第18章正比例函数与反比例函数（基础、常考、易错、压轴）专项训练-2022-2023学年八年级数学上学期考试满分全攻略沪教版（解析版）

第18章正比例函数与反比例函数（基础、常考、易错、压轴）

分类专项训练

【基础】

一、单选题

1.（2022•上海市风华初级中学八年级期末）下列问题中，两个变量成正比例的是（）

A.圆的面积和它的半径；

B.长方形的面积一定时，它的长和宽；

C.正方形的周长与边长；

D.三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高.

【答案】C

【分析】先列出函数关系式，然后再根据正比例函数的定义即可解答.

【详解】解:A、圆的面积5=%/，不是正比例函数，故此选项不符合题意；

B、长方形的面积S一定时，它的长a和宽6的关系S=a6,不是正比例函数，故此选项不符合题意；

C.正方形的周长C=边长x4=4a,是正比例函数，故此选项符合题意；

D.三角形的面积S一定时，它的底边。和底边上的高力的关系不是正比例函数，故此选项不符合

题意.

故选：C.

【点睛】本题考查正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数的定义：一般地，两个变量x、y之间

的关系式可以表示成形如尸质“为常数，且原0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数.

41

2.（2022・上海•八年级期末）若M（-§,%）、N（-],%）、20，%）三点都在函数>=依（左<。）的图像上，那么

%、％、%的大小关系是（）

A.丫3>%>%B.%>%>%C.%>%>%D.必>%>%

【答案】D

41

【分析】由于k<0时，函数y随x的增大而减小.又因为-3<-/<0,所以

【详解】解：•••%<（）,

/•函数y=kx（k<0）的y值随尤的增大而减小，

%>%>为,

故选：D.

【点睛】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键.

3.（2021・上海•位育中学八年级期中）甲、乙二人沿相同的路线由A到B匀速行进，A,B两地间的路程为

20km.他们行进的路程s（km）与甲出发后的时间t（h）之间的函数图象如图所示.根据图中信息，下列说

法中，不正卿的是（）

A.甲的速度是5km/h；B.乙的速度是10km/h

C.乙比甲晚出发lhD.从A到甲比乙多用了lh

【答案】D

【分析】由图可得，该图象是路程与时间的关系，乙比甲晚出发一小时且乙的速度比甲的速度快.

【详解】解：从图象可知甲乙两人均行驶了20千米，用时分别为4小时和2小时，从而得到甲、乙的速度

分另U为5km/h和10km/h,故A、B正确，D错误；

从图象可知乙比甲晚出发1小时，故C正确；

故选：D.

【点睛】此题主要考查了函数的图象，重点考查学生的读图获取信息的能力，要注意分析其中的“关键点”,

还要善于分析各图象的变化趋势.

4.（2022・上海・八年级期末）学校升旗仪式上，徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用下面的一个函数

图像近似地刻画，这个函数图像是（）

高度高度

高度高度

【答案】B

【分析】根据国旗上升的高度随着时间的增长而逐渐变大可得出答案.

【详解】国旗上升的高度随着时间的增长而逐渐变大，可知图象如B选项，

故选：B.

【点睛】本题主要考查函数的图象，掌握生活常识是关键.

5.（2022・上海•八年级专题练习）若正比例函数y=（l—2m）x的图象经过点A（xi,y。和点B（X2,yi）,当xi

Vx2时，yi>y2,则m的取值范围是（）

A.m<0B,m>0C.m<|D.m>|

【答案】D

【分析】根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号.

【详解】解：根据题意，知：y随x的增大而减小，

则k<0,即l-2m<0,m>.

故选：D.

【点睛】本题考查正比例函数的性质.根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号：当k>0时，y随x

的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小.

二、填空题

6.（2022・上海市风华初级中学八年级期末）函数〃力=历1的定义域是.

【答案】

【分析】根据二次根式的被开方数大于或等于0即可得.

【详解】由二次根式的性质得：3x-l>0,

解得：

故答案为：x~2'

【点睛】本题考查了函数的定义域问题、二次根式的被开方数大于或等于。的性质，掌握二次根式的被开

方数大于或等于0是解答本题的关键.

7.（2022•上海市市西初级中学八年级期中）已知函数〃x）=360。，那么"20）=.

【答案】360°

【分析】根据函数/（x）=360。，可知无论x取何值，函数值都是360。，即可得到答案.

【详解】解：••"（X）=360。,

/./（20）=360°.

故答案为：360°.

【点睛】本题主要考查了函数值，理解函数值的定义是解题的关键.

8.（2022•上海市奉贤区育秀实验学校八年级阶段练习）已知函数/（彳）=石，那么=；

【答案】V3

【分析】根据函数的定义即可得.

【详解】解：因为〃尤）=若，

所以/（-1）=如，

故答案为：73.

【点睛】本题考查了求函数值，掌握理解函数的概念是解题关键.

9.（2022・上海市奉贤区青溪中学八年级期末）已知〃同=后口，那么.

【答案】及

【分析】直接将代入计算即可

【详解】当时，/1）=小彳+1=0.

故答案为：血

【点睛】本题主要考查了求函数值，涉及了二次根式直接代入求值，是基础题

10.（2022・上海.八年级专题练习）已知正比例函数的图象经过点M（-2,1）、A（X1,”）、B（忿，”），如

果那么"_____）2.（填“>”、"="、“<”）

【答案】>

【分析】根据正比例函数的性质，解答即可.

【详解】解：设该正比例函数的解析式为y=履，

则1=-24，得k=-0.5,

'•y=-0.5x,

.正比例函数的图象经过点ACxi,y/）、B（X2,>2）,xi<X2,

.'.yi>y2,

故答案为：>.

【点睛】本题考查了正比例函数的性质，掌握性质是解题的关键.

11.（2022•上海奉贤区阳光外国语学校八年级期中）已知函数/（无）=2x-l,则/（3）=.

【答案】5

【分析】把x=3直接代入计算即可.

【详解】解：把x=3代入f（x）=2x-l,可得：f（3）=2x3-l=5,

故答案为：5

【点睛】此题考查求函数值，关键是把x=3代入进行计算.

1k

12.（2022・上海徐汇・八年级期末）若N（-不为）两点都在函数y=—的图像上，且％<上，则上

2x

的取值范围是.

【答案】k<0

【分析】根据-i<-g,且％<为，可得y随x的增大而增大，即可求解

【详解】解：，且/<为，

y随x的增大而增大，

k<0

故答案为：k<0

【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握对于反比例函数y=；（火/。），当上>0时，

在每一象限内，y随x的增大而减小，当左<0时，在每一象限内，y随x的增大而增大是解题的关键.

13.（2020・上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，某港湾某日受台风“默沙”的影响，其风力变化记

录如图，根据图像完成下列各题.

（1）风力持续增强了小时.

（2）风力最高达到级.

（3）风力从点开始明显减弱.

|阿力(T)

64812162024"间(()

【答案】201220

【分析】根据图象进行解答即可.

【详解】由图象可知，从。点到20点图象呈上升趋势，在20点达到最高，然后图象开始下降，

•••风力持续增强了20小时，最高达到12级，从20点开始明显下降.

故答案为:20；12；20.

【点睛】本题考查了变量之间的关系-图象法，读懂图象是解题的关键.

14.(2019・上海•八年级课时练习)把2x-y=3写成y是x的函数的形式为.

【答案】y=2x-3

【分析】通过移项即可将其变为y是x的函数的形式.

【详解】解：2x-y=3,

移项得y=2x-3.

故答案为y=2x-3.

【点睛】本题主要考查函数的一般形式.y=kx+b(原0)是一次函数的解析式，图像是一条直线，斜率是k,

截距是b.

15.(2017•上海市青浦区金泽中学八年级期末)如果f(x)=2x2-1,那么f(6)=.

【答案】9.

【分析】把自变量*=逐代入函数解析式计算即可求解.

【详解】将龙=若代入=2/-1得：

/(^5)=2x5-1=9,

故答案为9.

【点睛】本题考查函数值，二次根式的化简求值.

16.(2018•上海普陀•八年级期末)已知函数f(x),那么f(0)=____.

x-2

【答案】-1.

【分析】把x=0代入函数解析式进行计算即可得解.

【详解】的）=上=-1

U—ZZ

故答案为-

【点睛】本题考查了函数值的知识，将自变量的取值代入函数解析式即可求得答案.

三、解答题

17.（2022・上海•八年级期末）已知点O是坐标原点，反比例函数y=8的图像经过A（心,1）.

X

（1）求此反比例函数的解析式；

（2）将线段OA绕。逆时针旋转30。得到线段OB,判断点B是否在此反比例函数的图像上并说明理由.

【答案】（1）y力;（2）8点在此反比例函数的图象上，理由见解析

X

【分析】（1）将点A坐标代入求解即可；

（2）由旋转的性质求出点B坐标，再判断点B是否在反比例函数图像上.

【详解】（1）将点A（右,1）代入y=上得1=%，解得％=追，所以此反比例函数的解析式为丫=3；

（2）点8在反比例函数图象上.

理由：如图，过点A作AC垂直于x轴于点C,过点B作垂直于x轴于点D

由点A(G,1)知OC=右,AC=1,

在R/AAOC中，根据勾股定理得OA=j2+后=2,

AC=-OA

2

/.ZAOC=30

由旋转得ZAOB=30°,OB=OA=2

ZBOD=ZAOB+ZAOC=60°

NOB。=30°

在Rt/^BOD中,OD=；02=1,根据勾股定理得BD=4OB1-OD1=43

二8点坐标为（1,6）,满足反比例函数的解析式y=3

X

8点在此反比例函数的图象上.

【点睛】本题考查了反比例函数的解析式及其图像，同时涉及到旋转变换、勾股定理、含30度角的直角三

角形的性质，灵活的运用旋转的性质是解题的关键.

【常考】

选择题（共9小题）

1.（2020秋•浦东新区校级期末）已知函数y=K（k#O）中，在每个象限内，y随x的增大而增大，那么它

和函数>=自（％/0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（）

【分析】首先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围，在确定其所在象限，进而确定正比例函数图象

所在象限，即可得到答案.

【解答】解：••.函数y上（k#0）中，在每个象限内，y随x的增大而增大，

.•.双曲线在第二、四象限，

.•.函数>=日的图象经过第二、四象限，

故选：B.

【点评】此题主要考查了反比例函数图象的性质与正比例函数图象的性质，图象所在象限受％的影响.

2.（2021秋•宝山区校级期中）如图，过y轴上任意一点P,作无轴的平行线，分别与反比例函数y=_l和产2

的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC,BC,则△ABC的面积为（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】先设P（0,。），由直线A3〃x轴，则A,3两点的纵坐标都为。，而A,3分别在反比例函数y=-l和尸2

xx

的图象上，可得到A点坐标为（-4，b）,B点坐标为（2,6）,从而求出AB的长，然后根据三角形的面

bb

积公式计算即可.

【解答】解：设尸（0,b）,

•.,直线AB〃x轴，

.'.A,3两点的纵坐标都为b,

而点A在反比例函数y=-4的图象上，

X

・••当y=。，x=-生即A点坐标为（-A,b）,

bb

又丁点B在反比例函数y=2的图象上，

x

・••当y=b,x=—,即8点坐标为（2,Z?）,

bb

：.AB=2L-（-A）=旦，

bbb

**•S^ABC=-9AB9OP=—■旦・b=3.

22b

故选：A.

【点评】本题考查了点在函数图象上，点的横纵坐标满足函数图象的解析式.也考查了与坐标轴平行的直

线上的点的坐标特点以及三角形的面积公式.

3.（2020秋•浦东新区校级期末）已知反比例函数丁=区的图象经过点（3,-2）,则左的值是（）

x

A.-6B.6C.2D.-2

33

【分析】把（3,-2）代入解析式，就可以得到人的值.

【解答】解：根据题意，得攵=孙=-2*3=-6.

故选：A.

【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的系数历比较简单.

4.（2020秋•松江区期末）下列函数中，y随x的增大而减小的是（）

A_1xDR,y"—_"1xc_2\~Jn••y一_2

【分析】反比例函数、二次函数的增减性都有限制条件（即范围），一次函数当一次项系数为负数时，y随

着x增大而减小.

【解答】解：A、函数y=L的图象是y随着x增大而增大，故本选项错误；

-2

B、函数y=_^x中的左<0,y随着x增大而减小，故本选项正确；

C、D两个答案考虑其增减性时，需要考虑自变量的取值范围，故C、D错误.

故选：B.

【点评】本题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的增减性.关键是明确各函数的增减性的限制条件.

5.（2020秋•浦东新区校级期末）已知函数y=h•中y随尤的增大而减小，那么它和函数y=K在同一平面

x

直角坐标系内的大致图象可能是（）

【分析】先根据正比例函数的性质判断出左的符号，再根据反比例函数的性质利用排除法求解即可.

【解答】解：•.•函数y=区中y随尤的增大而减小，

：.k<0,

...函数>=质的图象经过二、四象限，故可排除A、B-,

'：k<0,

，函数>=区的图象在二、四象限，故C错误，£>正确.

故选：D.

【点评】本题考查的是正比例函数及反比例函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键.

6.（2020秋•闵行区期末）已知点A（xi,yi）,B（尤2,”），C（X3,券）都在反比例函数y=K（k<0）的

X

图象上，且则yi，丁2，中的大小关系是（）

A.y2>yi>y3B.y3>yi>yiC.yi>y2>y3D.y3>yi>y2

【分析】根据反比例函数性质，反比例函数y=K*<0）的图象分布在第二、四象限，则”最小，”最大.

X

【解答】解：•••反比例函数y=K（k<0）的图象分布在第二、四象限，

X

在每一象限y随X的增大而增大，

而Xl<X2<0<X3，

Ay3<0<yi<y2.

即y2>yi>y3-

故选：A.

【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式.也考查了

反比例函数的性质.

7.（2020秋•徐汇区校级期末）关于反比例函数尸-生下列说法正确的是（）

x

A.函数图象经过点（2,2）

B.函数图象位于第一、三象限

C.当尤>0时，函数值y随着x的增大而增大

D.当x>l时，y<-4

【分析】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案.

【解答】解：人关于反比例函数y=-2,函数图象经过点（2,-2）,故此选项错误；

X

B、关于反比例函数y=-4,函数图象位于第二、四象限，故此选项错误；

X

C、关于反比例函数y=-•1,当x>0时，函数值y随着尤的增大而增大，故此选项正确；

X

D、关于反比例函数>=-4,当x>l时，y>-4,故此选项错误；

x

故选：C.

【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键.

8.（2021秋•杨浦区校级期中）若>=-1）-1是y关于x的正比例函数，则该函数图象经过的象

限是（）

A.第一、三象限B.第二、四象限

C.第一、四象限D.第二、三象限

【分析】根据正比例函数的定义确定，"的值，进而利用正比例函数的性质解答即可.

【解答】解：Vy=（/77-1）x+川-1是〉关于X的正比例函数，

.m2-l=0

••,

m-17^0

••in-1,

.\m-1--1-1--2<0,

该函数图象经过的象限是第二、四象限，

故选：B.

【点评】本题考查了正比例函数的定义，牢记正比例函数的一般形式是解答本题的关键，难度不大.

9.（2020秋•上海期末）已知三点（a,m）、（b,n）和（c,t）都在反比例函数y=32红的图象上，若a

X

<0<b<c,则m、〃和/的大小关系是（）

A.B.t<m<nC.m〈t<nD.m<n<t

【分析】根据反比例函数的性质，可得答案.

【解答】解：反比例函数>=空红中，k=202l>0,图象位于一、三象限，

X

9：a<0,

・••点（〃，m）在第三象限，

*：0<b<c,

・••点（b,n）和点（c,0在第一象限，

.*.0<Z<n,

故选：C.

【点评】本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质：k>0时，图象位于一、三象限是解题关

键.

二.填空题（共13小题）

10.（2021秋•徐汇区期末）函数的定义域是x函2.

【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方

数为非负数.

【解答】解：依题意，得2-xNO,

解得了W2.

故答案为：xW2.

【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数.

11.（2021秋•浦东新区校级月考）已知函数f（x）=%，则f（«）=_3加_.

【分析】首先把代入&・x，然后进行求值即可.

【解答】解：/（V3）=&•日=3&.

故答案是：372.

【点评】本题主要考查了函数值的求法，解题的关键是正确代入数值，正确进行实数的计算.

12.（2021秋•金山区校级期中）正比例函数v=L的图象经过第一、三象限.

2

【分析】由题目可知，该正比例函数过原点，且系数为正，故函数图象过一、三象限.

【解答】解：由题意可知函数丫=上的图象过一、三象限.

故答案为一、三.

【点评】本题考查了正比例函数的性质，根据函数式判断出函数图象的位置是解题的关键.

13.（2020秋•黄浦区期末）函数的定义域为x函1.

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0,可以求出x的范围.

【解答】解：根据题意得：x-1三0,

解得：

故答案为尤21.

【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

14.（2020秋•松江区期末）函数丫--的定义域是x>-1.

Vx+1

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0,分母不等于0,就可以求解.

【解答】解：根据题意得：x+l>0,

解得：x>-1.

【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数.

15.（2020秋•普陀区期末）若反比例函数y上2的图象经过第一、三象限，则上的取值范围是k>2.

X

【分析】依据反比例函数的性质进行判断即可.反比例函数y=K（LW0）,当左>0,双曲线的两支分别位

X

于第一、第三象限，在每一象限内y随X的增大而减小.

【解答】解：•••反比例函数y上2的图象经过第一、三象限，

X

：.k-2>0,

解得k>2,

即左的取值范围是左>2.

故答案为：k>2.

【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握：当人>0,双曲线的两支分别位于第一、第三象

限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当左<0,双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象

限内y随x的增大而增大.

16.（2020秋•上海期末）已知函数/（x）=2x-Z,贝Ijj（点）

X

【分析】根据函数的定义，将x=近代入/（x）=2x-Z,即可求得了的值.

X

【解答】解：将犬=、及代入=2%-2

X

得：/（&）=2乂近一罩=近.

V2

【点评】本题比较容易，考查求函数值.

（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值;

（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个.

17.（2020秋•浦东新区期末）如图，点PQ,。）是反比例函数y八且在第一象限内的图象上的一个点，以

X

点尸为顶点作等边△加B,使A、B落在x轴上（点A在点B左侧），则△尸OA的面积是量1..

3―

【分析】如图，根据反比例函数系数上的几何意义求得点P的坐标，则易求尸。=4.然后通过等边三角形

的性质易求线段4。=生区，所以S^PQA=—OA-PD=1.X12-4-/3X4=8_为巨

32233

【解答】解：如图，过点P作PD_LAB于点D

..•点尸(a,a)是反比例函数y*在第一象限内的图象上的一个点，

X

16=a2,且〃>0,

解得，〃=4,

：.PD=4.

是等边三角形，

：.AD=-^-.

3_

'OA=4-AD=12_4加,

3__

/•SAPOA=AOA•PD=AX12-4-/3x4=8-2a.

2233

故答案是：

【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等边三角形的性质.等边三角形具有等腰三角形“三

合一”的性质.

18.(2020秋•宝山区校级期末)函数丫幺亘的定义域是x2-2且x#1.

X-1

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0,分母不等于0,可以求出X的范围.

【解答】解：根据题意得：x+220且龙-1W0,

解得：》2-2且苫:^1.

故x2-2且xWl.

【点评】本题考查了函数自变量的范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

19.（2020秋•浦东新区校级期末）如果函数那么f（&）=_“历-1_-

x+1

【分析】把x=加直接代入函数/（X）=,即可求出函数值.

x+1

【解答】解：因为函数/（x）=-」j所以当X=\历时，f（V2）=」-=71—='[2,-1.

x+1x+1v2+1

【点评】本题比较容易，考查求函数值.

（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；

（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个.

20.（2020秋•浦东新区校级期末）函数了=收£§'的定义域是—x〉!'—.

【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0,可知：2x-320,解得x的范围.

【解答】解：要使函数y八/要-3有意义,

则2元-3N0,

解得

故答案为无23.

2

【点评】本题主要考查自变量的取值范围的知识点，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式

无意义.

21.（2021秋•松江区期末）反比例函数>=工二3的图象位于第二、四象限，则一的取值范围是k<3.

x

【分析】由反比例函数所在的象限可得到关于上的不等式，可求得答案.

【解答】解:

•反比例函数y=工二3的图象位于第二、四象限，

X

・,・％—3<0,解得％V3,

故答案是：k<3.

【点评】本题主要考查反比例函数的性质，掌握在y=K（%W0）中，当k>0时，图象在第一、三象限，

当上<0时，图象在第二、四象限是解题的关键.

22.（2020秋•徐汇区校级期末）已知反比例函数v=@±L的图象经过点（2,-1）,那么上的值是k=-l.

7x---------2一

【分析】根据点的坐标与函数解析式的关系，将点的坐标代入，可以得到-1=2里L,然后解方程，便可

2

以得到上的值.

【解答】解：•••反比例函数了2包的图象经过点（2,-1）,

X

.•.-1=2k+1

2

•3

•・k=»；

故填k='.

2

【点评】本题侧重考查利用待定系数法求函数的解析式的方法，可以结合代入法进行解答

三.解答题（共3小题）

23.（2020秋•上海期末）如图，已知直线OA与反比例函数>=叫的图象在第一象限交于点A.若

x

OA=4,直线04与x轴的夹角为60°.

（1）求点A的坐标；

（2）求反比例函数的解析式；

（3）若点尸是坐标轴上的一点，当△AOP是直角三角形时，直接写出点尸的坐标.

【分析】（1）过点A作轴于E，由直角三角形的性质可求0£=工。4=2,4£=«0石=2我，即可

2

求解；

（2）利用待定系数法可求解；

（3）分四种情况讨论，利用直角三角形的性质可求解.

【解答】解：（1）如图1,过点A作AE_L无轴于E,

图1

VZAOE=60°,AE1.0E,

：.ZOAE=30°,

.•・OE=JiOA=2,AE=4^OE=2M，

2

・••点A(2,2百)；

(2)I•反比例函数y=㈣的图象过点A,

x

・，・小=2X2，^=4j^，

反比例函数解析式为产生巨；

当点尸1在〉轴上时，且44尸1。=90°,

又：/AOPi=30°,

：.APi=2,OP\=PiAPx=2M,

二点Pl(0,2A/3)；

当点P2在x轴上，且乙4尸2。=90°,

又4P2=30°,

：.OP2=2,

.•.点尸2(2,0)；

当点P3在y轴上，且/尸3Ao=90°,

又；/40尸3=30°,

：.OP3=2AP3,AO=-./3AP3=4,

：.0P3=8M,

3_

点尸3（0,为巨）；

3

当点P4在x轴上，且/尸4Ao=90°,

VZAOP4=60°,

?.ZAP4O=30°,

.•.O尸4=2OA=8,

点尸4（8,0）；

综上所述：点P的坐标为（0,2、/§）或（2,0）或（0,为区）或（8,0）.

3

【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，直角三角形的性质，反比例函数的性质，

熟练运用这些性质解决问题是本题的关键.

24.（2021秋•浦东新区校级月考）已知反比例函数y=K的图象经过点A（-f，1）.

x

（1）试确定此反比例函数的解析式；

（2）点。是坐标原点，将线段。4绕。点顺时针旋转30°得到线段。艮判断点3是否在此反比例函数的

图象上，并说明理由；

（3）已知点尸（相，Mm+6）也在此反比例函数的图象上（其中加＜0）,过尸点作x轴的垂线，交x轴于

点M.若线段PM上存在一点Q,使得△OQM的面积是工，设。点的纵坐标为小求层-2加/9的值.

2

【分析】（1）由于反比例函数y=K的图象经过点A（-代，1）,运用待定系数法即可求出此反比例函数

x

的解析式；

（2）首先由点A的坐标，可求出。4的长度，NAOC的大小，然后根据旋转的性质得出NAOB=30°,OB

=OA,再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；

（3）把点P（如V3m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于机的一元二次方程；根据题意，可得。点

的坐标为再由△。。加的面积是工，根据三角形的面积公式及加＜0,得出机"的值，最后将所求

2

的代数式变形，把7M的值代入，即可求出层-2a"+9的值.

【解答】解：（1）由题意得1=苕-,解得k=-«,

-V3

反比例函数的解析式为>=-返；

X

(2)过点A作x轴的垂线交x轴于点C.

在RtzMOC中，0C=M，AC=1,

•"•OA=7OC2+AC2=2>NA℃=30°,

••,将线段0A绕O点顺时针旋转30°得到线段OB,

：.ZAOB=30°,OB=OA=2,

：.ZBOC=60°.

过点2作尤轴的垂线交x轴于点D.

在中，BD=OB，sin/BOD=«,OD=1-OB=\,

2

.••3点坐标为(-1,

将x=-1代入y=-返■中，得

X

...点B(-L弧)在反比例函数y=-近的图象上.

X

(3)由〉=-义工得孙=-«,

x

•.•点P(m,V3m+6)在反比例函数y=-1■的图象上，其中根<0,

x

:・m(V3^+6)=-A/3»

m2+2V3m+l=0,

・・・PQ_Lx轴，・・・Q点的坐标为(m,〃).

••,△OQM的面积是工

2

:.LOM*QM=^

22

Vm<0,mn=-1,

m2n2+2Vs^^2+^2—0,

n2-2A/^〃=-1,

・，・〃2-2V^"+9=8.

【点评】本题综合考查了运用待定系数法求反比例函数的解析式，旋转的性质，三角函数的定义，求代数

式的值等知识，尤其是在最后一问中，没有必要求出〃的具体值，而是将-1作为一个整体代入，有

一定的技巧性，使计算简便.

25.(2020秋•宝山区校级期末)如图，已知：正方形OABC的面积为9,点。为坐标原点，点A在x轴上，

点C在y轴上，点B在函数>=上(k>3x>0)的图象上，点尸(m,n)是函数y=K(k>0,x>0)的

xx

图象上的任意一点，过点尸分别作x轴、〉轴的垂线，垂足分别为E、F,并设矩形。理小中和正方形。4BC

不重合部分的面积为S.

(1)求点8坐标和人的值.

(2)当S=9"时，求尸的坐标.

2

(3)写出S关于m的函数关系式.

【分析】(1)根据反比例函数中正方形的面积与反比例系数的关系，即可求得反比例函数解析式，进而求

得B的坐标；

(2)分两种情形求解即可；

(3)分两种情形求解即可；

【解答】解：(1)•••正方形OABC的面积为9,

；Q=OC=3,

：.B(3,3).

又；点2(3,3)在函数ynK(k>0,x>0)的图象上，

k=9.

(2)分两种情况：①当点Pi在点B的左侧时,

VPl(m,ri')在函数y工■上，

x

/.mn—9.

・••则S=zn(n-3),

2

.••加=3,

2

・・〃=6.

：.P1(旦，6)；

2

②当点P2在点B或B的右侧时,

,:Pz(m,n)在函数心上，

mn=9.

/.S—n(m-3)—mn-3n——

2

.3

2

•・m=6.

：.P2(6,3).

2

（3）当0<m<3时，S=9-3m.

当机23,时，尸的纵坐标是9,

【点评】本题主要考查了反比例函数的系数与矩形的面积的关系，把线段的长的问题转化为点的坐标问

题是解决本题的关键.

【易错】

1.（2021秋•浦东新区期末）已知正比例函数〉=履（20）,y的值随x的值的增大而减小，那么它和反比

例函数y=-K（%W0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（）

【分析】首先由"y=kx（左WO）中〉随x的增大而减小”判定无＜0,然后根据上的符号来判断函数＞=

-上所在的象限.

x

【解答】解：•••函数（ZWO）中y随x的增大而减小，

该函数图象经过第二，四象限；

.•.函数＞=-K的图象经过第一、三象限；

x

故选：C.

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的图象特点：

①反比例函数y=K的图象是双曲线；

x

②当上＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；

③当上＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限.

2.（2021秋•徐汇区校级期末）下列图象中表示y是x的函数的有几个（）

【分析】根据函数的概念，对应尤的每一个值，y都有唯一的值与它对应判断即可.

【解答】解：根据函数的概念，可知：

图1和图4不能表示y是x的函数，图2和图3能表示y是x的函数，

•••上列图象中表示y是x的函数的有2个，

故选：B.

【点评】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念，对应X的每一个值，y都有唯一的值与它对应是

解题的关键.

3.（2021秋•宝山区校级期中）下列问题中，两个变量成正比例的是（）

A.圆的面积S与它的半径厂

B.三角形面积一定时，某一边。和该边上的高〃

C.正方形的周长C与它的边长a

D.周长不变的长方形的长。与宽6

【分析】根据正比例函数的定义计算.

【解答】解：A、圆的面积=RX半径2,不是正比例函数，故此选项不符合题意；

B、三角形面积S一定时，它的底边a和底边上的高/7的关系S=2M,不是正比例函数，故此选项不符

2

合题意；

C、正方形的周长C=边长X4=4a,是正比例函数，故此选项符合题意；

D、设周长为C,则依题意得C=2（a+b）,则。与6不是正比例关系，故此选项不符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查正比例函数的定义.解题的关键是掌握正比例函数的定义：一般地，两个变量x,y之

间的关系式可以表示成形如y=Ax（左为常数，且左W0）的函数，那么y就叫做尤的正比例函数.

二.填空题（共4小题）

4.（2021秋•松江区期末）函数丫=鱼亘的定义域为.

1-x

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案.

【解答】解：由题意得：x+1>0,1-xWO,

解得：x》_1且xWl,

故答案为：龙2-1且xWl.

【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0

是解题的关键.

5.（2021秋•虹口区校级期末）函数y=Vx+10-6jx+l的定义域是x2-1.

【分析】根据完全平方公式得到X+1O-647INO,再根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等

式得到答案.

【解答】解：x+10-6Vx+1

—x+\-6。x+1+9

—（Vx+1~3）22o,

・•・当x+120时，函数有意义，即

故答案为：-1.

【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.

6.（2021秋•杨浦区校级期中）函数y=J二］的定义域为x>2.

【分析】当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零.当函数的表达式是二次根式时,

自变量的取值范围必须使被开方数不小于零.

【解答】解：由题可得，x-2>0,

解得％>2,

.二函数尸恁的定义域为x>2,

故答案为：x>2.

【点评】本题主要考查了函数自变量取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义.

7.（2020秋•普陀区期末）若反比例函数的图象经过第一、三象限，则:的取值范围是左>2.

X

【分析】依据反比例函数的性质进行判断即可.反比例函数y=K晨W0）,当上>0,双曲线的两支分别

X

位于第一、第三象限，在每一象限内y随X的增大而减小.

【解答】解：.••反比例函数y上2的图象经过第一、三象限，

X

：.k-2>0,

解得k>2,

即人的取值范围是左>2.

故答案为：k>2.

【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握：当上>