高中数学必修一 精讲精炼 4

4.4对数函数（精讲）

思维导图

一般地，函数y=IogHaM，且"1）叫做对数函数，其中x是自变量,

函数的定义域是（0,+x）.

系数

-

对

概念同时敦

成数函

数

-

对数的真教仅有自变量X卜

①分母不能为0.

②根指数为偶数时，被开方数非负.

③对数的真数大于0,底数大于0且不为L

定义域€＞

,=1吁（。＞0,且皿）

对

数

函

数

值域

单调性在（0,+八上是增函数在（0,+x）上是减函数

共点性图象过定点（1.0）,即*=1时，,=0

函数值*6（0,I）H.＞e（-x,o）；*V（＜M）时，ye（0,+x）；

特点«e[l.+B）时，,e[0,+x）xE[i,+H）时，j-e（—®,0|

对称性与x的图象关于

性质e

指数函数尸=哄。＞0,且启1）与对教函数,・=1»8叱（。＞0且存1）互为反函数.

它们的定义域与值域正好互换.

反函数

①同底数的利用对数函数的单调性

比②同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化

较

大③底数和真数都不同，找中间量

小④若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响,

对底数进行分类讨论.

y=1。。1）型函数性质的研究

①定义域：由本）>0解得x的取值范围，即为函数的定义域.

②（S域：在函数尸loM；x）的定义域中确定r=4x）的值域，再由y=logar的单调

性确定函数的值域.

③单调性：在定义域内考虑:=•）与y=lo3r的单调性，根据同增异减法则判

对

定.（或运用单调性定义判定）

数

函④奇偶性：根据奇偶函数的定义判定.

数

复⑤最值：在府）>0的条件下，确定，=/（幻的值域，再根据。确定函数尸1。叫的

合

单调性，最后确定最值

函

数

①^如log»x>lo&B的不等式，借助y=log»r的单调性求解，如果。的取值不确定,

需分a>l与0<a<l两种情况进行讨论

②形如logoGb的不等式，应将。化为以a为底数的对数式的形式（。=1吗/）,

解

不再借助y=l0gtty的单调性求解

等

式③^如lo&gaHo&uWtAx）,g（x）K）且不等于1,a>0）的不等式，可利用

换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解

常见考法

考法一对数函数的判断

【例1】（1）（2021•全国高一课时练习）给出下列函数：

①y=log?x-；②y=k>g3（x-l）；③y=log<*+i>x；④y=log«x.

3

其中是对数函数的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

（2）.（2021♦全国高一课时练习）若函数尸1%工+/-3〃+2为对数函数，贝心=（）

A.1B.2C.3D.4

【一隅三反】

1.（2021•全国高一课时练习）下列函数表达式中，是对数函数的有（）

①y=logt2；②y=logd（aGR）；@y=logsx；④y=lnx；⑤y=logr（x+2）；⑥y=log2（x+1）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（2021•全国高一课时练习）下列函数表达式中，是对数函数的有（）

①y=k）g,2；②y=log“x（awR）；③y=k）gxX；④y=lnr；⑤y=log1x+2）；@y=21og4x；⑦

y=log2（x+l）.

A.1个B.2个

C.3个D.4个

3.（2021•全国高一课时练习）若函数/（x）=log“x+（a2-4”-5）是对数函数，。=.

考法二对数函数的解析式或函数值

【例2】（1）（2021・上海高一专题练习）对数函数的图像过点M（125,3）,则此对数函数的解析式为（）

A.y=k）g5XB.y=lo®lxC.y=xD.y=logu

（2）（2021•全国高一课前预习）设“x）=log“x（">0且"1）,若/（2）=；,则/（；）=（）.

A.2B.—2C.—D.J

22

【一隅三反】

1.（2021•全国高一课时练习）若某对数函数的图象过点（4,2）,则该对数函数的解析式为（）

A.y=log,XB.y=21og4A-

C.y=log2：（^y=21og4XD.不确定

2.（2021.全国高一课时练习）若函数/（x）=log,,（x+1）（">（）,“片1）的图像过点（7,3）,则。的值为（）

A.J2B.2C.—D.；

22

考法三对数函数的定义域

【例3】（1）（2021.奉新县第一中学高一月考）函数/（力=粤津的定义域为（）

A.（1,2]B.[1,4]C.（1,4）D.[2,4]

（2）.（2021•江苏）已知函数y=/（2*）的定义域是[-1,1],则函数/（logs的的定义域是（）

A.[-1,1]B.1,3C.[1,3]D.[73,9]

（3）（2021.全国高一课前预习）若函数y=lg（or+l）的定义域为则。=（）

A.1B.-1

C.2D.无法确定

【一隅三反】

1.（2021.全国）函数y=[k）g05（2x-l）T的定义域为（）

A.B.[■,+00）C.（1,+OO）

2X

2.（2021•四川自贡.）函数f（x）=-y==+log3（2x-1）的定义域是（）

A.（51B.5/]C.（l,+oo）D.康）

3.（2021•陕西宝鸡市•高一期末）若函数/（x+1）的定义域为[0,1],则/（Igx）的定义域为（）

A.[10,100]B.[1,2]C.[0,1]D.

10,lg2]

4（2021•全国高一课时练习）求下列函数的定义域

⑴>啾

小一2卜1

(2)函数f(x)

log2(x-l)

)2

⑶，(x)=+(5x-4)°

lg(4x+3)

考法四对数函数的定点

【例4】（2021・四川高一开学考试）函数y=log〃（2x+7）—2（。＞0,且a*1）的图象一定经过的点是（）

A.1-5,-2）B.（-3,-2）C.（-3,-1）D.（T—2）

【一隅三反】

1.（2021•镇远县文德民族中学校高一月考）函数丫=1。8“（3%-1）（。＞0,。*1）的图象过定点（）

A.仔JB.（-1,0）C.I?。）D.（0,-1）

2.（2021•全国）函数y=log"（x-l）的图象必过的点是（）

A.（-1,0）B.（1,0）C.（0,0）D.（2,0）

3.（2021•湖北高一开学考试）已知函数y=log"（x-3）+2（”＞0且"1）的图象恒过定点p,点P在累函数

y=/（x）的图象上，则lgf（4）+lgf（25）=（）

A.-2B.2C.ID.-1

考法五对数函数的值域（最值）

【例5】（1）（2021•浙江高一单元测试）已知9-48,则函数/（x）=log,x的值域是。

（2）（2021・上海高一课时练习）函数y=10go-5（©-x2）的值域为.

（3）.（2021.重庆高一期末）己知函数〃x）=?2（x+3）[3<xW1的值域为R,则实数。的取值范围是______

x~-ax,x>1

（4）（2021♦全国高一课时练习）已知函数y=lg[（£-1*-2（4-1口+3]的值域为R,则实数a的取值范围是_

【一隅三反】

一]B

1.（2021•全国高一课前预习）已知函数〃x）=logM，x€,则於）的值域是（）

2[42_

A.4,2B.[-y,2]C.10,2JD.[0,

2.（2021•安徽芜湖一中高一月考）已知函数）'=l°gj加+2》+1）的值域为R,则实数“的取值范围是（）

2

A.a>lB.0<«<1C.0<a<lD.0<«<1

3.（2021•河北秦皇岛一中高一期末）已知”>0且awl,若函数f（x）=।-.的值域为“，+网，则〃的

[logax,x>2

取值范围是（）

A.g,l）B.（1,+8）C.（1,2）D.（1,2]

4.（2021.广东阳江.高一期末）函数丫=1呜。2-2以+”）的值域为R,则〃的取值范围是.

5.（2021•全国高一单元测试）已知函数f（x）=,?g2'+?+。），"20的值域是上则实数。的最大值是

3-x,x<0

考法六对数函数的单调性

【例6】（1）（2021•湖南省邵东市第三中学高一月考）下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）

A.y=B.y=3"

C.y=x2D.y=lg|x|

（2）.（2021•全国高一课时练习）函数/（力=logy的单调递增区间是（）

A.（0,gB.（1,2]C.[1,-HK）D.（O,-hx>）

（3）（2021•新疆维吾尔自治区阿克苏地区第二中学高一期末）函数/（x）=log1（x2-4）的单调递增区间为（）

2

A.（0,+8）B.（-oo,0）C.（2,+00）D.（―,一2）

（4）（2021•全国高一专题练习）已知函数/（x）=log“同一（20+3）X+6|在区间1,4上单调递增，则实数a的取

值范围为（）

333333

A.-„ci<—B.—<。<1C.—。<—或a>1D.-<〃<1或a>1

545545

【一隅三反】

1.（2021•广东高一单元测试）下列函数在其定义域内为减函数的是（）

A./(x)=x3B./(x)=；x+l

C./(x)=log3xD.〃x)=

3

2.（2021・四川眉山市•仁寿一中高一开学考试）函数f（x）=log।（V-4,的单调递减区间为

2

3.（2021•云南高一期末）若函数/（x）=log;（*+4x+5）在区间（3"L2,〃?+2）内单调递增，则实数机的取值范

围为.

4.（2021•全国高一专题练习）已知函数y=log.（2-以）（。>0,且awl）在[0,1]上是减函数，则实数a的取值

范围是.

考法七对数函数比较大小

【例7】⑴（2021•全国汜知"log。/,b=*3,c=o.2,,则（）

A.a<c<bB.a<b<C

C.c<a<bD.b<c<a

（2）.（2021.广西南宁三中）已知奇函数/（另在/?上是增函数,若。=-/[1鸣：）"=/（108241），。=/（2°8）,

则a,。,c的大小关系为

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

【一隅三反】

02

1.（2021•江苏高一开学考试）已知G=log72,b=log070.2,C=O.7,则b,c的大小关系为

A.a<c<bB.a<h<cC.b<c<aD.c<a<h

02

2.（2021•河北沧州市一中高一开学考试）已知a=logs2,6=log050.2,c=0.5,则。也。的大小关系为

A.a<c<bB.a<b<c

C.h<c<aD.c<a<b

4

3.（2021•河南郑州市•郑州十一中高一期中）已知x=y=0.9",z=log-,则x,y,z的大小关系是（

233

）

A.x>y>zB.y>x>zC.y>z>xD.x>z>y

4.（2021•重庆）设a=0.5°4,b=log（）,0.3,c=log20.4,则a,b,c的大小关系是（）

A.a<h<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a

考法八解对数不等式

【例8】（1）（2021.全国高一专题练习）不等式log：（5+x）<log；（l—x）的解集为.

⑵（2021•运城市新康国际实验学校高一开学考试）设函数/（x）=ln（l+W）-急，则使得1）成

立的x的取值范围是（）

A.B.,8,g）U（l，+8）

C.卜林）D.卜叫用收）

【一隅三反】

1.（2021.全国高一课时练习）“M>N”是“lnM>lnW^（）条件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分又不必要

2.不等式log式2x+3）〈log「（5x-6）的解集为（）

22

A.（一8,3）B.（一|，3）

2

3.若logw<L则实数a的取值范围是（）

A.(0,|jU(1,+°0)

呜,1)

4.（2021•安徽省亳州市第一中学高一月考）已知函数.f（x）=lg（V7=+x）是奇函数，则/（2x-a）W/（x）的

解集为_______