专题02 常用逻辑用语-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）解析版

2/2专题02常用逻辑用语（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 3【考点突破】 10【考点1】充分、必要条件的判定 10【考点2】充分、必要条件的应用 13【考点3】全称量词与存在量词 17【分层检测】 20【基础篇】 21【能力篇】 26【培优篇】 29考试要求：1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义.2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系.3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确对两种命题进行否定.知识梳理知识梳理1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.3.全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，¬p(x)∀x∈M，¬p(x)1.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇏A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇏B)两者的不同.2.充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)若A是B真子集，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.(3)若A＝B，则p是q的充要条件.3.p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件.4.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.5.对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定.6.命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假.真题自测真题自测一、单选题1．（2023·全国·高考真题）设甲：，乙：，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2．（2023·全国·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件3．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件5．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．（2021·全国·高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件9．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．（2021·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：1．B【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.【详解】当时，例如但，即推不出；当时，，即能推出.综上可知，甲是乙的必要不充分条件.故选：B2．C【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，则，因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，即，则，有，两式相减得：，即，对也成立，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确.方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即，即，，当时，上两式相减得：，当时，上式成立，于是，又为常数，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C3．C【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.【详解】解法一：因为，且，所以，即，即，所以.所以“”是“”的充要条件.解法二：充分性：因为，且，所以，所以，所以充分性成立；必要性：因为，且，所以，即，即，所以.所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件.解法三：充分性：因为，且，所以，所以充分性成立；必要性：因为，且，所以，所以，所以，所以，所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件.故选：C4．B【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立；由，则，即，显然成立，必要性成立；所以是的必要不充分条件.故选：B5．A【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为可得：当时，，充分性成立；当时，，必要性不成立；所以当，是的充分不必要条件.故选：A.6．C【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.若为单调递增数列，则，若，则当时，；若，则，由可得，取，则当时，，所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；若存在正整数，当时，，取且，，假设，令可得，且，当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.故选：C.7．B【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为时，满足，但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．8．B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，∴不是的充分条件，当时，，∴,∴成立，∴是的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件

故选：B.9．A【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，若在上的最大值为，比如，但在为减函数，在为增函数，故在上的最大值为推不出在上单调递增，故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，故选：A.10．A【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.【详解】由题意，若，则，故充分性成立；若，则或，推不出，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.考点突破考点突破【考点1】充分、必要条件的判定一、单选题1．（2024·北京海淀·一模）设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2024·全国·模拟预测）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、多选题3．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知中角，的对边分别为，，则可作为“”的充要条件的是（

）A． B．C． D．4．（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数，设，则成立的一个充分条件是（

）A． B． C． D．三、填空题5．（2024·全国·模拟预测）“函数的图象关于中心对称”是“”的条件．6．（2021·陕西渭南·二模）下列四个命题是真命题的序号为.①命题“”的否定是“”.②曲线在处的切线方程是.③函数为增函数的充要条件是.④根据最小二乘法，由一组样本点()(其中)求得的线性回归方程是，则至少有一个样本点落在回归直线上.参考答案：1．A【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性.【详解】，且，所以，又，所以，充分性满足，如图：满足，，但不成立，故必要性不满足，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.

2．B【分析】由建立的等量关系，求解，从而判断选项.【详解】因为，化简得，解得或，故“”是“”的必要不充分条件.故选：B．3．AB【分析】由三角形中的大边对大角，利用正弦定理和三角函数的性质，结合充要条件的定义，判断各选项的正误【详解】中，由正弦定理可知，时有，时有，A选项正确；余弦函数在上单调递减，中，当时有，则有；当时有，则有，B选项正确；中，当时有，当为钝角，为锐角时，，C选项错误；中，当时有，当为钝角，为锐角时，，D选项错误.故选：AB4．CD【分析】根据给定函数，探讨函数的奇偶性，利用导数探讨函数的单调性，再利用性质即可判断作答.【详解】函数的定义域为，，即函数是上的偶函数，当时，，求导得，则函数在上单调递增，对于A，取，满足，而，A不是；对于B，取，满足，而，B不是；对于CD，，于是，由函数是偶函数得，CD是.故选：CD5．充分必要【分析】先由函数的图象关于中心对称求得的值，再解方程求得的值，进而得到二者间的逻辑关系.【详解】函数图象的对称中心为，所以由“函数y=tanx的图象关于(x0,0)中心对称”等价于“”．因为等价于，即．所以“函数的图象关于中心对称”是“”的是充分必要条件．故答案为：充分必要6．①②【分析】①由含有一个量词的命题的否定的定义判断；②利用导数的几何意义判断；③利用分段函数的单调性求解判断；④根据回归直线恒过样本中心，但样本点不一定在回归直线上判断；【详解】①由含有一个量词的命题的否定知：命题“”的否定是“”，故正确.②因为，所以，所以曲线在处的切线方程是，故正确；③若函数为增函数，则，解得，所以函数为增函数的充要条件是，故错误；④回归方程恒过样本点的中心，但样本点不一定落在回归直线上，故错误；故答案为：①②反思提升：充分条件、必要条件的两种判定方法：(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.【考点2】充分、必要条件的应用一、单选题1．（23-24高三上·浙江宁波·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．2．（22-23高二下·湖南·阶段练习）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2021·福建宁德·模拟预测）已知命题：关于的不等式的解集为R，那么命题的一个必要不充分条件是（

）A． B．C． D．4．（2023·广东·模拟预测）已知函数，则过点恰能作曲线的两条切线的充分条件可以是（

）A． B．C． D．三、填空题5．（2022·吉林长春·模拟预测）设命题，命题．若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是．6．（2024·上海普陀·二模）设等比数列的公比为，则“，，成等差数列”的一个充分非必要条件是.参考答案：1．D【分析】首先转化为存在量词命题的否定，求参数的取值范围，再求其真子集，即可判断选项.【详解】若命题“，”为假命题，则命题的否定“，”为真命题，即，恒成立，，，当，取得最大值，所以，选项中只有是的真子集，所以命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为.故选：D2．C【分析】解不等式，确定集合A，讨论m的范围，确定B，根据题意推出，由此列出不等式组，即可求得答案.【详解】由题意集合，，若，则，此时，因为“”是“”的必要不充分条件，故,故；若，则，此时，因为“”是“”的必要不充分条件，故,故；若，则，此时，满足,综合以上可得，故选：C3．CD【分析】求出命题p成立时a的取值范围，再根据必要不充分条件的定义判断即可．【详解】命题p：关于x的不等式的解集为R，则，解得又，，故选：CD．4．AB【分析】设切点坐标为，则有，所以问题转化为方程恰有两个解，令，然后利用导数求解其零点即可.【详解】由，得，设切点为，则切线的斜率为，所以有，整理可得：，由题意可知：此方程有且恰有两个解，令，，，令，则，所以在上单调递增，因为，所以当时，；当时，，①当，即时，当时，，则函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，则函数单调递增，所以只要或，即或；②当，即时，当时，，则函数单调递增，当时，函数单调递减，当时，，则函数单调递增，当时，，所以只要或，由可得：，由得；③当时，，所以函数在上单调递增，所以函数至多有一个零点，不合题意；综上：当时，或；当时，或，所以选项A正确，B正确，C错误，D错误，故选：AB【点睛】关键点睛：解题的关键是根据题意将问题转化为方程恰有两个解，构造函数，再次将问题转化为此函数有两个零点，然后利用导数通过分析其单调性可求得结果.5．【分析】化简命题和，利用真子集关系列式可求出结果.【详解】由，得，即；由，得，因为q是p的必要不充分条件，所以是的真子集，所以且两个等号不同时取，解得.故答案为：6．（或,答案不唯一）【分析】根据已知条件，结合等差数列、等比数列的性质，即可求解．【详解】，，成等差数列，则，即，解得或，故“，，成等差数列”的一个充分非必要条件是（或．故答案为：（或,答案不唯一）反思提升：充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.【考点3】全称量词与存在量词一、单选题1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）下列命题中，真命题是（

）A．“”是“”的必要条件B．C．D．的充要条件是2．（23-24高一下·湖南郴州·阶段练习）已知，，则是方程的解的充要条件是（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2023·海南·模拟预测）已知命题:“”，"”，则下列正确的是（

）A．的否定是“”B．的否定是“”C．若为假命题，则的取值范围是D．若为真命题，则的取值范围是4．（2023·山西·模拟预测）下列结论正确的是（

）A．是偶函数B．若命题“，”是假命题，则C．设，，则“，且”是“”的必要不充分条件D．，三、填空题5．（2024·陕西宝鸡·一模）命题“任意，”为假命题，则实数a的取值范围是．6．（2024·辽宁·模拟预测）命题：存在，使得函数在区间内单调，若的否定为真命题，则的取值范围是.参考答案：1．B【分析】举反例来判断ACD，利用指数函数的性质判断B.【详解】对于A，当时，满足，但不满足，故“”不是“”的必要条件，故错误；对于B，根据指数函数的性质可得，对于，即，故正确；对于C，当时，，故错误；对于D，当时，满足，但不成立，故错误.故选：B.2．C【分析】利用二次函数的图象和性质，理解全称量词命题和存在量词命题的真假以及充要条件的意义即可.【详解】因为，所以函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为：，函数的最小值为.若“是方程的解”，则，那么就是函数的最小值，所以“，”，即“是方程的解”是“，”的充分条件；若“，”，则为函数的最小值，所以，即，所以“是方程的解”，故“是方程的解”是“，”的必要条件.综上可知：“是方程的解”的充要条件是“，”.故选：C3．AD【分析】根据含有一个量词的命题的否定判断A、B；C选项转化为一元二次方程无实数解，用判别式计算的取值范围；D选项转化为二次不等式恒成立，计算参数的范围.【详解】含有一个量词的命题的否定，是把量词改写，再把结论否定，所以A正确，B不正确；C选项，若为假命题，则的否定“”是真命题，即方程在实数范围内无解，，得，C不正确；D选项，，等价于，解得，D正确；故选：AD.4．ABD【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断选项；根据特称命题的的真假判断选项；根据必要不充分条件的判断即可判断选项；根据等式的性质判断选项.【详解】对于，函数的定义域为，且，所以函数为偶函数，故选项正确；对于，若命题“，”是假命题，则恒成立，所以，解得，故选项正确；对于，若，且，则成立，反之不一定成立，例如：满足，但是，故“，且”是“”充分不必要条件，故选错误；对于，若，则，当时方程有解，所以，，故选项正确；故选：.5．【分析】首先求命题为真命题时的取值范围，再求其补集，即可求解.【详解】若命题“任意，”为真命题，则，设，，，当时，等号成立，由对勾函数的性质可知，当时，函数单调递减，当单调递增，，，所以，即，所以命题“任意，”为假命题，则的取值范围为.故答案为：6．【分析】先给出命题p的否定，由函数的单调性进行求解.【详解】命题p的否定为：任意，使得函数在区间内不单调，由函数在上单调递减，在上单调递增，则，而，得，故答案为：反思提升：(1)含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论.(2)判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可.(3)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与¬p的关系，转化成¬p的真假求参数的范围.分层检测分层检测【基础篇】一、单选题1．（2024·四川成都·三模）已知圆：，直线：，则“”是“圆上恰存在三个点到直线的距离等于”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要2．（2023·四川泸州·一模）已知命题，，命题，，则下列命题是真命题的为（

）A． B． C． D．3．（2024·全国·模拟预测）已知向量，，则“”是“”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2024·四川成都·模拟预测）设公差不为0的无穷等差数列的前项和为，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、多选题5．（2021·辽宁·模拟预测）已知命题：，，若为真命题，则的值可以为（

）A． B． C．0 D．36．（2021·江苏·一模）下列选项中，关于x的不等式有实数解的充分不必要条件的有（

）A． B． C． D．7．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）下列选项中，与“”互为充要条件的是（

）A． B．C． D．三、填空题8．（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为．9．（2024·辽宁大连·一模）“函数是奇函数”的充要条件是实数．10．（2022·全国·模拟预测）已知“”是“”成立的必要不充分条件，请写出符合条件的整数的一个值.四、解答题11．（2023·河南南阳·模拟预测）设p：实数x满足，q：实数x满足．(1)若，且p和q均为真命题，求实数x的取值范围；(2)若且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．12．（2023·重庆酉阳·一模）命题：任意，成立；命题：存在，+成立.(1)若命题为假命题，求实数的取值范围；(2)若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.参考答案：1．A【分析】利用圆上恰存在三个点到直线的距离等于，等价于到直线：的距离为，从而利用点线距离公式与充分必要条件即可得解.【详解】因为圆：的圆心，半径为，当圆上恰存在三个点到直线的距离等于时，则到直线：的距离为，所以，解得，即必要性不成立；当时，由上可知到直线：的距离为，此时圆上恰存在三个点到直线的距离等于，即充分性成立；所以“”是“圆上恰存在三个点到直线的距离等于”的充分不必要条件.故选：A.2．A【分析】判断两个命题的真假后逐项分析即可【详解】时，故假时，故真故为真故选：A3．B【分析】利用向量数量积的坐标表示，结合充分性和必要性的定义求解即可.【详解】由题意，得，，若，则，即，解得，所以“”推得出“”，即必要性成立，但“”推不出“”，即充分性不成立，所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B．4．C【分析】根据等差数列的通项以及前项和的函数性质，即可结合充要条件的定义求解.【详解】因为是公差不为0的无穷等差数列，若“为递减数列”，可得的通项公式为一次函数且一次性系数小于0，一定存在正整数，当时,有，故存在，当远远大于时，时，此时，故充分性成立，若存在正整数，当时，，故二次函数开口向下，因此，故为递减数列，故必要性成立.故选：C．5．BCD【分析】将条件转化为对应方程有根问题，分和两种情况，进行求解即可．【详解】命题：，，为真命题，即有根，当时，成立，当时，需满足，解得且，的取值范围为，故选：BCD．6．AC【分析】先找其充要条件，然后取它的子集.【详解】时必有解，当时，或，故AC符合题意.故选：AC7．BC【分析】求解各不等式判断即可.【详解】对A，则，即，，解得，故A错误；对B，则，故，解得，故B正确；对C，则，解得，故C正确；对D，，则，解得，故D错误.故选：BC8．【分析】将问题转化命题“，”是真命题求解.【详解】解：因为命题“，”是假命题，所以命题“，”是真命题，又当时，，当且仅当，即时等号成立，所以，所以，所以实数的取值范围为，故答案为：.9．0【分析】结合三角函数奇偶性、幂函数奇偶性以及奇偶性的定义即可运算求解.【详解】若函数是奇函数，则当且仅当，也就是恒成立，从而只能.故答案为：0.10．【分析】先解出的解集，然后根据必要不充分条件判断两集合的包含关系即可求解.【详解】由，得,令，，“”是“”成立的必要不充分条件，.（等号不同时成立），解得，故整数的值可以为.故答案为：中任何一个均可.11．(1)；(2).【分析】（1）根据一元二次不等式求解p，q为真命题时的范围，即可求解，（2）根据充分不必要条件，即可列不等式求解.【详解】（1）当时，由，得，解得，即p为真命题时，实数x的取值范围是由，解得，即q为真命题时，实数x的取值范围是．所以若p，q均为真命题，则实数x的取值范围为．（2）由，得，因为，所以，故p：．若是的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，所以，解可得．故实数a的取值范围是12．(1)(2)或或【分析】（1）由q真,由判别式求得m的取值范围，进而得到q假的条件；（2）求得p真的条件，由和有且只有一个为真命题，得到真假，或假真，然后分别求的m的取值范围，再取并集即得.【详解】（1）由q真：，得或，所以q假：；（2）p真：推出，由和有且只有一个为真命题，真假，或假真，或，或或.【能力篇】一、单选题1．（2024·四川·模拟预测）已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题2．（2024·广东梅州·一模）已知直线，和平面，，且，则下列条件中，是的充分不必要条件的是（

）A．， B．，C．， D．，三、填空题3．（23-24高一上·云南昭通·期末）下列命题中：①若集合中只有一个元素，则；②已知命题p：，，如果命题p是假命题，则实数a的取值范围是；③已知函数的定义域为，则函数的定义域为；④函数在上单调递增；⑤方程的实根的个数是2.所有正确命题的序号是.四、解答题4．（2023·上海普陀·一模）设函数的表达式为.(1)求证：“”是“函数为偶函数”的充要条件；(2)若，且，求实数的取值范围.参考答案：1．A【分析】分离参数，求函数的最小值即可求解.【详解】因为命题“”为真命题，所以．令与在上均为增函数，故为增函数，当时，有最小值，即，故选：A．2．BCD【分析】结合命题的充分不必要条件：由线面关系可得到A错误；由线面垂直的性质和判定可推出B正确；由线面平行的性质和判定可推出C正确；由面面垂直的性质和判定可推出D正确.【详解】A：若，，则直线，可能平行或异面，所以不能推出，故A错误；B：若，则直线m垂直于平面的每一条直线，又，所以成立，但若成立，根据线面垂直的判定，还需在平面找一条与n相交的直线，且m不在平面内，故q不能推出p，故B正确；C：若，且，由面面平行的性质可知，成立；反之，由线面平行的判定可知当，不能推出，故C正确；D：若，且，由面面垂直的判定定理可知成立；反之，若，且，则直线n与平面可能成任意角度，故D正确.故选：BCD.3．②③⑤【分析】利用判别式可判断①；利用特称命题的否定为全称命题可判断②；求出的定义域可判断③；分离常量后根据反比例函数的单调性可判断④；在同一坐标系中作出和的图象可判断⑤.【详解】对于①：时，；时，，则，故或1，故错误；对于②：p：，为假命题，则，为真命题，故即，故正确；对于③：，则，即的定义域为，故正确；对于④：，其在上单调递减，故错误；对于⑤：在同一坐标系中作出和的图象，观察两图象有2个交点，则方程的实根的个数是2，故正确.故答案为：②③⑤.4．(1)证明见解析；(2)或.【分析】（1）根据给定条件，利用偶函数的定义、结合充要条件的意义推理即得.（2）利用偶函数性质及在的单调性求解不等式即可.【详解】（1）函数的定义域为R，不恒为0，函数为偶函数，所以“”是“函数为偶函数”的充要条件.（2）当时，，求导得，函数在R上单调递增，当时，，即函数在单调递增，又是偶函数，因此，即，解得或，所以实数的取值范围是或.【培优篇】一、单选题1．（2024·上海松江·二模）设为数列的前项和，有以下两个命题：①若是公差不为零的等差数列且，，则是的必要非充分条件；②若是等比数列且，，则的充要条件是.那么（

）A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题二、多选题2．（2023·江苏南京·一模）同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数），对于函数以下结论正确的是（

）A．是函数为偶函数的充分不必要条件；B．