2023九年级数学上册 第22章 一元二次方程22.3 实践与探索教案 （新版）华东师大版

2023九年级数学上册第22章一元二次方程22.3实践与探索教案（新版）华东师大版学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容分析本节课的主要教学内容是华东师大版2023九年级数学上册第22章“一元二次方程”的22.3节“实践与探索”。本节内容主要包括以下几个方面：

1.理解一元二次方程的解法及其应用。

2.掌握一元二次方程的解的判别式及其应用。

3.能够运用一元二次方程解决实际问题。

教学内容与学生已有知识的联系：

学生在之前的学习中已经掌握了代数的基本知识，包括代数式的运算、解方程等。在此基础上，本节课将进一步引导学生深入理解一元二次方程的解法及其应用，帮助学生将已有知识运用到实际问题中，提高解决问题的能力。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养。通过学习一元二次方程的解法及其应用，学生能够抽象出一元二次方程的基本概念，运用逻辑推理推导出解的判别式的计算方法，运用数学建模将一元二次方程应用于实际问题中，提高数学运算能力，熟练运用一元二次方程解决实际问题。同时，通过小组讨论、实践探索等环节，培养学生的合作交流能力和问题解决能力。重点难点及解决办法重点：

1.一元二次方程的解法及其应用。

2.一元二次方程的解的判别式及其应用。

3.运用一元二次方程解决实际问题。

难点：

1.理解一元二次方程的解法，并能灵活运用解决实际问题。

2.掌握一元二次方程的解的判别式的计算方法，并能应用于实际问题中。

解决办法：

1.通过具体案例引导学生理解一元二次方程的解法，并通过练习题加深理解。

2.通过例题讲解和练习题，让学生掌握一元二次方程的解的判别式的计算方法。

3.提供实际问题，让学生运用一元二次方程解决，引导学生将理论知识应用于实际情境中。

突破策略：

1.利用多媒体教学工具，如动画演示一元二次方程的解法过程，帮助学生形象理解。

2.组织小组讨论，让学生共同解决实际问题，促进合作交流和思维碰撞。

3.提供多样化的练习题，包括不同难度的问题，让学生层层递进地掌握知识。教学方法与手段教学方法：

1.引导发现法：教师通过提出问题，引导学生主动探索一元二次方程的解法及其应用，激发学生的思考和解决问题的能力。

2.案例分析法：教师通过引入具体的实际问题，让学生运用一元二次方程解决，培养学生的数学建模能力和问题解决能力。

3.小组合作法：教师组织学生进行小组讨论和实践探索，促进学生之间的交流与合作，培养学生的团队合作能力和交流沟通能力。

教学手段：

1.多媒体教学：教师利用多媒体设备，如PPT、动画等，进行生动直观的教学演示，帮助学生形象理解一元二次方程的解法及其应用。

2.教学软件辅助：教师运用教学软件，如数学软件、在线教学平台等，进行实时互动教学，提高教学效果和学生的参与度。

3.实践操作活动：教师组织学生进行实践操作活动，如数学实验、小组讨论等，让学生亲自动手操作，增强学生的实践能力和创新能力。教学流程本节课的教学流程分为三个部分：课前准备、课中学习和课后巩固。整体教学过程设计如下：

1.课前准备（5分钟）

在课前，教师需要准备相关的教学材料和资源，包括PPT、动画、练习题等。同时，教师还需布置学生预习课本中的相关内容，了解一元二次方程的基本概念和解法。

2.课中学习（35分钟）

（1）导入新课（5分钟）

教师通过引入一个实际问题，激发学生的兴趣，引导学生思考如何运用数学知识解决实际问题。例如：“某商品的原价为x元，商店进行打折促销，如果打8折，则售价为0.8x元。如果打9折，则售价为0.9x元。请问，商品的原价是多少？”

（2）讲授新课（20分钟）

教师通过PPT和动画，生动直观地演示一元二次方程的解法过程，引导学生理解解法的基本原理。同时，教师通过例题讲解，让学生掌握一元二次方程的解的判别式的计算方法。

例如，教师可以讲解以下例题：

已知一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0），求该方程的解。

解法：

（1）根据公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，求出方程的两个解。

（2）判断判别式Δ=b^2-4ac的值：

-当Δ>0时，方程有两个不相等的实数解；

-当Δ=0时，方程有两个相等的实数解；

-当Δ<0时，方程没有实数解。

（3）实践与应用（10分钟）

教师组织学生进行小组讨论，让学生共同解决实际问题，引导学生将理论知识应用于实际情境中。例如，教师可以提供以下实际问题：

某班级举行数学竞赛，共有30名学生参加。如果每组最多有4名学生，那么可以组成多少个不同的组？

学生通过小组讨论，运用一元二次方程解决问题，得出答案。

3.课后巩固（5分钟）

教师布置适量的练习题，让学生在课后巩固所学知识。例如：

已知一元二次方程2x^2-5x+2=0，求该方程的解。

学生完成后，教师及时批改并给予反馈，帮助学生巩固知识点。

整个教学流程共计45分钟。在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的掌握程度进行调整教学节奏和难度，确保学生能够有效掌握一元二次方程的相关知识。拓展与延伸1.提供了与本节课内容相关的拓展阅读材料，帮助学生深入了解一元二次方程的应用和发展历史。例如，《一元二次方程的应用案例解析》、《一元二次方程的历史发展》等。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究，提升学生的学习能力。教师可以布置一些拓展性的练习题，让学生进一步巩固所学知识。例如：

（1）已知一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的两个解为x1和x2，证明：x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a。

（2）探究一元二次方程在实际生活中的应用，如抛物线在物理学、工程学等方面的应用。

（3）了解一元二次方程在古代数学家的研究中是如何被发现的，了解其发展历史。

3.引导学生利用网络资源，收集一元二次方程在现代科技领域的应用案例，如在计算机科学、人工智能等方面的应用。

4.组织学生进行小组讨论，探讨一元二次方程在解决实际问题中的局限性，如何改进和完善一元二次方程模型，提高其在实际问题中的应用效果。

5.鼓励学生参加数学竞赛、研究性学习等活动，提升学生的数学素养和综合能力。

6.教师可以结合本节课的内容，向学生推荐一些数学名著或数学家传记，如《数学家的故事》、《数学之美》等，让学生了解数学的发展历程，激发学生对数学的热爱和兴趣。典型例题讲解本节课将讲解与一元二次方程相关的典型例题，通过这些例题的解析，帮助学生更好地理解和掌握一元二次方程的解法及其应用。以下是五个典型例题的讲解：

例题1：已知一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的两个解为x1和x2，求证：x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a。

解析：根据一元二次方程的解法，我们知道方程的两个解为：

x1=(-b+√(b^2-4ac))/(2a)

x2=(-b-√(b^2-4ac))/(2a)

将x1和x2相加，得到：

x1+x2=[(-b+√(b^2-4ac))/(2a)]+[(-b-√(b^2-4ac))/(2a)]

=(-b+√(b^2-4ac)-b-√(b^2-4ac))/(2a)

=(-2b)/(2a)

=-b/a

将x1和x2相乘，得到：

x1*x2=[(-b+√(b^2-4ac))/(2a)]*[(-b-√(b^2-4ac))/(2a)]

=(b^2-(b^2-4ac))/(4a^2)

=4ac/(4a^2)

=c/a

因此，得证：x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a。

例题2：已知一元二次方程2x^2-5x+2=0，求该方程的解。

解析：根据一元二次方程的解法，我们可以直接应用公式求解：

x=(-(-5)±√((-5)^2-4*2*2))/(2*2)

x=(5±√(25-16))/4

x=(5±√9)/4

x=(5±3)/4

因此，方程的两个解为：

x1=(5+3)/4=2

x2=(5-3)/4=1/2

例题3：判断以下方程是否有实数解：x^2+4=0。

解析：根据一元二次方程的解的判别式，我们可以计算判别式的值：

Δ=b^2-4ac=0^2-4*1*4=-16

因为Δ<0，所以方程没有实数解。

例题4：已知一元二次方程x^2-4x+k=0的一个解为x1=2，求k的值。

解析：将x1=2代入方程，得到：

2^2-4*2+k=0

4-8+k=0

k=4

因此，k的值为4。

例题5：已知一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的两个解为x1和x2，且x1<x2，求证：a(x-x1)(x-x2)=a(x^2-(x1+x2)x+x1x2)。

解析：根据一元二次方程的解法，我们知道方程的两个解为：

x1=(-b+√(b^2-4ac))/(2a)

x2=(-b-√(b^2-4ac))/(2a)

将x1和x2代入左边的表达式，得到：

a(x-x1)(x-x2)=a(x-(-b+√(b^2-4ac))/(2a))(x-(-b-√(b^2-4ac))/(2a))

=a(x^2-(-b+√(b^2-4ac))x-bx+b√(b^2-4ac))/(4a^2)

=a(x^2-bx+b√(b^2-4ac)-bx+b√(b^2-4ac))/(4a^2)

=a(x^2-2bx+2b√(b^2-4ac))/(4a^2)

=a(x^2-2bx)/(4a^2)+a(2b√(b^2-4ac))/(4a^2)

=a(x^2-2bx)/(4a)+b√(b^2-4ac)/(2a)

将x1和x2代入右边的表达式，得到：

a(x^2-(x1+x2)x+x1x2)=a(x^2-((-b+√(b^2-4ac))/(2a)+(-b-√(b^2-4ac))/(2a))x+((-b+√(b^2-4ac))/(2a))(-b-√(b^2-4ac))/(2a))

=a(x^2-(-b+√(b^2-4ac)-b-√(b^2-4ac))x+((-b+√(b^2-4ac))(-b-√(b^2-4ac))/(4a^2))

=a(x^2-2bx)+b√(b^2-4ac)/(2a)

因此，得证：a(x-x1)(x-x2)=a(x^2-(x1+x2)x+x1x2)。板书设计①一元二次方程的解法：

-公式法：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)

-因式分解法：ax^2+bx+c=0→(ax+m)(x+n)=0

②一元二次方程的解的判别式：

-Δ=b^2-4ac

-判断：Δ>0→两个不相等的实数解；Δ=0→两个相等的实数解；Δ<0→没有实数解

③一元二次方程的应用：

-实际问题解决：如商品打折、抛物线问题等

-数学建模：构建一元二次方程模型，分析实际问题

④例题解析：

-例题1：证明x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a

-例题2：求解2x^2-5x+2=0

-例题3：判断x^2+