高考数二轮专题突破 （预测演练+提能训练）第1部分 专题三 第1讲 等差数列、等比数列选择、填空题型（以真题和模拟题为例） 理

《创新方案》届高考数学（理科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题三第1讲等差数列、等比数列选择、填空题型（以年真题和模拟题为例，含答案解析）一、选择题1．一个由实数组成的等比数列，它的前6项和是前3项和的9倍，则此数列的公比为()A．2 B．3C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)解析：选A设等比数列的公比为q，依题意有S6＝9S3，∴S6－S3＝8S3，∴eq\f(S6－S3,S3)＝8，即q3＝8，得q＝2.2．(·南昌模拟)若Sn为等差数列{an}的前n项和，S9＝－36，S13＝－104，则a5与a7的等比中项为()A．4eq\r(2) B．±4eq\r(2)C．4 D．±4解析：选B依题意得S9＝eq\f(9a1＋a9,2)＝9a5＝－36，a5＝－4;S13＝eq\f(13a1＋a13,2)＝13a7＝－104，a7＝－8，a5a7＝32.因此a5与a7的等比中项是±eq\r(32)＝±4eq\r(2).3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a2013＝S2013＝2013，则a1＝()A．－2014 B．－2013C．－2012 D．－2011解析：选DS2013＝2013a1007＝2013，所以a1007＝1，则d＝eq\f(a2013－a1007,1006)＝2，a1＝a2013－2012d＝－2011.4．(·杭州模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若－am<a1<－am＋1(m∈N*，且m≥2)，则必定有()A．Sm>0，且Sm＋1<0 B．Sm<0，且Sm＋1>0C．Sm>0，且Sm＋1>0 D．Sm<0，且Sm＋1<0解析：选A据已知可得a1＋am>0，a1＋am＋1<0，故Sm＝eq\f(ma1＋am,2)>0，Sm＋1＝eq\f(m＋1a1＋am＋1,2)<0.5．已知数列{an}满足a1＝5，anan＋1＝2n，则eq\f(a7,a3)＝()A．2 B．4C．5 D.eq\f(5,2)解析：选B依题意得eq\f(an＋1an＋2,anan＋1)＝eq\f(2n＋1,2n)＝2，即eq\f(an＋2,an)＝2，数列a1，a3，a5，a7，…，是一个以5为首项，以2为公比的等比数列，因此eq\f(a7,a3)＝4.6．在等比数列{an}中，对于任意n∈N*都有an＋1·a2n＝3n，则a1·a2·…·a6＝()A．±(eq\r(3,3))11 B．(eq\r(3,3))13C．±35 D．36解析：选D由等比数列的性质可知，a1·a2·a3·a4·a5·a6＝(a2·a6)·a4·(a1·a5)·a3＝(a3)3(a4)3＝(a3·a4)3，令n＝2，得a3·a4＝32，因此a1·a2·a3·a4·a5·a6＝36.7．已知等比数列{an}的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为()A．4 B．6C．8 D．10解析：选C由题意得a1＋a3＋…＋an－1＝85，a2＋a4＋…＋an＝170，所以数列{an}的公比q＝2.由数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，得85＋170＝eq\f(1－2n,1－2)，解得n＝8.8．(·西宁模拟)已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝1，a2＝3，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则下列结论正确的是()A．S102＝0 B．S102＝1C．S102＝3 D．S102＝4解析：选A依题意得an＋2＝an＋1－an＝－an－1，即an＋3＝－an，an＋6＝－an＋3＝an，数列{an}的项是以6为周期重复性地出现，且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝(a1＋a4)＋(a2＋a5)＋(a3＋a6)＝0.注意到102＝6×17.因此S102＝17×0＝0.9．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，若an＋2＝2an＋1－an＋2，则an等于()A.eq\f(1,5)n3－eq\f(2,5)n＋eq\f(6,5) B．n3－5n2＋9n－4C．n2－2n＋2 D．2n2－5n＋4解析：选C依题意得(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2，因此数列{an＋1－an}是以1为首项，2为公差的等差数列，an＋1－an＝1＋2(n－1)＝2n－1.当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋1＋3＋…＋(2n－3)＝1＋eq\f(n－11＋2n－3,2)＝(n－1)2＋1＝n2－2n＋2，又a1＝1＝12－2×1＋2，因此an＝n2－2n＋2.10．(·新课标全国卷Ⅰ)设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，….若b1>c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝eq\f(cn＋an,2)，cn＋1＝eq\f(bn＋an,2)，则()A．{Sn}为递减数列B．{Sn}为递增数列C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列解析：选B已知b1>c1，b1＋c1＝2a1，a2＝a1，故b2＝eq\f(c1＋a1,2)＝eq\f(3,4)c1＋eq\f(1,4)b1<b1，c2＝eq\f(b1＋a1,2)＝eq\f(3,4)b1＋eq\f(1,4)c1>c1，b2＋c2＝a1＋eq\f(b1＋c1,2)＝2a1，b2－c2＝eq\f(c1－b1,2)<0，即b2<c2，b2c2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)c1＋\f(1,4)b1))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)b1＋\f(1,4)c1))＝eq\f(3,16)(b1＋c1)2＋eq\f(1,4)b1c1>b1c1.又a3＝a2＝a1，所以b3＝eq\f(c2＋a2,2)＝eq\f(3,4)c2＋eq\f(1,4)b2<b2，c3＝eq\f(b2＋a2,2)＝eq\f(3,4)b2＋eq\f(1,4)c2>c2，b3＋c3＝eq\f(c2＋a2,2)＋eq\f(b2＋a2,2)＝2a2＝2a1，b3－c3＝eq\f(3,4)c2＋eq\f(1,4)b2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)b2＋\f(1,4)c2))＝eq\f(c2－b2,2)>0，即b3>c3，b3c3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)c2＋\f(1,4)b2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)b2＋\f(1,4)c2))＝eq\f(3,16)(b2＋c2)2＋eq\f(1,4)b2c2>b2c2>b1c1.又△AnBnCn的面积为Sn＝eq\r(pp－anp－bnp－cn)＝eq\r(pp－an[p2－bn＋cnp＋bncn])，其中p＝eq\f(1,2)(an＋bn＋cn)，p(p－an)和p2－(bn＋cn)p都为定值，bncn逐渐递增，所以数列{Sn}为递增数列．二、填空题11．(·辽宁高考)已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.解析：由题意得，a1＋a3＝5，a1a3＝4，由数列是递增数列，得a1＝1，a3＝4，所以q＝2，代入等比数列的求和公式得S6＝63.答案：6312．(·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．解析：由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S10＝10a1＋\f(10×9,2)d＝0，,S15＝15a1＋\f(15×14,2)d＝25，))解得a1＝－3，d＝eq\f(2,3)，那么nSn＝n2a1＋eq\f(n2n－1,2)d＝eq\f(n3,3)－eq\f(10n2,3).由于函数f(x)＝eq\f(x3,3)－eq\f(10x2,3)在x＝eq\f(20,3)处取得极小值，因而检验n＝6时，6S6＝－48，而n＝7时，7S7＝－49.故nSn最小值为－49.答案：－4913．(·深圳模拟)已知公比为2的等比数列{an}中，a2＋a5＋a8＋a11＋a14＋a17＋a20＝13，则该数列前21项的和S21＝______.解析：设等比数列的首项为a1，公比q＝2，前n项和为Sn.由题知a2，a5，a8，a11，a14，a17，a20仍为等比数列，其首项为a2，公比为q3，故其前7项的和为T7＝eq\f(a2[1－q37],1－q3)＝eq\f(a1q1－q21,1－q 1＋q＋q2)＝eq\f(a11－q21,1－q)·eq\f(q,1＋q＋ q2)＝S21·eq\f(2,7)＝13，解得S21＝eq\f(91,2).答案：eq\f(91,2)14．公差不为0的等差数列{an}的部分项ak1，ak2，ak3，…，构成等比数列，且k1＝1，k2＝2，k3＝6，则k4＝________.解析：据题意等差数列a1，a2，a6成等比数列，设等差数列的公差为d，则有(a1＋d)2＝a1(a1＋5d)，解得d＝3a1，故a2＝4a1，a6＝16a1⇒ak4＝64a1＝a1＋(n－1)·(3a1)，解得n＝22，即答案：2215．将正奇数按如下表的规律填在5列的数表中，则2013排在数表的第________行，第________列．135715131191719212331292725……………解析：通过观察发现，第三列是以3为首项，8为公差的等差数列，所以通项公式可写成an＝8n－5，当n＝252时，a252＝2011.又因为此数表偶数行的数从右向左递增，故2013排在数表的第252行，第2列．答案：252216．已知各项都为正数的数列{an}，其前n项的和为Sn，且Sn＝(eq\r(Sn－1)＋eq\r(a1))2(n≥2)．若bn＝eq\f(an＋1,an)＋eq\f(an,an＋1)，且数列{bn}的前n项的和为Tn，则Tn＝________.解析：eq\r(Sn)－eq\r(Sn－1)＝eq\r(S1)，eq\r(Sn)＝neq\r(S1)，Sn＝n2a1，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)a1.bn＝eq\f(2n＋1,2n－1)＋eq\f(2n－1,2n＋1)＝2＋eq\f(2,