随机教学B 标准化作业

普通高等教育“十一五”国家级规划教材

随机数学

(B)

标准化作业

吉林大学公共数学中心

2013.2

第一次作业

院(系)班级学号姓名

一、填空题

1.10个人编号1,2,…，10且随意围圆桌坐下，则有某一对持相邻号码的两个人

正好座位相邻的概率是.

2.已知事件A和8满足P(A8)=尸(,历，且尸(A)=0.4,则P(8)=.

3.已知P(4)=—,尸(8IA)=L,P(4I8)=1,贝lJP(AUB)=

432

4.在区间(0,1)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于2”的概率

5

为.

5.两个相互独立的事件4和8都不发生的概率是g,且A发生8不发生和4不发生8

发生的概率相等，则P(A)=.

6.在4重伯努利试验中，已知事件A至少出现一次的概率为0.5,则在一次试验中力

出现的概率为.

二、选择题

1.下列等式不成立的是()

(A)A=AB\JAB.(B)A-B=AB.

(C)(A8)(A豆)=0.(D)(4-B)UB=A.

2.设A,8,C是同•个实验的三个事件,则事件(AU8)(AU万)而U8)可化简为()

(A)A\JB.(B)A-B.(C)AB.(D)0.

3.已知事件A和8满足尸(A8)=O,则()

(A)4和8相互独立.(B)AB=(t>.

(C)AB未必为0.(D)P(A)=O或尸(B)=0.

4.在10件产品中有2件次品，依次取出2件产品,每次取一件,取后不放回，则第二次取

到次品的概率为()

I16

(A)(B)—(C)(D)

4545545

5.设有4张卡片分别标以数字1,2,3,4,今任取一张；设事件4为取到1或2,事

件B为取到1或3,则事件A与B是()

(A)互不相容.(B)互为对立.(C)相互独立.(D)互相包含.

6.设每次试验成功的概率为p(0<p<1),则重复进行试验直到第〃次才取得成功的概

率为()

(A)(B)np(C)(n-l)p(1-p)"-1.(D)(l-p)"-1.

三、计算题

1.将n只球随机地放入N(”4N)个盒子中，设每个盒子都可以容纳〃只球，求：(1)

每个盒子最多有一只球的概率已；(2)恰有机(m4”)只球放入某一个指定的盒子中的概率

P2；(3)〃只球全部都放入某一个盒子中的概率小.

2.三个人独立地去破译一份密码，已知每个人能译出的概率分别为，问三人

534

中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？

2

3.随机地向半圆0<y<内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区

域的面积成正比，求原点与该点的连线与X轴夹角小于工的概率.

4.仪器中有三个元件,它们损坏的概率都是0.2,并且损坏与否相互独立.当一个元件损

坏时，仪器发生故障的概率为0.25,当两个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.6,当三个

元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.95,当三个元件都不损坏时,仪器不发生故障.求:

（1）仪器发生故障的概率；（2）仪器发生故障时恰有二个元件损坏的概率.

3

5.在100件产品中有10件次品；现在进行5次放回抽样检查，每次随机地抽取一件

产品，求下列事件的概率：（1）抽到2件次品；（2）至少抽到1件次品.

四、证明题

1.0<P(A)<1,0<P(B)<1,P(AIB)+P(AIB)=1,证明事件A与8相互独立.

2.设事件A的概率P（A）=0,证明A与任意事件都相互独立.

4

第二次作业

院(系)班级学号姓名

一、填空题

1.一实习生用一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i个零件是不合格产品的概

率为化=*(i=l,2,3),X表示3个零件中合格的个数，则P{X=2}=

2.设随机变量X的分布函数为

0,x<—1,

0.4,-1<X<1,

F(x)="

0.8,1<x<3,

1,x>3>.

则X的分布律为

2x,*<L用y表示对X的3次独立重复观

3.设随机变量X的概率密度为/(x)=

0,其它，

察中事件］XV出现的次数，则尸{丫=2}=

4.设随机变量X,y服从同一分布，x的概率密度函数为

3

-%2,0<x<2,

/(X)=18

0,其它，

3

设4={乂〉〃}与6={丫>。}相互独立，月.P{AUB}=-,则〃=_______________.

4

5.设随机变量X服从二项分布B(2,p),随机变量y服从二项分布8(3,p),若

P{X>1}=|,贝1」尸{卜训=.

6.设随机变量X服从N(2,c/),且P{2<X<4}=0.3,则P{X<0}=

7.标准正态分布函数中(1.96)=.

二、选择题

1.下面能够作为某个随机变量的分布律的是()

5

f135].123

(A)(B)f1

(0.50.30.3；(0.70.10.1J

<012LnL>'123L〃L、

(C).(D)

5拈)招)2L区)“L,5少身L*L,

2.设/(x)=sin元，要使，(x)=sinx能为某随机变量X的概率密度，则X的可能取值

的区间是()

331

(A)[TU-71],(B)[一肛21].(C)[0,4].(D)[0,—乃].

222

3.设耳。)和工")分别为随机变量X1和X2的分布函数，为使尸(幻=**)-忱(用是

某•随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取()

3222

(A)a=-.b=--.(B)a=—,b=—

5533

1?13

(C)a=-,h=-.(D)a=-,h=~-

2322

4.已知连续型随机变量X的分布函数为

0,x<0,

F(x)=<kx+b,0<x<

J,X>7T,

则参数k和b分别为()

(B)Z：=l,/=0.

(A)k=Q,b=—.?

717T

(C)k=—,b=O.(D)k=0,b=—.

27V2万

5.设随机变量X的概率密度函数为

/W=k[4?,0<x<1,

其它，

则使P{X>a}=P{X<a}成立的常数a=()

(A)啦.(B)-.(C)1--(D)4.

2V2V2

且P{X21}=；，/⑴=1,则(

6.设随机变量X服从正态分布N”),)

6

(A)/z=1,cr2=1.(B)〃=1,/=~T=.

J2兀

(C)//=1,<72=——.(D)//=O,cr2=1.

2TT

7.设随机变量X服从正态分布N(〃,〃)，则随着〃的增大，概率p{|X-〃l<0}()

(A)单调增大.(B)单调减少.

(C)保持不变.(D)增减性不定.

三、计算题

1.一批产品由9个正品和3个次品组成，从这批产品中每次任取一个，取后不放回，

直到取得正品为止.用X表示取到的次品个数，写出X的分布律和分布函数.

2.设随机变量X的概率分布为

X-2-10123

P0.100.200.250.200.150.10

(1)求y=-2X的概率分布；(2)求Z=X?的概率分布.

7

3.设连续型随机变量X的概率密度为

x,0<x<l,

/(x)=<kQ-x),1<x<2,

0,其它，

求：(1)%的值；(2)X的分布函数.

4.设随机变量X服从正态分布N(3,4),求:P{2<X<3},P{\X\>2],P{IXI<3}.

8

5.设连续型随机变量X的分布函数为

0,x<-a,

x

F(x)=<A+Barcsin—,-a<x<a,(a>0)

a

x>a,

求：(l)常数4、B.(2)随机变量X落在卜多]内的概率.(3)X的概率密度函数.

6.已知随机变量X的概率密度为

/w=k[ax+b90其<他x<，l,

且尸求⑴常数a力的值；(2)尸上

9

7.己知随机变量X的概率密度为

1_|J

H

fx(x)=—e,-oo<x<-K»,

又设

y=[+l,X>0,

"l-l,X<0,

求：(1)y的分布律；(2)计算

8.已知随机变量x的概率密度为

e'\x>0,

/(x)=,

0,x<0,

求：随机变量y=x2的概率密度函数.

10

四、证明题

1.设随机变量X服从正态分布N(〃Q2),证明：Y=aX+b(a。0)仍然服从正态分布,

并指出参数.

2.设随机变量X服从参数为4=2的指数分布，证明：丫=1-0-2,服从［0,1］上的均匀

分布.

11

第三次作业

院（系）班级学号姓名

一、填空题

1.设随机变量X与Y相互独立，具有相同的分布律，

则max{XJ}的分布律为

2.设随机变量（XI）的联合分布律为

P{X=m,Y=n}=尹，〃此=1,2,L,

0,m<n,

则关于X的边缘分布律为P{X=,n}=,关于y的边缘分布律为p{r=n}=.

3.设有二维连续型随机变量（x,y）,则p（x=y）=u

4.设随机变量x和y相互独立，x在区间（0,2）上服从均匀分布，y服从参数为2=1

的指数分布，则概率P{x+y>i}=.

5.若二维随机变量（X,y）在区域{（x,y）lx2+y24R2}上服从均匀分布，贝ij（x,y）的

概率密度函数为.

6.设随机变量（*,丫）~%（0,1,2,3,0）,则必+。；=

7.设随机变量XRXDLX"（〃>1）相互独立，并且服从相同的分布，分布函数为尸（x）,

记随机变量X=max（X,,X2,L,X„）,则X的分布函数Fx（x）=.

二、选择题

1.关于随机事件{X4a,yj}与{X>a,y>切下列结论正确的是（）

（A）为对立事件.（B）为互斥事件.

(C)为相互独立事件.(D)P{X<a,Y<b}>P{X>a,Y>b}.

2.设二维随机变量(X,y)在平面区域G上服从均匀分布，其中G是由x轴，y轴以及

直线y=2x+l所围成的三角形域，则(X,y)的关于X的边缘概率密度为()

8x+2.—<x<0.Sx+4,—<x<0,

*

(A).九⑴二2(B)./X(x)=2

0,其它.0,其它.

4x+2.—<x<0,一、4x+4.—<x<0,

(C)fx(x)="2(D)fx(x)=2

0,其它.0,其它.

3.设平面区域G是由x轴，y轴以及直线x+]=I所围成的三角形域，二维随机变量

(X,y)在G上服从均匀分布，则底)xly)=()(0<y<2)

2

0<x<l--,

2-y'

(A)fXIY(x\y)=<2

0,其它.

2

0<x<l--,

(B)fxw(x\y)=-l-y'2

0,其它.

1

0<x<1——,

(C)fxw(x\y)=-2-y2

0,其它.

1

0<x<1——,

(D)fx、(xiy)=<l-y'2

0,其它.

4.设二维随机变量(X,Y)的分布函数为

F(x,y)=+arctanxj18+arctan]J

则常数A和8的值依次为()

(A)/和2.(B),和乙.(C)乙和四.(D)，和工.

7i乃4T■27t2

5.设X1和X?是两个相互独立的连续型随机变量，其概率密度分别为/a)和人(x),

分布函数分别为£(x)和居。)，则下列说法正确的是()

13

(A)力(x)+&(x)必为某一随机变量的概率密度.

(B)/a)/?")必为某一随机变量的概率密度.

(C)匕(x)+K(x)必为某一随机变量的分布函数.

(D)耳(x)名(x)必为某一随机变量的分布函数.

6.如果(x,y)是连续型随机变量，下列条件中不是x与y相互独立的充分必要条件的

是(),其中为任意实数.

(A)P{X>x,Y>y}=P{X>x}P{r>y}.

(B)F(x,y)=Fx(x)FY(y).

(C)f(x,y)=fx(x)fY(y).

(D)=f(x,y).

dxdy

7.设随机变量x,y相互独立，x服从N(O,I),y服从则()

(A)P(X+y<0)=0.5.(B)P(X+Y<\)=0.5.

(Op(x-y<o)=o.5.(D)p(x-y<i)=o.5.

三、计算题

1.设随机变量X在1,2,3,4四个数字中等可能取值，随机变量y在1~X中等可能

地取一整数值，求(X,y)的概率分布，并判断x和y是否独立.

14

2,设随机事件A、B满足PGA）=LP（B|4）=P（A|8）=L令

v[1,A发生，fl,B发生,

[o,4不发生，[o,B不发生,

求（i）（x,y）的概率分布；（2）z=x+y的概率分布.

3.已知随机变量X和y相互独立，且都服从正态分布N（O,4），求常数R,使得概率

P{Vx2+K2<7?}=0.5.

15

4.已知二维随机变量(x,y)的概率密度为

曲”，x>0,y>0,

f(x,y)=

0,其它.

(1)求系数k:(2)条件概率密度人,/»);(3)判断X和丫是否相互独立;计算概

率尸{X<2»<1};(5)的密度函数心(z).

16

5.设随机变量U在区间［-2,2］上服从均匀分布，令

x二「：力二’若U41,

[1若U>1,

求（x,y）的联合分布律.

6.设（x,y）的概率密度

1,0<x<1,0<y<2x,

f(x,y)=

0,其它.

求z=2x-y的概率密度.

17

第四次作业

院(系)班级学号姓名

一、填空题

I.设随机变量X的分布律为

X-202

P0.40.30.3

则E(X)=,£(X2)=，E(3X2+5)=.

2.设随机变量x和y相互独立，且o(x)=b;和。(y)=G都存在，则

D(2X-3Y)=.

3.设随机变量X的概率密度为

'1x

,、-cos-,0<X<^,

/Uz)=\22

0,其它.

对X独立重复地观察4次，用y表示观察值大于工的次数，则E(『)=_______________.

3

4.设随机变量X~N(0,1),Y~T(4),并且X与丫的相关系数为0.5,则有

O(3X-2Y)=.

5.对一批圆木的直径进行测量，设其服从口,句上的均匀分布，则圆木截面面积的数

学期望为.

6.设随机变量X在［-1,2］上服从均匀分布，设随机变量

1,X>0,

y=-o,x=o,

-1,X<0,

贝|J£>(r)=.

7.设X服从［-1,1］上的均匀分布，则E(X')=,O(X)=.

二、选择题

1.对于随机变量X,关于E(X)和E(X?)合适的值为()

(A)3,8.(B)3,-8.(C)3,10.(D)3,-10.

18

2.设X是一随机变量，月一E（X）=〃,O（X）=/为常数），则对于任意常数

C,必有()

(A)E[(X-C)2]=£(X2)-C2.(B)E[(X-C)[=E[(X.

(C)E[(X-C)]<E[(X-〃)[.(D)£[(X-C)2]>£[(%-/z)2].

3.设。(X)=2,则。(3X-2)=()

(A)16.(B)18.(C)20.(D)8.

4.对于以下各数字特征都存在的任意两个随机变量X和y,如果E（XY）=E（X）E（y）,

则有()

(A)D(xy)=D(x)D(y).(B)o(x+y)=o(x)+z)(y).

(Ox和y相互独立.(D)x和y不相互独立.

5.设E(X)=〃,O(X)=cr2>0,贝1」为使后(4+/)=0,£>(〃+左)=1,贝I」。和6分另I」是

()

(A)a=——,=—.(B)a=——,b=—.

aaaa

(C)a=-〃,b=CT.(D)a=ju,b=—.

a

Y

6.若随机变量X与y满足Y=1-—，且£>(X)=2,则Cov(X,Y)=()

2

(A)1.(B)2.(C)-1.(D)-2.

7.已知二维随机变量（X,y）服从二维正态分布，则x和y的相关系数夕e=0是X和

y相互独立的（）

（A）充分条件，但不是必要条件.（B）必要条件，但不是充分条件.

（C）充分必要条件,（D）既不是充分也不是必要条件.

三、计算题

1.设随机变量X的概率密度为

ax,0<x<2,

/（x）=<cx+b,2<x<4,

0,其它.

3

已知E（X）=2,尸{1<Xv3}=一,求。,儿c的值.

19

2.设二维随机变量（x,y）的概率密度为

、!*+>),04x42,04y42,

/(x,y)=j8

0,其它，

求E(X),E(Y),cov(X,丫),PXY和D(X+Y).

20

3.设二维离散型随机变量（x,y）的联合概率分布为

012

X

0101

1212

1010

3

2j_0[

44

（1）写出关于x、y及xy的概率分布；（2）求x和y的相关系数夕xu

4.在数轴上的区间［0,4］内任意独立地选取两点〃与N,求线段MN长度的数学期望.

21

5.,民航送客车载有20名乘客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个

车站没有旅客下车就不停车，假设每位旅客在各个车站下车的可能性相同，且各个旅客是

否下车相互独立，求停车次数X的数学期望.

6.假设由自动流水线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布内径

小于10或大于12为不合格品，其余为合格品；销售合格品获利，销售不合格品亏损，已

知销售一个零件的利润7（元）与零件内径X的关系为

-1,X<10,

T=-20,104X412,.

-5,X>12,

问平均内径〃取何值时，销售一个零件的平均利润最大.

22

第五次作业

院(系)班级学号姓名

一、填空题

1.设随机变量X和y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5,则根

据切比雪夫不等式，有P{IX-y06}4.

2.在每次试验中，事件4发生的可能性是0.5,则1000次独立试验中，事件A发生的

次数在400次到600次之间的概率＞.

二、选择题

1.一射击运动员在一次射击中的环数X的概率分布如下：

X109876

P0.50.30.10.050.05

则在100次独立射击所得总环数介于900环与930环之间的概率是()

(A)0.8233.(B)0.8230.(C)0.8228.(D)0.8234.

2.设随机变量X“Xz，…,X,,,…相互独立，则根据列维―林德伯格中心极限定理，当〃

定充分大时，X1+X2+L+X.近似服从正态分布，只要X('=l,2,L)满足条件()

(A)具有相同的数学期望和方差.(B)服从同一离散型分布.

(C)服从同一连续型分布.(D)服从同一指数分布.

三、计算题

1.某保险公司多年的统计资料表明，在索赔客户中被盗索赔占20%,以X表示在随机

抽查的100个索赔客户中因被盗向保险公司索赔的户数.(1)写出X的概率分布；(2)利

用德莫佛一拉普拉斯定理，求被盗索赔客户不少14户且不多于30户的概率的近似值.

23

2.设某种元件使用寿命(单位：小时)服从参数为2的指数分布，其平均使用寿命为

40小时，在使用中当一个元件损坏后立即更换另•个新的元件，如此继续下去.已知每个元

件的进价为。元，试求在年计划中应为购买此种元件作多少预算，才可以有95%的把握保

证一年够用(假定一年按照2000个工作小时计算).

3.•条生产线的产品成箱包装，每箱的重量时随机的.假设平均重50千克，标准差为

5千克.如果用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每量车最多可以装

多少箱,才能保证不超载的概率大于0.977,(0(2)=0.977.)

24

第六次作业

院(系)班级学号姓名

一、填空题

1.已知从总体X中抽取一组样本容量为"(">2)的样本值X1,Xz，L,x“，频数〃，表示样

本值中有”，个占，则样本均值］=,样本方差/=,样本标准差

S=.

2.设X.Xz，X3，X4是来自正态总体N(0,2?)的简单随机样本，记随机变量

X=a(X1-2X2)2+6(3X3-4X4>,则当。=,b=时，统计量X服从尤？分布,

其自由度为.

3.设总体X~8(m,p),X”X”L,X”是来自总体X的样本，样本均值为文，则

E(X)=,D(X)=.

4.设X,~N(〃,/),i=l,2,L,〃+l,是相互独立的,记

则y=

”+1s“

5.设总体X的概率密度为

x>0,

/(X)=

0,x<0,

X1,X2,L,X,是来自总体X的样本，则XpX”L,X”的联合概率密度

f(xt,x2,L,xn)=

二、选择题

1.设总体X~N(〃,b2),X「X2，L,X”是总体X的样本，X为样本均值，记

X,-X),S；=

25

S；=；±(x,-〃)2,

〃一Ii=in(=1

则下列随机变量中服从自由度为“-1的r分布的是()

(A)-4^=.(B)(C).X.(D).

S]/yjn—\S2/yln—1S3/yjn-1S4/y/n-1

2.设总体X〜N(〃,"),X|,X2L,X”是来自总体X的简单随机样本，则

(A)0.025.(B)0,975.(C)0.95.(D)0.05.

3.设随机变量X则()

X

(A)(B)丫~力2(〃一1)(c)Y-F(l,n).(D)丫~/(〃,1).

4.设(X1,Xz，L,X“)为总体N(l,22)的一个样本，X为样本均值，则下列结论中正确的

是()

又一[111

(A)——=-r(n).(B)-Y(X.-I)2-F(H,1).

2/S4G

V_11n

(0(D)-^(X,-l)2~z2(n).

V2/Vn4占

5.设X~f(10),若P{t(10)>1.8125}=0.05,则0%(10)=()

(A)-1.8125.(B)1.8125.(C)0.95.(D)-0.95.

二、计舁题

1.从正态总体N(20,3)中分别抽取容量为10和15的两个相互独立样本，求样本均值

之差的绝对值大于0.3的概率.

26

2.设X”X”L,X&是来自正态总体N(0,0.2)的样本，试求使p［，X：＜4=0.95.

3.设X〃X”L,X“是取自正态总体的一个样本，样本均值为X,样本方差

为S2,E(X),D(X),E(S2),D(S2).

27

4.设总体X的概率密度为

.2cos2x,0<x<—,

/(x)=J4

0,其它，

■rr]5

X1,X2,…，X"为总体X的样本，求样本容量”,使P{min(X“X2，L,X.)<正}2

□Y2

5.已知二维随机变量(X,y)服从二维正态分布N(0,L2，,0),判断丁中服从

的概率分布.

28

第七次作业

院(系)班级学号姓名

一、填空题

1.设总体X服从参数为2的泊松分布，其中2>0为未知，…，X,,为来自总体X

的样本，则2的矩体计量为无=.

2.设总体X在区间［42］卜.服从均匀分布，9<2为未知参数；从总体X中抽取样本

xt,x2,L,xn,则参数e的矩估计量为务=.

3.设总体X~z(2),X|,X2，L,Xa是来自总体X的样本，则未知参数2的最大似然估计

量为5.

4.该总体X~N(〃,1),i组样本值为-2,1,3,-2,则参数〃的置信水平为0.95的置

信区间为.

5.设总体X~N(〃,32),要使未知参数〃的置信水平为0.95的置信间的长度L42,

样本容量”至少为.

二、选择题

1.设总体X在区间［0,2a］上服从均匀分布，其中。>0未知，则〃的无偏估计量为

()

(A)+-X,.(B)II,=-%,+-%,+-X,.

12'3--2'6233

(C)=~X.+-J-X,+-X,.(D)=-X.+-X2+-X.

144

442233"3'323

2.设孙々,L,匕为总体X~N(〃,")的样本观察值，则『的最大似然似计值为“=

()

(A).(B)：“七-xj,k=l,2,L.

(C)-(D)竟HT，

3.设总体*~N(〃,b2),〃与cr?均未知，X1,X”L,X„为总体X的样本，则参数〃的

置信水平为1-a的置信区间为()

29

,一君%式")‘歹+海"＞

(A)卜一言“X+介J(B)