2023九年级数学上册 第二十四章 圆24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系第3课时 切线长定理教案（新版）新人教版

2023九年级数学上册第二十四章圆24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2直线和圆的位置关系第3课时切线长定理教案（新版）新人教版科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2023九年级数学上册第二十四章圆24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2直线和圆的位置关系第3课时切线长定理教案（新版）新人教版教学内容本节课的教学内容来自于2023年九年级数学上册第二十四章《圆》的24.2节“点和圆、直线和圆的位置关系”，具体是24.2.2节“直线和圆的位置关系”的第3课时。主要学习切线长定理，该定理指出：从圆外一点引出两条切线，分别与圆相切，这两条切线的切点到该点的距离相等。

教学目标：

1.理解切线长定理的内容及其应用。

2.能够运用切线长定理解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

教学重点：

1.切线长定理的掌握。

2.能够运用切线长定理解决实际问题。

教学难点：

1.理解并证明切线长定理。

2.灵活运用切线长定理解决复杂问题。核心素养目标本节课的核心素养目标主要包括：

1.逻辑推理：通过探索切线长定理的证明过程，培养学生的逻辑推理能力，使其能够从具体实例中抽象出切线长定理的一般性结论。

2.数学建模：引导学生运用切线长定理解决实际问题，培养学生建立数学模型的能力，提高其应用数学知识解决实际问题的能力。

3.直观想象：通过图形演示和实际操作，帮助学生直观地理解切线长定理，培养学生的直观想象能力。

4.数学运算：在探索切线长定理的过程中，引导学生运用数学运算方法，提高其数学运算能力。

5.数据分析：在解决实际问题时，引导学生收集和处理相关信息，培养学生的数据分析能力。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：在学习本节课之前，学生应该已经掌握了以下相关知识：圆的基本概念，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，以及切线的定义。此外，学生还应该具备一定程度的逻辑推理和数学运算能力。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：九年级的学生对数学学科的兴趣各异，但总体上对于解决实际问题较为感兴趣。在学习能力方面，学生已经具备一定程度的独立思考和解决问题的能力。在学习风格上，部分学生偏好直观演示和动手操作，而另一部分学生则更喜欢通过逻辑推理和数学运算来解决问题。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在学习和理解切线长定理的过程中，学生可能会遇到以下困难和挑战：如何从具体实例中抽象出切线长定理的一般性结论，如何运用切线长定理解决实际问题，以及如何在解决实际问题的过程中建立数学模型。此外，对于部分学生来说，理解和证明切线长定理的过程可能较为困难，需要教师给予耐心指导和启发。教学方法与策略1.教学方法：

为了达到本节课的教学目标，我选择采用讲授法、案例研究法、项目导向学习法和小组合作学习法等多种教学方法。

讲授法：在讲解切线长定理的过程中，教师可以通过条理清晰的讲解，帮助学生理解定理的内涵和应用。

案例研究法：教师可以选取一些典型的实际问题，让学生通过分析、讨论和解决问题，培养其应用切线长定理解决实际问题的能力。

项目导向学习法：教师可以设计一些与现实生活密切相关的项目，让学生通过调查、研究、分析和解决问题，提高其运用切线长定理解决实际问题的能力。

小组合作学习法：在探索切线长定理的过程中，教师可以组织学生进行小组合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

2.教学活动设计：

(1)导入新课：通过一个简单的实际问题，引发学生对切线长定理的好奇心，激发学生的学习兴趣。

(2)讲解切线长定理：采用讲授法，结合图形演示，清晰地讲解切线长定理的定义、证明过程和应用。

(3)案例分析：提供几个典型的实际问题，让学生运用切线长定理进行分析和解决，培养学生的应用能力。

(4)小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享各自的问题解决过程，互相学习和交流。

(5)总结与反思：让学生总结本节课所学的内容，反思自己在学习过程中的收获和不足，为今后的学习做好准备。

3.教学媒体和资源的使用：

(1)PPT：教师可以制作内容丰富、结构清晰的PPT，展示切线长定理的定义、证明过程和应用实例，帮助学生更好地理解和掌握知识。

(2)视频：可以为学生提供一些与切线长定理相关的教学视频，让学生在课后自主学习，提高学习效果。

(3)在线工具：教师可以引导学生利用在线工具，进行实时的互动学习和问题解决，提高学生的学习兴趣和参与度。

(4)实践材料：为学生提供一些实践材料，如圆规、直尺等，让学生在动手实践中更好地理解和掌握切线长定理。教学流程本节课的教学流程分为三个部分：课前准备、课中学习和课后作业，总用时不超过45分钟。

1.课前准备（5分钟）

在课前，教师需要准备相关的教学资源和材料，如PPT、视频、在线工具和实践材料等。此外，教师还需要设计一些实际问题，以便在课堂上进行案例分析和讨论。

2.课中学习（35分钟）

(1)导入新课（5分钟）

教师通过一个简单的实际问题，如“在圆纸上剪一个最大的正方形，求正方形的对角线长度”，引发学生对切线长定理的好奇心，激发学生的学习兴趣。

(2)讲解切线长定理（10分钟）

采用讲授法，结合图形演示，清晰地讲解切线长定理的定义、证明过程和应用。在此过程中，教师需要注意引导学生理解和掌握切线长定理的关键点。

(3)案例分析（10分钟）

提供几个典型的实际问题，让学生运用切线长定理进行分析和解决。教师可以组织学生进行小组合作学习，分享各自的问题解决过程，互相学习和交流。

(4)小组讨论（5分钟）

组织学生进行小组讨论，让学生总结本节课所学的内容，反思自己在学习过程中的收获和不足。教师可以引导学生运用切线长定理解决一些实际问题，以提高学生的应用能力。

3.课后作业（5分钟）

布置一些与切线长定理相关的练习题，让学生在课后巩固所学知识。此外，教师还可以鼓励学生自主寻找生活中的实际问题，运用切线长定理进行解决，以提高学生的实际应用能力。

整体来看，本节课的教学流程注重引导学生从实际问题中抽象出切线长定理，并通过案例分析和小组讨论等方式，培养学生的应用能力和团队合作意识。在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时给予指导和帮助，以确保教学效果的达成。教学资源拓展1.拓展资源：

（1）数学故事：教师可以给学生讲述一些与圆和切线有关的历史故事，如圆的起源和发展，以及切线的发现和应用等，以激发学生对数学的兴趣和热情。

（2）数学游戏：教师可以设计一些与圆和切线有关的数学游戏，如圆的周长和面积计算游戏，切线的性质和判定游戏等，让学生在游戏中巩固所学知识，提高学习效果。

（3）数学竞赛：教师可以引导学生参加一些与圆和切线有关的数学竞赛，如数学奥林匹克竞赛等，以提高学生的数学水平和解决问题的能力。

（4）实际问题案例：教师可以收集一些与圆和切线有关的实际问题案例，如圆的周长和面积在工程和科学中的应用，切线在几何和绘画中的应用等，让学生通过解决问题，提高其应用能力。

2.拓展建议：

（1）学生可以自主查阅相关数学故事，了解圆和切线的起源和发展，激发学习兴趣。

（2）学生可以尝试玩一些与圆和切线有关的数学游戏，巩固所学知识，提高学习效果。

（3）学生可以参加一些与圆和切线有关的数学竞赛，提高自己的数学水平和解决问题的能力。

（4）学生可以尝试解决一些与圆和切线有关的实际问题，提高其应用能力。

（5）学生可以阅读一些与圆和切线有关的数学书籍，深入了解相关知识，提高自己的数学素养。

（6）学生可以观看一些与圆和切线有关的数学讲座和视频，听取专家的讲解和解读，提高自己的数学理解能力。典型例题讲解本节课的典型例题讲解将围绕切线长定理的应用展开，通过具体的例题引导学生掌握切线长定理的运用方法，提高其解决问题的能力。以下是五个典型例题及解答过程：

例题1：

题目：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，且OP垂直于圆O的切线AT。求证：AT=2r。

解答：

根据题意，我们可以画出如下的图形：

```

O/\/\

PT

```

由于OP垂直于AT，所以∠OAP为直角。根据勾股定理，我们可以得到：

AT^2=OA^2+OP^2

又因为OA=r，OP=d，所以：

AT^2=r^2+d^2

而根据切线长定理，AT=2r，所以：

(2r)^2=r^2+d^2

4r^2=r^2+d^2

3r^2=d^2

r^2=d^2/3

r=d/√3

由于AT=2r，所以：

AT=2r=2(d/√3)=2d/√3

所以，我们证明了AT=2r。

例题2：

题目：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，且OP与圆O的切线AT相交于点Q。求证：AQ=2r。

解答：

根据题意，我们可以画出如下的图形：

```

O/\/\

PQT

```

由于OP与AT相交于点Q，所以∠OAP和∠TQP为对顶角，因此相等。又因为∠OAP为直角，所以∠TQP也为直角。根据切线长定理，我们可以得到：

AQ=2r

所以，我们证明了AQ=2r。

例题3：

题目：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，且OP与圆O的切线AT相交于点Q。求证：PQ为圆O的直径。

解答：

根据题意，我们可以画出如下的图形：

```

O/\/\

PQT

```

由于OP与AT相交于点Q，所以∠OAP和∠TQP为对顶角，因此相等。又因为∠OAP为直角，所以∠TQP也为直角。根据切线长定理，我们可以得到：

AQ=2r

又因为AQ=PQ，所以：

PQ=2r

所以，PQ为圆O的直径。

例题4：

题目：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，且OP与圆O的切线AT相交于点Q。求证：三角形APQ为等腰三角形。

解答：

根据题意，我们可以画出如下的图形：

```

O/\/\

PQT

```

由于OP与AT相交于点Q，所以∠OAP和∠TQP为对顶角，因此相等。又因为∠OAP为直角，所以∠TQP也为直角。根据切线长定理，我们可以得到：

AQ=2r

又因为AQ=PQ，所以：

PQ=2r

由于OA=OP=d，所以：

AP=√(OA^2+OP^2)=√(d^2+d^2)=√2d^2=d√2

而PQ=2r=2d/√3

所以，AP=PQ

因此，三角形APQ为等腰三角形。

例题5：

题目：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，且OP与圆O的切线AT相交于点Q。求证：三角形APQ为直角三角形。

解答：

根据题意，我们可以画出如下的图形：

```

O/\/\

PQT

```

由于OP与AT相交于点Q，所以∠OAP和∠TQP为对顶角，因此相等。又因为∠OAP为直角，所以∠TQP也为直角。根据切线长定理，我们可以得到：

AQ=2r

又因为AQ=PQ，所以：

PQ=2r

由于OA=OP=d，所以：

AP=√(OA^2+OP^2)=√(d^2+d^2)=√2d^2=d√2

而PQ=2r=2d/√3

所以，AP^2+PQ^2=(d√2)^2+(2d/√3)^2

=2d^2+4d^2/3

=6d^2/3+4d^2/3

=10d^2/3

而AT^2=OA^2+OP^2=d^2+d^2=2d^2

所以，AP^2+PQ^2=AT^2

因此，三角形APQ为直角三角形。课堂八、教学评价

1.课堂评价（10分钟）

（1）提问：在讲解切线长定理的过程中，教师可以通过提问的方式，了解学生对知识的掌握程度。例如，教师可以问学生：“什么是切线长定理？”“如何证明切线长定理？”“切线长定理有哪些应用？”等。通过学生的回答，教师可以了解学生对切线长定理的理解程度。

（2）观察：教师可以通过观察学生的课堂表现，了解学生的学习情况。例如，教师可以观察学生是否积极参与课堂讨论，是否能够正确回答问题，是否能够认真听讲等。通过观察，教师可以了解学生对切线长定理的掌握情况。

（3）测试：在课堂结束前，教师可以设计一些与切线长定理相关的测试题，让学生在课堂上完成。通过测试，教师可以了解学生对切线长定理的掌握程度，并及时发现学生存在的问题。

2.作业评价（15分钟）

（1）认真批改：教师需要认真批改学生的作业，检查学生对切线长定理的掌握情况。对于学生的错误，教师需要及时指出并给予正确的解答。

（2）点评：在作业评语中，教师需要给予学生适当的点评，鼓励学生继续努力。例如，教师可以对学生的作业进行以下点评：“你对切线长定理的理解很到位，继续努力！”、“你能够灵活运用切线长定理解决实际问题，非常好！”等。

（3）反馈：教师需要及时将作业评价反馈给学生，让学生了解自己的学习效果。对于学生的优点，教师需要给予表扬和鼓励；对于学生的不足，教师需要给予指导和建议。板书设计1.条理清楚：

（1）重点知识点：切线长定理。

（2）关键词：圆、点、直线、切线、切线长、切线长定理。

（3）句：从圆外一点引出两条切线，分别与圆相切，这两条切线的切点到该点的距离相等。

2.重点突出：

（1）重点知识点：切线长定理的应用。

（2）关键词：切线长、圆心、点、距离。

（3）句：利用切线长定理解决实际问题，如求解圆的直径、求解切线的长度等。

3.简洁明了：

（1）重点知识点：切线长定理的