宁夏回族自治区石嘴山市2024-2025学年高三数学上学期第二次月考理试题含解析

Page19宁夏回族自治区石嘴山市2024-2025学年高三数学上学期其次次月考（理）试题第I卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满意，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】干脆由求解复数【详解】由，得，故选：C2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】由得：，即，又，∴.故选：C.3.已知随机变量听从正态分布，若，则为A.0.7 B.0.5 C.0.4 D.0.35【答案】C【解析】【分析】由已知及正态分布的对称性可得，再结合对称性可得：，问题得解．【详解】因为，所以所以故选C【点睛】本题主要考查了正态分布的对称性，还考查了转化思想，属于中档题．4.如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设黑色小圆的半径为，则黑色大圆的半径为，由题意求得，进一步求出黑色区域的面积，由测度比是面积比得答案．【详解】解：设黑色小圆的半径为，则黑色大圆的半径为，由题意可知，，即．图中黑色区域的面积为，又正方形的面积为64．在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为．故选：．【点睛】本题考查几何概型的概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．5.若二项式的绽开式中全部项的二项式系数和为128，则该二项式绽开式中含有项的系数为（）A.1344 B.672 C.336 D.168【答案】B【解析】【分析】先求出，再写出二项式绽开式的通项，令的指数等于5即可求解.【详解】因为二项式的绽开式中全部项的二项式系数和为128所以，解得，所以的绽开式通项为：，令可得，所以该二项式绽开式中含有项的系数为.故选：B.6.已知函数(且，)的一个极值点为2，则的最小值为（）A. B.C. D.7【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，由给定极值点可得a与b的关系，再借助“1”的妙用求解即得.【详解】对求导得：，因函数的一个极值点为2，则，此时，，，因，即，因此，在2左右两侧邻近的区域值一正一负，2是函数的一个极值点，则有，又，，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为.故选：B7.已知数列是公比为的等比数列，若，且是与的等差中项，则的值是（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】利用是等比数列，将已知条件用基本量表示，化简求值即可【详解】解析：数列是公比为的等比数列，由可得：，即，代入，得，，，解得：或，故选：D．8.函数的部分图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通过函数的奇偶性，，，可分别解除D，C，B，即得解【详解】因为，所以是奇函数，解除D；当时，，．由，可解除C；，解除B故选：A9.凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为A.f(n)＋n＋1 B.f(n)＋nC.f(n)＋n－1 D.f(n)＋n－2【答案】C【解析】【详解】试题分析：凸多边形边数增加1条，即增加一个顶点，自这一顶点向其它不相邻的k-2个顶点可引k-2条对角线，原来一条边变为对角线，所以共增加k-1条，故选C．考点：本题主要考查数学归纳法的概念及方法步骤，多边形．点评：简洁题，留意仔细分析图形的改变．10.以原点为圆心的圆全部都在平面区域内，则圆的面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】已知原点为圆心的圆全部在区域内，画出可行域，发觉只有圆与直线相切时，圆的半径最大，从而求解．【详解】解：据条件画出线性可行域，结合图形，要使得以原点为圆心的圆的半径最大，依据点到直线的距离公式可知，原点到直线的距离为：，以原点为圆心的圆的半径大于时，由所画图中的阴影部分的可行域可知此时圆有部分面积不在此可行域内，只有圆与直线相切时，圆的半径最大，即，此时圆的最大面积为．故选：．11.已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】由题意可得,，，，．故A正确．考点：三角函数单调性．12.已知函数（其中是自然对数的底数），若关于的方程恰有三个不等实根，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，则依据题意得必有两个不相等的实根，不妨设，故，再结合的图象可得，，，进而，再构造函数，探讨函数的最值即可得答案.【详解】由题意设，依据方程恰有三个不等实根，即必有两个不相等的实根，不妨设，则，作出的图象，函数与三个不等实根，且，那么，可得，，所以，构造新函数当时，在单调递减；当时，在单调递增；∴当时，取得最小值为，即的最小值为；故选：A【点睛】本题考查复合函数与分段函数的应用，同时考查导数的综合应用及最值问题，应用了数形结合的思想及转化构造的方法，是难题.本题解题的关键在于设，进而，，再结合的图像可得，，，将问题转化为求函数的最值问题.第II卷（选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，，若，则实数的值为______.【答案】##0.75【解析】【分析】先用向量的坐标运算法则求出，再依据向量平行所满意的公式进行求解.【详解】，由于，所以，解得：故答案为：14.若，则=_____．【答案】【解析】【分析】由已知等式，应用二倍角余弦公式、两角差正弦公式并整理得，进而可得或，即可求，留意验证是否符合题设.【详解】，则有，，即，或，平方易得或，或，而有不合题意，故舍去.故答案为：.15.4名同学到3个小区参与垃圾分类宣扬活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少支配1名同学，则不同的支配方法共有__________种.【答案】【解析】【分析】依据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.【详解】4名同学到3个小区参与垃圾分类宣扬活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少支配1名同学先取2名同学看作一组，选法有：现在可看成是3组同学安排到3个小区，分法有：依据分步乘法原理，可得不同的支配方法种故答案为：.【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是驾驭分步乘法原理和捆绑法的运用，考查了分析实力和计算实力，属于中档题.16.在中，角､､的对边分别为､､，点是的重心，且，若，，则______.【答案】或##或【解析】【分析】依据，利用二倍角公式解得，得到或，再由点是的重心，得到，利用平方解得边c，再利用余弦定理求解.【详解】因为，所以，即，解得，因为，所以或，因为点是的重心，所以，则，因为，，所以，当时，，此时，解得；当时，，此时，解得；故答案为：或三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知向量.（1）求函数的最小正周期；（2）在中，，若，求的周长.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用平面对量的数量积公式得到关于三角函数的表达式，然后利用三角恒等变换化简为一个正弦型函数，最终利用周期公式得到所求；（2）首先利用（1）的结论求出A，然后利用余弦定理得到关于b，c的一个等式，再依据条件求解b，c，从而可得三角形的周长.【详解】（1），所以的最小正周期.（2）由题意可得，又，则，所以，故.设角的对边分别为，则.所以，又，所以，故，解得，则，所以的周长为.【点睛】本题主要考查三角函数的计算化简和性质，也考查了余弦定理的应用，留意熟记公式，仔细计算，属中档题.18.正项数列的前和为，，且.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）、依据可知是等差数列，求出数列的通项公式，进而求出的表达式；依据时，计算的表达式，验证当时是否符合，写出数列的通项公式；（2）、将数列的通项公式代入中，得到数列的通项公式，再利用分组求和求数列的前和.【小问1详解】，数列是以1为公差的等差数列，，，当时，，经检验时符合上式，数列的通项公式.【小问2详解】由（1）可知19.某一般中学为了解本校高三年级学生数学学习状况，对一模考试数学成果进行分析，从中抽取了名学生的成果作为样本进行统计（该校全体学生的成果均在），按下列分组，，，，，，，，作出频率分布直方图，如图；样本中分数在内的全部数据的茎叶图如图：依据往年录用数据划出预录分数线，分数区间与可能被录用院校层次如表．（1）求的值及频率分布直方图中的值；（2）依据样本估计总体的思想，以事务发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取人，求此人都不能录用为专科的概率；（3）在选取的样本中，从可能录用为自招和专科两个层次的学生中随机抽取名学生进行调研，用表示所抽取的名学生中为自招的人数，求随机变量的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1）由图知分数在的学生出名，由图知，频率为，由此能求出的值及频率分布直方图中的值；（2）能被专科院校录用的人数为人，抽取的人中，成果能被专科院校录用的频率是，从而从该校高三年级学生中任取人能被专科院校录用的概率为，记该校高三年级学生中任取人，都不能被专科院校录用的事务为，由此可求出此人都不能录用为专科的概率；（3）选取的样本中能被专科院校录用的人数为人，成果能过自招线人数为人，随机变量的全部可能取值为，分别求出随机变量的分布列和数学期望．【详解】（1）由图知分数在的学生出名，又由图知，频率为：，则：，（2）能被专科院校录用的人数为：人抽取的人中，成果能被专科院校录用的频率是：从该校高三年级学生中任取人能被专科院校录用的概率为记该校高三年级学生中任取人，都不能被专科院校录用的事务为则此人都不能录用为专科的概率：（3）选取的样本中能被专科院校录用的人数为人成果能过自招线人数为：人，又随机变量的全部可能取值为∴；；；随机变量的分布列为：【点睛】本题考查频率、频数、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、对立事务概率计算、排列组合等基础学问，考查运算求解实力，属于中档题．20.某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条相互垂直的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B．现规划修建一条新路（由线段MP，，线段QN三段组成），其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q，所对的圆心角为．记∠PCA＝（道路宽度均忽视不计）．（1）若，求QN的长度；（2）求新路总长度的最小值．【答案】（1）1千米；（2）．【解析】【分析】（1）连接CB，CN，CM，可得，OM，ON，PM，QN均与圆C相切，通过圆心角为可求出∠QCB＝，从而得到四边形BCQN是正方形，进而可得QN＝CQ＝1，（2）因为∠PCA＝，所以∠MCP＝，∠NCQ＝，利用弧长公式可求得MP＝，，NQ＝，由于，所以（，），设新路长为，则，然后结合基本不等式进行计算即可得解【详解】（1）连接CB，CN，CM，因为OM⊥ON，所以OM，ON，PM，QN均与圆C相切所以CB⊥ON，CA⊥OM，CP⊥MP，CQ⊥NQ，所以CB⊥CA因为∠PCA＝，∠PCQ＝，所以∠QCB＝，此时四边形BCQN是正方形，所以QN＝CQ＝1，答：QN的长度为1千米；（2）∵∠PCA＝，可得∠MCP＝，∠NCQ＝，则MP＝，，NQ＝设新路长为，其中（，），即∴，，当时取“＝”，答：新路总长度的最小值为．【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查三角函数在实际生活中的应用，考查基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题．21.已知函数．（1）推断的单调性，并比较与的大小；（2）若函数，其中，推断的零点的个数，并说明理由．参考数据：．【答案】（1）函数在上单调递增；在上单调递减；；（2）有且仅有1个零点；答案见解析．【解析】【分析】（1）求出，由，求出其单调区间，由函数在上单调递减，可得，即可得答案.

（2）由题意可得，当时可得出的单调性，依据零点存在原理可推断得出结论；当，先得出的单调性，得出函数的极值，分析其极值的符号，再依据零点存在原理可推断得出结论；【详解】（1）已知的定义域为，当时，，所以函数在上单调递增；当时，，所以函数在上单调递减．因为函数在上单调递减，所以：，即，所以，即，所以．（2），所以：．当时，，所以在上单调递增，由，知当时，存在，即函数有且仅有1个零点．当时，，留意到，所以：时，在上单调递增；时，在上单调递减：时，上单调递增．所以在上有微小值，有极大值．一方面，留意到，所以存在唯一的．另一方面，设，则：，故在上单调递增，所以：，所以在上恒小于0，在上恒小于0，即在上不存在零点．综上所述：当时，有且仅有1个零点．【点睛】关键点睛：本题考查求函数的单调区间和利用单调性比较大小以探讨函数零点的个数问题，解