专题06 函数的概念及其表示-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）原卷版

2/2专题06函数的概念及其表示（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 3【考点突破】 3【考点1】函数的概念 3【考点2】求函数的定义域 4【考点3】求函数的解析式 5【考点4】分段函数 6【分层检测】 8【基础篇】 8【能力篇】 9【培优篇】 10考试要求：1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用.知识梳理知识梳理1.函数的概念概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值范围值域与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}2.同一个函数(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.(2)结论：这两个函数为同一个函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.2.注意以下几个特殊函数的定义域：(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.(5)正切函数y＝tanx的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).真题自测真题自测一、填空题1．（2023·北京·高考真题）已知函数，则．2．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是．3．（2022·浙江·高考真题）已知函数则；若当时，，则的最大值是．4．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为；a的最大值为．5．（2021·浙江·高考真题）已知，函数若，则.考点突破考点突破【考点1】函数的概念一、单选题1．（2023·山东潍坊·一模）存在函数满足：对任意都有（

）A． B． C． D．2．（2022·山东济南·二模）已知函数若，则m的值为（

）A． B．2 C．9 D．2或9二、多选题3．（21-22高一·全国·单元测试）下列函数中，与函数不是同一个函数的是（

）A． B． C． D．4．（22-23高一上·陕西西安·期末）设集合，则下列图象能表示集合到集合Q的函数关系的有（）A．

B．

C．

D．三、填空题5．（2023·上海青浦·二模）已知函数的图像绕着原点按逆时针方向旋转弧度，若得到的图像仍是函数图像，则可取值的集合为.6．（2023·辽宁大连·一模）已知可导函数，定义域均为，对任意满足，且，求.反思提升：（1）函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.（2）构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同【考点2】求函数的定义域一、单选题1．（2023·湖北·三模）函数的定义域是（

）A． B． C． D．2．（2023·江苏镇江·模拟预测）若函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2023·河南·模拟预测）已知函数在R上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，则（

）A．函数在R上单调递增B．函数在上单调递增C．函数在上单调递减D．函数在上单调递减4．（2022·海南·模拟预测）下面关于函数的性质，说法正确的是（

）A．的定义域为 B．的值域为C．在定义域上单调递减 D．点是图象的对称中心三、填空题5．（23-24高一上·新疆·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是.6．（2023·山东枣庄·模拟预测）已知函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围是．反思提升：1.求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.2.求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.【考点3】求函数的解析式一、单选题1．（2023·河南郑州·二模）若函数的部分图象如图所示，则（

）A． B． C． D．2．（2022·河北保定·二模）若函数，则函数的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·全国·一模）设a为常数，，则（

）．A．B．成立C．D．满足条件的不止一个4．（2023·江西·模拟预测）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题5．（2022·全国·模拟预测）若函数满足关系式，则.6．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）已知对任意的实数a均有成立，则函数的解析式为．反思提升：函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(4)方程思想：已知关于f(x)与feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).【考点4】分段函数一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则（

）A．-6 B．0 C．4 D．62．（2023·山西·模拟预测）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数，则下列实数不属于函数值域的是（

）A．3 B．2 C．1 D．0二、多选题3．（2021·重庆沙坪坝·模拟预测）已知是定义在上的函数，则（

）A．若为增函数，则的取值范围为B．若为增函数，则的取值范围为C．若为减函数，则的取值范围为D．若为减函数，则的取值范围为4．（21-22高三上·江苏常州·开学考试）已知函数，若函数有个零点，则实数的可能取值是（

）A． B． C． D．三、填空题5．（2023·贵州遵义·模拟预测）若函数，则不等式的解集为.6．（2022·全国·模拟预测）已知，若存在，使得，则的取值范围为.反思提升：1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.分层检测分层检测【基础篇】一、单选题1．（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数满足，，则下列说法正确的是（

）．A． B．C． D．2．（2023·江西九江·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·模拟预测）设函数，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．4．（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数满足，则（

）A．的最小值为2 B．C．的最大值为2 D．二、多选题5．（2023·云南昆明·模拟预测）函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（

）A． B．C． D．6．（22-23高一上·云南昆明·期末）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．在上为增函数B．C．若在上单调递增，则或D．当时，的值域为7．（2024·广东·模拟预测）给定数集，，满足方程，下列对应关系为函数的是（

）A．， B．，C．， D．，三、填空题8．（23-24高一上·江苏扬州·期末）已知的定义域为A，集合，若，则实数a的取值范围是.9．（2022·山东济南·二模）已知函数，则．10．（2021·广东·模拟预测）若a＞0且a≠1，且函数在R上单调递增，那么a的取值范围是．四、解答题11．（20-21高二上·山东临沂·期末）已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程．（2）时，若，求的定义域，并分析其单调性．12．（2020·山东·高考真题）已知函数.（1）求的值；（2）求，求实数的取值范围.【能力篇】一、单选题1．（2023·全国·三模）已知对于每一对正实数，，函数满足：，若，则满足的的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、多选题2．（2023·重庆·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的定义域为B．在上的值域为C．若在上单调递减，则D．若，则在定义域上单调递增三、填空题3．（2022·上海浦东新·模拟预测）函数的图象是两条线段（如图），它的定义域为，则不等式的解集为．四、解答题4．（2023·宁夏银