四川省仁寿第一中学校（北校区）2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题

仁寿一中北校区高2023级10月月考数学试题考试时间：120分钟；总分：150分第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（共40分，每题5分）1.下列各式中，正确的是（）①；②；③；④；⑤；⑥.A.①② B.②⑤ C.④⑥ D.②③【答案】D【解析】【分析】理解元素与集合、集合与集合之间的关系即可判断各项的正误，进而得到正确选项.【详解】①集合之间没有属于、不属于关系，错误.②是相等的，故成立，正确.③空集时任何集合的子集，正确.④不相等，错误.⑤集合研究的元素不一样，没有相等或包含关系，错误.⑥，元素与集合只有属于、不属于关系，错误.故选：D2.满足条件的集合有（）种A.3 B.5 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】根据题意知集合必包含，再根据列举出集合即可.【详解】因为，所以集合可以为，，共个.故选：D.3.若，则的值是（）A.1或或2 B.1或2 C. D.1或【答案】C【解析】【分析】根据得到或，然后解方程根据元素的互异性进行取舍即可.【详解】因为，所以①或②，由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意，此时，由②得，符合题意，此时，故选：C.4.设a，，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，可得，A错；利用作差法判断B错；由，而，可得C错；利用基本不等式可得D正确．详解】，，故A错；，，即，可得，，故B错；，，而，则，故C错；，，，等号取不到，故D正确；故选：D5.已知，设，，则有（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算的结果，判断结果的符号．【详解】解：∵，因为，所以，∴．故选：B6.已知a，b，c，d均为实数，则下列命题中正确的是（）A.若，.则B.若，，则C.若，，则D.若，则【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质可判断AD的正误，利用作差法可判断BC的正误.【详解】A：同向可乘需要满足，，故A错误；B：因为，，故，故B错误；C：，而，故，故C错误；D：因为，所以，，所以，故D正确.故选：D.7.火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（）A.A货箱28节，B货箱22节 B.A货箱29节，B货箱21节C.A货箱31节，B货箱19节 D.A货箱30节，B货箱20节【答案】C【解析】【分析】设A、B货箱分别有x，y节，则，结合已知判断各选项是否能够装运所有货物即可．【详解】设A、B货箱分别有x，y节，则，A：共50节且，，满足；B：共50节且，，满足；C：共50节且，，不满足；D：共50节且，，满足；故选：C.8.已知，，且，若对任意的，恒成立，则实数m的值不可能为（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】先用基本不等式求出的最小值，以确定的范围，再解不等式即可求出m的范围.【详解】由条件，得，，，即，得，解得或；故选：B.二、多选题（共20分，选错得0分，未选全得2分，选全得5分）9.下列选项中正确的有（）A.{质数}{奇数}B.集合与集合没有相同的子集C.空集是任何集合的子集D.若，则【答案】CD【解析】【分析】对于A，举例判断，对于B，根据子集的定义判断，对于C，根据空集的性质分析判断，对于D，根据子集的性质分析判断【详解】对于A，因为2是质数，但2不是奇数，所以{质数}不是{奇数}的子集，所以A错误，对于B，因为空集是任何集合的子集，所以集合与集合有相同的子集为空集，所以B错误，对于C，因为空集是任何集合的子集，所以C正确，对于D，因为，所以，所以D正确，故选：CD10.下列命题中是真命题的有（）A.“”是“”成立的充分不必要条件B.“”是“”成立的充要条件C.“是“”成立的既不充分也不必要条件D.命题“”的否定是“”【答案】AC【解析】【分析】根据特殊值、不等式的性质以及全称命题的否定逐项判断即可.【详解】对A，由不等式的性质知：，则，当，，满足，但不满足，“”是“”成立的充分不必要条件，故A正确；对B，由不等式的性质知：，则，当时，满足，但不满足，“”是“”成立的充分不必要条件，故B错误；对C，当时，满足，但，当时，满足，但，“”是“”成立的既不充分又不必要条件；故C正确；对D，根据全称命题的否定得其否定为“”，故D错误.故选：AC.11.下列不等式正确的有（）A.若，则函数的最小值为2B.最小值等于4C.当D.函数最小值为【答案】CD【解析】【分析】利用基本不等式的性质和对勾函数单调性依次判断选项即可.【详解】对选项A，，令，则，，，根据对勾函数的单调性知：在上单调递增，，故A错误；对选项B，当时，根据对勾函数的单调性知：为减函数，所以，故B错误；对选项C，因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故C正确；对选项D，，当且仅当，即时，等号成立，故D正确.故选：CD.12.若不等式的解集是，则下列选项正确的是（）A.且 B.C. D.不等式的解集是【答案】ABD【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集可判断出的正负以及的关系，由此可判断各选项的对错.【详解】因为的解集为，解集属于两根之内的情况，所以，又因为，所以；A．，故正确；B．因为，所以，故正确；C．因为解集为，所以，故错误；D．因为即为，即，解得，故正确；故选：ABD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（共20分每题5分）13.已知集合，．若，则值为______．【答案】【解析】【分析】将1、2分别代入中，可得出关于m，n的两个方程，从而求出m、n值，从而得出答案．【详解】解：由题意知1，2是方程的两根，则，解得，∴．故答案为：．14.若命题“，不等式恒成立”为假命题，则实数m取值范围的______.【答案】【解析】【分析】根据题意，得到命题“，不等式”恒成立”为真命题，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】因为命题“，不等式恒成立”为假命题，所以命题“，不等式”恒成立”为真命题，则满足，解得或，即实数的取值范围为.故答案为：.15.已知实数，满足且，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】结合已知条件，利用不等式性质即可求解.【详解】因为，所以①，又由可得，②，由①②相加可得，，故的取值范围是.故答案为：16.已知关于的不等式的解集为且，则_________，的最小值为_________.【答案】①.2②.4【解析】【分析】由题可得，从而得出的关系，然后利用基本不等式即得.【详解】因为关于的不等式的解集为，所以，所以，又，，因为当且仅当时取等号，所以的最小值为故答案为：2；.四、解答题（共70分，17题10分，1822题每题12分）17.已知全集，集合，（1）求；（2）求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由已知求出集合，再求并集．（2）先求，再求【详解】（1）由题可知，所以（2）由（1）可知，所以【点睛】本题考查不等式的解法与集合的基本运算，属于简单题．18.（1）若，求的最小值（2）若且，求的最小值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）凑项得，然后利用基本不等式求最值；（2）将目标式变为，展开然后利用基本不等式求最值.【详解】（1）,，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为；（2），，，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.19.设全集，集合，或．（1）求图中阴影部分表示的集合；（2）已知集合，若，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】由韦恩图图及含参数的集合交并补的混合运算即可求解.小问1详解】因为，或，所以，则图中阴影部分表示．【小问2详解】因为，或，且，所以，，所以当时，，解得，符合题意；当时，或者，此时不等式组无解，不等式组的解集为，综上，a的取值范围为．20.已知命题，为假命题．（1）求实数a的取值集合A；（2）设集合，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据一元二次方程无解的条件即求解即可；（2）根据题意先求得，再分情况求得的范围即可．【小问1详解】解：命题的否命题为，为真，且，解得．∴．【小问2详解】解：由解得，若“”是“”的必要不充分条件，则，∴当时，即，解得；当时，，解得，综上：或．21.设．（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）讨论和两种情况，按开口方向和判别式列不等式组，解出实数的取值范围；（2）按，和三种情况分类讨论，当，比较和1的大小，分情况写出不等式的解集．【小问1详解】由得，恒成立，当时，不等式可化为，不满足题意；当时，满足，即，解得；故实数的取值范围是．【小问2详解】不等式，等价于．当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；当时，不等式可化为，此时，所以不等式的解集为；当时，不等式可化为，①当时，，不等式的解集为；②当时，，不等式的解集为或；③当时，，不等式的解集为或.综上：当时，等式的解集为或当时，不等式的解集为；当时，不等式解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.22.某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）.（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.【答案】（1）4米；（2）.【解析】【分析】（1）由题意得出甲工程队报价元关于左右两侧墙