a>b>c B．c>b>aC．c>a>b D．b>a>c答案C解析因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－\f(1,3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(\f(1,3))>1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))eq\s\up12(－\f(2,3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(\f(2,3))<1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(\f(2,3))>1，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(x)在R上是增函数，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(\f(2,3))>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(\f(1,3))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(\f(2,3))>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－\f(1,3))>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))eq\s\up12(－\f(2,3))，即c>a>b.考向2解简单的指数方程或不等式例4(1)(多选)若4x－4y<5－x－5－y，则下列关系式正确的是()A．x<y B．y－3>x－3C.eq\r(x)>eq\r(y) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(y)<3－x答案AD解析由4x－4y<5－x－5－y，得4x－5－x<4y－5－y，令f(x)＝4x－5－x，则f(x)<f(y)．因为g(x)＝4x，h(x)＝－5－x在R上都是增函数，所以f(x)在R上是增函数，所以x<y，故A正确；因为G(x)＝x－3在(0，＋∞)和(－∞，0)上都单调递减，所以当x<y<0时，x－3>y－3，故B错误；当x<0，y<0时，eq\r(x)，eq\r(y)无意义，故C错误；因为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)在R上是减函数，且x<y，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(y)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(y)<3－x，故D正确．故选AD.(2)已知实数a≠1，函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x，x≥0，,2a－x，x<0，))若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．答案eq\f(1,2)解析当a<1时，41－a＝21，解得a＝eq\f(1,2)；当a>1时，2a－(1－a)＝4a－1，无解．故a的值为eq\f(1,2).【通性通法】(1)解指数方程的依据：af(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)⇔f(x)＝g(x)．(2)解指数不等式的思路方法：对于形如ax>ab(a>0，且a≠1)的不等式，需借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a>1与0<a<1两种情况讨论；而对于形如ax>b的不等式，需先将b转化为以a为底的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解．【巩固迁移】6．函数y＝(0.5x－8)eq\s\up7(-\f(1,2))的定义域为________．答案(－∞，－3)解析因为y＝(0.5x－8)eq\s\up7(-\f(1,2))＝eq\f(1,\r(0.5x－8))，所以0.5x－8>0，则2－x>23，即－x>3，解得x<－3，故函数y＝(0.5x－8)eq\s\up7(-\f(1,2))的定义域为(－∞，－3)．7．当0<x<eq\f(1,2)时，方程ax＝eq\f(1,x)(a>0，且a≠1)有解，则实数a的取值范围是________．答案(4，＋∞)解析依题意，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))时，y＝ax与y＝eq\f(1,x)的图象有交点，作出y＝eq\f(1,x)的部分图象，如图所示，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>1，,aeq\s\up7(\f(1,2))>2，))解得a>4.考向3与指数函数有关的复合函数问题例5(1)函数f(x)＝3－x2＋1的值域为________．答案(0，3]解析设t＝－x2＋1，则t≤1，所以0<3t≤3，故函数f(x)的值域为(0，3]．(2)函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2x)－8·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋17的单调递增区间为________．答案[－2，＋∞)解析设t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)>0，又y＝t2－8t＋17＝(t－4)2＋1在(0，4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增．由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)≤4，得x≥－2，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)>4，得x<－2，而函数t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)在R上单调递减，所以函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2x)－8·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋17的单调递增区间为[－2，＋∞)．【通性通法】涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．【巩固迁移】8．(多选)已知定义在[－1，1]上的函数f(x)＝－2·9x＋4·3x，则下列结论中正确的是()A．f(x)的单调递减区间是[0，1]B．f(x)的单调递增区间是[－1，1]C．f(x)的最大值是f(0)＝2D．f(x)的最小值是f(1)＝－6答案ACD解析设t＝3x，x∈[－1，1]，则t＝3x是增函数，且t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3))，又函数y＝－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋2在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))上单调递增，在[1，3]上单调递减，因此f(x)在[－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，故A正确，B错误；f(x)max＝f(0)＝2，故C正确；f(－1)＝eq\f(10,9)，f(1)＝－6，因此f(x)的最小值是f(1)＝－6，故D正确．故选ACD.9．若函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(ax2＋2x＋3)的值域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,9)))，则f(x)的单调递增区间是________．答案(－∞，－1]解析∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(t)是减函数，且f(x)的值域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,9)))，∴t＝ax2＋2x＋3有最小值2，则a>0且eq\f(12a－22,4a)＝2，解得a＝1，因此t＝x2＋2x＋3的单调递减区间是(－∞，－1]，故f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]．课时作业一、单项选择题1．(2024·内蒙古阿拉善盟第一中学高三期末)已知集合A＝{x|32x－1≥1}，B＝{x|6x2－x－2<0}，则A∪B＝()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))答案D解析集合A＝{x|32x－1≥1}＝eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，B＝{x|6x2－x－2<0}＝{x|(3x－2)(2x＋1)<0}＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(2,3)))，所以A∪B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).故选D.2.(2024·山东枣庄高三模拟)已知指数函数y＝ax的图象如图所示，则y＝ax2＋x的图象顶点横坐标的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))答案A解析由图可知，a∈(0，1)，而y＝ax2＋x＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2a)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4a)(a≠0)，其顶点横坐标为x＝－eq\f(1,2a)，所以－eq\f(1,2a)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))).故选A.3．已知函数f(x)＝eq\f(1,1＋2x)，则对任意实数x，有()A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝0C．f(－x)＋f(x)＝1 D．f(－x)－f(x)＝eq\f(1,3)答案C解析f(－x)＋f(x)＝eq\f(1,1＋2－x)＋eq\f(1,1＋2x)＝eq\f(2x,1＋2x)＋eq\f(1,1＋2x)＝1，故A错误，C正确；f(－x)－f(x)＝eq\f(1,1＋2－x)－eq\f(1,1＋2x)＝eq\f(2x,1＋2x)－eq\f(1,1＋2x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)＝1－eq\f(2,2x＋1)，不是常数，故B，D错误．故选C.4．已知a＝2eq\s\up7(\f(4,3))，b＝4eq\s\up7(\f(2,5))，c＝5eq\s\up7(\f(1,3))，则()A．c<b<a B．a<b<cC．b<a<c D．c<a<b答案A解析因为a＝2eq\s\up7(\f(4,3))＝4eq\s\up7(\f(2,3))，b＝4eq\s\up7(\f(2,5))，所以a＝4eq\s\up7(\f(2,3))>4eq\s\up7(\f(2,5))＝b，因为b＝4eq\s\up7(\f(2,5))＝(46)eq\s\up7(\f(1,15))＝4096eq\s\up7(\f(1,15))，c＝5eq\s\up7(\f(1,3))＝(55)eq\s\up7(\f(1,15))＝3125eq\s\up7(\f(1,15))，所以b>c.综上所述，a>b>c.故选A.5．(2024·江苏连云港海滨中学高三学情检测)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，则实数m的值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(11,42)C.eq\f(1,16) D.eq\f(1,2)或eq\f(1,16)答案D解析当a>1时，f(x)＝ax在[－1，2]上单调递增，则f(x)max＝f(2)＝a2＝4，解得a＝2，此时f(x)＝2x，m＝f(x)min＝2－1＝eq\f(1,2)；当0<a<1时，f(x)＝ax在[－1，2]上单调递减，所以f(x)max＝f(－1)＝a－1＝4，解得a＝eq\f(1,4)，此时f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)，m＝f(x)min＝f(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,16).综上所述，实数m的值为eq\f(1,2)或eq\f(1,16).故选D.6．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是()A．(－∞，－2] B．[－2，0)C．(0，2] D．[2，＋∞)答案D解析函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则函数y＝x(x－a)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(a2,4)在区间(0，1)上单调递减，因此eq\f(a,2)≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞)．故选D.7．(2023·辽宁名校联盟联考)已知函数f(x)满足f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－2，x>0，,2－2－x，x<0，))若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1，0)∪(0，1)B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，1)答案B解析当x>0时，－x<0，f(－x)＝2－2x＝－(2x－2)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝2－x－2＝－(2－2－x)＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数，所以f(a)>f(－a)＝－f(a)，即f(a)>0，作出函数f(x)的图象，如图所示，由图象可得，实数a的取值范围为(－1，0)∪(1，＋∞)．故选B.8．(2024·福建漳州四校期末)已知正数a，b，c满足2a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a－1)＝4，3b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(b－1)＝6，4c＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(c－1)＝8，则下列判断正确的是()A．a<b<c B．a<c<bC．c<b<a D．c<a<b答案A解析由已知可得a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)＝2，b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(b)＝2，c＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(c)＝2，则a，b，c可分别看作直线y＝2－x和y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)的图象的交点的横坐标，画出直线y＝2－x和y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)的大致图象，如图所示，由图象可知a<b<c.故选A.二、多项选择题9．下列各式中成立的是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)))eq\s\up12(7)＝n7meq\s\up7(\f(1,7))(n>0，m>0)B．－eq\r(12,34)＝eq\r(3,－3)C.eq\r(\r(3,9))＝eq\r(3,3)D．[(a3)2(b2)3]－eq\f(1,3)＝a－2b－2(a>0，b>0)答案BCD解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)))eq\s\up12(7)＝eq\f(n7,m7)＝n7m－7(n>0，m>0)，故A错误；－eq\r(12,34)＝－3eq\s\up7(\f(4,12))＝－3eq\s\up7(\f(1,3))＝eq\r(3,－3)，故B正确；eq\r(\r(3,9))＝eq\r(\r(3,32))＝eq\r(3eq\s\up3(\f(3,2)))＝eq\r(3,3)，故C正确；[(a3)2(b2)3]eq\s\up7(-\f(1,3))＝(a6b6)eq\s\up7(-\f(1,3))＝a－2b－2(a>0，b>0)，故D正确．故选BCD.10．已知函数f(x)＝eq\f(3x－1,3x＋1)，下列说法正确的是()A．f(x)的图象关于原点对称B．f(x)的图象关于直线x＝1对称C．f(x)的值域为(－1，1)D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)<0答案AC解析由f(－x)＝eq\f(3－x－1,3－x＋1)＝－eq\f(3x－1,3x＋1)＝－f(x)，可得函数f(x)为奇函数，所以A正确；因为f(0)＝0，f(2)＝eq\f(4,5)，f(0)≠f(2)，所以B错误；设y＝eq\f(3x－1,3x＋1)，可得3x＝eq\f(1＋y,1－y)，所以eq\f(1＋y,1－y)>0，即eq\f(1＋y,y－1)<0，解得－1<y<1，即函数f(x)的值域为(－1，1)，所以C正确；f(x)＝eq\f(3x－1,3x＋1)＝1－eq\f(2,3x＋1)为增函数，所以D错误．故选AC.三、填空题11．0.25eq\s\up7(-\f(1,2))－(－2×160)2×(2eq\s\up7(-\f(2,3)))3＋eq\r(3,2)×(4eq\s\up7(-\f(1,3)))－1＝________．答案3解析原式＝[(0.5)2]eq\s\up7(-\f(1,2))－(－2×1)2×2－2＋2eq\s\up7(\f(1,3))×2eq\s\up7(\f(2,3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－1)－4×eq\f(1,4)＋2＝2－1＋2＝3.12．不等式10x－6x－3x≥1的解集为________．答案[1，＋∞)解析由10x－6x－3x≥1，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))eq\s\up12(x)≤1.令f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))eq\s\up12(x)，因为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))eq\s\up12(x)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(x)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))eq\s\up12(x)均为R上的减函数，则f(x)在R上单调递减，且f(1)＝1，所以f(x)≤f(1)，所以x≥1，故不等式10x－6x－3x≥1的解集为[1，＋∞)．13．若函数f(x)＝|2x－a|－1的值域为[－1，＋∞)，则实数a的取值范围为________．答案(0，＋∞)解析令g(x)＝|2x－a|，由题意得g(x)的值域为[0，＋∞)，又y＝2x的值域为(0，＋∞)，所以－a<0，解得a>0.14．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－a，x≤0，,2x＋a，x>0，))关于x的不等式f(x)≤f(2)的解集为I，若I(－∞，2]，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－1)解析当a≥0时，结合图象可得f(x)≤f(2)的解集是(－∞，2]，不符合题意．当a<0时，2－a>2a，由于f(x)在区间(－∞，0]和(0，2]上单调递增，所以要使f(x)≤f(2)的解集I满足I(－∞，2]，则2－a>f(2)＝22＋a，解得a<－1.综上，实数a的取值范围是(－∞，－1)．四、解答题15．(2024·辽宁沈阳东北育才学校高三月考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且函数g(x)＝f(x)＋ex是定义在R上的偶函数．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求不等式f(x)≥eq\f(3,4)的解集．解(1)∵g(x)＝f(x)＋ex是定义在R上的偶函数，∴g(－x)＝g(x)，即f(－x)＋e－x＝f(x)＋ex，∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＋e－x＝f(x)＋ex，∴f(x)＝eq\f(e－x－ex,2).(2)由(1)，知eq\f(e－x－ex,2)≥eq\f(3,4)，得2e－x－2ex－3≥0，即2(ex)2＋3ex－2≤0，令t＝ex，t>0，则2t2＋3t－2≤0，解得0<t≤eq\f(1,2)，∴0<ex≤eq\f(1,2)，∴x≤－ln2，∴不等式f(x)≥eq\f(3,4)的解集为(－∞，－ln2]．16．(2024·山东菏泽高三期中)已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x3＋x).(1)解关于x的不等式f(x)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x3＋ax＋1)，a∈R；(2)若∃x∈(1，3)，∀m∈(1，2)，f(2mnx－4)－f(x2＋nx)＋x2＋nx－2mnx＋4≤0，求实数n的取值范围．解(1)由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x3＋x)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x3＋ax＋1)，得x3＋x<x3＋ax＋1，即(1－a)x<1.当1－a＝0，即a＝1时，不等式恒成立，则f(x)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x3＋ax＋1)的解集为R；当1－a>0，即a<1时，x<eq\f(1,1－a)，则f(x)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x3＋ax＋1)的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,1－a)))))；当1－a<0，即a>1时，x>eq\f(1,1－a)，则f(x)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x3＋ax＋1)的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,1－a))))).综上所述，当a＝1时，不等式的解集是R；当a<1时，不等式的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,1－a)))))；当a>1时，不等式的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,1－a))))).(2)因为y＝x3和y＝x均为增函数，所以y＝x3＋x是增函数，因为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)是减函数，所以f(x)是减函数，则g(x)＝f(x)－x是减函数．由f(2mnx－4)－f(x2＋nx)＋x2＋nx－2mnx＋4≤0可得，g(2mnx－4)＝f(2mnx－4)－(2mnx－4)≤f(x2＋nx)－(x2＋nx)＝g(x2＋nx)，所以2mnx－4≥x2＋nx，所以2mn－n≥x＋eq\f(4,x)能成立，又x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(x·\f(4,x))＝4，当且仅当x＝eq\f(4,x)，即x＝2时，不等式取等号，即∀m∈(1，2)，2mn－n≥4恒成立，由一次函数性质可知，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2n－n≥4，,4n－n≥4，))解得n≥4，所以实数n的取值范围是[4，＋∞)．17．(多选)已知函数f(x)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是()A．a＋b＝0B．若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＋y＝0C．若x<y<0，则f(x)<f(y)D．f(x)的值域为[0，2)答案ABD解析∵函数f(x)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＋b的图象过原点，∴a＋b＝0，即b＝－a，则f(x)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)－a，又f(x)的图象无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，∴b＝2，a＝－2，f(x)＝－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＋2，故A正确；由于f(x)为偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，故若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＝－y，即x＋y＝0，故B正确；由于f(x)＝2－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)在(－∞，0)上单调递减，故若x<y<0，则f(x)>f(y)，故C错误；∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)∈(0，1]，∴f(x)＝－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＋2∈[0，2)，故D正确．故选ABD.18．(多选)已知实数a，b满足3a＝6b，则下列关系式可能成立的是()A．a＝b B．0<b<aC．a<b<0 D．1<a<b答案ABC解析由题意，在同一坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象，如图所示，由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，所以A可能成立；作出直线y＝k，当k>1时，若3a＝6b＝k，则0<b<a，所以B可能成立；当0<k<1时，若3a＝6b＝k，则a<b<0，所以C可能成立．故选ABC.19．(2023·广东珠海一中阶段考试)对于函数f(x)，若其定义域内存在实数x满足f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为“准奇函数”．若函数f(x)＝eq\f(ex－2,ex＋1)，则f(x)________(是，不是)“准奇函数”；若g(x)＝2x＋m为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，则实数m的取值范围为________．答案不是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)，－1))解析假设f(x)为“准奇函数”，则存在x满足f(－x)＝－f(x)，∴eq\f(e－x－2,e－x＋1)＝－eq\f(ex－2,ex＋1)有解，整理得ex＝－1，显然无解，∴f(x)不是“准奇函数”．∵g(x)＝2x＋m为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，∴2－x＋m＝－2x－m在[－1，1]上有解，∴2m＝－(2x＋2－x)在[－1，1]上有解，令2x＝t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，∴2m＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))在t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上有解，又函数y＝t＋eq\f(1,t)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上单调递减，在(1，2]上单调递增，且t＝eq\f(1,2)时，y＝eq\f(5,2)，t＝2时，y＝eq\f(5,2)，∴ymin＝1＋1＝2，ymax＝eq\f(5,2)，∴y＝t＋eq\f(1,t)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2)))，∴2m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－2))，解得m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)，－1)).第六节对数与对数函数课标解读考向预测1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与其图象上的特殊点.3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1).对数函数中利用性质比较对数值大小，求对数函数的定义域、值域、最值等是近几年高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，属于中档题．预计2025年高考可能会考查对数函数的图象以及单调性等性质，题型为选择题或填空题，难度中档；也可能会以对数或对数函数为载体，结合新定义、初等数论等以创新型题目出现在第19题，难度较大.必备知识——强基础1．对数的概念(1)定义：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数eq\x(\s\up1(01))x叫做以a为底N的对数，记作x＝eq\x(\s\up1(02))logaN，其中a叫做对数的eq\x(\s\up1(03))底数，N叫做eq\x(\s\up1(04))真数．(2)常用对数和自然对数①常用对数：以eq\x(\s\up1(05))10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为eq\x(\s\up1(06))lg__N．②自然对数：以eq\x(\s\up1(07))e为底的对数叫做自然对数，并把logeN记为eq\x(\s\up1(08))ln__N．2．对数的性质(1)eq\x(\s\up1(09))负数和0没有对数；(2)loga1＝eq\x(\s\up1(10))0；(3)logaa＝eq\x(\s\up1(11))1；(4)对数恒等式：alogaN＝eq\x(\s\up1(12))N；logaab＝eq\x(\s\up1(13))b(a>0，且a≠1)．3．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(MN)＝eq\x(\s\up1(14))logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝eq\x(\s\up1(15))logaM－logaN；(3)logaMn＝eq\x(\s\up1(16))nlogaM(n∈R)．4．换底公式：logab＝eq\x(\s\up1(17))eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．5．对数函数及其性质(1)概念：函数eq\x(\s\up1(18))y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是eq\x(\s\up1(19))(0，＋∞)．(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域eq\x(\s\up1(20))(0，＋∞)值域eq\x(\s\up1(21))R性质当x＝1时，y＝0，即图象过定点eq\x(\s\up1(22))(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是eq\x(\s\up1(23))增函数在(0，＋∞)上是eq\x(\s\up1(24))减函数6.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数eq\x(\s\up1(25))y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线eq\x(\s\up1(26))y＝x对称．它们的定义域和值域正好互换．1．对数运算的两个重要结论(1)logab＝eq\f(1,logba)(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)．(2)logambn＝eq\f(n,m)logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0)．2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．3．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1))，函数图象只在第一、四象限．4．对于函数f(x)＝|logax|(a>0，且a≠1)，若f(m)＝f(n)(m≠n)，则必有mn＝1.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.()(2)logax·logay＝loga(x＋y)．()(3)log2x2＝2log2x.()(4)函数y＝log2x与y＝logeq\s\up-7(\f(1,2))eq\f(1,x)的图象重合．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)(人教A必修第一册习题4.3T5改编)设lg2＝a，lg3＝b，则log1210＝()A.eq\f(1,2a＋b) B.eq\f(1,a＋2b)C．2a＋b D．2b＋a答案A解析log1210＝eq\f(1,lg12)＝eq\f(1,lg3＋2lg2)＝eq\f(1,2a＋b).(2)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是()A．y＝x B．y＝lgxC．y＝2x D．y＝eq\f(1,\r(x))答案D(3)已知实数a＝log32，b＝log2π，c＝log2eq\r(10)，则()A．a<b<c B．a<c<bC．c<a<b D．c<b<a答案A(4)(人教B必修第二册4.2.3尝试与发现(2)改编)已知函数y＝loga(x－3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．答案(4，－1)考点探究——提素养考点一对数的概念与运算例1(1)(多选)下列各式化简运算结果为1的是()A．log53×log32×log25B．lgeq\r(2)＋eq\f(1,2)lg5C．logeq\r(a)a2(a>0，且a≠1)D．eln3－0.125eq\s\up7(-\f(1,3))答案AD解析对于A，原式＝eq\f(lg3,lg5)×eq\f(lg2,lg3)×eq\f(lg5,lg2)＝1；对于B，原式＝eq\f(1,2)lg2＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)lg(2×5)＝eq\f(1,2)；对于C，原式＝2logeq\r(a)a＝2×2＝4；对于D，原式＝3－8eq\s\up7(\f(1,3))＝3－2＝1.故选AD.(2)已知正实数x，y，z满足3x＝4y＝(2eq\r(3))z，则()A.eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,z) B.eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝eq\f(1,x)C.eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(2,z) D.eq\f(1,x)＋eq\f(1,z)＝eq\f(2,y)答案C解析令3x＝4y＝(2eq\r(3))z＝a，则x＝log3a，y＝log4a，z＝log2eq\r(3)a，故eq\f(1,x)＝loga3，eq\f(1,y)＝loga4，eq\f(1,z)＝loga2eq\r(3)，故eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝loga12＝2logaeq\r(12)＝eq\f(2,z).故选C.【通性通法】对数运算的一般思路转化利用ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)对题目条件进行转化利用换底公式转化为同底数的对数运算恒等式注意loga1＝0，logaaN＝N，alogaN＝N(a>0，且a≠1)的应用拆分将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算法则化简合并将对数式化为同底数对数的和、差、倍数形式，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算注意：利用常用对数中的lg2＋lg5＝1.【巩固迁移】1．化简(2log43＋log83)(log32＋log92)的值为()A．1 B．2C．4 D．6答案B解析原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(1,2)log23＋\f(1,3)log23))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log32＋\f(1,2)log32))＝eq\f(4,3)log23×eq\f(3,2)log32＝2.故选B.2．(多选)(2024·江苏连云港灌南高级中学、灌云高级中学高三联考)若10a＝4，10b＝25，则()A．a＋b＝2 B．b－a＝1C．ab>(lg2)2 D．b－a>lg6答案ACD解析由10a＝4，10b＝25，得a＝lg4，b＝lg25，所以a＋b＝lg4＋lg25＝lg100＝2，故A正确；因为b－a＝lg25－lg4＝lgeq\f(25,4)<lg10＝1，故B错误；因为ab＝lg4·lg25>lg2·lg2＝(lg2)2，故C正确；因为b－a＝lg25－lg4＝lgeq\f(25,4)>lgeq\f(24,4)＝lg6，故D正确．故选ACD.3．(2024·江苏南通高三教学质量监测)已知树木样本中碳­14含量与树龄之间的函数关系式为k＝k0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(n,5730))，其中k0为树木最初生长时的碳­14含量，n(单位：年)为树龄，通过测定发现某古树样品中碳­14含量为0.6k0，则该古树的树龄约为________万年．(精确到0.01，lg3≈0.48，lg5≈0.70)答案0.42解析由题意，得0.6k0＝k0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(n,5730))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(n,5730))＝eq\f(3,5)，两边取对数，得eq\f(n,5730)lgeq\f(1,2)＝lgeq\f(3,5)，变形，得n＝eq\f(lg5－lg3,lg2)×5730＝eq\f(lg5－lg3,1－lg5)×5730，因为lg3≈0.48，lg5≈0.70，所以n≈eq\f(0.70－0.48,1－0.70)×5730＝4202，故该古树的树龄约为0.42万年．考点二对数函数的图象及其应用例2(1)已知函数f(x)＝ax＋b的图象如图所示，则函数y＝loga(|x|＋b)的图象可以是()答案D解析由函数f(x)＝ax＋b的图象，可知0<a<1，－1<b<0，函数y＝g(x)＝loga(|x|＋b)的定义域为(－∞，b)∪(－b，＋∞)，且g(－x)＝loga(|－x|＋b)＝loga(|x|＋b)＝g(x)，即函数y＝loga(|x|＋b)为偶函数．又函数y＝loga(|x|＋b)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(loga(x＋b)，x>－b,loga(－x＋b)，x<b,))所以y＝loga(|x|＋b)在(－b，＋∞)上单调递减，在(－∞，b)上单调递增．故选D.(2)设x1，x2，x3均为实数，且e－x1＝lnx1，e－x2＝ln(x2＋1)，e－x3＝lgx3，则()A．x1<x2<x3 B．x1<x3<x2C．x2<x3<x1 D．x2<x1<x3答案D解析画出函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))eq\s\up12(x)，y＝lnx，y＝ln(x＋1)，y＝lgx的图象，如图所示，数形结合，知x2<x1<x3.【通性通法】(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．【巩固迁移】4．若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga|x＋k|的大致图象是()答案B解析因为函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上是奇函数，所以f(0)＝0，所以k＝2，经检验，k＝2满足题意．又因为f(x)为减函数，所以0<a<1，则g(x)＝loga|x＋2|(0<a<1)，由g(－4－x)＝loga|－4－x＋2|＝loga|x＋2|＝g(x)，可知g(x)的图象关于直线x＝－2对称，排除C，D；又g(0)＝loga|0＋2|＝loga2<0，可知A错误．故选B.5．已知函数f(x)＝|log2x|，实数a，b满足0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，若f(x)在[a2，b]上的最大值为2，则eq\f(1,a)＋b＝________．答案4解析∵f(x)＝|log2x|，∴f(x)的图象如图所示，又f(a)＝f(b)且0＜a＜b，∴0＜a＜1，b＞1且ab＝1，∴a2＜a，当a2≤x≤b时，由图可知，f(x)max＝f(a2)＝|log2a2|＝－2log2a＝2，∴a＝eq\f(1,2)，∴b＝2，∴eq\f(1,a)＋b＝4.考点三对数函数的性质及其应用(多考向探究)考向1比较大小问题例3(1)若a＝0.50.3，b＝log0.53，c＝log0.30.2，则()A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>a>b答案D解析因为0<a＝0.50.3<0.50＝1，b＝log0.53<0，c＝log0.30.2>log0.30.3＝1，所以c>a>b.故选D.(2)若a＝log23＋log32，b＝2，c＝eq\f(1,logπ2)＋log3π，则()A．a>b>c B．c>a>bC．c>b>a D．b>c>a答案B解析因为a＝log23＋log32>2eq\r(log23·log32)＝2，所以a>b.因为f(x)＝log2x，g(x)＝log3x单调递增，所以c＝log2π＋log3π>log23＋log32，所以c>a.综上，c＞a＞b.故选B.【通性通法】对数值比较大小的四种常见类型(1)底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断．(2)底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．(3)底数不同，真数相同，可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(4)底数与真数都不同，常借助1，0等中间量进行比较．【巩固迁移】6．(多选)(2024·河北尚义高三联考)已知a＝log827，b＝log916，c＝log48，则()A．a<b B．a>cC．b<c D．b<a答案BCD解析因为a＝log827＝log2333＝log23，b＝log916＝log34，c＝log48＝eq\f(3,2)，所以eq\f(a,b)＝eq\f(log23,log34)＝eq\f(ln3,ln2)·eq\f(ln3,ln4)＝eq\f(6ln3·ln3,6ln2·ln4)＝eq\f(2ln3,3ln2)·eq\f(3ln3,2ln4)＝eq\f(ln9,ln8)·eq\f(ln27,ln16)>1，又a，b均大于0，所以a>b，故A错误，D正确；因为a＝log23>log22eq\r(2)＝eq\f(3,2)＝c，所以a>c，故B正确；因为16<33，即4<3eq\s\up7(\f(3,2))，所以b＝log916＝log34<log33eq\s\up7(\f(3,2))＝eq\f(3,2)＝c，即b<c，故C正确．故选BCD.考向2解简单的对数不等式例4(1)已知函数f(x)＝log2x－x＋1，则不等式f(x)<0的解集是()A．(1，2)B．(－∞，1)∪(2，＋∞)C．(0，2)D．(0，1)∪(2，＋∞)答案D解析依题意，f(x)<0等价于log2x<x－1，在同一坐标系中作出y＝log2x，y＝x－1的图象，如图所示，可得log2x<x－1的解集为(0，1)∪(2，＋∞)．故选D.(2)不等式logeq\s\up-7(\f(1,2))(eq\r(x)＋1)－logeq\s\up-7(\f(1,2))(eq\r(x)－1)<－eq\f(1,2)的解集是________．答案(1，17＋12eq\r(2))解析因为logeq\s\up-7(\f(1,2))(eq\r(x)＋1)－logeq\s\up-7(\f(1,2))(eq\r(x)－1)<－eq\f(1,2)可化为logeq\s\up-7(\f(1,2))eq\f(\r(x)＋1,\r(x)－1)<－eq\f(1,2)⇒eq\f(\r(x)＋1,\r(x)－1)>eq\r(2)⇒1<eq\r(x)<3＋2eq\r(2)，所以x∈(1，17＋12eq\r(2))，即原不等式的解集为(1，17＋12eq\r(2))．【通性通法】与对数函数有关的不等式的求解策略【巩固迁移】7．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)单调递减，则不等式f(logeq\s\up0(\f(1,3))(2x－5))＞f(log38)的解集为________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(41,16)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,2)，＋∞))解析因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，所以可将f(logeq\s\up-7(\f(1,3))(2x－5))＞f(log38)化为|logeq\s\up-7(\f(1,3))(2x－5)|＞|log38|，即log3(2x－5)＞log38或log3(2x－5)＜－log38＝log3eq\f(1,8)，即2x－5＞8或0＜2x－5＜eq\f(1,8)，解得x＞eq\f(13,2)或eq\f(5,2)＜x＜eq\f(41,16).考向3与对数函数有关的复合函数问题例5(多选)(2024·广东部分地市高三模拟)已知函数f(x)＝ln(x2＋x＋m)(m∈R)，则()A．当m>eq\f(1,4)时，f(x)的定义域为RB．f(x)一定存在最小值C．f(x)的图象关于直线x＝－eq\f(1,2)对称D．当m≥1时，f(x)的值域为R答案AC解析对于A，若