甘肃省陇南市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

陇南一中2023~2024学年度第二学期期末考试高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：高考范围.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，若，则所有整数的取值构成的集合为（）A.B.C.D.2.已知，若为纯虚数，则（）A.B.2C.1D.3.已知向量，且，则（）A.2B.-1C.2或-1D.2或-24.在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为800，则可以估计参加本次联考的总人数约为（）A.1600B.1800C.2100D.24005.已知锐角满足，则（）A.B.C.2D.36.蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建设和搬迁很方便，适用于牧业生产和游牧生活.小张对蒙古包非常感兴趣，于是做了一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在他需要买一些油毡纸铺上去（底面不铺），若购买油毡纸一平方米需要30元，则买油毡纸至少要花费的费用约为（）A.89元B.110元C.126元D.138元7.已知椭圆的长轴的顶点分别为，点为椭圆的一个焦点，若，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.8.已知，设函数若存在，使得，则的取值范围是（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在的展开式中，下列命题正确的是（）A.偶数项的二项式系数之和为32B.第3项的二项式系数最大C.常数项为60D.有理项的个数为310.已知等差数列的公差，其前项和为，则下列说法正确的是（）A.是等差数列B.若，则有最大值C.成等差数列D.若，则11.已知函数的定义域为，则（）A.B.函数是奇函数C.D.的一个周期为3三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.从这4个数中一次随机抽取两个数，则所取两个数之和为9的概率是__________.13.已知等比数列各项均为正数，前项和为.若，则等于__________.14.已知抛物线，过的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（本小题满分13分）记的内角的对边分别为，面积为，且.（1）求的外接圆的半径；（2）若，且，求边上的高.16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，平面是等边三角形，为的中点.（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，，求的取值范围.18.（本小题满分17分）已知双曲线过点，左､右顶点分别为，直线与直线的斜率之和为3.（1）求双曲线的标准方程；（2）过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于（在第一象限）两点，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标.19.（本小题满分17分）甲､乙两同学进行射击比赛，已知甲射击一次命中的概率为，乙射击一次命中的概率为，比赛共进行轮次，且每次射击结果相互独立，现有两种比赛方案，方案一：射击次，每次命中得2分，未命中得0分；方案二：从第一次射击开始，若本次命中，则得6分，并继续射击；若本次未命中，则得0分，并终止射击.（1）设甲同学在方案一中射击轮次总得分为随机变量，求；（2）甲､乙同学分别选取方案一､方案二进行比赛，试确定的最小值，使得当时，甲的总得分期望大于乙.陇南一中2023~2024学年度第二学期期末考试·高二数学参考答案､提示及评分细则1.C，故中至多一个元素，当时，，当时，.故选C.2.B，若为纯虚数，则，故选B.3.C由或-1.故选C.4.D由题设，若表示数学考试成绩，则，而，所以，故参加本次联考的总人数约为.故选D.5.A由，有，有，又由为锐角，有，可得.6.B由题三视图可知该蒙古包的模型是一个圆锥与圆柱的组合体.其中圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积，圆柱的侧面积，故总面积为，买油毡纸至少要花费的费用为元.故选B.（注：可根据判断B选项正确）.7.C设长轴为，焦距为，由题意有，得.8.D当时，易知的最小值为，当时，，令，解得，若，则在上单调递增，所以只需，解得或，又，所以，若，则在上单调递减，在上单调递增，成立，所以符合题意，综上，的取值范围是，故选D.9.AC偶数项的二项式系数之和为，故A正确；当时，的值最大，是第4项的二项式系数最大，故B错误；，令，，故C正确；为整数时，有理项的个数为4，故D错误，故选AC.10.ABD，故A正确；若，则最大，若，则，则存在，故最大，故B正确；对数列：，取，故C错误；不妨设，则，即，而，故，D正确.故选ABD.11.AC令，则，所以，A选项正确；令，则，即，所以是偶函数，B选项错误；，令，则，令，则，所以，所以，因为，所以，C选项正确；令，则，所以，所以的一个周期为6，D选项错误，故选AC.12.从2，4，5，7这4个数中一次随机抽取两个数的所有基本事件有，共6个，所取2个数之和为9的基本事件有，共2个，故所求概率.13.3114.因为在抛物线内部，又，所以是的中点.设，所以，即，又在抛物线上，所以，两式作差，得，所以，所以直线的方程为，即.15.解：（1）依题意，所以，由正弦定理，得，所以的外接圆半径为1；（2）由（1）可知，，解得，由余弦定理，得，即，解得，设边上的高为，则，所以.16.（1）证明：是等边三角形，为的中点.所以是等边的中线，所以，又平面平面，又平面平面平面；（2）解：取的中点，连接，因为平面，所以平面，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，由令，则，.显然平面的一个法向量为，，故平面与平面夹角的余弦值为.17.解：（1）由于，则切点坐标为，因为，所以切线斜率为，故切线方程为；（2）当时，等价于，令，恒成立，则恒成立，，当时，，函数在上单调递减，，不符合题意；当时，由，得，时，，函数单调递减，，不符合题意；当时，，因为，所以，则，所以函数在上单调递增，，符合题意