2023-2024学年河北省衡水市深州中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河北省衡水市深州中学高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.过点(1,2)且斜率为3的直线方程为(

)A.3x−y−1=0 B.3x−2y+1=0 C.x+y+1=0 D.x+y−1=02.2023《中国好声音》报名即将开始，选手们可通过拨打热线电话或登陆官网两种方式之一来报名.现有甲、乙、丙三人均要报名参加，则不同的报名方法有(

)A.4种 B.6种 C.8种 D.9种3.下列说法中正确是(

)A.相关系数r越大，则两变量的相关性就越强

B.经验回归方程不一定过样本中心点

C.对于经验回归方程y=3+2x，当变量x增加1个单位时，y平均增加3个单位

D.对于经验回归方程y=2−x，变量4.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为A，左、右两焦点分别为F1A.12 B.22 C.15.已知函数f(x)=x2−lnx，则函数f(x)的单调递减区间为A.(0,1) B.(1,+∞) C.(0,226.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，焦距为2c，以线段F1A.y=±x B.y=±3x C.y=±2x7.已知随机变量X，Y，X～B(4,12)，Y～N(μ,σ2)，且E(Y)=8P(X=2)，又P(Y≤0)=P(Y≥A.0或2 B.2 C.−2或2 D.−28.已知数列{an}满足1an=1+2+4+…+2n−1，数列{(λn+1)(2n−1)an}A.[−110,−111] B.(−1,−二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.关于(x−1x)9A.各项的系数之和为−1 B.二项式系数的和为512

C.展开式中无常数项 D.第4项的系数最大10.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的边长为2，E、F、G、H分别为CC1、A.B1G⊥EF

B.A1H//平面AEF

C.点B1到平面AEF的距离为2

11.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F在直线l：y=kx−k上，直线l与抛物线交于点A，B，(O为坐标原点)，则下列说法中正确的是(

)A.p=2 B.准线方程为x=−2

C.以线段AB为直径的圆与C的准线相切 D.直线OA、OB的斜率之积为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知等差数列{an}，a1+a613.有3台车床加工同一类型的零件，第1台加工的次品率为4%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为______．14.已知函数f(x)=12x2−(a+2)x+2alnx+1在(4,6)四、解答题：本题共4小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知等比数列{an}满足a2=4，a5=32．

(1)求数列{an}的通项公式；

16.(本小题15分)

某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n(n∈N∗)个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为514．

(1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率；

(2)若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为X，求17.(本小题17分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为B，|BF|=2，离心率为12．

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)若直线l：y=x−2m(m≠0)与椭圆E相交于18.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex−1−lnx．

(1)求函数f(x)的最小值；

(2)求证：exf(x)+(ex−1)lnx−e答案解析1.【答案】A

【解析】解：根据题意可得直线为y=3(x−1)+2，化简得3x−y−1=0，

故选：A．

2.【答案】C

【解析】解：根据题意，甲、乙、丙三人都可通过拨打热线电话或登陆官网两种方式之一来报名，

即每人都有2种报名方法，则3人有2×2×2=8种报名方法．

故选：C．

3.【答案】D

【解析】解：相关系数r的绝对值越大，则两变量的相关性就越强，故A错误；

经验回归方程一定过样本中心点，故B错误；

对于经验回归方程y=3+2x，当变量x增加1个单位时，y平均增加2个单位，故C错误；

对于经验回归方程y=2−x，变量x与变量y负相关，故D正确．

4.【答案】A

【解析】解：椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为A，左、右两焦点分别为F1，F2，

若△AF1F2为等边三角形，

由椭圆的对称性知b=3c，

即b5.【答案】C

【解析】解：f(x)的定义域是(0,+∞)，

f′(x)=2x−1x=2x2−1x，

令f′(x)<0，解得0<x<226.【答案】B

【解析】解：由题意可知AF1⊥AF2，

所以sin∠AF1F2=|AF2||F1F2|=7−14，设|AF2|=m，则m=7−12c，7.【答案】C

【解析】解：根据题意，X～B(4,12)，则P(X=2)=C42(12)2(1−12)2=38，

又由Y～N(μ,σ8.【答案】C

【解析】解：由题意，可得1an=1+2+4+…+2n−1

=1+21+22+⋅⋅⋅+2n−1

=1−2n1−2

=2n−1，

∴an=12n−1，n∈N∗，

构造数列{bn}：令bn=(λn+1)(2n−1)an，

则bn=(λn+1)(2n−1)an，

=(λn+1)(2n−1)⋅12n−1

=λn+1，9.【答案】BC

【解析】解：关于(x−1x)9的展开式，令x=1，可得它的各项的系数之和为0，故A错误．

(x−1x)9的二项式系数之和为29=512，故B正确．

(x−1x)9的展开式的通项为Tr+1=C9r⋅(−1)r⋅x9−2r，

10.【答案】ABC

【解析】解：建立空间直角坐标系如下图所示，

B1(2,2,2)，G(0,1,0)，E(0,2,1)，F(1,2,0)，A(2,0,0)，A1(2,0,2)，H(2,2,1)，

B1G=(−2,−1,−2),EF=(1,0,−1),B1G⋅EF=0，所以B1G⊥EF，A选项正确．

A1H=(0,2,−1),AF=(−1,2,0)，

设平面AEF的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅EF=x−z=0n⋅AF=−x+2y=0，故可设n=(2,1,2)，A1H⋅n=0，

由于A1H⊂平面AEF，所以A1H//平面AEF，B选项正确．11.【答案】ACD

【解析】解：由题意可得焦点坐标为F(1,0)，

所以p2=1，则p=2，故A正确；

准线方程为x=−p2=−1，故B错误；

对于C选项，过A，B点往准线作垂线，垂足为A1，B1，

AB的中点为E点，过E点作准线的垂线，垂足为E′，

由抛物线的定义可得|AB|=|AA1|+|BB1|=2|EE′|，

所以以线段AB为直径的圆与C的准线相切，故C正确；

对于D选项，设A(x1,y1)，B(x2,y2)12.【答案】12【解析】解：∵等差数列{an}，a1+a6+a11=6，设公差为d，

则3(a1+5d)=3a613.【答案】516【解析】解：记Ai为事件“零件为第i(i=1,2,3)台车床加工”，B为事件“任取一个零件为次品”，

则P(A1)=0.2，P(A2)=0.3，P(A3)=0.4，

所以由全概率公式可得P(B)=P(A114.【答案】(4,6)

【解析】解：函数f(x)=12x2−(a+2)x+2alnx+1的导数为f′(x)=x−(a+2)+2ax，

由题意可得f′(x)=0在(4,6)内有解，

即x−(a+2)+2ax=0，也即(x−2)(x−a)=0在x∈(4,6)有解，

15.【答案】解：(1)由题意，设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，

则q3=a5a2=324，

解得q=2，

∴a1=a2q=42=2，

∴an=2⋅2n−1=2n，n∈N∗【解析】(1)先设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，根据题干已知条件及等比数列的定义推导出公比q的值，进一步计算出首项a1的值，即可计算出等比数列{an}的通项公式；

(2)先根据第(1)题的结果计算出数列16.【答案】解：(1)由题意知共有n+3个集团，取出2个集团的方法总数是Cn+32，其中全是大集团的情况有Cn2，

故全是大集团的概率是Cn2Cn+32=n(n−1)(n+3)(n+2)=514，

整理得到9n2−39n−30=0，解得n=5，

若2个全是大集团，共有C52=10种情况，

若2个全是小集团，共有C32=3种情况，

故全为小集团的概率为33+10=313；

X0123P1151510数学期望为E(X)=0×156【解析】(1)根据古典概型的概率公式计算全为小集团的概率值；

(2)由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．

17.【答案】解：(1)由题意可知|BF|=a=2e=ca=12b2=a2−c2，解得a=2，b2=3，

所以椭圆的方程为：x24+y23=1；

(2)设A(x1,y1)，C(x2,y2)，

联立3x2+4y2=12y=x−2m【解析】(1)由题意可得a的值，再由离心率可得c的值，进而求出b的值，求出椭圆E的标准方程；

(2)联立直线l的方程与椭圆的方程，可得两根之和及两根之积，可得A，C的横坐标之差的绝对值，由直线l的方程可知过定点Q的坐标，代入三角形的面积公式，由二次函数的最值的求法，可得三角形面积的最大值．

18.【答案】(1)解：∵f(x)=ex−1−lnx，∴f′(x)=ex−1−1x，

设μ(x)=ex−1−1x，μ′(x)=ex−1+1x2>0，

∴μ(x)在(0,+∞)上为单调递增函数，

μ(1)=0，∴f′(1)=0，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

∴x=1时，f(x)取得最小值，f(x)min=f(1)=1；

(2)证明：要证exf(x)+(ex−1)lnx−ex+12>0，只需证ex(ex−1−lnx)+(e