全国各地中考数学试题分类汇编（第2期）26 图形的相似与位似（含解析）

图形的相似与位似

选择题

1.（2016•山东省济宁市•3分）如图，AB〃CD〃EF,AF与BE相交于点G,且AG=2,GD=1,

BC3

【考点】平行线分线段成比例.

BC_AD

【分析】首先求出AD的长度，然后根据平行线分线段成比例定理，列出比例式诿/即可

得到结论.

【解答】解：VAG=2,GD=1,

.\AD=3,

：AB〃CD〃EF,

BC_AD3

.\CE^DF=5,

3

故答案为:5.

2.（2016•山东省东营市•3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点/（一3,6）、血一9,

一3）,以原点。为位似中心，相似比为:，把△儿笫缩小，则点力的对应点小的坐标是（）

A.（-1,2）B.（-9,18）

C.（-9,18）或（9,-18）D.（-1,2）或（1,-2）

【知识点】相似三角形一一位似图形、位似变换

【答案】D.

OA'1

【解析】方法一：•••△力加和B'。关于原点位似，ABO^/\A'B'。且今=不

A'EOE\,11，/、

：.A'E=qAD=2,OE=-OD=\.：.Af(-1,2).

AU(JU3JJ

同理可得/'(1,-2).

方法二：•.,点力(-3,6)且相似比为《，

点力的对应点4的坐标是(-3x1,6x1),：,A'(-1,2).

:点*,和点/关于原点〃对称，

：./!''(1,-2).

故选择D.

第8题笞案图

【点拨】每对对应点的连线所在的直敲都相交于一点的相似图形叫做位似图形.位似图形

对应点到位似中心的距离比等于位似比（相似比）；在平面直角坐标系中，如果位似图形是

以原点为位似中心，那么位似图形对应点的坐标比等于相似比.注意：本题中，△46。以原

点。为位似中心的图形有两个，所以本题答案有两解.

3.（2016•山东省东营市•3分）如图，在矩形/腼中，£是加边的中点，BEVAC,垂足

为点片连接分分析下列四个结论：①匕AEFs"CAB：②CF=2AF；③DF=DC；④tan/。。

其中正确的结论有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【知识点】特殊平行四边形一一矩形的性质、相似三角形一一相似三角形的判定与性质、锐

角三角函数一一锐角三角函数值的求法

【答案】B.

【解析】.......................①正确；

AFAE1

■:XAEFsXCAB,・・・f=云；=小:・CF=2AF・.....................②正确；

CrDCN

过点〃作D/LLAC于点、〃易证△用总△砌/GMS.・・・”=〃

,JEF//DH,•••弁=2=L："F=FH.:.FH=CH.

，〃〃垂直平分CF.：.DF=DC.③正确;

BGc

第10题答案图

设EF=l,则BF=2J：AABFsAEAF.；.%=缥；.AF=、EF*BF=71X2=隹.

DrArvYY

..・tanN/%潸2J：/CAD=NABF,：.tan/CAD=tanNABF=④错误.

故选择B.

【点拨】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质，图形面积的计算，锐角三角函

数值的求法，正确的作出辅助线是解本题的关键.

4.（2016•重庆市A卷•4分）4ABC与ADEF的相似比为1：4,则4ABC与aDEF的周长

比为（）

A.1：2B.1：3C.1：4D.1：16

【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果.

【解答】解：:△ABC与4DEF的相似比为1：4,

.♦.△ABC与4DEF的周长比为1：4；

故选：C.

【点评】本题考查了相似三角形的性质；熟记相似三角形周长的比等于相似比是解决问题的

关键.

5.（2016广西南宁3分）有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S”

则S1：S2等于（）

A.1：V2B.1：2C.2：3D.4：9

【考点】正方形的性质.

【分析】设小正方形的边长为x,再根据相似的性质求出$、$与正方形面积的关系，然后

进行计算即可得出答案.

【解答】解：设小正方形的边长为x,根据图形可得：

EF1_

VAC=T,

SADAC=9-,

/.S正方形AECD=I?,

.\Si=18s正方形ABCD，

1

,/SAABC=4,

S正方形ABCD=百,

1

；.S2=8SjE^r»ABCD,

1

2

S2=8x,

11

S1：SJ=18X2：8X2=4：9；

故选D.

【点评】此题考查了正方形的性质，用到的知识点是正方形的性质、相似三角形的性质、正

方形的面积公式，关键是根据题意求出Si、Sz与正方形面积的关系.

6.（2016河北3分）如图，比1中，ZA=78°,AB=4,AC=6.将△/!a1沿图示中的虚线剪开,

剪下的阴影三角形与原三角形不理似的是（C）

第15M

A

解析：只要三个角相等，或者一角相等，两边成比例即可。c项不成比例。

知识点：相似三角形

7.（2016•内蒙古包头•3分）如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,ZABC=90",E是AB上

一点，且DELCE.若AD=1,BC=2,CD=3,则CE与DE的数量关系正确的是（）

A.CE=V3DEB.CE=V3)EC.CE=3DED.CE=2DE

【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质.

【分析】过点D作DH1BC,利用勾股定理可得AB的长，利用相似三角形的判定定理可得

△ADE^ABEC,设BE=x,由相似三角形的性质可解得x,易得CE,DE的关系.

【解答】解：过点D作DHLBC,

VAD=1,BC=2,

；.CH=1,

222

DH=AB=VCD-CHWS-I=2V2,

VAD//BC,ZABC=90°,

AZA=90°,

VDEICE,

AZAED+ZBEC=90°,

VZAED+ZADE=90°,

・・・ZADE=ZBEC,

AAADE^ABEC,

ADJEJ)E

BEBCCE,

设BE=x,则AE=2&-x,

12&-x

即x一2

解得x=&,

AD二DE二1

.♦.而=加=a,

.\CE=V2DE,

故选B

8.（2016•湖北随州•3分）如图,D、E分别是AABC的边AB、BC上的点，且DE〃AC,AE、

CD相交于点0,若%期：S△期=1：25,则Smm与S△醯的比是（）

A.1：3B.1：4C.1：5D.1：25

【考点】相似三角形的判定与性质.

【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOESACOA,根据相似三角形的性质定理得到

DE1BEDE1_BE1_

而=瓦BC=而=瓦结合图形得到而=彳，得到答案.

【解答】解：；DE〃AC,

△DOE<z>ACOA（又SZMXK：SACOA-1：25,

DE1_

AC=5,

VDE/7AC,

BEDE1

BC=AC=5,

BE1

.-.EC=7,

.••SAW®与SASE的比是1：4,

故选：B.

9.（2016•江西•3分）如图，在,正方形网格中，每个小正方形的边长均相等.网格中三

个多边形（分别标记为①，②，③）的顶点均在格点上.被一个多边形覆盖的网格线中，竖

直部分线段长度之和记为m,水平部分线段长度之和记为n,则这三个多边形中满足皿^的

A.只有②B.只有③C.②③D.①②③

【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理.

【分析】利用相似三角形的判定和性质分别求出各多边形竖直部分线段长度之和与水平部分

线段长度之和，再比较即可.

【解答】解：假设每个小正方形的边长为1,

①：m=l+2+l=4,n=2+4=6,

则m#n；

②在4ACN中，BM〃CN,

二AM1

.\CN^AN=7,

；.BM=2,

在Z\AGF中,DM〃NE〃FG,

AMJM1_AN^NE_2

/.AG^FG=7,AG;7G=瓦

1_2

得DM=3,NE=3,

11_12_

.'-01=2+2=2.5,n=2+1+3+3=2.5,

m=n；

1_2_

③由②得：BE=3,CF=3,

2_1_

，m=2+2+3+l+3=6,n=4+2=6,

••m-n,

则这三个多边形中满足m=n的是②和③；

故选C.

10.（2016•辽宁丹东•3分）如图，在aABC中，AD和BE是高，/ABE=45°,点F是AB

的中点，AD与FE、BE分别交于点G、II,ZCBE=ZBAD.有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；

其中正确的有（）

③BOAD=A/%E1@SAAK=4SAA»F.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质.

【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出FD=5AB,证明AABE是等腰直角三角形，得

出AE=BE,证出FE=2AB,延长FD=FE,①正确；

证出/ABC=/C,得出AB=AC,由等腰三角形的性质得出BC=2CD,ZBAD=ZCAD=ZCBE,由

ASA证明aAEH0△BEC,得出AH=BC=2CD,②正确；

BCBE

证明4ABD〜ABCE,得出AB=AD,即BJAD=AB・BE,再由等腰直角三角形的性质和三角形

的面积得出BC«AD=V^E2；③正确；

由F是AB的中点，BD=CD,得出S△施=2S△刖=4SAADF.④正确；即可得出结论.

【解答】解：•.•在aABC中,AD和BE是高，

ZADB=ZAEB=ZCEB=90°,

•.•点F是AB的中点,

1

.-.FD=2AB,

VZABEM50,

/.△ABE是等腰直角三角形，

；.AE=BE,

二,点F是AB的中点，

1

；.FE=2AB,

；.FD=FE,①正确；

VZCBE=ZBAD,ZCBE+ZC=90°,ZBAD+ZABC=90°,

.•.ZABC=ZC,

.*.AB=AC,

VAD±BC,

；.BC=2CD,ZBAD=ZCAD=ZCBE,

rZAEH=ZCEB

<AE=BE

在AAEH和aBEC中，［ZEAH=ZCBE,

.,.△AEH^ABEC(ASA),

；.AH=BC=2CD,②正确；

VZBAD=ZCBE,ZADB=ZCEB,

.•.△ABD~ABCE,

BCBE

/.AB=AD,即BOAD=AB・BE,

扬E'AB•AE=AB•BE,BC*AD=AC•BE=AB•BE,

.,.BC.AD=V2AE-；③正确;

：F是AB的中点，BD=CD,I

SAABC=SSAABI>-4SAA0F.④正确；

故选：D.

11.（2016•辽宁丹东•3分）如图，正方形ABCD边长为3,连接AC,AE平分/CAD,交BC

的延长线于点E,FA±AE,交CB延长线于点F,则EF的长为6\sqrt{2}.

【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质.

【分析】利用正方形的性质和勾股定理可得AC的长，由角平分线的性质和平行线的性质可

得/CAE=/E,易得CE=CA,由FA_LAE,可得NFAC=NF,易得CF=AC,可得EF的长.

【解答】解：•••四边形ABCD为正方形，且边长为3,

，AC=3&,

：AE平分NCAD,

,ZCAE=ZDAE,

VAD//CE,

ZDAE=ZE,

，ZCAE=ZE,

；.CE=CA=3加,

VFA±AE,

AZFAC+ZCAE=90°,ZF+ZE=90°,

/.ZFAC=ZF,

・・・CF=AC二3加，

・・・EF=CF+CE=3五+3任6加,

故答案为：GVS.

12.（2016•四川内江）一组正方形按如图3所示的方式放置，其中顶点台在y轴上，顶

点G,E\,与，G,扁名,Q……在x轴上，已知正方形加8C〃的边长为1,N8£0=6O°,

B\C\//BlCl//BG则正方形力2016民016Goi6。016的边长是（）

A.（1）2015B.（"&谆产D.（当产

［答案］D

［考点］三角形的相似，推理、猜想。

［解析］易知△氏CAs/xcoa.♦.综=^=^=1^30°.

a2Ggc心

:.BC=C\D「tan30°=4.:.金质=乌.

33

同理，tan30°=（*）"；

由此猜想6c,=（坐）"T.

当〃=2016时，风n6aH6=（坐）2°）

故选D.

13.（2016•四川南充）如图，正五边形的边长为2,连结对角线AD,BE,CE,线段AD分

别与BE和CE相交于点M,N.给出下列结论：①/AME=108°；②AN?=AMAD；③MN=3-代；

△甑遍-其中正确结论的个数是（

④S=21.)

E

A,D

BC

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据正五边形的性质得到NABE=NAEB=NEAD=36°,根据三角形的内角和即可得到

结论；由于/AEN=108°-36°=72°,ZANE=36°+36°=72°,得到/AEN=NANE,根据等

AE二AM

腰三角形的判定定理得到AE=AN,同理DE=DM,根据相似三角形的性质得到而力，等量代

换得到AN2=AMAD；根据AE2=AMAD,列方程得到MN=3-遍；在正五边形ABCDE中，由于

BE=CE=AD=1+依，得到BH=25C=1,根据勾股定理得到EH=1(1+泥)-1=45+2爬,

根据三角形的面积得到结论.

【解答】解：：/BAE=NAED=108°,

VAB=AE=DE,

AZABE=ZAEB=ZEAD=36",

AZAME=180°-ZEAM-ZAEM=108°,故①正确；

VZAEN=108°-36°=72°,ZANE=36°+36°=72°,

.•.ZAEN=ZANE,

；.AE=AN,

同理DE=DM,

，AE=DM,

ZEAD=ZAEM=ZADE=36°,

.,.△AEM^AADE,

AE_AM

/.AD-AE,

.\AE2=AMAD；

.,.AN2=AMAD；故②正确；

VAE2=AMAD,

：.22=(2-MN)(4-MN),

.\MN=3-V5；故③正确；

在正五边形ABCDE中，

；BE=CE=AD=1+代，

1

；.BH=2BC=1,

Z.EH=V1+V5)2_12=V5+2V5,

11_____________

...SAEBC=23CEH=2X2X45+2仁45+2代,故④错误；

故选c.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正五边形的性质，熟练掌握正五

边形的性质是解题的关键.

14.（2016•四川泸州）如图，矩形ABCD的边长AD=3,AB=2,E为AB的中点，

F在边BC上，且BF=2FC,AF分别与DE、DB相交于点M,N,则MN的长为（）

A.5B.20C.5D.5

【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质.

【分析】过F作FHLAD于H,交ED于0,于是得到FH=AB=2,根据勾股定理

得到AF=VFH2+AH2^V22+22=2V2,根据平行线分线段成比例定理得到

1

1_1_AMAE5_3_3_372

OH=5AE=W,由相似三角形的性质得到而'=FO3=W求得AM=WAF=一不一，根据

ANAD3_3__§V2_

相似三角形的性质得到FN=BF=7,求得AN=©\F=F一,即可得到结论.

【解答】解：过F作FH1AD于H,交ED于0,则FH=AB=2

VBF=2FC,BC=AD=3,

BF=AH=2,FC=HD=1,

2222

AF=VFH+AH=V2+2=2V2,

0H〃AE,

DH

AE=AD=3,

：.011=3AE=3,

1__5

0F=FH-011=2-3=3,

：AE〃F0,

...△AMESFMO,

1

AMAEj3_

丽=F03=可,

3诉

：.AM=8AF=4,

：AD〃BF,

AAND^AFNB,

ANAD3_

FN=BF=7,

3_班

...AN=5AF=5,_

6V23V2W2

...MN=AN-AM=5-4=20,

故选B.

15.（2016•黑龙江龙东•3分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连

接AE,BF交于点G,将ABCF沿BF对折，得到ARPF,延长FP交BA延长线于点Q,下列结

论正确的个数是（）

4_

①AE=BF；②AEJ_BF；③sinNBQP=5；④S四边彩ECM=2SABGE.

A.4B.3C.2D.1

【考点】四边形综合题.

【分析】首先证明AABE丝ZXBCF,再利用角的关系求得/BGE=90°,即可得到①AE=BF；

②AELBF；4BCF沿BF对折，得到△BPF,利用角的关系求出QF=QB,解出BP,QB,根据正

弦的定义即可求解；根据AA可证aBCE与ABCF相似，进一步得到相似比，再根据相似三角

形的性质即可求解.

【解答】解：：E,F分别是正方形ABCD边BC,CD的中点,

.\CF=BE,

在AABE和ABCF中，

'AB=BC

-ZABE=ZBCF

,BE=CF,

ARtAABE^RtABCF（SAS）,

NBAE=/CBF,AE=BF,故①正确；

又•.,/BAE+NBEA=90°,

AZCBF+ZBEA=90°,

AZBGE=90°,

AAE±BF,故②正确；

根据题意得，FP=FC,ZPFB=ZBFC,ZFPB=90°

VCD//AB,

・・・NCFB=NABF,

AZABF=ZPFB,

・・・QF=QB,

令PF=k(k>0),则PB=2k

在Rt^BPQ中，设QB=x,

x2=(x-k)?+妹)

5k

x=2,

BP_4

/.sin=ZBQP=QB=5,故③正确；

VZBGE=ZBCF,NGBE二NCBF,

.,.△BGE^ABCF,

1返

VBE=2BC,BF=2BC,

ABE：BF=1：遍，

.•.△BGE的面积:ABCF的面积=1：5,

S四边)gECFC=45ZSBGE,故④错误.

故选：B.

填空题

1.（2016•山东省滨州市•4分）如图，矩形ABCD中,AB=V3,BC=J^，点E在对角线BD

CF1

上，且BE=1.8,连接AE并延长交DC于点F,则CD=互.

【考点】相似三角形的判定与性质；.矩形的性质.

【分析】根据勾股定理求出BD,得到DE的长，根据相似三角形的性质得到比例式，代入计

算即可求出DF的长，求出CF,计算即可.

【解答】解：•••四边形ABCD是矩形，

AZBAD=90°,XAB=V3,BC=V6,

.•,BD=\AB2+AD2=3,

VBE=1.8,

.\DE=3-1.8=1.2,

VAB/7CD,

DFDEDF1.2

/.AB=BE,即心斗,

解得，DF=3,

近

则CF=CD-DF=3,

在

CF_3_1

.,.CD=V3=3,

工

故答案为：3.

【点评】本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质定理和相似

三角形的判定定理、性质定理是解题的关键.

2.（2016贵州毕节5分）在ZiABC中，D为AB边上一点,且NBCD=NA.己知BC=2&,AB=3,

8_

则BD=3

【考点】相似三角形的判定与性质.

BDCB

【分析】证明△DCBgZXCAB,得而=晟，由此即可解决问题.

【解答】解：；NBCD=NA,ZB=ZB,

.,.△DCB^ACAB,

BDCB

BC=AB,

BD2V2

2&二"?-,

_8

;.BD=3.

_8

故答案为m

3.（2016•广西桂林•3分）如图，在RtZXACB中,ZACB=90°，AC=BC=3„CD=LCH±BD

于H,点0是AB中点，连接0H,则0H=5

C

D/\

B

【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角弦

【分析】在BD上截取BE=CH,连接CO,0E,根据相似三角形的性质得到患堪求得

CH=吾等腰直角三角形的性质得到AO=OB=OC,BC巳。

10

ZA=ZAC0=ZBC0=ZABC=45°,等量代换得到N0CH=NABD,根据全等三角形的性质得到

OE=OH,/BOE=/HOC推出aHOE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结

论.

【解答】解：在BD上截取BE=CH,连接CO,0E,

VZACB=90°CII±BD,

VAC=BC=3,CD=1,

.\BD=VlO,

.,.△CDH^ABDC,

CH_CD

BC-BD,_

；.CH=

10

•..△ACB是等腰直角三角形，点。是AB中点，

.".AO=OB=OC,ZA=ZAC0=ZBC0=ZABC=45°,

Z0CH+ZDCH=45°,ZABD+ZDBC=45°,

VZDCH=ZCBD,/.Z0CH=ZABD,

'CH=BE

<ZHCO=ZEBO

在△CHO与△BEO中，bc=OB,

/.△CHO^ABEO,

.*.OE=OH,ZB0E=ZH0C,

V0C1B0,

Z.ZE0H=90°,

即AHOE是等腰直角三角形，—_

V103V10sVTo

VEH=BD-DII-CH=VTO-10-10=5

返375

.*.on=Eiix2=5,

诉

故答案为：5.

4.（2016•贵州安顺•4分）如图，矩形EFGH内接于△ABC,且边FG落在BC上，若AD1BC,

BC=3,AD=2,EF=~EH,那么EH的长为2

【分析】设EH=3x,表示出EF,由AD-EF表示出三角形AEH的边EH上的高，根据三角形

AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即为EH

的长.

【解答】解：如图所示：

•.•四边形EFGH是矩形,

AEH//BC,

.•.△AEH^AABC,

VAMIEH,AD1BC,

AM_EH

AD-BC,

设EH=3x,贝情EF=2x,AM=AD-EF=2-2x,

2-2x_3x

2=3,

1_

解得：x=2,

3_

则EH=2.

3_

故答案为：2.

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判

定与性质是解本题的关键.

5.(2016•湖北随州•3分)如图(1),PT与。相切于点T,PAB与。01相交于A、B两点,

可证明△PTAS^PBT,从而有PT?=PA・PB.请应用以上结论解决下列问题：如图(2),PAB、

§

PCD分别与。。2相交于A、B、C、D四点，已知PA=2,PB=7,PC=3,贝ijCD=3.

T

3

——

图（1）图（2）

【考点】相似三角形的判定与性质；切线的性质.

【分析】如图2中，过点P作。0的切线PT,切点是T,根据PT、PA・PB=POPD,求出PD即

可解决问题.

【解答】解：如图2中，过点P作的切线PT,切点是T.

VPT2=PA»PB=PC*PD,

VPA=2,PB=7,PC=3,

；.2X7=3XPD,

14

；.PD=3

14_5

.\CD=PD-PC=3-3=3.

6.（2016•湖北武汉•3分）如图，在四边形/物中，ZABC=90°,16=3,BC=\,CD

=10,DA=5后，则物的长为

------1

【考点】相似三角形，勾股定理

【答案】2"?

【解析】连接过点〃作死边上的高,交回延长线于点〃在Rta/1比'中，AB=3,BC

=4,AC=5,又CD=10,DA=5-75,可知①为直角三角形，且N/徵=90°,易证

△ABC^ACHD,则CH=6,DH=8,BD=7（4+6）2+82=2741.

1_

7.（2016•黑龙江龙东•3分）已知：在平行四边形ABCD中，点E在直线AD上，AE=3AD,

2_4_

连接CE交BD于点F,贝IJEF：FC的值是3或3.

【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质.

【分析】分两种情况：①当点E在线段AD上时，由四边形ABCD是平行四边形，可证得

△EFD^ACFB,求出DE：BC=2：3,即可求得EF：FC的值；

②当当点E在射线DA上时，同①得：△EFDs/\CFB,求出DE：BC=4：3,即可求得EF：FC

的值.

【解答】解：：AE=mAD,

，分两种情况：

①当点E在线段AD上时，如图1所示

•.•四边形ABCD是平行四边形，

.".AD//BC,AD=BC,

.,.△EFD^ACFB,

；.EF：FC=DE：BC,

VAE=3AD,

2__2

；.DE=2AE=3AD=3BC,

ADE：BC=2：3,

AEF：FC=2：3；

②当点E在线段DA的延长线上时，如图2所示：

同①得：△EFDs/XCFB,

，EF：FC=DE：BC,

VAE=3AD,

4_4_

.".DE=4AE=3AD=3BC,

ADE：BC=4：3,

AEF：FC=4：3；

2__4

综上所述：EF：FC的值是亨或瓦

2_4_

故答案为：石或瓦

8.(2016•黑龙江齐齐哈尔•3分)如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边0A、0C

分别在x轴和y轴上，且OA=2,0C=l.在第二象限内，将矩形A0CB以原点0为位似中心放

3_3_

大为原来的天■倍，得到矩形AQCB,再将矩形AQCB以原点0为位似中心放大2倍，得到矩

3n3n

形AzOCB…，以此类推，得到的矩形AQCB的对角线交点的坐标为(-2，231).

【考点】位似变换；坐标与图形性质；矩形的性质.

【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么

位似图形对应点的坐标的比等于k或-k,即可求得B”的坐标，然后根据矩形的性质即可求

得对角线交点的坐标.

3_

【解答】解：•••在第二象限内，将矩形AOCB以原点。为位似中心放大为原来的2倍，

矩形AQCB与矩形AOCB是位似图形，点B与点R是对应点，

VOA=2,0C=l.

•••点B的坐标为(-2,1),

3_3_

.•.点氏的坐标为(-2X2,1x5),

_3

•••将矩形AQCB以原点0为位似中心放大2倍，得到矩形A20aBz…，

3_3_3_3_

.\B2(-2X2X2,1X2X2),

3n3n

ABn(-2X2n,IX2n),

Q13113n3n

•.•矩形AOCB的对角线交点(-2x2nx2,ix2nx2'),即(-2n,丽),

3n3n

故答案为：(-2n,2n+1).

解答题

1.(2016•湖北武汉•10分)在△/回中，P为边A8上一点.

(1)如图1,若/AC—NB,求证：/=AP,AB；

⑵若"为"的中点，AC=2,

①如图2,若NPBM=NACP,48=3,求利的长；

勾股定理。

【答案】(1)证△〃76△四C即可；(2)①％6；②S-1

【解析】(1)证明：VAACP=ZB,ABAC=ACAP,:.XACP^XABC,：.AC：AB=AP：AC,

：."=”•AB；

(2)①如图，作我〃砌交/底延长线于0,设初=x，则AQ=2x

■:NPBM=NACP,乙PAC=/CAQ,：.XAPCsl\ACQ,由4d=4尸•40得：2?=(3—x)(3+x),

x=石

即BP=75；

②如图：作C么L/8于点Q,作CP°=CP交朋于点序

VAC=2,."0=1,CQ=Bg+，

设RgSl-x,BP=0)—\+x,

<NBPg/CP’A,ABMP=ACAPQ,：.j\AP^/\MPB,笠=纪，

MPBP

2

：.MPRC=-P0C=("1=APa-BP^x(百一1+x),解得x=g-6

22

:.BP=一1+出-£=出-1.

2.(2016•辽宁丹东•12分)如图①，aABC与4CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD

在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD.

(1)猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；

(2)现将图①中的4CDE绕着点C顺时针旋转a(0°<a<90°),得到图②，AE与MP、

BD分别交于点G、H.请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明

理由；

(3)若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC,CD=kCE,如图③，写出PM

与PN的数量关系，并加以证明.

【考点】相似形综合题.

【分析】(1)由等腰直角三角形的性质易证4ACE丝ABCD,由此可得AE=BD,再根据三角形

中位线定理即可得到PM=PN,由平行线的性质可得PM1PN；

(2)(1)中的结论仍旧成立，由(1)中的证明思路即可证明；

(3)PM=kPN,由已知条件可证明△BCDS/XACE,所以可得BD=kAE,因为点P、M、N分别为

AD、AB、DE的中点，所以PM=2BD,PN=2AE,进而可证明PM=kPN.

【解答】解：

(1)PM=PN,PM_LPN,理由如下:

^ACB和4ECD是等腰直角三角形，

；.AC=BC,EC=CD,ZACB=ZECD=90°.

在4ACE和ABCD中

'AC=BC

-ZACB=ZECD=90"

,CE=CD

AAACE^ABCD(SAS),

；.AE=BD,ZEAC=ZCBD,

•・•点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点,

11_

APM=2BD,PN=2AE,

APM=PM,

VZNPD=ZEAC,ZMPN=ZBDC,ZEAC+ZBDC=90°,

/.ZMPA+ZNPC=90°,

AZMPN=90°,

即PM±PN；

(2)♦△ACB和AECD是等腰直角三角形,

.\AC=BC,EC=CD,

ZACB=ZECD=90°.

・・・NACB+NBCE=NECD+NBCE.

・•・ZACE=ZBCD.

・・・AACE^ABCD.

AAE=BD,ZCAE=ZCBD.

又•:ZAOC=ZBOE,

ZCAE=ZCBD,

AZBH0=ZAC0=90°.

・・,点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点,

_1_

APM=2BD,PM〃BD；

PN=2AE,PN〃AE.

・・・PM=PN.

AZMGE+ZBHA=180°.

AZMGE=90°.

/.ZMPN=90°.

APM1PN.

(3)PM=kPN

VAACB和AECD是直角三角形，

AZACB=ZECD=90°.

・・・NACB+NBCE=NECD+NBCE.

/.ZACE=ZBCD.

VBC=kAC,CD=kCE,

BC^CD

.・・AC-CE=k.

AABCD^AACE.

・・・BD=kAE.

•・•点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点,

11_

・・・PM=2BD,PN=2AE.

・・・PM=kPN.

3.(2016•四川泸州)如图，Z\ABC内接于。0,BD为。0的直径，BD与AC

相交于点H,AC的延长线与过点B的直线相交于点E,且NA二NEBC.

(1)求证：BE是。0的切线；

(2)已知CG〃EB,且CG与BD、BA分别相交于点F、G,若BG«BA=48,FG=V2,

DF=2BF,求AH的值.

【考点】圆的综合题；三角形的外接圆与外心；切线的判定.

【分析】(1)欲证明BE是。。的切线，只要证明NEBD=90°.

BCAB

(2)由△ABCs/\CBG,得BG=BC求出BC,再由△BFCS/XBCD,得BC?=BF・BD

求出BF,CF,CG,GB,再通过计算发现CG=AG,进而可以证明CH=CB,求出

AC即可解决问题.

【解答】(1)证明：连接CD,

BD是直径，

AZBCD=90°,即ND+/CBD=90°,

VZA=ZD,ZA=ZEBC,

AZCBD+ZEBC=90°,

BE±BD,

...BE是。0切线.

(2)解:；CG〃EB,

ZBCG=ZEBC,

ZA=ZBCG,

•?ZCBG=ZABC

AABC^ACBG,

BCAB

ABG=BC,即BC?=BG・BA=48,

BC=4百

CG〃EB,

ACF±BD,

ABFC^ABCD,

BC2=BF«BD,

DF=2BF,

BF=4,

在RTZkBCF中，CFXBC?-FB2=4加,

CG=CF+FG=5&,

在RTABFG中，BG=<VBF2+FG2=3V2,

VBG*BA=48,

・..BA=&&艮|jAG=5&,

，CG=AG,

AZA=ZACG=ZBCG,ZCFH=ZCFB=90°,

・•・ZCHF=ZCBF,

・・・CH=CB=4A/3,

・・・AABC^ACBG,

ACBC

CG=BG,

CB・CG2m

/.AC=CG=3.

873

AH=AC-CH=3.

4.(2016•四川内江)(12分)如图15,已知抛物线Gy^x~3x+m,直线7：y=kx(k

>0),当"=1时，抛物线C与直线/只有一个公共点.

(1)求明的值；

(2)若直线/与抛物线。交于不同的两点4B,直线/与直线么：y=-3x+A交于点产，且

OA+OB=OP'求"的值；

(3)在(2)的条件下，设直线力与y轴交于点0,问：是否存在实数力使心.=见,的若存在,

求力的值；若不存在，说明理由.

图15答案图

［考点］二次函数与一元二次方程的关系，三角形的相似，推理论证的能力.

解：(IL.•当4=1时，抛物线C与直线/只有一个公共点，

...方程组b=厂一版+也有且只有一组解.2分

消去八得，-4x+加=0,所以此一元二次方程有两个相等的实数根.

A=0,即（一4＞一4%=0.

，/=4.4分

⑵如图，分别过点4P,夕作y轴的垂线，垂足依次为乙D,E,

则△十小△〃/力，:.戛=%.

OAAC

1,12.OP,OP2

OAOBOP'**OAOB•

PO+PD=2

ACBE.

L+_L=2,,即AC+*J.

ACBEPDACBEPD

bb

解方程组得i=,即勿=6分

y=-3x+bZ+31+3

v=kx..

由方程组，消去y,得/一（什3）叶4=0.

y=x~—3x+4

'：AC,蔗是以上一元二次方程的两根，

什3,4。•能'=4.7分

•k+3_2

••丁~iT'

k+3

解得b—8.8分

（3）不存在.理由如下：9分

假设存在，则当丛卅=8恻时有AP^PB,

于是PD-AC=PE-PD,却AC+BE=2阳.

由（2）可知/什8£=A+3,PD=-^-,

女+3

.*.A+3=2X-^—,即（左+3y=16.

k+3

解得4=1（舍去★=-7）.11分

当左=1时，46两点重合，△/夕不存在.

**•不存在实数k使S4APtj=S4BPQ.12分

5.（2016•四川南充）已知正方形ABCD的边长为1,点P为正方形内一动点，若点M在

AB±,且满足△PBCS/\PAM,延长BP交AD于点N,连结CM.

(1)如图一，若点M在线段AB上，求证：AP±BN；AM=AN；

(2)①如图二，在点P运动过程中，满足△PBCsaPAM的点M在AB的延长线上时，AP1BN

和AM=AN是否成立？(不需说明理由)

1

②是否存在满足条件的点P,使得PC=可？请说明理由.

【分析】(1)由△PBCSAPAM,推出ZPAM=ZPBC,由ZPBC+ZPBA=90°,推出

PMAMPA

ZPAM+ZPBA=90°即可证明AP_LBN,由△PBCs/\PAM,推出POBOPB,由△BAPs/\BNA,

PAANANMI

推出正前，得到正前，由此即可证明.

(2)①结论仍然成立，证明方法类似(1).②这样的点P不存在.利用反证法证明.假设

1

PC=2,推出矛盾即可.

【解答】(1)证明：如图一中，•.•四边形ABCD是正方形，

；.AB=BC=CD=AD,ZDAB=ZABC=ZBCD=ZD=90",

VAPBC^-APAM,

PMAMPA

ZPAM=ZPBC,PC=BOPB,

.•./PBC+NPBA=90°,

AZPAM+ZPBA=90°,

AZAPB=90°,

AAP1BN,

；/ABP=NABN,ZAPB=ZBAN=90°,

.,.△BAP^ABNA,

PAAN

.,屉前，

ANAM

AB=BC,

VAB=BC,

.\AN=AM.

(2)解:①仍然成立,AP_LBN和AM=AN.

理由如图二中，：四边形ABCD是正方形，

；.AB=BC=CD=AD,ZDAB=ZABC=ZBCD=ZD=900,

VAPBC^APAM,

PMAMPA

，NPAM二ZPBC,PC=BC=PB,

AZPBC+ZPBA=90°,

AZPAM+ZPBA=90°,

Z.ZAPB=90°,

AAP1BN,

VZABP=ZABN,ZAPB=ZBAN=90°,

AABAP^ABNA,

PAAN

.\PB=BC,

AMAM

AB=BC,

VAB=BC,

AAN=AM.

②这样的点P不存在.

_1

理由：假设PC=2

如图三中，以点C为圆心2为半径画圆，以AB为直径画圆,

,~-----近1

C0=VBC2+B02=：T>1+2,

...两个圆外离,AZAPB<90°,这与AP_LPB矛盾,

假设不可能成立，

1

满足PC=可的点P不存在.

图三

【点评】本题考查相似三角形综合题、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是熟练应

用相似三角形性质解决问题，最后一个问题利用圆的位置关系解决问题，有一定难度，属于

中考压轴题.

6.(2016•四川攀枝花)如图，在aAOB中，NA0B为直角，0A=6,0B=8,半径为2的动

圆圆心Q从点0出发，沿着0A方向以1