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文档简介
2025年高考数学一轮复习-第十章-第九节正态分布-课时作业(原卷版)[A组基础保分练]1.已知随机变量X服从正态分布N(a,4),且P(X>1)=0.5,P(X>2)=0.3,则P(X<0)=()A.0.2B.0.3C.0.7D.0.82.(2024·福建福州)某市一次高三年级数学统测,经抽样分析,成绩X近似服从正态分布N(80,σ2),且P(75<X≤80)=0.1.该市某校有350人参加此次统测,估计该校数学成绩不低于85分的人数为()A.140B.105C.70D.353.(2024·江苏南京)新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点,近年来备受青睐.某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量(单位:kW·h/100km)情况,随机调查得到了1200个样本,据统计该型号新能源汽车的耗电量ξ~N(13,σ2),若P(12<ξ<14)=0.7,则样本中耗电量不小于14kW·h/100km的汽车大约有()A.180辆B.360辆C.600辆D.840辆4.在某次数学测试中,学生成绩X服从正态分布N(100,σ2)(σ>0).若X在(80,120)内的概率为0.6,则任意选取两名学生的成绩,恰有一名学生成绩不高于80的概率为()A.0.16B.0.24C.0.32D.0.485.(2024·江苏镇江)南沿江高铁即将开通,某小区居民前往高铁站有①,②两条路线可走,路线①穿过市区,路程较短但交通拥挤,经测算所需时间(单位为分钟)服从正态分布N(50,100);路线②骑共享单车到地铁站,乘地铁前往,路程长,但意外阻塞较少,经测算所需时间(单位:分钟)服从正态分布N(60,16).该小区的甲、乙两人分别有70分钟与64分钟可用,要使两人按时到达车站的可能性更大,则甲、乙选择的路线分别为()A.①、①B.①、②C.②、①D.②、②6.(多选)(2024·江苏南京)已知随机变量X的概率密度函数为φ(x)=12πae-(x-b)22a2(a>0,b>0),且φ(x)的极大值点为x=2a,记f(k)=P(X<A.X~N(b,a)B.X~N(2a,a2)C.f(a)=g(2a)D.f(2a)+g(2a)=f(a)+g(a)7.(2024·重庆)已知随机变量X服从正态分布N2,σ2,且P(2<X<2.5)=0.36,则PX>28.(2024·江苏徐州)随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),随机变量η服从标准正态分布N(0,1),若P(η<1)=P(ξ<4)=a,则P(1<ξ<1+σ)=.(用字母a表示)9.(2024·河北秦皇岛)在某市高三的一次考试中,学生的数学成绩X服从正态分布N(105,σ2)(σ>0),若P(X<120)=0.75,则P(90≤X≤120)=.10.某钢管生产车间生产一批钢管,质检员从中抽出若干根对其直径(单位:mm)进行测量,得出这批钢管的直径X服从正态分布N(65,4.84).(1)当质检员随机抽检时,测得一根钢管的直径为73mm,他立即要求停止生产,检查设备,请你根据所学知识,判断该质检员的决定是否有道理,并说明判断的依据;(2)如果钢管的直径X满足60.6mm~69.4mm之间为合格品(合格品的概率精确到0.01),现要从60根该种钢管中任意挑选3根,求次品数Y的分布列和数学期望.(参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997)[B组能力提升练]11.(多选)(2024·江苏淮安)若随机变量X的对数服从正态分布,则称X服从对数正态分布.已知一批零件共2000只,零件的使用小时数Y的对数lnY~N294(e7.125=1242,e7.5=1808,若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|<σ)=0.6826,P(|X-μ|<2σ)=0.9545)A.P(7.375≤lnY<7.5)=0.2719B.P(Y≤1242)=0.1587C.使用小时数不少于1808的零件约91只D.使用小时数落在区间(1242,1808)内的零件约1635只12.(多选)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广,发明了“三系法”籼型杂交水稻,成功研究出“两系法”杂交水稻,创建了超级杂交稻技术体系,为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高,得出株高X(单位:cm)服从正态分布,其密度曲线函数为f(x)=1102πA.该地水稻的平均株高为100cmB.该地水稻株高的方差为10C.随机测量一株水稻,其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大D.随机测量一株水稻,其株高在(80,90)和在(100,110)(单位:cm)的概率一样大13.若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),P(μ-σ≤X≤μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=0.9545,设X~N(1,σ2),且P(X>3)=0.15865,在平面直角坐标系xOy中,若圆x2+y2=σ2上有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是.14.(2024·江苏扬州)随着网络技术的迅速发展,各种购物群成为网络销售的新渠道.在凤梨销售旺季,某凤梨基地随机抽查了100个购物群的销售情况,各购物群销售凤梨的数量情况如下:凤梨数量(盒)[100,200)[200,300)[300,400)[400,500)[500,600]购物群数量(个)12m2032m(1)求实数m的值,并用组中值估计这100个购物群销售凤梨总量的平均数(盒).(2)假设所有购物群销售凤梨的数量X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ为(1)中的平均数,σ2=12100.若该凤梨基地参与销售的购物群约有1000个,销售凤梨的数量在[266,596)(单位:盒)内的群为“一级群”,销售数量小于266盒的购物群为“二级群”,销售数量大于等于596盒的购物群为“优质群”.该凤梨基地对每个“优质群”奖励1000元,每个“一级群”奖励200元,“二级群”不奖励,则该凤梨基地大约需要准备多少资金?(群的个数按四舍五入取整数)附:若X服从正态分布X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.997.2025年高考数学一轮复习-第十章-第九节正态分布-课时作业(解析版)[A组基础保分练]1.已知随机变量X服从正态分布N(a,4),且P(X>1)=0.5,P(X>2)=0.3,则P(X<0)=()A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8答案:B解析:因为随机变量X服从正态分布N(a,4),所以曲线关于x=a对称,且P(X>a)=0.5.由P(X>1)=0.5,可知a=1,所以P(X<0)=P(X>2)=0.3.2.(2024·福建福州)某市一次高三年级数学统测,经抽样分析,成绩X近似服从正态分布N(80,σ2),且P(75<X≤80)=0.1.该市某校有350人参加此次统测,估计该校数学成绩不低于85分的人数为()A.140B.105C.70D.35答案:A解析:因为X近似服从正态分布N(80,σ2),所以P(80<X≤85)=P(75<X≤80)=0.1,即有P(X≥85)=0.5-0.1=0.4,故该校数学成绩不低于85分的人数为350×0.4=140.3.(2024·江苏南京)新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点,近年来备受青睐.某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量(单位:kW·h/100km)情况,随机调查得到了1200个样本,据统计该型号新能源汽车的耗电量ξ~N(13,σ2),若P(12<ξ<14)=0.7,则样本中耗电量不小于14kW·h/100km的汽车大约有()A.180辆B.360辆C.600辆D.840辆答案:A解析:因为ξ~N(13,σ2),且P(12<ξ<14)=0.7,所以P(ξ≥14)=12×[1-P(12<ξ<14)]=12×(1-0.7)=所以样本中耗电量不小于14kW·h/100km的汽车大约1200×0.15=180(辆).4.在某次数学测试中,学生成绩X服从正态分布N(100,σ2)(σ>0).若X在(80,120)内的概率为0.6,则任意选取两名学生的成绩,恰有一名学生成绩不高于80的概率为()A.0.16B.0.24C.0.32D.0.48答案:C解析:∵X服从正态分布N(100,σ2),∴正态曲线的对称轴是直线X=100.∵X在(80,120)内的概率为0.6,∴X在(80,100)内的概率为0.3,∴X在(0,80)内的概率为0.5-0.3=0.2.故任意选取两名学生的成绩,恰有一名学生成绩不高于80的概率P=C21×0.2×(1-0.25.(2024·江苏镇江)南沿江高铁即将开通,某小区居民前往高铁站有①,②两条路线可走,路线①穿过市区,路程较短但交通拥挤,经测算所需时间(单位为分钟)服从正态分布N(50,100);路线②骑共享单车到地铁站,乘地铁前往,路程长,但意外阻塞较少,经测算所需时间(单位:分钟)服从正态分布N(60,16).该小区的甲、乙两人分别有70分钟与64分钟可用,要使两人按时到达车站的可能性更大,则甲、乙选择的路线分别为()A.①、①B.①、②C.②、①D.②、②答案:C解析:由正态分布的区间概率知P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954,令路线①所需时间X1~N(μ1,σ1),路线②所需时间X2~N(μ2,σ2)对于甲:有70分钟可走,走第一条路线:故P(X1≤70)=P(X1≤μ1+2σ1)≈1-1-0.走第二条路线:则P(X2≤68)=P(X2≤μ2+2σ2)≈1-1-0.所以P(X2≤70)>P(X2≤68),所以应选择路线②;对于乙:有64分钟可走,走第二条路线:P(X2≤64)=P(X2≤μ2+σ2)≈1-1-0走第一条路线:则P(X1≤60)=P(X1≤μ1+σ1)≈1-1-0.所以P(X1≤60)<P(X1≤64),所以选择路线①.6.(多选)(2024·江苏南京)已知随机变量X的概率密度函数为φ(x)=12πae-(x-b)22a2(a>0,b>0),且φ(x)的极大值点为x=2a,记f(k)=P(X<A.X~N(b,a)B.X~N(2a,a2)C.f(a)=g(2a)D.f(2a)+g(2a)=f(a)+g(a)答案:BCD解析:对于A项,根据已知可得,μ=b,σ=a.因为φ(x)的极大值点为x=2a,所以有b=2a,所以X~N(2a,a2),故A项错误;对于B项,由A分析可知,X~N(2a,a2),故B项正确;对于C项,由A分析可知,μ=2a.又f(a)=P(X<a),g(2a)=P(X>2a+a)=P(X>3a),根据正态分布的对称性,可知P(X<a)=P(X>3a),所以f(a)=g(2a),故C正确;对于D项,因为μ=2a,所以f(2a)=P(X<2a)=12,g(a)=P(X>2a)=1所以f(2a)+g(2a)=12+f(a)=f(a)+g(a),故D项正确7.(2024·重庆)已知随机变量X服从正态分布N2,σ2,且P(2<X<2.5)=0.36,则PX>2答案:0.14解析:依题意,X~N2,所以PX>2.5=0.5-P(2<X<2.5)=0.5-0.368.(2024·江苏徐州)随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),随机变量η服从标准正态分布N(0,1),若P(η<1)=P(ξ<4)=a,则P(1<ξ<1+σ)=.(用字母a表示)答案:a-1解析:随机变量η服从标准正态分布N(0,1),根据对称性可知P(η<0)=12因为P(η<1)=a,所以P(0<η<1)=a-12,即P(μ<η<μ+σ)=a-1随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),根据对称性可知p(ξ<1)=12P(ξ<4)=a,则P(1<ξ<4)=a-12,即P(1<η<1+σ)=a-19.(2024·河北秦皇岛)在某市高三的一次考试中,学生的数学成绩X服从正态分布N(105,σ2)(σ>0),若P(X<120)=0.75,则P(90≤X≤120)=.答案:0.5解析:因为X~N(105,σ2),且P(X<120)=0.75,所以P(105≤X≤120)=0.25,所以P(90≤X≤105)=0.25,所以P(90≤X≤120)=0.5.10.某钢管生产车间生产一批钢管,质检员从中抽出若干根对其直径(单位:mm)进行测量,得出这批钢管的直径X服从正态分布N(65,4.84).(1)当质检员随机抽检时,测得一根钢管的直径为73mm,他立即要求停止生产,检查设备,请你根据所学知识,判断该质检员的决定是否有道理,并说明判断的依据;(2)如果钢管的直径X满足60.6mm~69.4mm之间为合格品(合格品的概率精确到0.01),现要从60根该种钢管中任意挑选3根,求次品数Y的分布列和数学期望.(参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997)解:(1)因为μ=65,σ=2.2,μ-3σ=58.4,μ+3σ=71.6,而73∈(μ+3σ,+∞),所以P(X>71.6)=1-P(58.4≤X≤71(2)因为μ=65,σ=2.2,μ-2σ=60.6,μ+2σ=69.4,由题意可知钢管直径满足μ-2σ≤X≤μ+2σ为合格品,所以该批钢管为合格品的概率约为0.95.所以在60根钢管中,合格品约57根,次品约3根,任意挑选3根,则次品数Y的可能取值为0,1,2,3.P(Y=0)=C30C573C603,P(Y=1)=C31C572C603,则次品数Y的分布列为Y0123PCCCC所以E(Y)=0×C30C573C603+1×C31[B组能力提升练]11.(多选)(2024·江苏淮安)若随机变量X的对数服从正态分布,则称X服从对数正态分布.已知一批零件共2000只,零件的使用小时数Y的对数lnY~N294(e7.125=1242,e7.5=1808,若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|<σ)=0.6826,P(|X-μ|<2σ)=0.9545)A.P(7.375≤lnY<7.5)=0.2719B.P(Y≤1242)=0.1587C.使用小时数不少于1808的零件约91只D.使用小时数落在区间(1242,1808)内的零件约1635只答案:BD解析:因为lnY~N294,164,所以μ=7.25,因为P(|X-μ|<σ)=0.6826,P(|X-μ|<2σ)=0.9545,所以P(7.375≤lnY<7.5)=12×(0.9545-0.6826)=0.13595,所以A因为e7.125=1242,P(|X-μ|<σ)=0.6826,所以P(Y≤1242)=P(lnY≤7.125)=12×(1-0.6826)=0.1587,所以B因为e7.5=1808,P(|X-μ|<2σ)=0.9545,所以P(Y≥1808)=P(lnY≥7.5)=12×(1-0.9545)=0.02275所以使用小时数不少于1808的零件约0.02275×2000≈45(只),所以C错误;因为P(1242<Y<1808)=P(7.125<lnY<7.5)=0.6826+12×(0.9545-0.6826)=0.81755所以使用小时数落在区间(1242,1808)内的零件约0.81755×2000≈1635(只),所以D正确.12.(多选)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广,发明了“三系法”籼型杂交水稻,成功研究出“两系法”杂交水稻,创建了超级杂交稻技术体系,为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高,得出株高X(单位:cm)服从正态分布,其密度曲线函数为f(x)=1102πA.该地水稻的平均株高为100cmB.该地水稻株高的方差为10C.随机测量一株水稻,其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大D.随机测量一株水稻,其株高在(80,90)和在(100,110)(单位:cm)的概率一样大答案:AC解析:f(x)=1102πe-(x-100)2200,故μ=100,σ2=100,故A正确,B错误;P(X>120)=P(X<80)>P(X<70),故C正确;根据正态分布的对称性知P(100<X<110)=P(90<X<100)>13.若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),P(μ-σ≤X≤μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=0.9545,设X~N(1,σ2),且P(X>3)=0.15865,在平面直角坐标系xOy中,若圆x2+y2=σ2上有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是.答案:(-13,13)解析:因为X~N(1,σ2),所以μ=1,所以P(X>3)=P(X<-1)=12[1-P(-1≤X≤3)].因为P(X>3)=0.15865,所以P(-1≤X≤3)=0.6827,所以1-σ=-1,1+σ=3,所以σ=2,由题意知,只需圆心(0,0)到直线12x-5y+c=0的距离d满足0≤d<1即可因为d=|c|122+52=所以0≤|c|<13,所以-13<c<13,所以c的取值范围是(-13,13).14.(202
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